文档内容
专题 07 相似三角形
题型1 成比例线段（常考点） 题型8 利用相似三角形的性质求解（重点）
题型2 黄金分割比 题型9 相似三角形动点问题（重点）
题型3 相似图形的识别 题型10 相似三角形的判定与性质综合（重点）
题型4 相似多边形的性质（常考点） 题型11 相似三角形的的实际应用
题型5 由平行判断成比例的线段 题型12 位似图形的性质（常考点）
题型6 由平行截线求相关线段的长或比值（重
题型13 作图-位似
点）
题型7 相似三角形的判定
题型一 成比例线段 （共 3 小题）
1．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=1,b=2,c=3，则线段d的
长为（ ）
3 2
A．4 B． C．6 D．
2 3
2．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a，b，c，且b是a，c的比例中项，其中a=4cm,b=12cm，
则c的长度为（ ）
A．36cm B．24cm C．18cm D．16cm
3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．2cm，4cm，6cm，7cm B．3cm，6cm，6cm，12cm
C．2cm，4cm，6cm，8cm D．3cm，6cm，9cm，12cm
题型二 黄金分割比 （共 4 小题）
1．（24-25九年级上·广西百色·期末）大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，点P
BP ❑√5-1
为AB的黄金分割点(AP>PB)，且 = ，如果AP的长度为10cm，那么AB的长度是（ ）
AP 2A．(15❑√5+5)cm B．(15❑√5-❑√5)cm C．(5❑√5-5)cm D．(5❑√5+5)cm
2.（24-25九年级上·广西来宾·期末）著名建筑常用黄金分割设计，缘由为建筑物的某部分高度与整体高度
的比值接近黄金分割比时，视觉效果较好．已知某旅游城市一建筑整体高度为20米，若想达到较好视
❑√5-1
觉效果，其上部高度大约应为（结果保留整数，黄金分割比取 ，其中❑√5≈2.236）（ ）
2
A．11米 B．19米 C．18米 D．12米
3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗
的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若AD=2，则AN的长为 ．
4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整
个车身黄金分割点的位置，即BC2=AB⋅AC．如图，若该车车身总长AB约为5米，则车头A与后视
镜C的水平距离约为 米．
题型三 相似图形的识别 （共 3 小题）
1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，照片E放大到F这种图形变化是（ ）
A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称2．（24-25九年级上·河南安阳·期末）下面几对图形中，相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·上海松江·期中）下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形
C．两个正方形 D．两个菱形
题型四 相似多边形的性质（共 5 小题）
1．（24-25九年级上·广东清远·期末）两个相似多边形的相似比是2:3，其中较大多边形的面积为18cm2，
则较小多边形的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．16cm2
2．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）把矩形ABCD对折，折痕为MN，如果矩形DMNC和矩形ABCD相
似，则矩形DMNC和矩形ABCD它们的相似比为（ ）
❑√2 1
A． B．❑√2 C．2 D．
2 2
3．（23-24九年级下·河北保定·开学考试）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为4:3，
则下列结论正确的是（ ）
A．3BC=4HIB．六边形ABCDEF的周长:六边形GHIJKL的周长=3:4
4
C．∠E= ∠K
3
D．3S =4S
六边形ABCDEF 六边形CHIJKL
4．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是
（ ）
A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度
5．（23-24九年级上·山西临汾·期末）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：
“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ．
题型五 由平行判断成比例的线段（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，直线l ∥l ∥l ，直线AC分别交直线l ，l ，l 于点A，B，
1 2 3 1 2 3
C，直线DF分别交直线l ，l ，l 于点D，E，F直线AC，DF交于点P，则下列结论错误的是（ ）
1 2 3
AB DE PA PD PA PE PB PC
A． = B． = C． = D． =
BC EF PC PF PB PF PE PF
2．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知线段a，b，c，求作线段x，使ax=bc，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）如图是某景区大门部分建筑，已知AD∥BE∥CF，AC=16m，
当DF:DE=4:3时，则AB的长是（ ）
A．10m B．11m C．12m D．13m
题型六 由平行截线求相关线段的长或比值（共 4 小题）
1．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，直线AD、BC交于点O，AB∥EF∥CD，若
AF
BO=2,OE=1,EC=2，则 的值为（ ）
FD
3 2 3 2
A． B． C． D．
2 3 5 5
2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，直线a ∥ b ∥ c，如AB=2，BC=3，EF=1.5，则DF的
值为（ ）
A．0.4 B．2.5 C．4 D．4.5
3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、
B、C和点D、E、F．若AB=3，BC=5，EF=4，则DF的长为（ ）32 12 6
A． B． C．2 D．
5 5 5
4．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，直线AD,BC交于点O，AB∥EF∥CD，若
BE
AO=5,OF=1,FD=4，则 的值为 ．
EC
题型七 相似三角形的判定（共小 3 题）
1．（24-25九年级上·重庆奉节·期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，下列条件中不
能满足△ADE∽△ABC的是（）
A．∠ADE=∠B B．∠AED=∠C
AD AE
C． = D．AD⋅AC=AB⋅AE
AC AB
2．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD，补充下列条件后仍
不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠ADC=∠BAC B．∠DAC=∠ABC
AD AB
C．AC2=BC⋅CD D． =
CD AC
3．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定
△ABC与△ADE相似的是（ ）
AB AC AB BC
A．∠C=∠E B．∠B=∠E C． = D． =
AD AE AD DE
题型八 利用相似三角形的性质求解（共 5 小题）
1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在▱ABCD中，延长BA到E，连接EC交AD于F，若
EF 1
= ，EA=1.5，则AB长是（ ）
FC 2
A．4.5 B．3 C．2 D．1
2．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD:AF=3:5，BC=6，CE的长为
( )A．2 B．4 C．3 D．5
AB 2
3．（24-25九年级上·广东清远·期末）若△ABC∽△DEF， = ，△ABC的周长是10，则△DEF
DE 5
的周长是（ ）
A．10 B．15 C．25 D．30
4．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，矩形ABCD中，CE=2DE，点P在BC边上且恰
好存在点P使△ABP和△PCE相似，若AB=3,BC=5，则BP长为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．3或4
5．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则
S :S =（ ）
△DOE △COB
A．1:4 B．2:3 C．1:3 D．1:2
6.（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，△ADE∽△ACB，DE=3，S :S =9:16，则
△ADE 四边形BCED
BC的长 ．
题型九 相似三角形动点问题（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A出发沿
AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q
同时出发，经过 秒后△PBQ和△ABC相似？2．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P从
点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B
就停
(1)若P、Q同时出发，经过几秒钟 ；
S =4cm2
△PCQ
(2)若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似．
3．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，已知在△ABC中，∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm，点P
从点B开始沿BA边向点A以2cm/s的速度移动，同时点Q从点A开始沿AC边向点C以1cm/s的速度
移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为ts．
(1)当t= 时△PAQ与△ABC相似；
21
(2)是否存在某一时刻t的值使得△PAQ的面积等于 ， 若存在，求出t的值，若不存在，请说明理
5
由．
4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°．点P从
点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，
如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动时间为t(s)．(1)当t=2时，求△PBQ的面积；
(2)当t为多少时，△PBQ的面积是8cm2？
(3)当t为多少时，△PBQ与△ABC是相似三角形？
题型十 相似三角形的判定与性质综合（共 5 小题）
1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在△ABC中，D，E是BC上的点，已知△ADE是等边三角
形，BD=1，DE=2，CE=4．
(1)证明：△ABD∽△CAE；
(2)求∠BAC的度数．
2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且
AB AC
∠BAE=∠CAD, = ．
AE AD(1)求证：△ABC∽△AED；
(2)若∠CAD=20°．求∠CBD的度数．
3．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点
C，割线AD⊥CD于点D且交⊙O于点E，连接CE，AC，CB．
(1)求证：AC平分∠BAD；
(2)求证：CB⋅CE=DE⋅AB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接OC，先判断出OC⊥CD，再判断出OC∥AD，得出∠OCA=∠CAD，再根
据OA=OC，得到∠CAD=∠OAC，即可得出结论；
DE CE
（2）先证明△DEC∽△CBA，得到 = ，即可得出结论；
CB AB
此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，作出辅助线是解本题的关键．
【详解】（1）证明：连接OC，如图所示，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=∠CDA=90°，
∴∠OCD+∠CDA=180°，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠CAD=∠OAC，
∴AC平分∠BAD；
（2）证明：∵AD⊥CD，垂足为D，AB是⊙O的直径，
∴∠CDE=∠ACB=90°，
∵∠DEC+∠AEC=180°，∠AEC+∠CBA=180°，
∴∠DEC=∠CBA，
∴△DEC∽△CBA，
DE CE
∴ = ，
CB AB
∴CB⋅CE=DE⋅AB．
4．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O
与直角边BC相切于点D．
(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BE=4，BD=8，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)⊙O的半径为6
【分析】本题考查了切线的性质定理、等边对等角、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接OD，由切线的性质可得OD⊥BC，结合题意得出OD∥AC，由平行线的性质结合等边
对等角得出∠1=∠2，即可得证；
（2）证明△BDE∽△BAD，由相似三角形的性质求出BA的长，即可得解．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠3；
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：如图，连接DE，
∵BC与圆相切于点D．
∴∠BDO=90°，
∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE=∠BDO=90°，
∴∠ADE-∠ODE=∠BDO-∠ODE，即∠BDE=∠ADO，
∵OA=DO，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠BDE，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAD，
BA BD
∴ = ，
BD BE
∵BE=4，BD=8，
∴BA=16，
∴AE=AB-BE=12，
∴⊙O的半径为6．
5．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角
形作了如下探究：
【教材呈现】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，直接写出一个与
△ADB相似的三角形；
【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，CD=5，点E在BC上，CE=2EB，AE⊥BD于点F，
求BF的长；
【拓展提升】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=4，点E，
AF
F分别在AB，BC上，且AF⊥DE，垂足为G，求 的值．
DE
题型十一 相似三角形的的实际应用（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体
AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A,B的对应点分别是C,D）．若物体AB的高为5 cm，小孔O到
地面距离OE为2 cm，则实像CD的高度为（ ）
8 10 15
A． cm B． cm C．3 cm D． cm
3 3 4
2．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图是小明设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜
子P与古城墙的距离PD=12米，镜子P与小明的距离BP=1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端
点C，小明的眼睛距地面的高度AB=1.2米，该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．9.6米 D．10.8米
3．（24-25九年级上·四川达州·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．
实践报告如下：
实践报告
活
动
测量学校旗杆的高度
课
题
活 标杆、卷尺
动
工
具
测 【步骤一】测量标杆BE的长度；测量兴趣小组成员小明的身高（地面到眼睛的高度）；
量 【步骤二】将标杆竖立在小明同学和旗杆之间，小明适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗
过 杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上【步骤三】其他同学用
程 卷尺测出小明到标杆的距离，旗杆到标杆的距离，并分别记录：【步骤四】记录数据（单位：cm）小明身高AD（地面到眼
160
睛）
标杆高度BE 400
小明到标杆距离AB 400
旗杆到标杆距离BC 1600
解 根据以上数据计算旗杆的高度．
决
问
题
请你帮助兴趣小组解决以上问题．
4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，平直的公路旁有一竖直灯杆AB，在灯光下，小华从灯杆的
底部B处沿直线前进4 m到达D点，在D处测得自己的影长DE=1m．小华身高CD=1.8m．
(1)求灯杆AB的长；
(2)若小华从D处继续沿直线前进5m到G处（如图2），求此时小华的影长GH的长．题型十二 位似图形的性质（共 4 小题）
1．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，△ABC与△A'B'C'位似，点O为位似中心，若△ABC
1
的周长等于△A'B'C'周长的 ．AO=2，则OA'的长度为（ ）
4
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与
△DEF的面积比为4:9，则为OB:OE的值为（ ）
A．4:9 B．3:1 C．2:1 D．2:3
3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点
P、点Q分别是①号②号汽球的扎口，位似中心为点O，位似比是1:2，则P(-2,1)的对应点Q的坐标
是（ ）
A．(-2,4) B．(4,-2) C．(-4,2) D．(2,-4)
4
4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点A在反比例函数y= 的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，
xAC⊥y轴于点C，以点O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB' A'C'，过点A'的反比例函
9
数表达式为y= ，则四边形OBAC和四边形OB' A'C'的位似比为（ ）
x
A．2:3 B．3:2 C．4:9 D．9:4
题型十三 作图 - 位似（共 2 小题）
1．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为
A(-3,2)，B(-1,3)，C(-1,1)，请按如下要求画图：
(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A B C ，请画出△A B C ，并
1 1 1 1 1 1
写出点B的对应点B 的坐标；
1
(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A B C ，使它与△ABC的位
2 2 2
似比为2:1，并写出点B的对应点B 的坐标．
22．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面
直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为(0,3)，(1,1)，(2,2)．
(1)以点C为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A B C，画出△A B C（点A，B的对应
1 1 1 1
点分别为点A ，B ），并直接写出点A 的坐标．
1 1 1
(2)以点O为位似中心，将△ABC按相似比为2放大，得到△A B C ，在网络中画出△A B C
2 2 2 2 2 2
（点A，B，C的对应点分别为点A ，B ，C ），并直接写出点C 的坐标．
2 2 2 2
