文档内容
九年级数学上册单元测试定心卷（北师大版）
第二章 一元二次方程（能力提升）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色
签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）
1.下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣3x＝0 B．x2﹣6x+10＝0 C．x2﹣6x+9＝0 D．x2＝1
【答案】B
【解答】解：A．此方程根的判别式△＝（﹣3）2﹣4×1×0＝9＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
B．此方程根的判别式△＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0，没有实数根，符合题意；
C．此方程根的判别式△＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0，有两个相等的实数根，不符合题意；
D．此方程根的判别式△＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：B．
【知识点】根的判别式
2.若x＝1是方程x2﹣4x+m＝0的根，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．5
【答案】C
【解答】解：把x＝1代入x2﹣4x+m＝0得1﹣4+m＝0，
解得m＝3．
故选：C．
【知识点】一元二次方程的解
3.用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方得（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝5
【答案】B
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：B．
【知识点】解一元二次方程-配方法
4.已知关于x的方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：根据题意得△＝42﹣4m＝0，
解得m＝4．
故选：B．
【知识点】根的判别式5.已知x＝2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．0 D．0或4
【答案】A
【解答】解：因为x＝2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，
所以22+2m+4＝0，
解得m＝﹣4．
故选：A．
【知识点】一元二次方程的解
6.对于一元二次方程x2+6x﹣11＝0，下列说法正确的是（ ）
A．这个方程有两个相等的实数根
B．这个方程有两个不相等的实数根x，x；且x+x＝﹣6
1 2 1 2
C．这个方程有两个不相等的实数根x，x；且x+x＝11
1 2 1 2
D．这个方程没有实数根
【答案】B
【解答】解：∵x2+6x﹣11＝0，
∴△＝62﹣4×1×（﹣11）＝80＞0，
∴这个方程有两个不相等的实数根x，x，
1 2
且x+x＝﹣ ＝﹣6，
1 2
故选：B．
【知识点】根与系数的关系、根的判别式
7.已知关于x的方程x2﹣7x+15＝k的一个根是2，则k的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．﹣11
【答案】B
【解答】解：∵x＝2是方程x2﹣7x+15＝k的解，
∴22﹣7×2+15＝k，
∴k＝5．
故选：B．
【知识点】一元二次方程的解
8.已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x＝2，x＝﹣3，则原方程可化为（ ）
1 2
A．（x+2）（x+3）＝0 B．（x+2）（x﹣3）＝0
C．（x﹣2）（x﹣3）＝0 D．（x﹣2）（x+3）＝0
【答案】D
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x＝2，x＝﹣3，
1 2
∴2﹣3＝﹣p，2×（﹣3）＝q，
∴p＝﹣1，q＝﹣6，
∴原方程可化为（x﹣2）（x+3）＝0．
故选：D．
【知识点】根与系数的关系9.你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌
了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这
两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2＝ B．x+2x＝
C．（1+x）2＝ D．1+2x＝
【答案】C
【解答】解：设某天跌停前的价格为a元，
a（1﹣10%）（1+x）2＝a，
则 ，
即 ，
故选：C．
【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程
10.某机械厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件200万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率
为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝200
B．50+50（1+x）2＝200
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝200
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝200
【答案】C
【解答】解：依题意得二、三月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝200．
故选：C．
【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程
11.肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有
225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（ ）
A．1+x＝225 B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2 ）＝225
【答案】C
【解答】解：设1人平均感染x人，
依题意可列方程：（1+x）2＝225．
故选：C．
【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程
12.阅读下列材料：如果（x+1）2﹣9＝0，那么（x+1）2﹣32＝（x+1+3）（x+1﹣3）＝（x+4）（x﹣2），则（x+4）（x﹣2）＝0，由此可知：x＝﹣4，x＝2．根据以上材料计算x2﹣6x﹣16＝0的根为（ ）
1 2
A．x＝﹣2，x＝8 B．x＝2，x＝8
1 2 1 2
C．x＝﹣2，x＝﹣8 D．x＝2，x＝8
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：x2﹣6x﹣16＝0，
（x﹣3）2﹣52＝0，
（x﹣3+5）（x﹣3﹣5）＝0，
解得：x＝3﹣5＝﹣2，x＝3+5＝8．
1 2
故选：A．
【知识点】解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程-直接开平方法
二、填空题（4小题，每小题3分，共12分）
13.已知方程x2+3x﹣1＝0的两个根分别是x，x，则x3x+xx3＝ ．
1 2 1 2 1 2
【答案】-11
【解答】解：∵方程x2+3x﹣1＝0的两个根分别是x，x，
1 2
∴x+x＝﹣3，xx＝﹣1，
1 2 1 2
∴x3x+xx3＝xx（x2+x2）＝xx（x+x）2﹣2（xx）2＝﹣1×（﹣3）2﹣2×（﹣1）2＝﹣11．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
故答案为：﹣11．
【知识点】根与系数的关系
14.若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式a2﹣3a+7的值是 ．
【答案】13
【解答】解：∵a是方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，
∴a2﹣3a＝6，
∴a2﹣3a+7
＝6+7
＝13，
故答案为：13．
【知识点】一元二次方程的解
15.已知一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两根为x，x，则（x﹣1）（x﹣1）的值是 ．
1 2 1 2
【答案】-6
【解答】解：∵x2﹣5x﹣2＝0的两根为x，x，
1 2
∴x+x＝5，xx＝﹣2，
1 2 1 2
∴（x﹣1）（x﹣1）＝xx﹣x﹣x+1＝xx﹣（x+x）+1＝﹣2﹣5+1＝﹣6，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
故答案为﹣6．
【知识点】根与系数的关系
16.一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储
藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨 200
元．那么储藏 个星期再出售这批农产品可获利122000元．
【答案】
【解答】解：设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元，由题意得（1200+200x）×（80﹣2x）﹣1600x﹣64000＝122000，
化简，得，x2﹣30x+225＝0，
解得：x＝x＝15．
1 2
故答案为：15．
【知识点】一元二次方程的应用
三、解答题（9小题，共52分）
17.解方程：x2﹣5x+6＝0
【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x＝2，x＝3．
1 2
【知识点】解一元二次方程-因式分解法
18.解方程：2x（x﹣2）＝x﹣2．
【解答】解：∵2x（x﹣2）＝x﹣2，
∴2x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（2x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝ ．
1 2
【知识点】解一元二次方程-因式分解法
19.已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值．
【解答】解：将x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，
整理得：a2﹣a＝0，
即：a（a﹣1）＝0
解得：a＝0或a＝1．
【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的定义
20.已知关于x的方程3x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【解答】解：根据题意得△＝22﹣4×3×（﹣m）＞0，
解得m＞﹣ ，
即实数m的取值范围为m＞ ．
【知识点】根的判别式
21.解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣9＝0；
（2）（x+1）（x﹣3）＝6．
【解答】解：（1）移项，得（x﹣3）2＝9，
开方，得x﹣3＝±3，
解得：x＝0，x＝6；
1 2
（2）整理得：x2﹣2x﹣9＝0，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣9）＝40，
x＝ ＝ ，
．
【知识点】解一元二次方程-直接开平方法、解一元二次方程-公式法
22.某公司2017年产值2500万元，2019年产值3025万元．
（1）求2017年至2019年该公司产值的年平均增长率；
（2）由（1）所得结果，预计2020年该公司产值将达多少万元？
【解答】解：（1）设2017年至2019年该公司产值的年平均增长率为x，
依题意，得：2500（1+x）2＝3025，
解得：x＝0.1＝10%，x＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
1 2
答：2017年至2019年该公司产值的年平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）＝3327.5（万元）．
答：由（1）所得结果，预计2020年该公司产值将达3327.5万元．
【知识点】一元二次方程的应用
23.已知关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0．
（1）求证：无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程两根的平方和为21，求a的值．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣a）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，
∴无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根分别为m、n，
∴m+n＝a﹣3，mn＝﹣a，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（a﹣3）2+2a，
由题意可得（a﹣3）2+2a＝6，
解得a＝1或a＝3．
【知识点】根与系数的关系、根的判别式
24.疫情期间，某公司向厂家订购A，B两款洗手液共50箱．已知购买A款洗手液1箱进价为200元，在此
基础上，所购买的A款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2元．厂家为保障盈利，每次最多可订购
30箱A款洗手液．B款洗手液的进价为每箱100元，设该公司购买A款洗手液x箱．
（1）根据信息填表：
型号 数量（箱） 进价（元/箱）
A x
B 100
（2）若订购这批洗手液的总进价为6240元，则该公司订购了多少箱A款洗手液？
【答案】【第1空】200-2x
【第2空】50-x【解答】解：（1）根据题意知，购买B款洗手液的数量是（50﹣x）箱，购买A款洗手液的进价为（200
﹣2x）元．
故答案是：50﹣x；200﹣2x；
（2）设该公司购买A款洗手液x箱，
根据题意知，（200﹣2x）x+100（50﹣x）＝6240，
解得x＝31，x＝20．
1 2
∵最多可订购30箱A款洗手液，
∴x＝20符合题意．
答：该公司购买A款洗手液20箱．
【知识点】一元二次方程的应用
25.书籍是人类宝贵的精神财富．读书则是传承优秀文化的通道．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假
日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计
进馆608人次．若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过450人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，
校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608．
化简得：4x2+12x﹣7＝0．
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）．
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128× ＝432＜450．
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【知识点】一元二次方程的应用
