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专题 02 一元一次不等式与一次函数
目录
A题型建模・专项突破
题型一、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集..................................................................................................1
题型二、根据两条直线的交点求不等式的解集......................................................................................................3
题型三、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题......................................................................................5
题型四、一元一次不等式与一次函数实际综合问题.............................................................................................11
B综合攻坚・能力跃升
题型一、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
1．（25-26八年级下·全国·期中）如图，一次函数 的图象经过点 与 ，则关于 的不等
式 的解集是 ．
2．（25-26八年级上·上海·期中）如果直线 过第二、三、四象限， 与x轴的交点为 ，
那么关于x的不等式 的解集 是 ．
3．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线 ＝ ＋ 与 轴交于点
，与 轴交于点 ，则不等式 的解集为 ．
4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，直线 经过点 ，则关于x的方程
的解是 ，关于x的不等式 的解集是 ．题型二、根据两条直线的交点求不等式的解集
5．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，函数 与 的图象相交于点 ，则关于 的
不等式 的解为 ．
6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一次函数 和 的图像如图所示，其交点为 ，
则不等式 的解集是 ．
7．（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数 与 的图像如图所示，则不等式组
的解集为 ．
8．（2025八年级上·重庆·专题练习）如图，直线 与 的交点的横坐标为 ，则关于x的
不等式 的取值范围为 ．题型三、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题
9．（24-25八年级上·安徽池州·月考）一次函数 和 的图像如图所示，且 ，
．
(1)关于 的方程 的解为 _________；关于 的不等式 的解集为_________；
(2)若不等式 的解集是 ，求点 的坐标．
10．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，在同一个坐标系中一次函数 和 的图
象，分别与 轴交于点 、 ，两直线交于点 ．已知点 坐标为 ，点 坐标为 ，观察图象并
回答下列问题：
(1)关于 的方程 的解是______；关于 的不等式 的解集是______．
(2)若点 坐标为 ，①关于 的不等式 的解集是______；②求 的面积．
(3)根据图象求关于 的不等式组 的解集．
11．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数 和 的
图像分别与 轴交于点A，B，两直线交于点C．已知 ，观察图像并回答下列问题：(1)关于x的方程 的解是 ；关于x的不等式 的解集是 ；
(2)直接写出关于x的不等式组 的解集 ；
(3)若点C的坐标为 ．
① 的面积为 ；
②在y轴上找一点 ，使得 的值最大，求 点的坐标．
12．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与直线
相交于点 ，与 轴、 轴分别交于 两点．
(1)若点 的坐标分别为 ．直接写出下列各小题答案．
方程 的解是______．
方程组 的解是______．
不等式 的解集是______．
不等式 的解集是______．
(2)若点 的坐标分别为 ，直线 的表达式为 ，求 的面积；
(3)在（ ）的基础上，点 是 轴上的一点，且使得 是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的
点 的坐标．题型四、一元一次不等式与一次函数实际综合问题
13．（25-26八年级上·河南周口·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A产品需成
本100元，利润40元；生产一件B产品需成本80元，利润30元．设生产A产品x件，生产两种产品的总
利润为 元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若工厂投入的总成本不超过4600元，求最大总利润是多少？
14．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）某企业拟向县青少年体育集训队捐赠一批训练用球，篮球、足球共
计80个，用于保障日常训练损耗．市场上篮球的价格为100元/个，足球的价格为80元/个，设该企业计划
捐赠x个篮球，总捐赠支出为y元．
(1)求该企业总捐赠支出y与捐赠的篮球个数x的函数表达式．
(2)若捐赠的篮球个数不少于足球的个数，求该企业总捐赠支出的最小值．
15．（25-26九年级上·山东济南·期末）钢城区为拓宽农产品销售渠道，助力乡村振兴．帮助农户将A、B
两种苹果加工包装成礼盒再出售，已知 件A种礼盒和2件B种礼盒的成本共 元： 件A种礼盒和4件
B种礼盒的成本共 元．
(1)求A、B两种礼盒的成本分别为多少元．
(2)某客户在展销会上想购买A、B两种苹果礼盒共 件，且A种礼盒的数量不少于B种礼盒数量的 ，
问客户购买多少件A礼盒所需费用最低？最低费用是多少？
16．（25-26八年级上·四川达州·期末）随着2024年巴黎奥运会的火热进行，作为本届奥运会官方吉祥物
的“弗里热”也迅速火遍全球．它是法国传统的弗里吉亚帽的拟人化形象，颜色有红、蓝、白，与法国国
旗颜色吻合．奥林匹克官方旗舰店上架了以“弗里热”为图案的各种商品均深受人们的喜爱．尤其是在全
国第40个教师节来临之际，“弗里热”的玩偶和“弗里热”的钢笔作为教师节礼品销量更好，8月售出了
玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元．9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000
元．
(1)求“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价；
(2)已知“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的成本分别为90元/个和60元/支．进入2024年十月后，这两款
商品持续热销，于是旗舰店再购进了这两款商品共600个，其中玩偶的数量不少于200个．为回馈新老客
户，旗舰店决定对玩偶降价 后再销售，若十月份购进的这两款商品全部售出，则玩偶购进多少个时该
旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．一、单选题
1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图是一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）一次函数 与 的图象如图所示，当
时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图像如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． 随x的增大而减小 B．
C．方程组 的解为 D．当 时，
4．（25-26八年级上·福建漳州·期末）定义：我们把直线 与直线 的交点称为直线的“互逆点”．例如求直线 的“互逆点：联立方程 ，解得 ，
则直线 的“互逆点为 ．给出下列说法：①直线 的“互逆点”为 ；②如果直
线 没有“互逆点”，那么 ；③如果直线 的互逆点是 ，则不等式 的
解集是 ；④已知直线 的“互逆点”为 ，且点 ， 在直线
上，则 ；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．（2026九年级·全国·专题练习）若一次函数 的图象如图所示，则关于 的不等式 的
解集为 ．
6．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）一次函数 的图象与 的图象相交于点 ，若
，则x的取值范围是 ．
7．（2026八年级上·陕西西安·专题练习）如图，直线 与直线 相交于点 ，则关于x
的不等式 的解集为 ．8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知函数 和 的图象交于点 ，根据图象可得，
二元一次方程组 的解是 ， 的解为 ．
三、解答题
9．（25-26八年级上·河南郑州·月考）根据一次函数 的图象，写出下列问题的答案：
(1)关于x的方程 的解是 ；
(2)关于x的方程 的解是 ；
(3)当 时，y的取值范围是 ．
10．（24-25八年级下·湖南湘西·月考）如图所示，在同一坐标系中一次函数 和 的图象，
分别与 轴交于点 、 ，两直线交于点 ，已知点 坐标为 ，点 坐标为 ，观察图象并回答
下列问题：
(1)关于 的方程 的解是_____，关于 的不等式 的解集是_____．
(2)若点 坐标为 ，关于 的不等式 的解集是_____．
(3)在（2）的条件下，求 的面积．
11．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）学校为奖励在全校运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种
奖品．已知购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元，购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300
元．(1)求甲、乙两种奖品的单价；
(2)学校计划购买甲、乙两种奖品共100件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分
别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？
12．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数 的图象与 轴分别交于 两点，与
正比例函数 交于点 ．
AI
(1)关于 的方程 的解是________；
(2)关于 的二元一次方程组 的解为_______，关于 的不等式 的解集为_______；
(3)关于 的不等式 的解集为_______，不等式 的解集为_______．
13．（25-26八年级上·重庆·期末）近年来，人形机器人技术在工业与生活服务领域快速发展，其产品主要
分为工业制造型与生活服务型两类．某公司准备采购工业制造型和生活服务型两类机器人．已知购进20台
工业制造型机器人和60台生活服务型机器人需支付总费用4800万元；购进30台工业制造型机器人和40
台生活服务型机器人需支付总费用4400万元．
(1)每台工业制造型、生活服务型机器人的单价为多少万元？
(2)该公司计划购进这两类机器人共200台，且生活服务型机器人进货数量不低于工业制造型机器人的3倍．
根据市场定价，工业制造型机器人按进价的 倍销售，生活服务型机器人按 的利润率销售，且两种机
器人最后全部售完．设销售总利润为 万元，应如何安排进货数量，才能使 最大？最大利润为多少万元？
14．（24-25八年级下·山西晋中·期中）【材料阅读】
我们知道：二元一次方程 有无数组解，如： ， ， ……如果我们将方程的解
（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对，例如 是方程 的一个解，用一
个点 来表示．探究发现：以方程 的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的
坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示．【问题探究】
在平面直角坐标系 中，方程 的图象是图1中的直线m，也可表示为 ．
（1）仿照材料完成下列各题：
①写出二元一次方程 的解（写出三对整数解）：_______．
②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个
方程的图象，记为直线n，也可表示为 ；请你直接写出直线m与直线n的交点M的坐标_______；
则方程组 的解是_______．
③过点 且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B两点，求出 的面积．
【问题拓展】
（2）已知关于x，y的二元一次方程组 无解，由此你猜想直线 与直线
这两条直线_______．（填位置关系）
（3）如果（2）中有存在符合题意的两条直线恰好相交，且交点坐标为 ，请你利用图2分析并直接写
出不等式 中x的取值范围_______．
15．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）八年级数学社团学生在学习了“一次函数与一元一次方程、不等
式的关系”后，尝试解决其他函数的类似问题，他们将函数 确定为研究对象．请你根据以下
探究过程，解答问题．
观察探究：
（1）作出函数 的图象．
①列表：
0 1其中，表格中 的值为__________．
②描点连线画出该函数的图象．
（2）观察函数 的图象．
①当 __________时，函数 有最大值，最大值为__________．
②方程 的解是 __________．
拓展应用：
（3）已知直线 ，请结合图象，直接写出不等式 的解集为__________．
16．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下面是小宇同学写的一篇数学日记，请你认真阅读并完成相应学习
任务．
用一次函数的观点认识方程（组）、不等式
任何一个以 为未知数的一元一次方程都可以变形为 的形式，所以一元一次方程的解，相
当于某个一次函数 的图象与 轴交点的横坐标．如图 ，一次函数 的图象与 轴交点的
横坐标为 ，则方程 的解为
任何一个以 为未知数的一元一次不等式都可以变形为 或 的形式，所以解一元一
次不等式，相当于求某个一次函数 的函数值大于 或小于 时，自变量 的取值范围．如图 ，
根据图象可知，一次函数 ，当 时， 的取值范围是 ，所以不等式 的解集为
；
任何一个含未知数 和 的二元一次方程，都可以改写成 （ ， 是常数， ）的形式．含未
知数 和 的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，从“数”的角度看，解这
样的方程组相当于求自变量为何值时两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这
样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．如图 ，直线 与直线 的交点 的坐
标为 ，则二元一次方程组 的解为 ．任务：
(1)上述材料“ ”处不等式“ ”的解集为______，“ ”处二元一次方程组 的解为
______；
(2)上述材料中主要运用的数学思想是______；
A．数形结合思想 B．统计思想 C．方程思想
(3)①如图4，直线 与直线 的交点坐标火 ，则关于 ， 的二元一次方程组
的解为______；
②如图 ，一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，与 轴的交点坐标为 ，则不等式
的解集为______．
