专题 02 一元一次不等式（组）
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
考点1 不等式的有关定义
※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.
¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的
关系.
※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.
非负数 <===> 大于等于 0(≥0) <===> 0 和正数 <===> 不小于 0 非正数 <===> 小于等
于 0(≤0) <===> 0 和负数 <===> 不大于 0
考点2 不等式的基本性质
（1）不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
考点3 不等式的解集
※1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组
成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
※2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不
同.
¤3. 不等式的解集在数轴上的表示:
用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:
①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;
②方向:大向右,小向左考点4 解一元一次不等式（组）
※1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,
叫做 一元一次 不 等式组 .
※2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解
集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式
解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.
2..解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式
两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.
※3. 解一元一次不等式的步骤:
①去分母;
②去括号;
③移项;
a b
④合并同类项;
⑤系数化为 1(不等号的改变问题)
※3. 解一元一次不等式组的步骤:
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集;
（2）利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.
（3）两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b 为实数,且 a<b)
一元一次不 解
图示 叙述语言表达
等式 集
x
x>b 两大取较大
a
x a b
x
x>a 两小取小
a
x
x
a<x<b 大小交叉中间找
a
x
x 在大小分离没有解
无解
a a b
x (是空集)考点5 一元一次不等式与一次函数
1.从“数”的角度看，求一元一次方程kx＋ b＝ 0 的解，相当于一次函数y
＝ kx＋ b，当 y＝0 时，求自变量 x 的值；求一元一次不等式 kx＋ b＞ 0
的解集， 相当于一次函数 y＝ kx＋ b，当 y＞ 0 时，求自变量 x 的取值范
围； 求一元一次不等式 kx＋ b＜ 0 的解集， 相当于一次函数 y＝ kx＋
b，当 y＜ 0 时，求自变量 x 的取值范围。
2.从“形”的角度看，求一元一次方程 kx＋ b＝ 0 的解，相当于确定直线 y
＝ kx＋b 与 x轴交点的横坐标； 求一元一次不等式kx＋ b＞0 的解集，相
当于确定直线y＝ kx＋ b 在 x 轴上方时的自变量 x 的取值范围；求一元一
次不等式kx＋ b＜ 0 的解集，相当于确定直线y＝ kx＋b 在 x 轴下方时的
自变量x 的取值范围。
【经典题型】
考点1不等式的有关定义
【典例1】下列式子：①﹣5＜7；②x﹣2x；③a≠2；④7y﹣6＞5y+2中是不等式的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】已知：①x+y＝1；②x＞y；③x+2y；④x2﹣y≥1；⑤x＜0，其中属于不
等式的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-2】数x不大于3是指（ ）
A．x≤3 B．x≥3 C．x＞3 D．x＜3
【变式1-3】据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是 25℃，最高气温是
32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（ ）
A．t＜32 B．t＞25 C．t＝25 D．25≤t≤32
考点2 不等式的基本性质
【典例2】a、b都是实数，且a＜b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+8＜b+8 B．4﹣a＞4﹣b C．5a＜5b D．ax＞bx
【变式2-1】若x＞y，则下列各不等式正确的是（ ）A．x+2＜y+2 B．x﹣3＜y﹣3 C． D．﹣4x＜﹣4y
【变式2-2】如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a﹣8＜b﹣8 B． C．a+8＜b+8 D．﹣8a＞﹣8b
【变式2-3】若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．﹣2a＜﹣2b B． +1＞ +1
C．a（c2+1）＞b（c2+1） D．am＜bm
考点3 不等式的解集
【典例3】不等式7x+1≤5x+5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】下列各数中，能使不等式2x+1＜3成立的是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3-2】关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ）
A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2
【变式3-3】已知点P（2m﹣3，1）在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤
【典例4】将不等式组 的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．【典例4-1】在数轴上表示不等式﹣1＜x⩽2，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例4-2】在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点3 解一元一次不等式（组）
【典例5】解不等式（组）：
（1）5x﹣2＞3（x﹣2）； （2） ．
【变式5-1】解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．【变式5-2】解不等式组： ．
【 变 式 5-3 】 解 不 等 式 组 ： ， 并 把 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 ．
考点4 一元一次不等式的整数解及含参问题
【典例6】不等式 +2＞2x﹣1的最大整数解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-1】不等式3x﹣5＞1的最小整数解是 ．
【变式6-2】不等式﹣3x﹣1≥﹣10的正整数解为 ．
【变式6-3】不等式3x﹣10≤0的非负整数解是 ．
【典例7】若关于x的不等式2x﹣a≤0只有2个正整数解，则a的取值范围是（ ）
A．4＜a＜6 B．4≤a＜6 C．4≤a≤6 D．4＜a≤6
【变式7-1】关于x的不等式3x﹣a＞6有最小整数解x＝3，则a的取值范围是（ ）
A．0＜a≤3 B．0≤a＜3 C．a＜3 D．a≤3
【变式7-2】若关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（）
A．8＜m≤12 B．8＜m＜12 C．8≤m≤12 D．8≤m＜12
【变式7-3】已知x＝2不是关于x的不等式2x﹣m＞4的整数解，x＝3是关于x的不等式2x
﹣m＞4的一个整数解，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜2 B．0≤m＜2 C．0＜m≤2 D．0≤m≤2
考点5一元一次不等式组的整数解及含参问题
【典例8】．已知关于x的不等式组 的整数解共有4个，则a的取值范围是（
）
A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3＜a＜﹣2 D．a＜﹣2
【变式8-1】已知关于x的不等式组 恰有4个整数解，则a的取值范围是（
）
A．﹣1＜a＜﹣ B．﹣1≤a≤﹣ C．﹣1＜a≤﹣ D．﹣1≤a＜﹣
【变式8-2】已知关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的取值范围是（
）
A．﹣2≤a＜﹣1 B．﹣2＜a≤1 C．﹣2＜a＜﹣1 D．a＜﹣1
【变式 8-3】如果关于 x 的不等式组 只有 5 个整数解，那么 a 的取值范围是
（ ）
A．5≤a＜6 B．5＜a≤6 C．4≤a＜5 D．4＜a≤5
【典例9】若不等式组 的解集为x＜m，则m的取值范围为（ ）
A．m≤1 B．m＝1 C．m≥1 D．m＜1
【变式9-1】若不等式组 无解，则a的取值范围是 ．【变式9-2】若关于x的不等式组 有解，则a的取值范围是 ．
考点6一元一次不等式与一次函数之间的联系
【典例10】如图，一次函数y＝2x+8的图象经过点A（﹣2，4），则不等式2x+8＞4的解
集是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜0 D．x＞0
【变式10-1】如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜
2解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
【变式10-2】一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx﹣n≥0的
解集是（ ）A．x≥2 B．x≤2 C．x≥3 D．x≤3
【变式10-3】如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（0，2），则不等式kx+b﹣2＞
0的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＜2 D．x＞2
【典例11】如图，直线y ＝x+b与y ＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x
1 2
的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1
【变式11-1】直线l ：y＝k x+b与直线l ：y＝k x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，
1 1 2 2
则关于x的不等式k x＞k x+b的解集为（ ）
2 1A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【变式11-2】如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣3，0），直线y＝ax经
过点A，则不等式ax＜kx+b的解为 ．
【变式11-3】如图，直线y＝kx+b与直线y＝﹣x相交于点A，则关于x的不等式﹣x＜kx+b
的解集为 ．
考点7 一元一次不等式的应用问题
【典例12】某次知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分．小
聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对的题数是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【变式12-1】一种新型笔记本售价2.3元/本，小华计划用班费230元购买这种笔记本100
本供班级使用．购买时恰逢店家促销活动：如果一次买 100本以上（不含100本），售
价是2.25元/本．则小华最多可买多少本？（ ）
A．100 B．101 C．102 D．103
【变式12-2】某种商品的进价为160元，出售时的标价为240元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于5%，则最多可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【变式12-3】一次知识竞赛一共有26道题，答对一题得4分、不答得0分，答错一题扣2
分，小明有1道题没答，竞赛成绩不少于88分，则小明至少答对 题．
【典例13】晶莹计划购买A、B两种饮料，若购买8瓶A种饮料和5瓶B种饮料需用220元；
若购买4瓶A种饮料和6瓶B种饮料需用152元．
（1）求每瓶A种饮料和B种饮料各多少元；
（2）晶莹决定购买A种饮料和B种饮料共15瓶，总费用不超过260元，那么最多可以
购买多少瓶A种饮料？
【变式13-1】为响应舟山市创建全国文明城市，某校决定安装垃圾分类的温馨提示牌和垃
圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌
单价的3倍．
（1）购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？
（2）如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，费用不超过8000元，问：最多购买
垃圾箱多少个？
【变式13-2】为共产党建党一百周年，某校举行”礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备
购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买 2个甲种纪念品和3个
乙种纪念品共需35元，购买1个甲种纪念品和4个乙种纪念品共需30元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元？
（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入货金不多于900元，最多买多少个甲种纪
念品？【变式13-3】某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1
盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．
（1）每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．
（2）某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可
以购买多少盒A款的文具盒？
考点8 一元一次不等式组的应用问题
【典例14】某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、
乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬
菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千
克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100千克，且投入资金不少于1160元又不
多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求有哪几种购买方案．
【典例14-1】为了落实上级关于新型冠状病毒的肺炎疫情防控工作，某校计划给每个教师
配备紫外线消毒灯和体温检测仪．已知购买1台紫外线消毒灯和2个体温检测仪要1450
元，购买2台紫外线消毒灯和1个体温检测仪需要1700元．
（1）求紫外线消毒灯和体温检测仪的单价各为多少元；
（2）根据学校实际情况，需要购买紫外线消毒灯和体温检测仪共计75件，总费用不超过38500元，且不少于37500元，该校共有几种购买方案？
【典例14-2】某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：获
利＝售价﹣进价）
甲 乙
进价（元/件） 15 35
售价（元/件） 20 45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少
件？
（2）若商店计划投入资金少于4290元，且销售完这批商品后获利多于 1260元，请问
共有几种购货方案？
【典例14-3】在国家精准扶贫政策下，某乡村大力发展乡村旅游，为了满足游客的需求，
某商户决定购进A，B两种特产来进行销售．
（1）若购进A种特产8件，B种特产3件，需要950元；购进A种特产5件，B种特产
6件，需要800元．求购进A，B两种特产每件分别需要多少元？
（2）若该商户决定购进A，B两种特产共100件，考虑市场需求和资金周转，A种特产
至少需购进50件，用于购买这100件特产的总资金不能超过7650元，请问该商户最多
可购进A种特产多少件？专题 02 一元一次不等式（组）
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
考点1 不等式的有关定义
※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.
¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的
关系.
※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.
非负数 <===> 大于等于 0(≥0) <===> 0 和正数 <===> 不小于 0 非正数 <===> 小于等
于 0(≤0) <===> 0 和负数 <===> 不大于 0
考点2 不等式的基本性质
（1）不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（4）不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
考点3 不等式的解集
※1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组
成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
※2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不
同.
¤3. 不等式的解集在数轴上的表示:
用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:
①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;
②方向:大向右,小向左考点4 解一元一次不等式（组）
※1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,
叫做 一元一次 不 等式组 .
※2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解
集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式
解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.
2..解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式
两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.
※3. 解一元一次不等式的步骤:
①去分母;
②去括号;
a b
③移项;
④合并同类项;
⑤系数化为 1(不等号的改变问题)
※3. 解一元一次不等式组的步骤:
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集;
（2）利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.
（3）两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b 为实数,且 a<b)
一元一次不 解
图示 叙述语言表达
等式 集
x
x>b 两大取较大
a
x a b
x
x>a 两小取小
a
x
x
a<x<b 大小交叉中间找
a
x
x 在大小分离没有解
无解
a a b
x (是空集)考点5 一元一次不等式与一次函数
1.从“数”的角度看，求一元一次方程kx＋ b＝ 0 的解，相当于一次函数y
＝ kx＋ b，当 y＝0 时，求自变量 x 的值；求一元一次不等式 kx＋ b＞ 0
的解集， 相当于一次函数 y＝ kx＋ b，当 y＞ 0 时，求自变量 x 的取值范
围； 求一元一次不等式 kx＋ b＜ 0 的解集， 相当于一次函数 y＝ kx＋
b，当 y＜ 0 时，求自变量 x 的取值范围。
2.从“形”的角度看，求一元一次方程 kx＋ b＝ 0 的解，相当于确定直线 y
＝ kx＋b 与 x轴交点的横坐标； 求一元一次不等式kx＋ b＞0 的解集，相
当于确定直线y＝ kx＋ b 在 x 轴上方时的自变量 x 的取值范围；求一元一
次不等式kx＋ b＜ 0 的解集，相当于确定直线y＝ kx＋b 在 x 轴下方时的
自变量x 的取值范围。
【经典题型】
考点1不等式的有关定义
【典例1】下列式子：①﹣5＜7；②x﹣2x；③a≠2；④7y﹣6＞5y+2中是不等式的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：：①﹣5＜7，是不等式；
②x﹣2x不含不等号，不是不等式；
③a≠2，是不等式；
④7y﹣6＞5y+2，是不等式．
所以不等式有3个，
故选：C．
【变式1-1】已知：①x+y＝1；②x＞y；③x+2y；④x2﹣y≥1；⑤x＜0，其中属于不
等式的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：①x+y＝1是等式；
②x＞y符合不等式的定义；③x+2y是多项式；
④x2﹣y≥1符合不等式的定义；
⑤x＜0符合不等式的定义；
故选：B．
【变式1-2】数x不大于3是指（ ）
A．x≤3 B．x≥3 C．x＞3 D．x＜3
【答案】A
【解答】解：数x不大于3是指x≤3；
故选：A．
【变式1-3】据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是 25℃，最高气温是
32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（ ）
A．t＜32 B．t＞25 C．t＝25 D．25≤t≤32
【答案】D
【解答】解：根据今天的最低气温是25℃可得：t≥25，
根据最高气温是32℃可得：t≤32，
则气温范围是：25≤t≤32，
故选：D．
考点2 不等式的基本性质
【典例2】a、b都是实数，且a＜b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+8＜b+8 B．4﹣a＞4﹣b C．5a＜5b D．ax＞bx
【答案】D
【解答】解：A、在不等式a＜b的两边都加上8，不等号的方向不变，即a+8＜b+8，原
变形正确，故本选项不符合题意；
B、在不等式a＜b的两边都乘﹣1，再加上4，不等号的方向改变，即4﹣a＞4﹣b，原
变形正确，故本选项不符合题意；
C、在不等式a＜b的两边都乘5，不等号的方向不变，即5a＜5b，原变形正确，故本选
项不符合题意；
D、在不等式a＜b的两边都乘x，不等号的方向改变，即ax＞bx，必须规定x＜0，原变
形错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式2-1】若x＞y，则下列各不等式正确的是（ ）A．x+2＜y+2 B．x﹣3＜y﹣3 C． D．﹣4x＜﹣4y
【答案】D
【解答】解：A、不等式x＞y的两边同时加上2，不等号的方向不变，即x+2＞y+2，故
此选项不符合题意；
B、不等式x＞y的两边同时减去3，不等号的方向不变，即x﹣3＞y﹣3，故此选项不符
合题意；
C、不等式x＞y的两边同时除以2，不等号的方向不变，即 ＞ ，故此选项不符合题
意；
D、不等式x＞y的两边同时加上2，不等号的方向改变，即﹣4x＜﹣4y，故此选项符合
题意．
故选：D．
【变式2-2】如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a﹣8＜b﹣8 B． C．a+8＜b+8 D．﹣8a＞﹣8b
【答案】B
【解答】解：A、不等式的两边都减去8，不等号的方向不变，故A错误，不符合题意；
B、不等式的两边都除以8，不等号的方向不变，故B正确，符合题意；
C、不等式的两边都加上8，不等号的方向不变，故C错误，不符合题意；
D、不等式两边除以﹣8，不等号的方向改变，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【变式2-3】若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．﹣2a＜﹣2b B． +1＞ +1
C．a（c2+1）＞b（c2+1） D．am＜bm
【答案】D
【解答】解：A．∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，原变形正确，故此选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴ +1＞ +1，原变形正确，故此选项不符合题意；
C．a＞b，不妨设a＝1，b＝﹣2，∴a（c2+1）＞b（c2+1），原变形正确，故此选项不符合题意；
D．∵a＞b，
∴am＜bm，此时必须规定m＜0，原变形不一定正确，故此选项符合题意．
故选：D．
考点3 不等式的解集
【典例3】不等式7x+1≤5x+5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：移项，得：7x﹣5x≤5﹣1，
合并同类项，得：2x≤4，
系数化为1，得：x≤2，
故选：B．
【变式3-1】下列各数中，能使不等式2x+1＜3成立的是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解答】解：由2x+1＜3，
解得x＜1，
所以不等式的解集为x＜1，
因为0＜1，1＝1，2＞1，3＞1，
故选：A．
【变式3-2】关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ）
A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2
【答案】B
【解答】解：观察数轴可得该不等式的解集为x≤2．
故选：B．
【变式3-3】已知点P（2m﹣3，1）在第二象限，则m的取值范围是（ ）A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤
【答案】B
【解答】解：根据题意，得2m﹣3＜0，
解得m＜ ，
故选：B．
【典例4】将不等式组 的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：不等式组 的解集为x≥2，
在数轴上表示为：
故选：A．
【典例4-1】在数轴上表示不等式﹣1＜x⩽2，其中正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解答】解：“＞”空心圆圈向右画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
故在数轴上表示不等式﹣1＜x⩽2如下：
故选：A．
【典例4-2】在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：x≥﹣2在数轴上表示时用实心点，而x＜3则用空心点，
因此选项B中的表示方法符合题意，
故选：B．
考点3 解一元一次不等式（组）
【典例5】解不等式（组）：
（1）5x﹣2＞3（x﹣2）； （2） ．
【答案】（1）x＞﹣2； （2)﹣ ≤x＜2．【解答】解：（1）去括号，得：5x﹣2＞3x﹣6，
移项，得：5x﹣3x＞﹣6+2，
合并同类项，得：2x＞﹣4，
系数化为1，得：x＞﹣2；
（2）解不等式3x+6≥4，得：x≥﹣ ，
解不等式 ＞2x﹣1，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣ ≤x＜2．
【变式5-1】解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣1＜x≤2
【解答】解：解不等式2x+5＞3，得：x＞﹣1，
解不等式1﹣2x≥﹣3，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【变式5-2】解不等式组： ．
【答案】
【解答】解： ，
解不等式①，得x≥2．
解不等式②，得x＜7．
故不等式组的解集是2≤x＜7．
【 变 式 5-3 】 解 不 等 式 组 ： ， 并 把 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 ．【答案】﹣3＜x≤2
【解答】解：解不等式1+x＞﹣2，得：x＞﹣3，
解不等式 ≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
考点4 一元一次不等式的整数解及含参问题
【典例6】不等式 +2＞2x﹣1的最大整数解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解；去分母得：x+2+4＞4x﹣2，
移项合并得：﹣3x＞﹣8，
系数化为1得：x＜ ，
则不等式的最大整数解为2，
故选：B．
【变式6-1】不等式3x﹣5＞1的最小整数解是 ．
【答案】3
【解答】解：解不等式3x﹣5＞1，
移项得：3x＞1+5，
则3x＞6，
∴x＞2，
则最小的整数是3，
故答案为：3．
【变式6-2】不等式﹣3x﹣1≥﹣10的正整数解为 ．
【答案】 1 、 2 、 3
【解答】解：﹣3x﹣1≥﹣10，﹣3x≥﹣10+1，
﹣3x≥﹣9，
x≤3，
所以不等式﹣3x﹣1≥﹣10的正整数解为是1、2、3，
故答案为：1、2、3．
【变式6-3】不等式3x﹣10≤0的非负整数解是 ．
【答案】 0 ， 1 ， 2 ， 3
【解答】解：解不等式3x﹣10≤0可得：x≤ ，
∴不等式3x﹣10≤0的非负整数解为0、1、2、3；
故答案为：0、1、2、3．
【典例7】若关于x的不等式2x﹣a≤0只有2个正整数解，则a的取值范围是（ ）
A．4＜a＜6 B．4≤a＜6 C．4≤a≤6 D．4＜a≤6
【答案】B
【解答】解：解不等式2x﹣a≤0得：x≤ ，
根据题意得：2≤ ＜3，
解得：4≤a＜6．
故选：B．
【变式7-1】关于x的不等式3x﹣a＞6有最小整数解x＝3，则a的取值范围是（ ）
A．0＜a≤3 B．0≤a＜3 C．a＜3 D．a≤3
【答案】B
【解答】解：由3x﹣a＞6，得：x＞ ，
∵不等式有最小整数解x＝3，
∴2≤ ＜3，
解得0≤a＜3，
故选：B．
【变式7-2】若关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（
）
A．8＜m≤12 B．8＜m＜12 C．8≤m≤12 D．8≤m＜12【答案】D
【解答】解：解不等式4x+m≥0得：x≥﹣ ，
∵关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，一定是﹣1和﹣2，
根据题意得：﹣3＜﹣ ≤﹣2，
解得：8≤m＜12．
故选D．
【变式7-3】已知x＝2不是关于x的不等式2x﹣m＞4的整数解，x＝3是关于x的不等式2x
﹣m＞4的一个整数解，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜2 B．0≤m＜2 C．0＜m≤2 D．0≤m≤2
【答案】B
【解答】解：由2x﹣m＞4得x＞ ，
∵x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解，
∴ ≥2，
解得m≥0；
∵x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，
∴ ＜3，
解得m＜2，
∴m的取值范围为0≤m＜2，
故选：B．
考点5一元一次不等式组的整数解及含参问题
【典例8】．已知关于x的不等式组 的整数解共有4个，则a的取值范围是（
）
A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3＜a＜﹣2 D．a＜﹣2
【答案】B
【解答】解：解不等式组 得：a≤x＜ ，∵不等式组的整数解共有4个，
∴不等式组的整数解分别为：﹣2，﹣1，0，1，
∴﹣3＜a≤﹣2，
故选：B．
【变式8-1】已知关于x的不等式组 恰有4个整数解，则a的取值范围是（
）
A．﹣1＜a＜﹣ B．﹣1≤a≤﹣ C．﹣1＜a≤﹣ D．﹣1≤a＜﹣
【答案】D
【解答】解：解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，
解不等式 x﹣a＞0，得：x＞2a，
∵不等式组恰有4个整数解，
∴﹣2≤2a＜﹣1，
解得﹣1≤a＜﹣ ，
故选：D．
【变式8-2】已知关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的取值范围是（
）
A．﹣2≤a＜﹣1 B．﹣2＜a≤1 C．﹣2＜a＜﹣1 D．a＜﹣1
【答案】A
【解答】解：不等式组整理得： ，
解得：a＜x＜ ，
由不等式组的整数解共有3个，得到整数解为﹣1，0，1，
则a的范围为﹣2≤a＜﹣1．
故选：A．【变式 8-3】如果关于 x 的不等式组 只有 5 个整数解，那么 a 的取值范围是
（ ）
A．5≤a＜6 B．5＜a≤6 C．4≤a＜5 D．4＜a≤5
【答案】C
【解答】解：∵关于x的不等式组 只有5个整数解，
∴此不等式组的整数解分别为0、1、2、3、4，
∴4≤a＜5，
故选：C．
【典例9】若不等式组 的解集为x＜m，则m的取值范围为（ ）
A．m≤1 B．m＝1 C．m≥1 D．m＜1
【答案】A
【解答】解： ，
∵不等式组的解集为x＜m，
∴m≤1．
故选：A．
【变式9-1】若不等式组 无解，则a的取值范围是 ．
【答案】 a ≤﹣ 3
【解答】解：因为不等式组 无解，
所以a≤﹣3，
故答案为：a≤﹣3
【变式9-2】若关于x的不等式组 有解，则a的取值范围是 ．
【答案】 a ＞ 3【解答】解：由题意，得
a＞3，
故答案为：a＞3．
考点6一元一次不等式与一次函数之间的联系
【典例10】如图，一次函数y＝2x+8的图象经过点A（﹣2，4），则不等式2x+8＞4的解
集是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜0 D．x＞0
【答案】B
【解答】解：由图象可得：当x＞﹣2时，2x+8＞4，
所以不等式2x+8＞4的解集为x＞﹣2，
故选：B．
【变式10-1】如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜
2解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
【答案】B
【解答】解：由图象可得当x＜﹣3时，y＜2，
∴kx+b＜2解集为x＜﹣3．
故选：B．
【变式10-2】一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx﹣n≥0的
解集是（ ）A．x≥2 B．x≤2 C．x≥3 D．x≤3
【答案】D
【解答】解：由图象知：不等式mx﹣n≥0的解集是x≤3，
故选：D．
【变式10-3】如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（0，2），则不等式kx+b﹣2＞
0的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＜2 D．x＞2
【答案】A
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（0，2），
∴不等式kx+b﹣2＞0即kx+b＞2的解集是x＞0，
故选：A．
【典例11】如图，直线y ＝x+b与y ＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x
1 2
的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ ）A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1
【答案】B
【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，
即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故选：B．
【变式11-1】直线l ：y＝k x+b与直线l ：y＝k x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，
1 1 2 2
则关于x的不等式k x＞k x+b的解集为（ ）
2 1
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【答案】D
【解答】解：当x＜﹣1时，k x＞k x+b，
2 1
所以不等式k x＞k x+b的解集为x＜﹣1．
2 1
故选：D．
【变式11-2】如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣3，0），直线y＝ax经
过点A，则不等式ax＜kx+b的解为 ．
【答案】 x ＜﹣ 2
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝ax相交于点A（﹣2，﹣3），∴观察图象得：当x＜﹣2时，ax＜kx+b，
∴不等式ax＜kx+b的解集为x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【变式11-3】如图，直线y＝kx+b与直线y＝﹣x相交于点A，则关于x的不等式﹣x＜kx+b
的解集为 ．
【答案】 x ＞﹣ 1
【解答】解：把y＝1代入y＝﹣x得，x＝﹣1，
根据图象可得：关于x的不等式﹣x＜kx+b的解集为：x＞﹣1，
故答案为：x＞﹣1．
考点7 一元一次不等式的应用问题
【典例12】某次知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分．小
聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对的题数是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【解答】解：设小聪答对了x道题，则答错了（20﹣1﹣x）道题，
依题意，得：5x﹣2（20﹣1﹣x）＞80，
解得：x＞16 ，
∵x为正整数，
∴x的最小值为17，即小聪至少答对的题数是17，
故选：C．
【变式12-1】一种新型笔记本售价2.3元/本，小华计划用班费230元购买这种笔记本100
本供班级使用．购买时恰逢店家促销活动：如果一次买 100本以上（不含100本），售
价是2.25元/本．则小华最多可买多少本？（ ）
A．100 B．101 C．102 D．103
【答案】C【解答】解：设小华可买x本笔记本，
依题意得，2.25x≤230，
解得x≤102 ，
答：最多买笔记本102本．
故选：C．
【变式12-2】某种商品的进价为160元，出售时的标价为240元，后来由于该商品积压，
商店准备打折出售，但要保持利润不低于5%，则最多可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【答案】B
【解答】解：设打了x折，
由题意得240×0.1x﹣160≥160×5%，
解得：x≥7．
答：至多可打7折．
故选：B．
【变式12-3】一次知识竞赛一共有26道题，答对一题得4分、不答得0分，答错一题扣2
分，小明有1道题没答，竞赛成绩不少于88分，则小明至少答对 题．
【答案】 23 道
【解答】解：设小明答对x道题，则答错（26﹣1﹣x）道题，
依题意得：4x﹣2（26﹣1﹣x）≥88，
解得：x≥23，
∴小明至少答对23道题．
故答案为：23道．
【典例13】晶莹计划购买A、B两种饮料，若购买8瓶A种饮料和5瓶B种饮料需用220元；
若购买4瓶A种饮料和6瓶B种饮料需用152元．
（1）求每瓶A种饮料和B种饮料各多少元；
（2）晶莹决定购买A种饮料和B种饮料共15瓶，总费用不超过260元，那么最多可以
购买多少瓶A种饮料？
【答案】(1） A种饮料20元，每瓶B种饮料12元． （2）10瓶A种饮料．
【解答】解：（1）设每瓶A种饮料x元，每瓶B种饮料y元，依题意得： ，
解得： ．
答：每瓶A种饮料20元，每瓶B种饮料12元．
（2）设可以购买m瓶A种饮料，则可以购买（15﹣m）瓶B种饮料，
依题意得：20m+12（15﹣m）≤260，
解得：m≤10．
答：最多可以购买10瓶A种饮料．
【变式13-1】为响应舟山市创建全国文明城市，某校决定安装垃圾分类的温馨提示牌和垃
圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌
单价的3倍．
（1）购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？
（2）如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，费用不超过8000元，问：最多购买
垃圾箱多少个？
【答案】（1）1个温馨提示牌需要50元，购买1个垃圾箱需要150元；
（2） 30个．
【解答】解：（1）设购买1个温馨提示牌需要x元，购买1个垃圾箱需要y元，依题意
得，
，
解得： ，
所以，购买1个温馨提示牌需要50元，购买1个垃圾箱需要150元；
（2）设购买垃圾箱m个，则购买温馨提示牌（100﹣m）个，依题意得：
50（100﹣m）+150m≤8000，
解得：m≤30，
答：最多购买垃圾箱30个．
【变式13-2】为共产党建党一百周年，某校举行”礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备
购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买 2个甲种纪念品和3个乙种纪念品共需35元，购买1个甲种纪念品和4个乙种纪念品共需30元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元？
（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入货金不多于900元，最多买多少个甲种纪
念品？
【答案】（1）购买一个甲种纪念品需10元，一个乙种纪念品需5元．
（2）80个
【解答】解：（1）设购买一个甲种纪念品需x元，一个乙种纪念品需y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：购买一个甲种纪念品需10元，一个乙种纪念品需5元．
（2）设购买m个甲种纪念品，则购买（100﹣m）个乙种纪念品，
依题意得：10m+5（100﹣m）≤900，
解得：m≤80．
答：最多买80个甲种纪念品．
【变式13-3】某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1
盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．
（1）每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．
（2）某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可
以购买多少盒A款的文具盒？
【答案】（1） A款的文具盒为6元，每盒B款的文具盒为4元；
（2）25盒A款的文具盒．
【解答】解：（1）设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，
由题意得： ，
解得： ，
答：每盒A款的文具盒为6元，每盒B款的文具盒为4元；
（2）设该班购买m盒A款的文具盒，
由题意得：6m+4（40﹣m）≤210，解得：m≤25，
答：该班最多可以购买25盒A款的文具盒．
考点8 一元一次不等式组的应用问题
【典例14】某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、
乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬
菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千
克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100千克，且投入资金不少于1160元又不
多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求有哪几种购买方案．
【答案】（1）m的值为10，n的值为14． （2）3种购买方案，
【解答】解：（1）依题意得： ，
解得： ．
答：m的值为10，n的值为14．
（2）∵该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，购进甲种蔬菜x千克（x正整
数），
∴每天购进乙种蔬菜（100﹣x）千克．
依题意得： ，
解得：58≤x≤60．
又∵x为正整数，
∴x可以为58，59，60，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；
方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；
方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．
【典例14-1】为了落实上级关于新型冠状病毒的肺炎疫情防控工作，某校计划给每个教师
配备紫外线消毒灯和体温检测仪．已知购买1台紫外线消毒灯和2个体温检测仪要1450
元，购买2台紫外线消毒灯和1个体温检测仪需要1700元．
（1）求紫外线消毒灯和体温检测仪的单价各为多少元；（2）根据学校实际情况，需要购买紫外线消毒灯和体温检测仪共计75件，总费用不超
过38500元，且不少于37500元，该校共有几种购买方案？
【答案】（1）紫外线消毒灯的单价为650元，体温检测仪的单价为400元；
（2）5种购买方案．
【解答】解：（1）设紫外线消毒灯的单价为x元，体温检测仪的单价为y元，
由题意得： ，
解得： ，
答：紫外线消毒灯的单价为650元，体温检测仪的单价为400元；
（2）设购买紫外线消毒灯m台，则购买体温检测仪（75﹣m）个，
由题意得： ，
解得：30≤m≤34，
∵m为正整数，
∴m＝30或m＝31或m＝32或m＝33或m＝34，
∴该校有5种购买方案．
【典例14-2】某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：获
利＝售价﹣进价）
甲 乙
进价（元/件） 15 35
售价（元/件） 20 45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少
件？
（2）若商店计划投入资金少于4290元，且销售完这批商品后获利多于 1260元，请问
共有几种购货方案？
【答案】（1）甲种商品购进100件，乙种商品购进60件 （2）两种购货方案
【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
根据题意得： ，解得： ．
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件．
根据题意得： ，
解得：65.5＜a＜68．
∵a为非负整数，
∴a取66，67，
∴160﹣a相应取94，93．
答：有两种购货方案：方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲
种商品购进67件，乙种商品购进93件．
【典例14-3】在国家精准扶贫政策下，某乡村大力发展乡村旅游，为了满足游客的需求，
某商户决定购进A，B两种特产来进行销售．
（1）若购进A种特产8件，B种特产3件，需要950元；购进A种特产5件，B种特产
6件，需要800元．求购进A，B两种特产每件分别需要多少元？
（2）若该商户决定购进A，B两种特产共100件，考虑市场需求和资金周转，A种特产
至少需购进50件，用于购买这100件特产的总资金不能超过7650元，请问该商户最多
可购进A种特产多少件？
【答案】（1）A种特产每件需要100元，购进B种特产每件需要50元．
（2）A种特产53件．
【解答】解：（1）设购进A种特产每件需要x元，购进B种特产每件需要y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：购进A种特产每件需要100元，购进B种特产每件需要50元．
（2）设该商户购进A种特产m件，则购进B种特产（100﹣m）件，
依题意得： ，解得：50≤m≤53．
答：该商户最多可购进A种特产53件．
