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专题 02 一元一次不等式与一次函数
目录
A题型建模・专项突破
题型一、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集..................................................................................................1
题型二、根据两条直线的交点求不等式的解集......................................................................................................3
题型三、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题......................................................................................5
题型四、一元一次不等式与一次函数实际综合问题.............................................................................................11
B综合攻坚・能力跃升
题型一、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
1．（25-26八年级下·全国·期中）如图，一次函数 的图象经过点 与 ，则关于 的不等
式 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握利用函数图象求解不等式的方法是解题的关
键．
不等式 等价于 ，观察一次函数图象，找到图象在 轴上方时对应的 的取值范围．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过点
∴当 时，
∵不等式 即为
∴从图象可知，当函数图象在 轴上方时，
∴此时 的取值范围是
∴不等式 的解集是
故答案为： ．
2．（25-26八年级上·上海·期中）如果直线 过第二、三、四象限， 与x轴的交点为 ，
那么关于x的不等式 的解集 是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握根据函数图
象解不等式的方法．由直线过第二、三、四象限可知 ，然后画出草图，根据一次函数和一元一次不等
式的关系，结合函数图象求不等式的解集．
【详解】解：∵直线 过第二、三、四象限，∴ ，
又直线与x轴的交点为 ，
∴草图如下：
不等式 表示一次函数图象在x轴下方的部分，
根据图象，当 ，函数图象在x轴下方，
故不等式的解集是 ．
故答案是： ．
3．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线 ＝ ＋ 与 轴交于点
，与 轴交于点 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值小
于 的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在 轴下方部分图象 的取值，
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵直线 与 轴交于点 ，
∴不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，直线 经过点 ，则关于x的方程
的解是 ，关于x的不等式 的解集是 ．
【答案】【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
根据一元一次方程 的解即为直线 与 轴交点的横坐标求解；关于x的不等式 的
解集转化为直线 在直线 下方时 的取值范围．
【详解】解：∵直线 经过点 ，
∴方程 的解是 ，
∵直线 经过点 ，
∴不等式 的解集是 ，
故答案为： ， ；
题型二、根据两条直线的交点求不等式的解集
5．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，函数 与 的图象相交于点 ，则关于 的
不等式 的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式．求出两函数的交点坐标是解题的关键．
先求得点 的坐标值，观察函数图象可知，当 时，函数 的图象在函数 的图象的下方，
即当 时， ．
【详解】解：∵函数 和 的图象相交于点 ，
，
，
，
∴ 的解集为 ．
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一次函数 和 的图像如图所示，其交点为 ，
则不等式 的解集是 ．【答案】
【分析】本题考查一次函数交点与不等式的关系，解题的关键是看懂一次函数图像．
根据一次函数交点与不等式关系直接求解即可得到答案．
【详解】解：由图像可得，
在P点右侧 的图像在 的下方，
∴不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数 与 的图像如图所示，则不等式组
的解集为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键．
不等式组 ，再结合图像可得其解集为满足 且 的部分为
下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答．
【详解】解：不等式组 的解集为由图像可知满足 且 的部分为
下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即 ．
故答案为： ．
8．（2025八年级上·重庆·专题练习）如图，直线 与 的交点的横坐标为 ，则关于x的
不等式 的取值范围为 ．【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是根据函数图象的上下位置关系解不等式
．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系找出不等
式是关键．解不等式 ，可得出 ，再根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可
得出不等式 的解集，结合二者即可得出结论．
【详解】解： ，
；
观察函数图象，发现：
当 时，直线 的图象在 的图象的上方，
不等式 的解为 ．
综上可知：不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
题型三、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题
9．（24-25八年级上·安徽池州·月考）一次函数 和 的图像如图所示，且 ，
．
(1)关于 的方程 的解为 _________；关于 的不等式 的解集为_________；
(2)若不等式 的解集是 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据观察函数图象，即可求解；
（2）先求出 ，再由不等式 的解集是 ，可得点 的横坐标为 ，即可求
解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ，
即关于 的方程 的解为 ；
∵ ，
∴当 时， ，
∴不等式 的解集为 ；
故答案为：4；
（2）解：把点 代入 ，得：
，解得 ，
∴ ，
∵不等式 的解集是 ，
∴点 的横坐标为 ，
∴当 时， ，
∴点 的坐标为 ．
10．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，在同一个坐标系中一次函数 和 的图
象，分别与 轴交于点 、 ，两直线交于点 ．已知点 坐标为 ，点 坐标为 ，观察图象并
回答下列问题：
(1)关于 的方程 的解是______；关于 的不等式 的解集是______．(2)若点 坐标为 ，①关于 的不等式 的解集是______；②求 的面积．
(3)根据图象求关于 的不等式组 的解集．
【答案】(1) ；
(2)① ；②21
(3)
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程，数形结合思想是解题的关
键．
（1）利用直线与 轴的交点即为 时，对应的 的值，进而得出答案；
（2）①利用两条直线的交点坐标，结合函数图象求出不等式 的解集即可；
②根据点A、B、C的坐标，即可求出答案；
（3）利用两直线与 轴的交点坐标，结合图象即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴的交点 坐标为 ，
∴关于 的方程 的解是 ；
∵直线 与x轴的交点B的坐标为 ，
∴关于 的不等式 的解集是 ；
（2）解：① 点 ，
结合图象可知，不等式 的解集是 ；
② 点 坐标为 ，点 坐标为 ，
，
点 坐标为 ，
；
（3）解：结合图象可知，不等式①的解集是 ；
不等式②的解集是 ；
所以关于 的不等式组 的解集为 ．
11．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数 和 的
图像分别与 轴交于点A，B，两直线交于点C．已知 ，观察图像并回答下列问题：(1)关于x的方程 的解是 ；关于x的不等式 的解集是 ；
(2)直接写出关于x的不等式组 的解集 ；
(3)若点C的坐标为 ．
① 的面积为 ；
②在y轴上找一点 ，使得 的值最大，求 点的坐标．
【答案】(1) ；
(2)
(3)① ；②
【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，三
角形三边关系的应用，正确利用数形结合解题是解题关键．
（1）利用直线与 轴交点即为 时，对应 的值，进而得出答案；
（2）利用两直线与 轴交点横坐标，结合图象得出答案；
（3）①利用三角形面积公式求得即可；②记 交 轴于点 ，此时最大，再求解直线解析式即可．
【详解】（1）解：∵一次函数 和 的图像分别与 轴交于点A，B， ，
∴关于x的方程 的解是 ，关于x的不等式 的解集是 ，
故答案为： ，
（2）∵关于x的不等式 的解集是 ，关于x的不等式 的解集是 ，
∴关于x的不等式组 的解集 ，
故答案为：
（3）①点C的坐标为 ． ,
∴ 的面积为 ，
故答案为：② ，记 交 轴于点 ，
此时 ，此时最大，
设直线 为 ，
∴ ，解得 ，
直线 为 ，
令 ，则 ，
12．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与直线
相交于点 ，与 轴、 轴分别交于 两点．
(1)若点 的坐标分别为 ．直接写出下列各小题答案．
方程 的解是______．
方程组 的解是______．
不等式 的解集是______．
不等式 的解集是______．
(2)若点 的坐标分别为 ，直线 的表达式为 ，求 的面积；
(3)在（ ）的基础上，点 是 轴上的一点，且使得 是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的
点 的坐标．【答案】(1) ； ； ； ；
(2) ；
(3) 或 或 或 ．
【分析】（ ）根据交点坐标及函数图象即可求解；
（ ）利用待定系数法求出 的解析式，再联立函数解析式求出点 坐标，最后根据三角形面积公式计算
即可求解；
（ ）设点 的坐标为 ，可得 ，分点 分别为顶点三情况解答即可求解；
本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式，一次函数的交点问题，勾股定理，等腰三角形的定义，坐
标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解： ∵直线 与 轴的交点为 ，
∴方程 的解为 ，
故答案为： ；
∵直线 与直线 的交点为 ，
∴方程组 的解为 ，
故答案为： ；
由图象可得，当 时， ，
∴不等式 的解集是 ，
故答案为： ；
由函数图象可得，当 时， ，
∴不等式 的解集是 ，
故答案为： ；
（2）解：把 代入 得，
，
解得 ，
∴直线 的函数解析式为 ，
由 得， ，
∴ ，∴ ；
（3）解：设点 的坐标为
∵ ，
∴ ，
当点 为顶点时， ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴点 的坐标为 或 ；
当点 为顶点时， ，
∴点 的坐标为 ；
当点 为顶点时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
题型四、一元一次不等式与一次函数实际综合问题
13．（25-26八年级上·河南周口·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A产品需成
本100元，利润40元；生产一件B产品需成本80元，利润30元．设生产A产品x件，生产两种产品的总
利润为 元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若工厂投入的总成本不超过4600元，求最大总利润是多少？【答案】(1)
(2)1800元
【分析】此题考查了一次函数和一元一次不等式的应用，正确列出函数解析式是关键．
（1）设生产A产品x件，生产两种产品的总利润为 元．根据等于每件产品的利润乘以总数量进行列函数
解析式即可；
（2）求出自变量的取值范围，根据一次函数的增减性即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意得： ，
整理得 ，其中 且 为整数，
（2）解：根据题意可得，
化简得： ，
解得
对于 ，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时，取得最大值，
此时， （元）
答：最大总利润为1800元．
14．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）某企业拟向县青少年体育集训队捐赠一批训练用球，篮球、足球共
计80个，用于保障日常训练损耗．市场上篮球的价格为100元/个，足球的价格为80元/个，设该企业计划
捐赠x个篮球，总捐赠支出为y元．
(1)求该企业总捐赠支出y与捐赠的篮球个数x的函数表达式．
(2)若捐赠的篮球个数不少于足球的个数，求该企业总捐赠支出的最小值．
【答案】(1) （x为0到80之间的整数）
(2)当 时，y有最小值，最小值为7200元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用．一元一次不等式的应用.
（1）根据题意列出y关于x的一元一次函数即可．
（2）先根据题意求出x的取值范围，再根据一次函数的图象和性质求解即可．
【详解】（1）解：设该企业计划捐赠x个篮球，则捐赠的足球个数为 ，
根据题意可得 （x为0到80之间的整数）．
（2）解：根据题意可得 ，
解得 ．
∵ 中的 ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时，y有最小值，最小值为 元．
15．（25-26九年级上·山东济南·期末）钢城区为拓宽农产品销售渠道，助力乡村振兴．帮助农户将A、B
两种苹果加工包装成礼盒再出售，已知 件A种礼盒和2件B种礼盒的成本共 元： 件A种礼盒和4件
B种礼盒的成本共 元．
(1)求A、B两种礼盒的成本分别为多少元．
(2)某客户在展销会上想购买A、B两种苹果礼盒共 件，且A种礼盒的数量不少于B种礼盒数量的 ，
问客户购买多少件A礼盒所需费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)A种礼盒每件的成本价是 元，B种礼盒每件的成本价是 元
(2)客户购买 件A礼盒所需费用最低，最低费用是 元
【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数解决实际问题，读懂题意，理清数量关系是解题的关键；
（1）根据 件A种礼盒和2件B种礼盒的成本共 元： 件A种礼盒和4件B种礼盒的成本共 元，列
方程组即可求解；
（2）根据题意列出费用与A礼盒件数的一次函数关系式，找最值即可．
【详解】（1）解：设A种礼盒每件的成本价是 元，B种礼盒每件的成本价是 元，
根据题意得：
解得：
答：A种礼盒每件的成本价是 元，B种礼盒每件的成本价是 元
（2）解：设客户购买 件A种礼盒，则购买（ ）件B种礼盒
根据题意得：
解得： ，
设客户所需费用为 元，
由题意可得：
∴ 随着 的增大而增大；
当 时， 最小，
最小为 ，
答：客户购买 件A礼盒所需费用最低，最低费用是 元．
16．（25-26八年级上·四川达州·期末）随着2024年巴黎奥运会的火热进行，作为本届奥运会官方吉祥物
的“弗里热”也迅速火遍全球．它是法国传统的弗里吉亚帽的拟人化形象，颜色有红、蓝、白，与法国国
旗颜色吻合．奥林匹克官方旗舰店上架了以“弗里热”为图案的各种商品均深受人们的喜爱．尤其是在全
国第40个教师节来临之际，“弗里热”的玩偶和“弗里热”的钢笔作为教师节礼品销量更好，8月售出了
玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元．9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元．
(1)求“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价；
(2)已知“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的成本分别为90元/个和60元/支．进入2024年十月后，这两款
商品持续热销，于是旗舰店再购进了这两款商品共600个，其中玩偶的数量不少于200个．为回馈新老客
户，旗舰店决定对玩偶降价 后再销售，若十月份购进的这两款商品全部售出，则玩偶购进多少个时该
旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为120，80元
(2)“弗里热”玩偶购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元
【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出
二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式．
（1）设“弗里热”玩偶的销售单价为x元，“弗里热”钢笔的销售单价为y元，利用销售总额=销售单价×
销售数量，结合8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元．9月售出了玩偶300个和钢笔
200支，销售总额为52000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值，
即可作答．
【详解】（1）解：设“弗里热”玩偶的销售单价为x元，“弗里热”钢笔的销售单价为y元，
依题意得： ，
解得： ，
答：“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为120，80元
（2）解：设购进“弗里热”玩偶为m个，
则购进“弗里热”钢笔 个，该旗舰店当月销售利润为w元，
依题意得： ，
依题意， ，
解得： ，
∵ ，
∴当 时，w最大，最大值为11600，
∴“弗里热”玩偶购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．一、单选题
1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图是一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题目中的函数图象，当 时，函数的图象在 轴的上方，再写出对应 的取值范围即可．
【详解】解：由一次函数 的图象可知，
当 时， ，
故选：C．
2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）一次函数 与 的图象如图所示，当
时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数 与 的图象交点的横坐标为3，利用数形结合思想解答即
可．
本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键．
【详解】解：根据一次函数 与 的图象交点的横坐标为3，∵ ，
∴ ，
故选：B．
3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图像如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． 随x的增大而减小 B．
C．方程组 的解为 D．当 时，
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．
从函数图像中有效的获取信息，熟练掌握图像法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图像，逐一进行
判断即可．
【详解】解：A、由图可知， 随 的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；
B、由图像可知，一次函数 与y轴的交点在 的上方，即 ，故选项B正确，不符合题意；
C、把 代入 得 ，解得 ，
故方程组 的解为 ，
故选项C正确，不符合题意．
D、由图像可知：当 时， ，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
4．（25-26八年级上·福建漳州·期末）定义：我们把直线 与直线 的交点称为直线
的“互逆点”．例如求直线 的“互逆点：联立方程 ，解得 ，
则直线 的“互逆点为 ．给出下列说法：①直线 的“互逆点”为 ；②如果直
线 没有“互逆点”，那么 ；③如果直线 的互逆点是 ，则不等式 的解集是 ；④已知直线 的“互逆点”为 ，且点 ， 在直线
上，则 ；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题需根据“互逆点”的定义，逐一验证每个说法，通过联立方程求解交点、利用直线平行的条
件、代入点求参数再解不等式、根据一次函数的增减性比较函数值大小来判断对错．
【详解】解：①联立 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，代入 得 ，
∴交点为 ，即直线 的“互逆点”为 ，①正确；
②联立 ，整理得 ，
若直线无“互逆点”，则方程无解，即 ，
解得 ，并非 ，②错误；
③∵直线 的互逆点是 ，将其代入 得 ，解得 ，
不等式 即 ，
移项得 ，解得 ，并非 ，③错误；
④∵互逆点 在 上，
∴ ，解得 ，
将 、 代入 得 ，
解得 ，
直线为 ， ， 随 增大而减小，
∵ ，
∴ ，并非 ，④错误；
综上，正确的只有1个，
故选A．
二、填空题
5．（2026九年级·全国·专题练习）若一次函数 的图象如图所示，则关于 的不等式 的
解集为 ．【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式，求得一次函数与坐标轴的交点是
解题的关键．由图象可知 ，经过点 ，然后求出 ，再代入得 ，最后解不等式即
可．
【详解】解：由图象可知， ，经过点 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得：
，
即 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）一次函数 的图象与 的图象相交于点 ，若
，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先确定交点坐标 ，利用数形结合思想，根据 ，写出范围即可．
本题考查了一次函数的交点，根据交点坐标写不等式的解集，熟练掌握交点的意义是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数 的图象与 的图象相交于点 ，
∴ ，解得 ，
∴交点 ，
从函数图象上看， 表示 的图象在 图象的下方，
观察图象可知，在交点A左侧 的图象在 图象下方，
此时x的取值范围是 ．
故答案为： ．
7．（2026八年级上·陕西西安·专题练习）如图，直线 与直线 相交于点 ，则关于x
的不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式与一次函数，注意以两直线交点作为分界点去解答．
先根据直线 求出A点坐标，不等式 的解即为直线 在直线 下方部分对应
的x的范围．
【详解】解：∵ 点在 上
∴
即
故
∵ 即直线 在直线 下方，
∴由图知，此时 ．
故答案为：
8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知函数 和 的图象交于点 ，根据图象可得，
二元一次方程组 的解是 ， 的解为 ．【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点
坐标可得答案．
【详解】解：∵函数 和 的图象的交点 的坐标为 ，
∴二元一次方程组 的解是 ；
∵当 时，函数 的图象在函数 的图象上方，
∴ 的解为 ．
故答案为： ， ．
三、解答题
9．（25-26八年级上·河南郑州·月考）根据一次函数 的图象，写出下列问题的答案：
(1)关于x的方程 的解是 ；
(2)关于x的方程 的解是 ；
(3)当 时，y的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，
（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出 时对应的自变量的值即可
（3）利用函数图象写出 时对应的函数值范围即可．
【详解】（1）利用函数图象可知函数值为0时， ，
故答案为： ；
（2）利用函数图象可知 时对应的自变量的值为 ，
故答案为： ；（3）根据图象可知：当 时， ，
故答案为： ．
10．（24-25八年级下·湖南湘西·月考）如图所示，在同一坐标系中一次函数 和 的图象，
分别与 轴交于点 、 ，两直线交于点 ，已知点 坐标为 ，点 坐标为 ，观察图象并回答
下列问题：
(1)关于 的方程 的解是_____，关于 的不等式 的解集是_____．
(2)若点 坐标为 ，关于 的不等式 的解集是_____．
(3)在（2）的条件下，求 的面积．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程，数形结合思想是解题的关
键．
（1）由题意可知 ，从而求得 ；观察图象可知，当 时， 的图象在 轴的
下方，从而求得不等式 的解集；
（2）利用图象即可求出答案；
（3）利用根据三角形面积公式求出答案．
【详解】（1）解：∵一次函数 与 轴交于点 ，
，
∴关于 的方程 的解是 ，
观察图象可知，当 时， 的图象在 轴的下方，即 ，
关于 的不等式 的解集是 ；
故答案为： ， ；
（2）解：由题意可知，两直线交于点 ，观察图象可知，当 时，一次函数 的图象在
的图象的上方，
∴不等式 的解集是 ；（3）解：∵点 , 点 ，
，
坐标为 ，
∴ .
11．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）学校为奖励在全校运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种
奖品．已知购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元，购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300
元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价；
(2)学校计划购买甲、乙两种奖品共100件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分
别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？
【答案】(1)甲种奖品的单价为40元，乙种奖品的单价为30元
(2)当学校购买34件甲种奖品，66件乙种奖品时，花费最少，最小费用为3340元
【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据题意，列出方程组求解即可；
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品 件，设购买两种奖品的总费用为w元，先根据题意
列出不等式，求出m的取值范围，再求出总费用关于m的函数表达式，根据函数增减性即可进行解答．
【详解】（1）设甲种奖品的单价为 元，乙种奖品的单价为 元，
由题意可得： ，
解得： ，
故甲种奖品的单价为40元，乙种奖品的单价为30元；
（2）设购买甲种奖品 件，则购买乙种奖品 件，设购买两种奖品的总费用为 元，
依题意可得： ，
解得： ，
，
，
随 的增大而增大，
当 时， ， （元），
答：当学校购买34件甲种奖品，66件乙种奖品时，花费最少，最小费用为3340元．
12．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数 的图象与 轴分别交于 两点，与
正比例函数 交于点 ．AI
(1)关于 的方程 的解是________；
(2)关于 的二元一次方程组 的解为_______，关于 的不等式 的解集为_______；
(3)关于 的不等式 的解集为_______，不等式 的解集为_______．
【答案】(1)
(2) ；
(3) ；
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合
思想解决问题是解题的关键．
（1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可；
（2）根据两条直线的交点坐标求出方程组 的解即可；根据图象求出不等式 的解集即
可；
（3）根据一次函数 与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可．
【详解】（1）解： 一次函数 的图象与x轴交于点 ，
方程 的解是 ；
（2）解： 两直线的交点坐标为 ，
关于x，y的方程组 的解是 ；
根据函数图象可知：当 时，一次函数的图象 的图象在一次函数 的上面，
∴于 的不等式 的解集为 ；
（3）解：根据函数图象可知：当 时，一次函数的图象在x轴的上面，
∴关于 的不等式 的解集为 ；
根据函数图象可知：当 时，一次函数 的函数值小于4，
∴不等式 的解集为 ．
13．（25-26八年级上·重庆·期末）近年来，人形机器人技术在工业与生活服务领域快速发展，其产品主要
分为工业制造型与生活服务型两类．某公司准备采购工业制造型和生活服务型两类机器人．已知购进20台工业制造型机器人和60台生活服务型机器人需支付总费用4800万元；购进30台工业制造型机器人和40
台生活服务型机器人需支付总费用4400万元．
(1)每台工业制造型、生活服务型机器人的单价为多少万元？
(2)该公司计划购进这两类机器人共200台，且生活服务型机器人进货数量不低于工业制造型机器人的3倍．
根据市场定价，工业制造型机器人按进价的 倍销售，生活服务型机器人按 的利润率销售，且两种机
器人最后全部售完．设销售总利润为 万元，应如何安排进货数量，才能使 最大？最大利润为多少万元？
【答案】(1)每台工业制造型机器人单价为72万元，每台生活服务型机器人单价为56万元
(2)应安排进货工业制造型机器人50台，生活服务型机器人150台，才能使W最大，最大利润为3300万元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组和一元一次不等式的应用等知识．
（1）设每台工业制造型机器人单价为a万元，每台生活服务型机器人单价为b万元 ,根据题意列出关于
a，b的二元一次方程组求解即可得出答案．
（2）设购进工业制造型机器人x台，则生活服务型机器人 台，根据题意求出x的取值范围，再分
别求出两种机器人的利润，最后列出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每台工业制造型机器人单价为a万元，每台生活服务型机器人单价为b万元，
根据题意，得 ，
解得： ，
∴每台工业制造型机器人单价为72万元，每台生活服务型机器人单价为56万元．
（2）解：设购进工业制造型机器人x台，则生活服务型机器人 台，
且 ，
解得 又 ，故 ，
工业制造型机器人每台利润为 万元
生活服务型机器人每台利润为 万元
销售总利润
∵ ，
∴W随x增大而增大
∴当 时，W最大，最大值为 万元
此时生活服务型机器人数量为 台
答：应安排进货工业制造型机器人50台，生活服务型机器人150台，才能使W最大，最大利润为3300万
元．
14．（24-25八年级下·山西晋中·期中）【材料阅读】我们知道：二元一次方程 有无数组解，如： ， ， ……如果我们将方程的解
（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对，例如 是方程 的一个解，用一
个点 来表示．探究发现：以方程 的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的
坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示．
【问题探究】
在平面直角坐标系 中，方程 的图象是图1中的直线m，也可表示为 ．
（1）仿照材料完成下列各题：
①写出二元一次方程 的解（写出三对整数解）：_______．
②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个
方程的图象，记为直线n，也可表示为 ；请你直接写出直线m与直线n的交点M的坐标_______；
则方程组 的解是_______．
③过点 且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B两点，求出 的面积．
【问题拓展】
（2）已知关于x，y的二元一次方程组 无解，由此你猜想直线 与直线
这两条直线_______．（填位置关系）
（3）如果（2）中有存在符合题意的两条直线恰好相交，且交点坐标为 ，请你利用图2分析并直接写
出不等式 中x的取值范围_______．
【答案】（1）① ， ， ；②图象见详解， ， ；③9；（2）平行；（3）【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一次函数的图象和性质，方程组的解，解题的关键是理解题
意，数形结合，熟练掌握一次函数与方程和不等式的关系．
（1）①根据题意写出二元一次方程 的三对整数解即可；
②先描出三个点，然后再连接即可得出直线 ，根据交点位置，得出交点坐标，即可得出方程组的解；
③先求出点 的坐标，再求出 的面积即可；
（2）根据两条直线的交点坐标即为方程组的解，要使方程组无解，即两条直线无交点，根据同一平面内，
不相交的两条直线平行，即可得出答案；
（3）根据题意得出直线 经过点 ， ，画出两条直线，根据图象即可解答．
【详解】解：（1）①二元一次方程 的三对整数解为： ；（答案不唯一）
②如图，直线 即为所求，
根据图象可知：直线 与直线 的交点 的坐标 ；
则方程组 的解是 ；
③把 代入 得： ，解得： ，
，
把 代入 得： ，解得： ，
，
．
（2）∵两条直线的交点坐标即为方程组的解，
∴要使方程组无解，则需要使两条直线无交点，
∵同一平面内，不相交的两条直线平行，
∴这两条直线平行；（3）∵直线 与直线 相交，且交点坐标为 ，
令 ，则 ，故直线 经过点 ， ，
画出图象如图：
根据图象可得不等式 中x的取值范围是 ．
15．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）八年级数学社团学生在学习了“一次函数与一元一次方程、不等
式的关系”后，尝试解决其他函数的类似问题，他们将函数 确定为研究对象．请你根据以下
探究过程，解答问题．
观察探究：
（1）作出函数 的图象．
①列表：
0 1
其中，表格中 的值为__________．
②描点连线画出该函数的图象．
（2）观察函数 的图象．①当 __________时，函数 有最大值，最大值为__________．
②方程 的解是 __________．
拓展应用：
（3）已知直线 ，请结合图象，直接写出不等式 的解集为__________．
【答案】（1）①1；②见解析；（2）① ； ；②-4或2；（3）
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，数
形结合是解决本题关键．
（1）①把 代入解析式即可求得 ；②描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线．
（2）根据图象即可求得；
（3）观察图象即可得到答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
．
函数图象如图所示．
故答案为：1；
（2）解：观察函数 的图象，
①当 时，函数 有最大值，最大值为2；
②方程 的解是 或2．
故答案为： ，2； 或2；
（3）解：画出直线 如图，观察图象，不等式 的 的取值范围是 ；
故答案为： ．
16．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下面是小宇同学写的一篇数学日记，请你认真阅读并完成相应学习
任务．
用一次函数的观点认识方程（组）、不等式
任何一个以 为未知数的一元一次方程都可以变形为 的形式，所以一元一次方程的解，相
当于某个一次函数 的图象与 轴交点的横坐标．如图 ，一次函数 的图象与 轴交点的
横坐标为 ，则方程 的解为
任何一个以 为未知数的一元一次不等式都可以变形为 或 的形式，所以解一元一
次不等式，相当于求某个一次函数 的函数值大于 或小于 时，自变量 的取值范围．如图 ，
根据图象可知，一次函数 ，当 时， 的取值范围是 ，所以不等式 的解集为
；
任何一个含未知数 和 的二元一次方程，都可以改写成 （ ， 是常数， ）的形式．含未
知数 和 的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，从“数”的角度看，解这
样的方程组相当于求自变量为何值时两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这
样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．如图 ，直线 与直线 的交点 的坐
标为 ，则二元一次方程组 的解为 ．
任务：
(1)上述材料“ ”处不等式“ ”的解集为______，“ ”处二元一次方程组 的解为
______；
(2)上述材料中主要运用的数学思想是______；
A．数形结合思想 B．统计思想 C．方程思想
(3)①如图4，直线 与直线 的交点坐标火 ，则关于 ， 的二元一次方程组
的解为______；②如图 ，一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，与 轴的交点坐标为 ，则不等式
的解集为______．
【答案】(1) ，
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）结合图象即可求解；
（2）通过数形相结合的思想作答即可；
（3）①通过观察图象求解即可；
②通过观察图象求解即可．
【详解】（1）解：∵ 经过 ，
∴ 的解集为 ，
∵直线 与直线 的交点 的坐标为 ，
∴二元一次方程组 的解为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：上述材料中主要运用的数学思想是数形相结合的思想，
故选 .
（3）解：①∵直线 与直线 的交点坐标火 ，
∴关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ；
②由 关于 轴的对称点为 ，在图 中作 ，∵ 与 轴交于 ，
∴不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
