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专题 02 一次函数与三角形综合问题的三种模型
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题型一：一次函数与三角形的面积问题..................................................................................................................1
题型二：一次函数与三角形全等问题....................................................................................................................10
题型三：一次函数与三角形存在问题....................................................................................................................23
题型一：一次函数与三角形的面积问题
1．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）若直线 与直线 相交于x轴上一点，则这两条
直线与y轴所围成的三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，两条直线在x轴上相交，先求出交点坐标，再确定参数b
的值，接着找到两直线与y轴的交点，最后利用三角形面积公式求解．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，
∴直线 于x轴的交点为 ，
∵该点也在直线 上，
代入得 ，解得 ，
∴直线方程为 ．
∵直线 与y轴交点为 时， ，即 ．
直线 与y轴交点为 时， ，即 ．
∴三角形的三个顶点为 、 和 ．
∴三角形的 ；故选A．
2．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图1，在 中， ，点P从点A出发沿A→C→B以
的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时， 的面积 随时间 变化的函数图象，则
该三角形的斜边 的长为（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】B
【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，由图象可知，当 时， 面
积最大值为9，此时当点P运动到点C，得到 ， 根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由图象可知，当 时， 面积最大值为9，
由题意可得，当点P运动到点C时， 的面积最大，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
故选：B．
3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）若直线 与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的
值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角
形的面积公式，得出 是解题的关键．
设直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B
的坐标，进而可得出 的长，再结合直线 与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，可得出
关于m的方程，解之即可得出m的值．
【详解】解：设直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当 时， ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ，∴ ；
当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴m的值为 ．
故答案为： ．
4．（24-25八年级下·北京·期中）若直线 与两条坐标轴围成的三角形的面积是2，则k的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
先判断出 ，再求出直线与两条坐标轴的交点坐标，然后利用直角三角形的面积公式即可得．
【详解】解：由题意得： ，
当 时， ，解得 ，
即直线 与 轴的交点坐标为 ，
当 时， ，即直线 与 轴的交点坐标为 ，
则 ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，
故答案为： ．
5．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，已知一次函数
的图象与 轴、 轴的交点分别为点A和点B．(1)求 的周长；
(2)如果直线l经过线段 的中点C，且与直线 平行，求直线l、直线 与 轴围成的三角形的
面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要是考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）由题意易得 ，根据勾股定理求 的长，问题可求解；
（2）设 ，由题意易得 ，然后可得直线l的表达式为 ，进而问题可求解
【详解】（1）解：令 时，则有 ，令 时，则有 ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ；
（2）解：∵点 在直线 上，可设 ．
∵点 是 中点，
∴ ．
∴ ，
解得， ， ，
经检验 ， 均是原方程的根，但是 ，
∴ 符合题意， 不符合题意（舍去），
即 ，
依题意可设直线l的表达式为 ．
把 代入 中，得 ，∴ ．
∴直线l的表达式为 ，
设直线l与 轴的交点为点D，
∴点D的坐标为 ，
∴ ．
过 作 轴，垂足为点 ，
∴ ．那么直线l、直线 与 轴围成的三角形的面积为
6．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做
此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，则 为此函
数的坐标三角形．
(1)求函数 的坐标三角形的面积；
(2)若函数 （b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积．
【答案】(1)4.5
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，
对于（1），分别求出直线与坐标轴的交点坐标，进而可得三角形的面积；
对于（2），先用b表示的函数与x轴，y轴的交点，进而得到两交点之间的距离，根据b的取值以及三角
形的周长为16可得b的值，进而求得三角形的面积．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴的交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ，
∴函数 的坐标三角形的面积为 ；
（2）解：直线 与x轴的交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ，
根据勾股定理，得坐标三角形的斜边的长为 ，
当 时， ，得 ，此时，坐标三角形面积为 ；
当 时， ，得 ，此时，三角形面积 ．
综上，当函数 的坐标三角形周长为16时，面积为 ．
7．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是
的中点．(1)求点C的坐标；
(2)在x轴上找一点D，使得 ，求点D的坐标；
(3)点P在y轴上，且三角形 的面积是三角形 面积的2倍，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，利用数形结合的思想解决问题是本题的关键．
（1）先求出点B的坐标，再依据点C是的中点，求出点C的坐标．
（2）先根据题意求出 ，设点 ，则 ，再根据三角形面积公式可求的长，解得m的
值，即可得出点D的坐标．
（3）设点P的坐标为 ，根据 ，求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 与y轴交于点B，
令 得， ，
∴ ，
∴ ，
∵点C是 的中点，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵直线 与x轴交于点A，
令 得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设点 ，则 ，∴ ，
解得 或 ，
∴点D的坐标为 或 ；
（3）解：设点P的坐标为 ，
∵ ，即 ，
，
，即
点 的坐标为 或 ．
8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 与x
轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标 ，三角形 的面积是4．
(1)求点B的坐标；
(2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标 ，连接 ，点E是x轴正半轴
上一点，且 ，连接 ．
①如图2，若三角形 的面积是8，求m的值；
②如图3，点F是线段 上一点（点F与点B，点O不重合），连接 ， ，当四边形 的面积
与三角形 的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形 的面积，并说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）首先得到 ，然后根据三角形 的面积是4得到 ，即可求解；
（2）①首先得到 ，然后表示出 ，然后根据三角形 的面积是8
得到 ，即可求解；
②设 ，则 ， ，然后根据题意得到 ，代入得到 ，
然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵A点坐标 ，∴
∵三角形 的面积是4．
∴
∴
∴ ；
（2）解：①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标 ，
∴
∴
∴
∴
∵三角形 的面积是8
∴ ，即
∴ ；
②∵点F是线段 上一点（点F与点B，点O不重合），
∴设
∴ ，
∵四边形 的面积与三角形 的面积相等
∴
∴
∴
∴
∴
∴ ．
【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点．
9．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中， ，且 满足
，连接 交 轴于点C， 在 轴的负半轴上，过点 作直线 的平
行线交 轴于点 ．(1)求 的值；
(2)如图1，若 轴上存在一点 ，使得三角形 的面积为8，求出点 的坐标；
(3)如图2，点 为直线 上一点，使得 ．且点 在第二象限（ 表示三角形 的面
积）
①求点 的坐标；（提示：可以去思考一下 与 面积的关系
②求点 的坐标（用含 的式子表示）．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为 或
(3)
【分析】本题考查了非负数的性质、一次函数的斜率与解析式、三角形面积的计算以及坐标与图形的性质．
解题的关键是利用非负数的性质求出点的坐标，通过平行线斜率相等确定直线解析式，结合坐标法计算三
角形面积并建立等量关系求解未知点坐标．
（1）根据平方数和算术平方根的非负性，列出关于a、b的方程组并求解；
（2）设出点P的坐标，利用三角形面积公式（以y轴上的线段为底，另一点横坐标绝对值为高）建立方程，
求出P的坐标；
（3）①先求出直线 的斜率，利用平行线斜率相等得到直线 的解析式，进而求出与y轴交点D的坐
标；②求出 的面积，根据面积关系列出关于点Q坐标的方程，结合直线 的解析式表示出Q的坐
标．
【详解】（1）解： 且 ，
∴ ,
解方程组：两式相加得 ，得 ，将 代入 ，得 ，则 ．
∴ ， ；
（2）解：由（1）知 ， ，设 在y轴上）． 的长度为 ，
点B到y轴的距离为4，
∵ ，，
即 ，
解得 或 ，
∴点P的坐标为 或 ．
答：点P的坐标为 或 ；
（3）①解 ， ，设直线 的解析式为 ．
∴ 解得： ，
∵ ，故设直线 方程为 ，将点 代入求得 ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，得 ，
∴点D的坐标为 ．
②解：由①知 ， ， ，
．
，
．
直线 的解析式为 ，
设 ．
，
∴ ，
代入直线 解析式得 ，
∴点Q的坐标为 ．
题型二：一次函数与三角形全等问题10．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线 ： 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（ ）个点Q，使得以
O、P、Q为顶点的三角形与 全等．
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先求得点A、B的坐标，可求得 的长，利用面积法即可求得 的长，分
与 两种情况讨论，结合图形分析即可求解．
【详解】解：对于直线 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
解得： ，
∴点A、B的坐标分别是 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵
∴ ；
①当 时，如图2和图3，
由（1）得 ，
∴ ，即P点横坐标为 或 ，当P点横坐标为 时，纵坐标为： ，
∴ ，
当P点横坐标为 时，纵坐标为： ，
∴ ；
②当 时，如图4和图5，
∴ ，
此时点Q的坐标为 或 ，
综上所述，符合条件的点Q共4个．
故选：B．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判
定与性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
11．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线
于点A．若点C是射线 上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三
角形与 全等，则 的长为（ ）
A．3或 B．4或 C．3或 D．4或
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到 ，则 ，令 ，则 ，求得 ， ，
根据勾股定理得到 ，①当 时，如图1，②当 时，如图2，根据全等三角
形的性质即可得到结论．
【详解】解： ，
，
，
，
在 中，
令 ，则 ，令 ，则 ，
， ，由勾股定理得 ，
①当 时，如图1，
，
，
；
②当 时，如图2，
，
，
，
综上所述： 的长为 或4．
故选：D．12．（23-24八年级上·江西九江·期中）如图，直线 的解析式为 分别与 ， 轴交于 ， 两
点，点 的坐标为 ，过点 的直线交 轴负半轴于点 ，且 ．在 轴上方存在点 ，使
以点 ， ， 为顶点的三角形与 全等，则点 的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】求出 、点 ，分点 在 轴右侧、点 在 轴左侧两种情况，分别求解即可．
【详解】解：将点 的坐标代入函数表达式得： ，
解得： ，
故直线 的表达式为： ，
则点 ， ，则 ，
即点 ；
①如图，当点 在 轴右侧时，
点 ， ， 为顶点的三角形与 全等，则四边形 为平行四边形，
则 ，则点 ，
②当点 在 轴左侧时，
则 ，则点 、 到 的距离相等，
则直线 ，
设直线 的表达式为： ，
将点 代入上式得 ，解得： ，
直线 的表达式为： ，
设点 ，
， ， 为顶点的三角形与 全等，
则 ，
解得： ，故点 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运
用等，并注意分类求解，题目难度较大．
13．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，射
线 于点 ，若点 是射线 上一动点，点 是 轴上的一动点，若以 ， ， 为顶点的三角
形与 全等，则点 的坐标为
【答案】 或
【分析】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质，熟练掌握求一次函数与坐
标轴交点的方法，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
首先求出点 ，点 ，则 ， ，当以 ， ， 为顶点的三角形与 全等时，
有以下两种情况：①当 时，先证 ，当 ，则 ，
，则 ，据此可得点 的坐标；② 时，过点 作 于 ，由于
，因此当 时， ， ，由勾股定理求出 ，再由三
角形的面积公式求出 ，进而再求出 ，据此可得点 的坐标．
【详解】解：对于直线 ，当 时， ，当 时， ，
点 ，点 ，
， ，
当以 ， ， 为顶点的三角形与 全等时，
则以 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形，
因此有以下两种情况：
①当 时，如图 所示：， ，
， ，
，
当 时， ， ，
，
点 的坐标为 ；
② 时，如图 所示：过点 作 于 ，
由①知 ，
当 时， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
由三角形的面积公式得： ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
点 的坐标为 ．
综上所述：点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．14．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，直线 分别交 轴， 轴于点 ， ，点
，动点 从点 出发以每秒1个单位的速度沿 轴负方向移动，设点 的移动时间为 秒．
(1)求 ， 两点的坐标．
(2)设 的面积为 ，当 时，求 关于 的函数表达式．
(3)当 为何值时， 与 全等．
【答案】(1) ，
(2)
(3)当 或 时， 与 全等
【分析】本题考查了一次函数的几何应用、全等三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
（1）分别求出当 时， 的值；当 时， 的值，由此即可得；
（2）先求出点 的坐标，从而可得 的长，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（3）先判断出只能是 ，再根据全等三角形的性质可得 ，由此即可得．
【详解】（1）解：对于一次函数 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（2）解：由（1）已得：点 的坐标为 ，
∵动点 从点 出发以每秒1个单位的速度沿 轴负方向移动，且点 的移动时间为 秒，
∴ ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴 轴，
∴ 的面积为 ，所以 关于 的函数表达式为 ．
（3）解：由（2）已得： ，
∴ ，
∵ ， ， ， 轴 轴，
∴ ， ， ，
∴ 与 全等只有一种情况： ，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
所以当 或 时， 与 全等．
15．（24-25八年级上·江苏·期末）如图：直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， ，点
是直线 上与 、 不重合的动点．
(1)求直线 的解析式；
(2)作直线 ，当点 运动到什么位置时， 的面积被直线 分成 的两部分；
(3)过点 的另一直线 与 轴相交于 点，是否存在点 使 与 全等？若存在，求出点 的
坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当点C运动到 或 的位置时
(3)存在，点 的坐标为 或 或
【分析】（1）由 得 ，根据 ，得 ，利用待定系数法即得直线 的解析式为
；
（2）可得 的面积 ，当 时， ，可得
， ，即得 ，当 时，同理可得 ；（3）在 中， ， ， ，分两种情况①若 ，②若
时，分别求解即可．
【详解】（1）解：在 中，令 得 ，
， ，
，
，
，
把 代入 得：
，解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）解： ， ，
的面积 ，
当 时，如图：
此时 ，
，即 ，
，
在 中令 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，如图：此时 ，
，即 ，
，
在 中令 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，当点C运动到 或 的位置时， 的面积被直线 分成 的两部分；
（3）解：存在点 ，使 与 全等，
在 中， ， ，
，
①若 ，过 作 交 轴于 ，过 作 于 ，如图：
， ，
， ，
设 ，则 ， ， ，
而 ，
，解得 或 ，
当 时， ，此时 ，符合题意，
当 时， ，此时 ，不符合题意，舍去，
∴ ，
同理可知， 时，
， ， ，
，
同理可得 ，
②若 时，如图：
， ，
，
在 中，令 得 ，
，
此时 ， ，符合题意，
，
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题．
16．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线
经过点 ， ．(1)求直线 与 的函数解析式．
(2)求 的面积．
(3)如图2， 是线段 上的一动点， 是线段 上的一动点，连接 ， ， ．若 与
全等，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答
本题的关键．
（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分为 或 两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可．
【详解】（1）解：设直线 的函数解析式为 .
将点 ， 代入，
得 解得
直线 的函数解析式为 .
设直线 的函数解析式为 .
将点 ， 代入，
得 解得
直线 的函数解析式为 .
（2）解： 点 ， ， ，
， ，.
（3）解：分两种情况：
①如图1，当 时， ， .
，
，
， .
把 代入 ，得 ，
点 .
②如图2，当 时， ，
.
直线 的函数解析式为 ，
直线 的函数解析式为 .
将 与 联立，解得
点 .
综上所述，点 的坐标为 或 ．题型三：一次函数与三角形存在问题
17．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图， ，且m ，n满足 ，直线
恰好是一次函数 的图象， 轴于B．
(1)求点C的坐标，并求 的周长；
(2)在y轴上是否存在点P，使得 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， 的周长为（ ）；
(2)存在， 或 ．
【分析】本题考查坐标与图形，一次函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关
键：
（1）非负性求出 的值，进而求出 点的坐标，求出 点横坐标，代入解析式，进而求出 点坐标，
勾股定理求出 的长，再利用周长公式进行计算即可；
（2）设 ，直线 与 轴交点为 ，根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：（1）由 得 ，
∴ ， ，
∵ 轴于 ，又点 在 的图象上，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的周长为 ；
（2）如图，假设存在点 满足题意，设 ，直线 与 轴交点为 ，∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∵ ，
∴ ，解得 或 ，
∴ 或 ．
18．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、
轴分别交于点 、点 ，点 在 轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴正半轴上
的点 处．
(1)求点 和点 的坐标以及 的长；
(2)求点 和点 的坐标；
(3) 轴上是否存在一点 ，使得 ，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) , ，
(2) ,
(3) 或【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与
坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键．
（1）令 ，求出 ；令 ，求出 ；继而求出 ；
（2）由折叠的性质可知， ， ，则 ，即 ；设 ，
则 ， ，依题意得， ，计算求解，然后作答即可；
（3）存在；由 ，可得 ，可求出 ，进而可求点 坐标．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
解得： ，
；
令 ，则 ，
；
， ，
；
（2）解：由折叠的性质可知， ， ，
则 ，
；
设 ，
则 ， ，
，
解得： ，
；
（3）解： 轴上存在一点 ，使得 ，理由如下：
，
，
解得： ，
点 的坐标为 或 ．
19．（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在以A为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形 ，
， ，且 ．E是 边上的一点，且 ，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿 运动，最终到达点C．设点P运动的时间为t秒．
(1)填空： ________， ________；
(2)求出点P在运动过程中三角形 的面积S（用含t的式子表示）；
(3)是否存在一点P，使三角形 的面积等于20？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)8，6；
(2)
(3)存在， 或
【分析】本题考查了坐标与图形、一元一次方程、函数解析式等知识点，灵活运用分情况讨论思想是解题
的关键．
（1）根据非负数的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）假设存在 点使 的面积等于20，在两种情况下求出相应的 值即可．
【详解】（1）解： ， ，
， ，
故答案为：8，6；
（2）由（1）知， ， ，
四边形 是长方形，
， ，
①如图1，当 时，
；
②如图2，当 时，，
即
（3）存在，
①如图1，当 时，
，解得 ；
∴
②如图2，当 时，
，
解得 ；
综上可知，点P的坐标为 或
20．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点
，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．(1)如图1，连接 ，求 的面积．
(2)如图2，在直线 上存在点 ，使得 ，求点 的坐标．
【答案】(1)11
(2)
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质
等知识点．
（1）对于直线 ，令x=0，则 ，故点 ，同理可得点 、 ， 的
面积 ，即可求解；
（2）证明 ，则 ，即可求解．
【详解】（1）解：对于直线 ，令 ，则 ，
故点 ；
对于 ，令 ，则 ，令 ，即 ，
解得： ，
故点 、 ，
则 ， ，
所以， 的面积 ；
（2）解：由题意， ，观察图象可知，点E只能在直线 的右侧，过点E作 的垂线交
于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，如图
2，设点 ，点 ，
∵ ，故 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ， ，
解得， ，
故点 ．
21．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 与 轴交
于点 ，与 轴交于点A．
(1)求A、 两点的坐标；
(2)若在直线 上有一点 ，使得 的面积为9，求点 的坐标；
(3)如图2，点 为线段 中点，过点 作 轴，垂足为 ，若点 为 轴负半轴上一点，连接
交 轴于点 ，且 ，在直线 上有一点 ，使得 最小，求 点坐标；
(4)如图3，直线 上存在点 使得 ，请直接写出点 的坐标．【答案】(1) 、
(2) 或
(3)
(4) 或
【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、中点坐标公式、全等三角形的判定和性质
等知识点，灵活运用相关知识并掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）对于 ，令 ，解得： ，令 ，则 ，即可求解；
（2）设点M的纵坐标为 ，根据 列出方程求解可得 或 ，然后代入求出点
M的坐标即可；
（3）如图：作点A关于直线 的对称点 ，连接 交 于点P，则点P为所求点，然后求得其
坐标即可解答；
（4）当点Q在 上方时，证明 得到M的坐标为 ，进而求解即可；当点 在
下方时，同理可解．
【详解】（1）解：对于 ，令 ，解得： ；令 ，则 ．
∴点A、 的坐标分别为 、 ．
（2）解：设点M的纵坐标为 ，根据题意得：
，即∶ ，解得： 或 ，
把 代入 得： ，解得： ；
∴此时点M的坐标为 ；
把 代入 得： ，解得： ，
∴此时点M的坐标为 ．
综上，点M的坐标为 或 ．
（3）解：∵点 为线段 中点，
∴点 ，∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图：作点A关于直线 的对称点 ，连接 交 于点P，连接 ，
根据轴对称可知： ，
∴ ，
∴ 最小时， 最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点P为所求点，
设直线 的表达式为： ，则∶
，解得 ，
∴直线 的表达式为： ，
当 时， ，
∴点P的坐标为 ．
（4）解：存在，理由如下：
如图2，当点Q在 上方时，过点A作 交 于点M，过点M作 轴于点H，则
，，
∴ 为等腰直角三角形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
∴点M的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
把点 的坐标代入得：
，解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
当 时， ．
∴点Q的坐标为 ；
当点 在 下方时，过点A作 交 于点N，则 ，
∴ ，
∴N、A、M三点共线，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
∴A为 的中点，
由中点坐标公式得，点 ，即 ，
由点B、N的坐标同理运用待定系数法可得直线 的表达式为： ，
当 时， ．
∴点 的坐标为 ．
综上，点Q的坐标为 或 ．
22．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型建立】
如图1，等腰直角三角形 中， ，直线 经过点C，过A作 于点D，过
B作 于点E，易证明 （无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就
利用这个模型来解决一些问题：
【模型运用】
(1)如图1，若 ，则 的面积为 ；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰 ，点C的坐标为 ，A点的坐
标为 ，求 与y轴交点D的坐标；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线 函数关系式为： ，点 ，在直线 上是否存在点B，
使直线 与直线 的夹角为 ？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5
(2)
(3)存在，
【分析】（1）证明 可得 ，在 中，利用勾股定理解得
的长，最后根据三角形面积公式即可求解；
（2）作 轴于点 ，根据题意，可证 ，再由全等三角形对应边相等的性质得到 ，结合点 的坐标分别解得 的长，继而得到 的坐标，再由待定系数法
解得直线 的解析式，令 即可求解；
（3）画出符合题意的示意图，设点B，点 是符合要求的两个点，即 ，设
，过点 作直线平行 轴，过点 作直线平行 轴，两直线相交于点 ，由点 坐标表示线
段 和 ，根据 可证 ，再由全等三角形对应边相等的性质解得 的长，
继而得到点 的坐标，最后将点 代入直线 上即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
，
∴在 与 中，
，
，
∵ 中， ，
∴ ，
．
故答案为： ．
（2）解：过点B作 轴于点 ，
则 ，
∴ ，
，
，
，
．
在 与 中，，
，
，
，
∴ ， ，
， ，
，
．
设直线 的解析式为： ，
∵直线 过点 ，
∴
解得：
直线 的解析式为：
令 得， ，
；
（3）解：存在，有两个点符合题意， 或 ，理由如下：
如图，设点B，点 是符合要求的两个点，即 ，
设 ，
过点 作直线平行 轴，过点 作直线平行 轴，两直线相交于点 ，
则，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
，
∴ ，
，
，即 ，
∵点 在直线 上，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模
型的思路方法是解题的关键．
