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第二章 不等式与不等式组（复习讲义）
1. 了解不等式、一元一次不等式及不等式组的意义，体会不等式性质与等式性质的异同，理解解集与函数
图象之间的整体联系。
2. 能用不等式的三条基本性质对不等式进行变形，能准确求出一元一次不等式及不等式组的解集，并用数
轴表示解集。
3. 理解并利用解一元一次不等式的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并、系数化为1）解决不等式的
求解问题。
4. 掌握列不等式解决实际问题的基本步骤，能根据实际问题中的不等关系建立不等式模型并求解。
5. 能利用一次函数的图象直观理解一元一次不等式的解集，体会数形结合思想在解决不等式问题中的应用。知识点01 不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不
等关系的式子也是不等式．
知识点02 不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．
知识点03 不等式的解与解集
1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
知识点04 一元一次不等式（组）的定义
1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一
次不等式组．
知识点05 解一元一次不等式（组）
1.解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同
类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不
等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
2.解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
3.一元一次不等式（组）的整数解
①利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到
下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
②已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中
对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点06 一元一次不等式（组）的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求
出解集．④写出符合题意的解．
知识点07 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.
(3)一元一次不等式kx+b>kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象上方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式kx+b<kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象下方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.【题型一 不等式的基本性质】
【例1】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）已知 ，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【变式1-3】（25-26七年级上·北京朝阳·期末）下列推理错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【题型二 一元一次不等式（组）的定义】
【例2】（24-25七年级下·河南周口·月考）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）若 是关于x的一元一次不等式，则a的值
为（ ）
A．2 B．－1 C．0 D．0或2
【变式1-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列属于一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2026七年级下·全国·专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【题型三 解一元一次不等式（组）】
【例3】（25-26八年级上·山东聊城·期末）解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上：
(1) ；
(2)
【变式3-1】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式：
（2）解不等式组： ，并把它的解集表示在数轴上．
【变式3-2】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）（1）解不等式： ，并将解集表示在下列数轴
上；
（2）解不等式组： ，并求它的最大整数解．
【变式3-3】（25-26八年级上·山东聊城·月考）解下列不等式（组）：
(1) ．
(2) ，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．
【题型四 求一元一次不等式（组）的整数解】
【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式 的正整数解为 ．
【变式4-1】（25-26七年级下·全国·周测）不等式 的非负整数解为 ．【变式4-2】（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组： 整数解之和 ．
【变式4-3】（25-26七年级下·全国·单元测试）不等式组 的所有整数解的和为 ．
【题型五 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】
【例5】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并
完成相应的任务．
解：去分母，得 ． 第一步
移项，得 ． 第二步
合并同类项，得 ． 第三步
系数化成1，得 ． 第四步
根据以上材料，解答下列问题：
(1)去分母的依据是不等式基本性质________；（填“1”或“2”或“3”）
(2)在解答过程中，共出现________处错误，其中最后一处错误在第_______步，错误的原因是________；
(3)请写出解不等式 的正确解答过程．
【变式5-1】（24-25七年级下·山西临汾·期末）下面是小茗同学解不等式 的过程，请认
真阅读，完成相应任务．
解：去括号，得： ，第一步
即 ，第二步
移项得： ，第三步
计算得到： ，第四步
系数化为1，两边同时除以 ，得： ．第五步
任务一：（1）小茗同学的解答过程中，从第 步开始出现错误．他的错误原因是 ；
（2）第五步的解题依据是 ；
任务二：（3）直接写出这个不等式的解集： ；任务三：（4）除小茗同学的错误外，在解不等式的过程中，还需要注意什么呢？（写出一条注意事项即
可）
【变式5-2】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成
相应任务．
解不等式： ．
解： ．……第一步
．……第二步
．……第三步
．……第四步
．……第五步
任务一：
①以上解题过程中，第一步是依据_______进行变形的；
②第______步出现错误，这一步错误的原因是_______；
任务二：请写出该不等式的正确解集为_______；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一
条建议；
（2）解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．
【变式5-3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题：
解不等式
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
(1)第______步出现错误，错误的原因是______；(2)该不等式的正确解集为：______，
在下面的数轴上表示这个解集；
(3)直接写出不等式组 的解集．
【题型六 根据一元一次不等式的解集求参数】
【例6】（2026七年级下·全国·专题练习）已知 为非零实数，若 的解集为 ，则
．
【变式6-1】（25-26八年级下·全国·周测）若关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式
的解集是 ．
【变式6-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式 的解都能使不等式
成立，则实数 的取值范围是 ．
【变式6-3】（25-26八年级下·全国·周测）关于 的一元一次不等式 的解集为 ，则
的值为 ．
【题型七 利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围】
【例7】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于 的不等式 的负整数解是 ， ，则 的取值
范围是 ．
【变式7-1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式 只有3个正整数解，则a的取
值范围 ．
【变式7-2】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如果不等式组 恰有3个整数解，则 的取值
范围是 ．【变式7-3】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，
则所有满足条件的整数a的值之和 ．
【题型八 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】
【例8】（25-26八年级下·全国·期末）若关于 的不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是
．
【变式8-1】（25-26八年级上·四川成都·期末）关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是
．
【变式8-2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组 有解、则a的取值范围是
．
【变式8-3】（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数 使关于 的不等式组 的解集为 ，
则 的取值范围为 ．
【题型九 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】
【例9】（25-26七年级下·全国·周测）若关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围为 ．
【变式9-1】（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组 ．若方程组的解满
足 ，则m的非正整数和为 ．
【变式9-2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组 的解满足 ，
则 的取值范围是 ．【变式9-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于 的不等式组 的解集为 ．
（1） 的取值范围是 ；
（2）若整数 使得关于 ， 的二元一次方程组 的解为整数，则符合条件的所有整数 的和
是 ．
【题型十 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题】
【例10】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数 与正比例函数
的图象相交于点 ，下列判断错误的是( )
A．关于 的方程 的解是
B．关于 的不等式 的解集是
C．当 时，函数 的值比函数 的值大
D．关于 ， 的方程组 的解是
【变式10-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，一次函数 与 （ ， ， 为
常数）的图象交于点 ，则关于 的一元一次不等式 的解为 ．【变式10-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线 和直线 相交于点
，直线 分别与 轴和 轴相交于点 和点 ，直线 与 轴交于点 ．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)直接写出不等式组 的解集_____．
【变式10-3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）某文具店计划采购A，B两种书签，据了解，购买15张A
书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元．
(1)求A，B两种书签每张的购买价格．
(2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，且A书签的数量不超过B书签数量的 ，已知A，B两种书
签的销售单价分别为10元和12元，如何设计购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利
润？最大利润是多少？
【题型十一 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题】
【例11】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末） 年 月，浙江城市篮球赛 浙 在全省范围内举行，各
地结合自身特色设计了相关的文创产品，深受人们喜爱．已知某文旅中心销售玩偶类文创产品，其中甲种
玩偶的单价是 元/个，乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的 ．(1)求乙种玩偶的单价．
(2)某游客计划用不超过 元购买甲、乙两种玩偶，且乙种玩偶的数量比甲种玩偶的数量多 个，求该游
客最多可以购买多少个甲种玩偶．
【变式11-1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工
艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售 个小号佛手柑挂件和 个大号佛手柑挂件共可
获利 元，销售 个小号佛手柑挂件的获利和销售 个大号佛手柑挂件的获利相等．
(1)求销售 个小号佛手柑挂件和 个大号佛手柑挂件分别获利几元？
(2)该店某天销售佛手柑挂件共 个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的 倍还
多，获得的总利润不足 元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？
【变式11-2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）某商场筹集资金 万元，一次性购进空调、彩电共 台，
根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于 万元，其中空调、彩电的进价
和售价如右表所示：
设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．
项目 空调 彩电
进价（元/台）
售价（元/台）
(1)试写出 与 之间的函数关系式；
(2)商场有哪几种进货方案可以选择？
(3)根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？
【变式11-3】（24-25九年级下·湖北荆门·自主招生）为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂
“生产的防疫物资全部运往 两地，甲厂有防疫物资 吨，乙厂有防疫物资 吨， 地需防疫物资
吨， 地需防疫物资 吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往 地防疫物资
吨．
接收地
地 地
出发地
甲厂
乙厂
(1)直接写出 的取值范围： ．
(2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？
(3)因路况原因，从甲厂到 地的运输费用每吨增加了 百元，从乙厂“到 地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且 ，请你探究总运费可以达到的最小值．
基础巩固通关测
一、单选题
1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）下列式子中，属于一元一次不等式的是()
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若点 在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·全国·期末）如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的
取值可以是（ ）
A．6 B．3.5 C．4 D．4.5
二、填空题
5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）写出一个整数 的值，使 大于 ，则这个整数 的值可以是
．6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是
．
7．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，直线 与直线 相交于点 ，则关于 的不
等式 的解集是 ．
8．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值 ”到“结果是否大于
83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操
作执行两次才停止，则输入的 的取值范围是 ．
三、解答题
9．（25-26八年级上·浙江台州·期末）解下列一元一次不等式（组）：
(1)
(2)
10．（25-26八年级上·安徽·期末）“卡旺卡”是安徽网红奶茶品牌，今年因“广德三件套”的爆火吸引了
无数外省游客．2026年元旦期间，某门店销售“手剥大橘”和“徽州酒酿”两种口味的奶茶，若购买3杯
“手剥大橘”和4杯“徽州酒酿”共需136元；若购买1杯“手剥大橘”和3杯“徽州酒酿”共需77元．
(1)“手剥大橘”和“徽州酒酿”分别是多少元一杯？
(2)若旅游团队需要购买两种奶茶共30杯，且“手剥大橘”的数量比“徽州酒酿”多，且差不大于7，怎样
购买才能使总费用最少？并求出最少费用．能力提升进阶练
一、单选题
1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列四个判断：其中正确的有（ ）
①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（25-26八年级上·浙江金华·月考）关于x的不等式 的整数解只有4个，则m的取值范围是（
）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入 的值
是 ，则最终输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知直线 ： 与直线 ： 都经过
，直线 交y轴于点 ，交x轴于点A，直线 交y轴于点D，以下说法错误的是（ ）
A． 的面积为3B．方程组 的解为
C．点D的坐标为
D．当 时，
二、填空题
5．（25-26八年级上·浙江台州·月考）已知关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围是
．
6．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若不等式组 无解，则实数 的取值范围是 ．
7．（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组 ．若方程组的解满足
，则m的非正整数和为 ．
8．（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为 ，称 为A的
“解集中点值”，若 是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x
的不等式组C 和不等式组D 若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m
的取值范围为 ．
三、解答题
9．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上．
(1) ．(2)
10．（2026·山东威海·模拟预测）以下是小贤解不等式组 的解答过程．
解：由①得 ，第一步
所以 ，第二步
由②得 ，第三步
所以 ，第四步
故原不等式组的解集是 ．第五步
小贤的解答过程从哪一步开始出现错误?请判断，并写出正确的解答过程．
11．（25-26八年级上·安徽池州·期末）“石台硒茶”是安徽省池州市石台县特产，我县优越的自然环境赋
予了茶叶独特的品质，富含茶多酚、咖啡因、茶氨酸等核心营养成分，广受人们的喜爱． 为了满足顾客
需求，某电商平台决定购进A种包装和B种包装的茶叶进行销售．两种包装的茶叶进货价和销售价如表：
类别 A 种 B 种
进货价（元/件）
销售价（元/件）
(1)第一次，该平台用5400元购进了A，B两种共100件，求两种茶叶各购进了多少件？
(2)第二次，该平台根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两种茶叶120件（两种茶叶的进货价不
变），但A种的进货量不超过B种的 ，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
12．（24-25八年级下·山西晋中·期中）【材料阅读】
我们知道：二元一次方程 有无数组解，如： ， ， ……如果我们将方程的解
（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对，例如 是方程 的一个解，用一
个点 来表示．探究发现：以方程 的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示．
【问题探究】
在平面直角坐标系 中，方程 的图象是图1中的直线m，也可表示为 ．
（1）仿照材料完成下列各题：
①写出二元一次方程 的解（写出三对整数解）：_______．
②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个
方程的图象，记为直线n，也可表示为 ；请你直接写出直线m与直线n的交点M的坐标_______；
则方程组 的解是_______．
③过点 且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B两点，求出 的面积．
【问题拓展】
（2）已知关于x，y的二元一次方程组 无解，由此你猜想直线 与直线
这两条直线_______．（填位置关系）
（3）如果（2）中有存在符合题意的两条直线恰好相交，且交点坐标为 ，请你利用图2分析并直接写出不等式 中x的取值范围_______．
