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专题 02 一次函数与三角形综合问题的三种模型
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题型一：一次函数与三角形的面积问题..................................................................................................................1
题型二：一次函数与三角形全等问题....................................................................................................................10
题型三：一次函数与三角形存在问题....................................................................................................................23
题型一：一次函数与三角形的面积问题
1．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）若直线 与直线 相交于x轴上一点，则这两条
直线与y轴所围成的三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图1，在 中， ，点P从点A出发沿A→C→B以
的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时， 的面积 随时间 变化的函数图象，则
该三角形的斜边 的长为（ ）
A．3 B． C． D．9
3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）若直线 与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的
值为 ．
4．（24-25八年级下·北京·期中）若直线 与两条坐标轴围成的三角形的面积是2，则k的值为
．
5．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，已知一次函数
的图象与 轴、 轴的交点分别为点A和点B．(1)求 的周长；
(2)如果直线l经过线段 的中点C，且与直线 平行，求直线l、直线 与 轴围成的三角形的
面积．
6．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做
此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，则 为此函
数的坐标三角形．
(1)求函数 的坐标三角形的面积；
(2)若函数 （b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积．
7．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是
的中点．
(1)求点C的坐标；
(2)在x轴上找一点D，使得 ，求点D的坐标；
(3)点P在y轴上，且三角形 的面积是三角形 面积的2倍，直接写出点P的坐标．
8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 与x
轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标 ，三角形 的面积是4．(1)求点B的坐标；
(2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标 ，连接 ，点E是x轴正半轴
上一点，且 ，连接 ．
①如图2，若三角形 的面积是8，求m的值；
②如图3，点F是线段 上一点（点F与点B，点O不重合），连接 ， ，当四边形 的面积
与三角形 的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形 的面积，并说明理由．
9．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中， ，且 满足
，连接 交 轴于点C， 在 轴的负半轴上，过点 作直线 的平
行线交 轴于点 ．
(1)求 的值；
(2)如图1，若 轴上存在一点 ，使得三角形 的面积为8，求出点 的坐标；
(3)如图2，点 为直线 上一点，使得 ．且点 在第二象限（ 表示三角形 的面
积）
①求点 的坐标；（提示：可以去思考一下 与 面积的关系
②求点 的坐标（用含 的式子表示）．
题型二：一次函数与三角形全等问题
10．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线 ： 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（ ）个点Q，使得以
O、P、Q为顶点的三角形与 全等．A．2 B．4 C．5 D．6
11．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线
于点A．若点C是射线 上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三
角形与 全等，则 的长为（ ）
A．3或 B．4或 C．3或 D．4或
12．（23-24八年级上·江西九江·期中）如图，直线 的解析式为 分别与 ， 轴交于 ， 两
点，点 的坐标为 ，过点 的直线交 轴负半轴于点 ，且 ．在 轴上方存在点 ，使
以点 ， ， 为顶点的三角形与 全等，则点 的坐标为 ．
13．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，射
线 于点 ，若点 是射线 上一动点，点 是 轴上的一动点，若以 ， ， 为顶点的三角
形与 全等，则点 的坐标为14．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，直线 分别交 轴， 轴于点 ， ，点
，动点 从点 出发以每秒1个单位的速度沿 轴负方向移动，设点 的移动时间为 秒．
(1)求 ， 两点的坐标．
(2)设 的面积为 ，当 时，求 关于 的函数表达式．
(3)当 为何值时， 与 全等．
15．（24-25八年级上·江苏·期末）如图：直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， ，点
是直线 上与 、 不重合的动点．
(1)求直线 的解析式；
(2)作直线 ，当点 运动到什么位置时， 的面积被直线 分成 的两部分；
(3)过点 的另一直线 与 轴相交于 点，是否存在点 使 与 全等？若存在，求出点 的
坐标；若不存在，说明理由．
16．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线
经过点 ， ．
(1)求直线 与 的函数解析式．
(2)求 的面积．(3)如图2， 是线段 上的一动点， 是线段 上的一动点，连接 ， ， ．若 与
全等，求点 的坐标．
题型三：一次函数与三角形存在问题
17．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图， ，且m ，n满足 ，直线
恰好是一次函数 的图象， 轴于B．
(1)求点C的坐标，并求 的周长；
(2)在y轴上是否存在点P，使得 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、
轴分别交于点 、点 ，点 在 轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴正半轴上
的点 处．
(1)求点 和点 的坐标以及 的长；
(2)求点 和点 的坐标；
(3) 轴上是否存在一点 ，使得 ，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在以A为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形 ，
， ，且 ．E是 边上的一点，且 ，动点P从点A出发，以每秒2
个单位长度的速度沿 运动，最终到达点C．设点P运动的时间为t秒．(1)填空： ________， ________；
(2)求出点P在运动过程中三角形 的面积S（用含t的式子表示）；
(3)是否存在一点P，使三角形 的面积等于20？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
20．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点
，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．
(1)如图1，连接 ，求 的面积．
(2)如图2，在直线 上存在点 ，使得 ，求点 的坐标．
21．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 与 轴交
于点 ，与 轴交于点A．
(1)求A、 两点的坐标；
(2)若在直线 上有一点 ，使得 的面积为9，求点 的坐标；
(3)如图2，点 为线段 中点，过点 作 轴，垂足为 ，若点 为 轴负半轴上一点，连接
交 轴于点 ，且 ，在直线 上有一点 ，使得 最小，求 点坐标；(4)如图3，直线 上存在点 使得 ，请直接写出点 的坐标．
22．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型建立】
如图1，等腰直角三角形 中， ，直线 经过点C，过A作 于点D，过
B作 于点E，易证明 （无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就
利用这个模型来解决一些问题：
【模型运用】
(1)如图1，若 ，则 的面积为 ；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰 ，点C的坐标为 ，A点的坐
标为 ，求 与y轴交点D的坐标；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线 函数关系式为： ，点 ，在直线 上是否存在点B，
使直线 与直线 的夹角为 ？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
