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第二章 一元二次方程
一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)
1.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是 ( )
1
A.x2+ =0
x2
B.ax2+bx+c=0
C.(x-1)(x+2)=1
D.3x2-2xy-5y2=0
【答案】C
【解析】 A项不是整式方程,所以不是一元二次方程; B项由于无法确定二次项系数是
否为零,故不能确定其是否是一元二次方程;D项含有两个未知数x,y,所以不是一元二次方程.
故选C.
2．一元二次方程x2－2x－3＝0配方后可变形为( )
A．(x－1)2＝2
B．(x－1)2＝4
C．(x－1)2＝1
D．(x－1)2＝7
【答案】B
3.根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0,可列表如下:
x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3
x2+px+q -15 -8.75 -2 -0.59 0.84 2.29
则方程x2+px+q=0的一个根的范围是 ( )
A.1.20,所以方程有两个不相等的实数根,所以A
项不符合题意;B项,因为Δ=(-2)2-4×1×5=-16<0,所以方程没有实数根,所以B项符合题意;C
项,因为Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,所以方程有两个不相等的实数根,所以C项不符合题意;D项,因
为Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,所以方程有两个不相等的实数根,所以D项不符合题意.故选B.
6．x，x 是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x＜x，下列说法正确的是( )
1 2 1 2
A．x 小于－1，x 大于3
1 2
B．x 小于－2，x 大于3
1 2
C．x，x 在－1和3之间
1 2
D．x，x 都小于3
1 2
【答案】A
7.某市某楼盘准备以每平方米12 000元的均价对外销售,由于国家有关房地产的新政策
出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格进行连续两次下调后,决定
以每平方米9 720元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是( )
A.8% B.9% C.10% D.11%
【答案】C
【解析】 设平均每次下调的百分率为x,则根据题意可得,12 000(1-x)2=9 720,解得
x=0.1=10%,x=-1.9(舍去).故选C.
1 2
8．已知x，x 是一元二次方程3x2＝6－2x的两根，则x－xx＋x 的值是( )
1 2 1 1 2 2
A．－ B. C．－ D.
【答案】D
9.有两个一元二次方程,M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中a+c≠0.下列四个结论中,错误
的是 ( )A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根
B.如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同
1
C.如果5是方程M的一个根,那么 是方程N的一个根
5
D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1
【答案】D
【解析】 A项,如果方程M有两个不相等的实数根,那么Δ =b2-4ac>0,所以Δ =b2-
M N
4ac>0,所以方程N也有两个不相等的实数根,A正确;B项,如果方程M的两根符号相同,那么
c a
两根之积 >0,所以 >0,即方程N的两根之积大于0,所以方程N的两根符号也相同,B正
a c
1 1 1
确;C项,如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0,所以a+ b+ c=0,所以 是方程N的
5 25 5
一个根,C正确;D项,如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2+bx+c=cx2+bx+a,整理得
(a-c)x2=a-c,当a=c时,x为任意数;当a≠c时,x=±1,D错误.故选D.
10．如图，在一次函数y＝－x＋6的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点
B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴上方满足上述条件的点P共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】根据题意，可设点P的坐标为(x，－x＋6)．∵点P在x轴上方，∴y＞0，即
－x＋6＞0，x＜6.
∵矩形PBOA的面积为5，
∴|x|(－x＋6)＝5，
即x(－x＋6)＝5或－x(－x＋6)＝5.
解得x＝1，x＝5，
1 2
x＝3＋，x＝3－.
3 4
∵3＋＞6，不合题意，舍去，
∴符合要求的点P共有3个．
二、填空题(本大题共6小题,每题3分,共18分)
11.已知x=a是方程x2-3x-5=0的根,则代数式4-2a2+6a的值为 .【答案】-6
【解析】 把x=a代入方程x2-3x-5=0,得a2-3a-5=0,则a2-3a=5,所以4-2a2+6a=4-2(a2-
3a)=4-2×5=-6.
12．方程(x＋3)2＝x＋3的解是__________．
【答案】x＝－3，x＝－2
1 2
13.如果关于x的一元二次方程(k-2)x2+2kx+k+3=0有两个不相等的实数根,那么k的取值
范围是 .
【答案】k<6且k≠2
【解析】 因为关于x的一元二次方程(k-2)x2+2kx+k+3=0有两个不相等的实数根,所以
k-2≠0且Δ=(2k)2-4(k-2)(k+3)=-4(k-6)>0,解得k<6且k≠2,所以k的取值范围是k<6且k≠2.
14．当k＝________时，关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实
数根(写出一个你喜欢的k的值)．
【答案】0(答案不唯一)
|a b| |a b|
15.将4个数a,b,c,d排成2行2列,两边各加一条竖直线记成 ,定义 =ad-bc.
c d c d
|x+1 x-1|
若 =6,则x= .
1-x x+1
【答案】±√2
【解析】 根据题意,可得(x+1)2-(x-1)(1-x)=6,整理得2x2+2=6,解得x=±√2.
16．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中条件，可列出方程：______________．
【答案】(x＋1)2＝25(答案不唯一)
三、解答题(本大题共6小题,共72分)
17.(10分)解下列方程:
(1)(6x－1)2＝25； (2)x2－2x＝2x－1；
解：(1)两边开平方，得6x－1＝±5，即6x－1＝5或6x－1＝－5.
∴x＝1，x＝－.
1 2
(2)移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，
即(x－2)2＝3.两边开平方，
得x－2＝±，
即x－2＝或x－2＝－.
∴x＝2＋，x＝2－.
1 2
18．(11分)如图，在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分的面积为1.6
m2.已知床单的长是2 m，宽是1.4 m，求花边的宽度．
解：设花边的宽度为x m，依题意，得(2－2x)(1.4－2x)＝1.6，
解得x＝1.5(不合题意，舍去)，
1
x＝0.2.
2
答：花边的宽度为0.2 m.
19.(11分)水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克,然后以每千克6元
的价格出售,每天可售出150千克,通过调查发现,这种水果每千克的售价每降低0.1元,每天可
多售出30千克,为保证每天至少售出360千克,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每千克的售价降低x元,则每天的销售量是 千克(用含x的
代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利450元,张阿姨需将每千克的售价降低多少元?
解：(1)(150+300x)
x
将这种水果每千克的售价降低x元,则每天的销售量是150+ ×30=(150+300x)(千克).
0.1
(2)根据题意,得(6-4-x)(150+300x)=450,
1
解得x= ,x=1.
1 2
2
1 1
当x= 时,销售量是150+300× =300(千克);
2 2
当x=1时,销售量是150+300=450(千克).
∵每天至少售出360千克,∴x=1.
答:张阿姨需将每千克的售价降低1元.20.(12分)在等腰三角形ABC中,三边长分别为a,b,c,其中ɑ=4,若b,c是关于x的方程x2-
1
(2k+1)x+4(k- )=0的两个实数根,求△ABC的周长.
2
1
解：当a=4为腰长时,将x=4代入原方程,得42-4(2k+1)+4(k- )=0,
2
5
解得k= ,∴原方程为x2-6x+8=0,
2
解得x=2,x=4,
1 2
此时△ABC的周长为4+4+2=10.
1
当a=4为底边长时,Δ=[-(2k+1)]2-4×1×4(k- )=(2k-3)2=0,
2
3
解得k= ,原方程为x2-4x+4=0,
2
解得x=2,x=2,
3 4
2+2=4,此时边长为a,b,c的三条线段不能围成三角形.
综上所述,△ABC的周长为10.
21．(14分)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙
市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数
分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务
员能否完成今年六月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意，得10(1＋x)2＝12.1，
解得x＝0.1＝10%，
1
x＝－2.1(不合题意，舍去)．
2
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%.
(2)今年六月份的快递投递任务是12.1×(1＋10%)＝13.31(万件)．∵平均每人每月最多可
投递快递0.6万件，∴21名快递投递业务员每月最多能完成的快递投递任务是0.6×21＝
12.6(万件)．
∵12.6＜13.31，
∴该公司现有的快递投递业务员不能完成今年六月份的快递投递任务．
由于(13.31－12.6)÷0.6＝1，因此至少需要增加2名业务员．
22．(14分)请阅读下列材料．问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的
2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝.
把x＝代入已知方程，得＋－1＝0.
化简，得y2＋2y－4＝0.
故所求方程为y2＋2y－4＝0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)．
(1)已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的相反
数；
(2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一
元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数．
解：(1)设所求方程的根为z，
则z＝－x，∴x＝－z.
把x＝－z代入已知方程，
得z2－z－2＝0，
故所求方程为z2－z－2＝0.
(2)设所求方程的根为t，
则t＝(x≠0)，
于是x＝(t≠0)．
把x＝代入方程ax2＋bx＋c＝0，
去分母，得a＋bt＋ct2＝0.
若c＝0，则有ax2＋bx＝0，于是方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为0，不符合题意，
∴c≠0.
故所求方程为ct2＋bt＋a＝0(c≠0)．
