文档内容
专题04 圆
（30个高频易错题型讲练 共60题 新教材）
【解析版】
易错题型1 利用垂径定理求同心圆问题............................................................................................................................1
易错题型2 利用垂径定理求解其他问题............................................................................................................................4
易错题型3 求圆弧的度数........................................................................................................................................................5
易错题型4 同弧或等弧所对的圆周角相等.......................................................................................................................7
易错题型5 半圆(直径)所对的圆周角是直角................................................................................................................10
易错题型6 90度的圆周角所对的弦是直径....................................................................................................................12
易错题型7 求四边形外接圆的直径...................................................................................................................................15
易错题型8 点与圆上一点的最值问题..............................................................................................................................18
易错题型9 确定圆心(尺规作图)........................................................................................................................................20
易错题型10 画圆(尺规作图)...............................................................................................................................................23
易错题型11 已知直线和圆的位置关系求半径的取值................................................................................................24
易错题型12 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离..................................................................................25
易错题型13 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离...........................................................................................26
易错题型14 求直线平移到与圆相切时运动的距离.....................................................................................................27
易错题型15 切线的应用........................................................................................................................................................29
易错题型16 切线的性质和判定的综合应用...................................................................................................................31
易错题型17 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系.......................................................................................34
易错题型18 圆外切四边形模型..........................................................................................................................................36
易错题型19 三角形内心有关应用.....................................................................................................................................38
易错题型20 三角形内切圆与外接圆综合.......................................................................................................................41
易错题型21 过圆外一点作圆的切线(尺规作图).........................................................................................................44
易错题型22 圆内知识综合(圆的综合问题)...................................................................................................................47
易错题型23 圆与三角形的综合(圆的综合问题).........................................................................................................49
易错题型24 圆与四边形的综合(圆的综合问题............................................................................................................51
易错题型25 圆与函数的综合(圆的综合问题)..............................................................................................................54
易错题型26 已知正多边形的中心角求边数...................................................................................................................59易错题型27 正多边形和圆的综合.....................................................................................................................................60
易错题型28 尺规作图——正多边形.................................................................................................................................62
易错题型29 求图形旋转后扫过的面积............................................................................................................................65
易错题型30 圆锥侧面上最短路径问题............................................................................................................................67
易错题型1 利用垂径定理求同心圆问题
1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和❑√34的两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点，若CD=8，则AB的大小为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【思路点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接OD,OB，过点O作
1
OH⊥CD于点H，由垂径定理可得DH=CH= CD=4,HB=HA，再由勾股定理可得
2
OH2 =OD2−H D2 =OB2−BH2，求出BH，即可求解AB．
【规范解答】解：连接OD,OB，过点O作OH⊥CD于点H，
∵OH⊥CD，OH经过圆心，
1
∴DH=CH= CD=4,HB=HA，
2
∵OD=5,OB=❑√34，
∴OH2 =OD2−H D2 =OB2−BH2，∴OH2 =25−16=34−BH2
∴BH=5（舍去负值），
∴AB=2BH=10
故选：C．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D
两点．
(1)求证：AC=BD．
(2)若AC=2,BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为❑√17.
【思路点拨】（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可知E为CD和AB的中点，则可证得结论；
（2）连接OC,OA，由条件可求得CD的长，则可求得CE和AE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理可
求得OE的长，在Rt△COE中可求得OC的长；
【规范解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图1，
由垂径定理可得AE=BE,CE=DE,
∴AE−CE=BE−DE,
∴AC=BD.
（2）解：连接OC,OA，如图2，∵AC=2,BC=4，
∴AB=2+4=6，
∴AE=3，
∴CE=AE−AC=1，
在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2 =OA2−AE2 =52−32 =16，
在Rt△COE中，由勾股定理可得OC2 =OE2 +CE2 =16+12 =17,
∴OC=❑√17，即小圆的半径r为❑√17．
易错题型2 利用垂径定理求解其他问题
3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．圆心角相等，则所对的弧也相等
C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等
【答案】C
【思路点拨】根据圆的相关定理逐一判断各命题的正确性解答即可．
本题考查圆的基本性质，垂径定理及其推论，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【规范解答】解：根据题意，得
A：∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但若弦为直径，则平分它的直径不一定垂直，∴A错误；
B：∵圆心角相等所对的弧相等必须基于同圆或等圆，命题未指定条件，
∴B错误；
C：∵直径是通过圆心的弦，且是圆中最长的弦，
∴C正确；
D：∵同圆中两条等弦所对的弧可能一是优弧一是劣弧，弧长不一定相等，
∴D错误．
故选：C．
4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、
A、B、C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，画出过A、B、C三点
的圆，圆心为点P．(1)B，C两点的坐标分别为B（___________），C（___________）；
(2)圆心P的坐标为（___________）；
(3)求出圆P的半径．
【答案】(1)(2,−1)，(−4,−1)；
(2)(−1,−2)
(3)❑√10
【思路点拨】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，根据垂径定理确定圆心的位置是解题的关键．
（1）根据平面直角坐标系写出坐标即可；
（2）连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线交于点P，则点P是过A、B、C三点的圆的圆心，根
据平面直角坐标系写出坐标即可；
（3）连接PC，利用勾股定理求解即可．
【规范解答】（1）解：由平面直角坐标系可得，B(2,−1)，C(−4,−1)，
故答案为：(2,−1)，(−4,−1)；
（2）解：如图，连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线交于点P，则点P是过A、B、C三点的圆
的圆心，
由坐标系可知，圆心P的坐标为(−1,−2)，
故答案为：(−1,−2)；
（3）解：如图，连接PC，
由勾股定理得PC=❑√12 +32 =❑√10，
即圆P的半径为❑√10．
易错题型3 求圆弧的度数
5．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
(1)若∠A=35°，求D´E的度数；
(2)若BC=6,AC=8，求BD的长．
【答案】(1)20°
36
(2)
5
【思路点拨】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添
加辅助线构造直角三角形．
（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，根据垂径定理得到BH=DH，再利用勾股定理计算出AB=10，接着利
24
用面积法计算出CH= ，然后利用勾股定理计算出BH，从而得到BD的长．
5
【规范解答】（1）解：连接CD，
∵∠A=35°，∠C=90°，
∴∠B=55°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=55°，
∴∠BCD=180°−∠B−∠CDB=70°，
∴∠DCE=∠ACB−∠BCD=20°，
∴D´E的度数为20°；
（2）解：过点C作CH⊥BD于点H，则BH=DH，
在Rt△ABC中，BC=6,AC=8，∴AB=❑√BC2 +AC2 =❑√62 +82 =10，
1 1
∵ CH⋅AB= BC⋅AC，
2 2
6×8 24
∴CH= = ，
10 5
√ 24 2 18
∴在Rt△BCH中， BH=❑√BC2−CH2 =❑62−( ) = ，
5 5
36
∴BD=2BH= ．
5
6．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，在△ABC中∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆
交AB于点D，交AC于点E．
(1)若∠A=28°，求D´E的度数；
(2)若BC=3，AC=4，求BD的长．
【答案】(1)34°
18
(2)
5
【思路点拨】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．
（1）先求出∠B的度数，再求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）作CH⊥BD，根据垂径定理得到BH=DH，再利用勾股定理计算出AB=5，接着利用面积法计算
12
出CH= ，然后利用勾股定理计算出BH，从而得到BD的长．
5
【规范解答】（1）解：连接CD，
∵∠A=28° ∠ACB=90°
， ，
∴∠B=62°，∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=62°，
∴∠BCD=56°，
∴∠DCE=34°，
∴D´E的度数为34°；
（2）解：作CH⊥BD，则BH=DH，
在Rt△ACB中，AB=❑√BC2 +AC2 =❑√32 +42 =5，
1 1
∵ CH⋅AB= BC⋅AC，
2 2
3×4 12
∴CH= = ，
5 5
在Rt△BCH中，BH=❑√BC2−CH2 =❑
√
32−
(12) 2
=
9
，
5 5
18
∴BD=2BH= ．
5
易错题型4 同弧或等弧所对的圆周角相等
7．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，AB是⊙O的直径，C是A´D的中点，连接CA，CD，CO．
(1)求证：OC∥DB；
(2)若⊙O的半径是5，DB=8，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)❑√10
【思路点拨】（1）连接OD，根据圆周角定理，平行线的判定只能即可；
（2）连接AD，交OC于点E，利用垂径定理，勾股定理解答即可．
本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性
质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
【规范解答】（1）证明：连接OD．∵C是A´D的中点，
∴A´C=D´C，
∴∠AOC=∠DOC
，
∵∠AOD=2∠B，
∴∠AOC=∠B，
∴OC∥DB．
（2）解：连接AD，交OC于点E．
∵半径是5，
∴AB=10
，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ADB中，AD=❑√AB2−BD2 =6，
∵OC∥DB，
∴OC⊥AD，
∴AE=DE=3，
∴在Rt△AOE中，OE=❑√OA2−AE2 =4，
∴CE=OC−OE=1，
∴在Rt△ACE中，AC=❑√CE2 +AE2 =❑√10．
8．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，
点A是劣弧B´E的中点．若∠D=92°，则∠AEB的度数是（ ）A．40° B．44° C．45° D．46°
【答案】B
【思路点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质、角平分线的定义以及弧与圆周角的关系，熟练掌握圆
内接四边形的性质是解题的关键．
先利用圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数，再由角平分线的定义得出∠ABE的度数，最后根据圆周
角定理即可求解．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°−∠D=180°−92°=88°，
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠ABE= ∠ABC=44°，
2
∵点A是劣弧B´E的中点，
∴A´B=A´E，
∴∠AEB=∠ABE=44°．
故选：B
易错题型5 半圆(直径)所对的圆周角是直角
9．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，
AB=10cm，BC=6cm，若点P是直径AB上一动点，当△PBC是等腰三角形时，AP= cm．
【答案】2.8或4或5
【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，根据圆周角定理分三种情况，当B为顶点，即
BC=BP时；当C为顶点，即CP=CB时；当P为顶点，即CP=BP时，分别进行解答即可
【规范解答】解：当B为顶点，即BC=BP=6cm时，AP =AB−BP
1 1
=10−6
=4；
当C为顶点，即CP=CB时，过点C作CD⊥AB于点D，
∴BP =2BD，
2
∵ AB ⊙O
是 的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△BAC中，AC=❑√AB2−BC2 =8，
1 1
∵S = AC⋅BC= AB⋅CD，
△ABC 2 2
8×6
解得CD= =4.8，
10
∴BD=❑√BC2−CD2 =3.6，
∴AP =AB−BP =AB−2BD=2.8；
2 2
当P为顶点，即CP=BP时，P与O重合，
∵ AB是⊙O的直径，AB=10cm ，
∴AP =r=5，
3
综上所述，AP为2.8或4或5，
故答案为：2.8或4或5．
10．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，点B是⊙O上一点，AD为⊙O的直径，点C在⊙O上
且平分A´D．(1)连接BC，∠ABC= _____°．
(2)若AC=5❑√2，BD=6，求AB的长．
【答案】(1)45
(2)8
【思路点拨】本题考查圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
（1）由直径所对的圆周角为90度可得∠ACD=90°，由等弧所对的圆周角相等，可得
∠ADC=∠CAD=45°，由同弧所对的圆周角相等，可得∠ABC=∠ADC=45°；
（2）由点C在⊙O上且平分A´D，可得AC=DC=5❑√2，再由勾股定理解Rt△ACD，Rt△ABD即可．
【规范解答】（1）解：∵ AD为⊙O的直径，
∴ ∠ACD=90°，
∵点C在⊙O上且平分A´D，
∴ A´C=D´C，
∴ ∠ADC=∠CAD，
1 1
∴ ∠ADC= (180°−∠ACD)= ×(180°−90°)=45°，
2 2
∴ ∠ABC=∠ADC=45°，
故答案为：45；
（2）解：∵ AD为⊙O的直径，
∴ ∠ACD=∠ABD=90°，
∵点C在⊙O上且平分A´D，
∴ A´C=D´C，
∴ AC=DC=5❑√2，
∴ AD=❑√AC2 +CD2 =❑√2AC=❑√2×5❑√2=10，
在Rt△ABD中，AB2 +BD2 =AD2，
∴ AB=❑√AD2−BD2 =❑√102−62 =8．易错题型6 90度的圆周角所对的弦是直径
11．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）数学课堂上，王老师带同学们利用直角三角尺检查某种半圆形
零件是否合格，下列四个零件中，合格的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查圆周角定理，根据直角所对的弦为直径，进行判断即可．
【规范解答】解：由直角所对的弦为直径，可知，只有选项C中的零件是合格的；
故选C．
12．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图1，将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”
形图案，AB=3，AD=6．
(1)请直接写出△ACF的形状；
(2)在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转．
①如图2，当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，求△CMF的面积；
②如图3，连接AE，取AE的中点H，连接DH，求线段DH长度的最大值和最小值．
【答案】(1)△ACF为等腰直角三角形
45 3❑√5+3 3❑√5−3
(2)① ；②最大值为 ，最小值为
8 2 2
【思路点拨】（1）证明△ABC≌△FGC，可得∠BAC=∠GFC，从而得到∠GFC=∠ACG，进
而得到∠ACF=90°，即可求解；
（2）①证明△CDM≌△FGM，可得CM=FM，再由等腰三角形的性质可得AD=DF=6，然后在15
Rt△CDM中，利用勾股定理可得FM= ，即可求解；②连接DE，取DE的中点P，连接HP,CP，取
4
AD,BC的中点M、N，连接MN,MH,NH，证明四边形MHPD是平行四边形，可得
MD=HP,MD∥HP，再根据四边形HNCP是平行四边形，可得∠MHN=90°，从而得到点H在以
3❑√5
MN为直径的圆上，设MN的中点为点T，再根据勾股定理可得DT= ，即可求解．
2
【规范解答】（1）解：∵两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG，
∴AC=CF，AB=GF,∠FGC=∠ABC=90°,BC=CG，
∴△ABC≌△FGC，
∴∠BAC=∠GFC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACG，
∴∠GFC=∠ACG，
∵∠GFC+∠GCF=180°−∠CGF=90°，
∴∠GCF+∠ACG=90°，
∴∠ACF=90°，
∴△ACF为等腰直角三角形；
（2）解：①∵∠CMD=∠FMG,∠CDF=∠CGF=90°,CD=FG，
∴△CDM≌△FGM，
∴CM=FM，
∵AC=CF，CD⊥AD，
∴AD=DF=6，
在Rt△CDM中，CD2 +DM2 =CM2，AB=CD=3，
∴32 +(6−FM) 2 =FM2，
15
解得：FM= ，
4
1 1 15 45
∴S = CD×FM= ×3× = ；
△CFM 2 2 4 8
②连接DE，取DE的中点P，连接HP,CP，取AD,BC的中点M、N，连接MN,MH,NH，则
1
MN=AB=3,DM= AD=3，
2∵点H是AE的中点，
1
∴MH∥DE, MH= DE，
2
∵CD=CE，
∴CP⊥DE, DP=PE，
∵MH∥DP,MH=DP，
∴四边形MHPD是平行四边形，
∴MD=HP,MD∥HP，
∵AD∥BC,MD=CN，
∴HP∥CN,HP=CN，
∴四边形HNCP是平行四边形，
∴NH∥CP，
∴∠MHN=90°，
∴点H在以MN为直径的圆上，
设MN的中点为点T，
∴DT=❑√MT2 +DM2 =❑
√ (MN) 2
+
(AD) 2
=❑
√ (3) 2
+32 =
3❑√5
，且⊙T的半径为
3
，
2 2 2 2 2
3❑√5 3 3+❑√5 3❑√5 3 3❑√5−3
∴DH的最大值为 + = ，最小值为 − = ．
2 2 2 2 2 2
易错题型7 求四边形外接圆的直径
13．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，BC=CD=5，
AD=5❑√5，E为对角线AC上一动点，连结BE并延长交⊙O于点F．(1)若BF⊥AD，求证：∠ABF=∠ACB；
(2)求四边形ABCD的面积；
【答案】(1)见解析
(2)40
【思路点拨】本题主要考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质和判定，全等三角形，解直角三角形等知
识；
（1）先根据垂径定理可得：A´B=A´F，再由圆周角定理可得结论；
（2）如图1，过点C分别作AD和AB的垂线，垂足分别为G，H，证明Rt△CGD≌Rt△CHB(HL)，
则四边形ABCD的面积=四边形CGAH的面积，可以解答．
【规范解答】（1）证明：∵AD为直径，BF⊥AD，
∴ A´B=A´F，
∴∠ABF=∠ACB；
（2）解：如图1，过点C分别作AD和AB的垂线，垂足分别为G，H，
∵CD=BC
，
∴ C´D=B´C，
∴∠CAD=∠BAC，
∴CG=CH，
∴Rt△CGD≌Rt△CHB(HL)，
∴四边形ABCD的面积=四边形CGAH的面积，
∵CG=CH，AC=AC，∴Rt△ACG≌Rt△ACH(HL)，
∴S =S ，
△ACG △ACH
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∵AD=5❑√5，CD=5，
∴AC=❑√AD2−CD2 =❑√ (5❑√5) 2 −52 =10，
1 1
∵S = ⋅AC⋅CD= ⋅AD⋅CG，
△ACD 2 2
1 1
∴ ×5×10= ×5❑√5×CG，
2 2
∴CG=2❑√5，
由勾股定理得：AG=❑√AC2−CG2 =❑√102−(2❑√5) 2 =4❑√5，
1
∴四边形ABCD的面积=四边形CGAH的面积=2S =2× ×2❑√5×4❑√5=40．
△ACG 2
14．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的
动点，且AB=4❑√3，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°，则线
段OP的取范围 ．
【答案】46 D．r≥6
【答案】C
【思路点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当
d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d6．
故选：C．
易错题型12 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
23．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O半径为6cm，则圆心O到直
线l的距离可以是（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
【答案】A
【思路点拨】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
由直线与圆无公共点可知两者相离，圆心到直线的距离大于半径，据此判断即可．
【规范解答】解：根据题意得，⊙O与直线l无公共点，
则直线l与⊙O相离，
因此圆心O到直线l的距离大于6cm，
选项中只有7cm>6cm，
故选：A．
24．（24-25九年级上·全国·随堂练习）设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a
至多只有一个公共点，则d的取值范围是 ．
【答案】d≥4
【思路点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据题意可得⊙O与直线a相离或相切，即可求解．
【规范解答】解：∵⊙O与直线a至多只有一个公共点，
∴⊙O与直线a相离或相切，
∵⊙O的半径为4，
∴d≥4．
故答案为：d≥4
易错题型13 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
25．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右
侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终
在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切．【答案】2或3
【思路点拨】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于
这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定
与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，然后计算出
圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间．
【规范解答】解：当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，
∵开始时O点到AB的距离为5，
∴当圆向右移动5−1或5+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB相切，
∴t=(5−1)÷2=2(s)或t=(5+1)÷2=3(s)，
即⊙O与直线AB在2秒或3秒时相切．
故答案为：2或3．
26．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的
坐标为(−3,0)，将OP沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．3或5
【答案】B
【思路点拨】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆
心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位于y轴右侧，根据平移的性质和圆
的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【规范解答】解：⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，
∴OP=3，
∵⊙P的半径为2，
∴AP=BP=2，
∴OA=1，OB=5，∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1，
当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，
∴平移的距离为1或5，
故选：B．
易错题型14 求直线平移到与圆相切时运动的距离
27．（25-26九年级上·全国·课后作业）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线y=−x+b与
⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b≤2❑√2 B．−2❑√2≤b≤2❑√2 C．−2❑√3∠2
∴当∠MPN最大时，过M、N、P三点的圆与x轴相切于点P，设圆心坐标为(a,b)，则半径r=b，
P(a,0)．
根据圆心到M、N距离相等可得：
❑√ (a−0) 2 +(b−❑√2) 2 =❑√ (a−3❑√2) 2 +(b−4❑√2) 2
∴a2 +b2−2❑√2b+2=a2−6❑√2a+18+b2−8❑√2b+32
∴6❑√2a+6❑√2b=48
∴a+b=4❑√2
❑√2(a2 +2)
又因为r=b，MP的距离等于半径，即❑√ (a−0) 2 +(b−❑√2) 2 =b即b= ．
4
❑√2(a2 +2)
将b= 代入a+b=4❑√2得：
4
❑√2(a2 +2)
a+ =4❑√2
4
解得：a=4−❑√2或a=−4−❑√2（舍去）
∴点P的坐标为(4−❑√2,0)
30．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知Rt△ABC中，AC=6，BC=8，以C为圆心，以r为半
径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ．【答案】r=4.8或6AB，见解析
【思路点拨】（1）由EF=大圆的半径−小圆的半径，可求得EF=60公分，再根据中点性质即可求得
答案；
（2）根据AB为大圆的直径可得AB=160公分，再根据勾股定理可得CG=DG=10❑√89公分，进而可得CD=20❑√89公分，比较160与20❑√89的大小，即可得出答案．
【规范解答】（1）解：∵大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，
∴EF=大圆的半径−小圆的半径 =80−20=60(公分)，
∵G为EF中点，
1
∴GF= EF=30公分；
2
答：GF的长度为30公分．
（2）解：CD>AB，理由如下：
由题意得：AB=大圆的直径=80×2=160(公分)，
如图3，延长CH、EF交于点O，延长DK、FE交于点O'，则OC=OE=O'D=O'F=80公分，
∵EG=GF=30
（公分），
∴OG=O'G=50（公分），
∵∠O=∠O'=90°，
∴CG=❑√OC2 +OG2 =❑√802 +502 =10❑√89=DG，
∴CD=CG+DG=20❑√89（公分），
∵❑√89>8，
∴20❑√89>160，
即CD>AB.
44．（2024·河南周口·三模）已知一个等腰直角三角形ABC， ∠C=90°，AC=BC=❑√2，分别以
A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若CD的长度为2，则AD的长为 ．
【答案】❑√2或❑√10
【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键；
根据勾股定理求出AB，设AB与其垂直平分线的交点为E，分DE=CD−CE和DE=CD+CE两种情况讨
论，根据直角三角形的勾股定理分别求解即可．
【规范解答】以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点 D 在AB 的垂直平分线上．
∵ ∠C=90°，AC=BC=❑√2，∴AB=❑√AC2 +BC2 =2，
如图，
设AB与其垂直平分线的交点为E，
1
则 CE=AE= AB=1，
2
当CD的长为2时，如图，
即 CD =CD =2，
1 2
①在Rt△AED 中，
1
D E=CD −CE=2−1=1
1 1
∴AD =❑√AE2 +D E2 =❑√12 +12 =❑√2，
1 1
②在Rt△AED 中， D₂E=CD₂+CE=2+1=3 ，
2
∴AD₂=❑√AE2 +D E2 =❑√12 +32 =❑√10.
2
综上，AD 的长为❑√2或❑√10．
故答案为：❑√2或❑√10
易错题型23 圆与三角形的综合(圆的综合问题)
45．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为⊙O上一点，
A´C=C´E，CD⊥OB，垂足为D．
(1)连结CO，判断CO与AE的位置关系．并证明；(2)若AE=4，BD=1，求⊙O的半径．
【答案】(1)CO⊥AE，理由见解析
5
(2)
2
【思路点拨】（1）延长CO交AE于点G，连接OE，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可；
1
（2）由（1）中结论，CO⊥AE，AG= AE=2，先证明△AGO≌△CDO(AAS)，再根据勾股定理
2
即可．
【规范解答】（1）解：CO⊥AE，理由如下：
延长CO交AE于点G，连接OE，
∵A´C=C´E
，
∴∠AOC=∠COE,
∵∠AOG=180°−∠AOC,∠GOE=180°−∠EOC,
∴∠AOG=∠GOE,
∵OA=OE，
∴CO⊥AE；
1
（2）解：由（1）中结论，CO⊥AE，AG= AE=2，
2
∠AGO=∠CDO=90°,∠AOG=∠COD,AO=CO,
∴△AGO≌△CDO(AAS)，
∴AG=CD=2，
设⊙O的半径为r，则OD=r−1，OC=r,
在Rt△CDO中，CD2 +OD2 =OC2，
即22 +(r−1) 2 =r2，
5
解得：r= ，
2
5
即⊙O的半径为 ．
2
46．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线．
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，∠AOB=45°，求CB的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)3❑√2−3
【思路点拨】（1）先利用AD⊥OB，根据直角三角形的性质得到∠DAC+∠ACD=90°，然后由
OA=OC，根据等腰三角形的性质可得∠OAC=∠OCA，紧接着根据AC是∠BAD的平分线，得到
∠DAC=∠BAC，最后通过等量代换得出∠OAC+∠BAC=∠DAC+∠OCA=90°，即
∠OAB=90°，因为OA是⊙O的半径，根据圆的切线的判定定理证明结论；
（2）先根据∠AOB=45°，∠OAB=90°可判断△OAB是等腰直角三角形，得出AB=OA，然后在
Rt△OAB中，利用勾股定理OB2 =OA2 +AB2，结合AB=OA=OC=2，计算OB的长度，最后利用线
段的和差关系求出CB的长度．
【规范解答】（1）证明：∵AD⊥OB于点D，
∴∠ADB=90°，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°，
∴AB⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线．
（2）解：∵∠OAB=90°，∠AOB=45°，
∴∠B=∠AOB=45°，
∴AB=OA，
∵⊙O的半径为2，∴AB=OA=OC=2，
∴OB=❑√AB2 +OA2 =❑√2OA=3❑√2，
∴CB=OB−OC=3❑√2−3，
∴CB的长是3❑√2−3．
易错题型24 圆与四边形的综合(圆的综合问题
47．（2025·河南新乡·三模）如图，四边形ABCD中，BC=CD，且∠BAC=∠DAC=45°，连接
AC，BD．若AC=4，则四边形ABCD的面积为 ，BD的最小值为 ．
【答案】 8 4
【思路点拨】本题考查了四点共圆的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，三角形三边关
系，熟练掌握相关知识的是解题的关键．
由题先证明A,B,C,D四点共圆，得到∠BCD=90°，在AD的延长线上取DE=AB，连接CE，证明
1
△ABC≌△EDC(SAS)，得到AC=CE=4，求出S =S = AC⋅CE=8；连接AO,CO，
四边形ABCD △ACE 2
得到AO+CO=BD≥AC，即BD≥4，得到BD的最小值为4．
【规范解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥AD于点N，
∴∠M=∠ANC=∠DNC=90°，
∵∠BAC=∠DAC=45°，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∴ CM=CN，四边形AMCN是矩形，
∴∠MCN=90°
∵BC=CD，
∴Rt△BCM≌Rt△DCN(HL)，
∴∠BCM=∠DCN，
∴∠DCN+∠BCN=∠BCM+∠BCN=∠MCN=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCD+∠BAD=90°+90°=180°∴A,B,C,D
四点共圆，
设BD的中点为O，
∴BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°
如图，在AD的延长线上取DE=AB，连接CE，
∵∠ABC+∠ADC=180 ∠EDC+∠ADC=180°
， ，
∴∠ABE=∠EDC，
∴△ABC≌△EDC(SAS)，
∴AC=CE=4，∠ACB=∠ECD，
∴S =S ，
△ABC △ECD
∵∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD+∠ECD=90°，
1
∴S =S = AC⋅CE=8；
四边形ABCD △ACE 2
如图，连接AO,CO，
∴AO+CO=BD≥AC，即BD≥4，
∴BD的最小值为4；
故答案为：8，4 ．
48．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运
动，若⊙O的面积为6π ，MN＝1，则△AMN的周长的最小值是 ．【答案】6
【思路点拨】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的
关键．
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作C A′ ∥BD，且使C A′ =1，连接A A′交BD
于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【规范解答】解：连接AC，
⊙O的面积为6π ，则圆的半径为❑√6，则BD=2❑√6=AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，BD⊥AC，
过点C作C A′ ∥BD，且使C A′ ＝1，
∴C A′ ⊥AC，
连接A A′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
∵C A′ ∥BD，且A′C＝MN，则四边形MC A′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长=AM+AN+MN=A A' +1为最小，
则A′ A=❑√ (2❑√6) 2 +12 =5，
则△AMN的周长的最小值为5+1＝6，
故答案为：6．易错题型25 圆与函数的综合(圆的综合问题)
49．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2，0)，以点A
为圆心，OA为半径的⊙A，交x轴于点P，点B是⊙A上的一个动点，作点P关于点B的对称点Q，连接
PQ．
(1)当点Q刚好落在y轴上时，点B的坐标为_________；
❑√15
(2)点B在运动过程中，若线段PQ与反比例函数y= (x>0)有交点，求交点横坐标x的取值范围；
x
(3)若由点Q所组成的图形与直线y=kx−6k(k≠0)有且仅有一个交点时，请直接写出k的值．
【答案】(1)(−2,2)或(−2,−2)
(2)1≤x≤❑√15
2❑√5
(3)k=±
5
−4+0
【思路点拨】（1）由条件得点P(−4,0)，再根据中点坐标求出点B的横坐标为 =−2，由点B和点
2
A的横坐标相同得两个点在同一竖直方向上，则AB=2，点B的纵坐标为±2；
❑√15
（2）线段PQ与反比例函数y= (x>0)有交点的临界状态为点Q在反比例函数图象上，设点
x
( ❑√15) (a−4 ❑√15)
Q a, ，利用中点坐标表示出点B , ，利用AB=AO=2和勾股定理建立方程即可解出a
a 2 2a
的取值范围，即x的取值范围；
（3）连接OQ,OB，OP为直径，则直径所对的圆周角∠PBO=90°，结合BP=QP得OB垂直平分PQ，
OQ=OP=4，可判断点Q所组成的图形是以点O为圆心，4为半径的圆，则直线y=kx−6k(k≠0)与⊙O
相切；直线y=kx−6k=k(x−6)过定点(6,0)，设直线y=kx−6k(k≠0)与x轴交于点E，与y轴交于点F，
与 切于点 ，连接 ，利用勾股定理得 ，再通过三角形面积公式
⊙O M OM EF=❑√OF2 +OE2 =6❑√k2 +11 1
S = OE⋅OF= EF⋅OM列出方程求解即可．
△OEF 2 2
【规范解答】（1）解：∵点A的坐标为(−2，0)，
∴点P(−4,0)，⊙A的半径为2；
当点Q刚好落在y轴上时，点Q的横坐标为0，
∵点B为线段PQ中点，
−4+0
∴点B的横坐标为 =−2，
2
此时点B和点A在同一竖直方向，则点B(−2,2)或B(−2,−2)，
故答案为：(−2,2)或(−2,−2)．
( ❑√15)
（2）当点Q在反比例函数图象上时，设点Q a, ，
a
(a−4 ❑√15)
则点B , ，
2 2a
∵点B在圆上，
∴AB=AO=2， (a−4 +2 ) 2 + (❑√15) 2 =22，
2 a
解得a2 =1或a2 =15，
∵a>0，
∴a=1或a=❑√15，
∴1≤a≤❑√15，
即交点横坐标x的取值范围为1≤x≤❑√15．
（3）如图，连接OQ,OB，
∵OP为直径，
∴∠PBO=90°，
∵BP=QP，∴OB垂直平分PQ，
∴OQ=OP=4，
则点Q所组成的图形是以点O为圆心，4为半径的圆，
由条件得直线y=kx−6k(k≠0)与该圆相切，
∵y=kx−6k=k(x−6)，
∴直线过定点(6,0)，
设直线y=kx−6k(k≠0)与x轴交于点E，与y轴交于点F，与⊙O切于点M，连接OM，
∴F(0,−6k),E(6,0),OM=4，
∴OF=6|k),OE=6，
∴EF=❑√OF2 +OE2 =❑√(6k) 2 +62 =6❑√k2 +1，
1 1
∵S = OE⋅OF= EF⋅OM，
△OEF 2 2
1 1
∴ ×6×6|k)= ×6❑√k2 +1×4，
2 2
2❑√5
解得k=± ．
5
50．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）【阅读】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式
之一，若P (x ,y )，P (x ,y ) ，则P P =❑√(x −x ) 2 +(y −y ) 2．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
【理解】请用所学知识解决问题：已知⊙O的半径为3．
(1)如图1，P(x,y)为圆上任意一点，请探究x，y的关系式；(2)如图2，已知Q(a,b)，QA为⊙O切线，B(2,−1)，且QA=QB，求b与a的函数关系式；
【运用】如图3，点P在圆心为C(0,1)，半径为1的圆上运动，点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,−4)，
求当△PAB面积最大值时P点的坐标．
( 4 8)
【答案】（1）x2 +y2 =9；（2）b=2a−7；（3） − , ；
5 5
【思路点拨】（1）根据两点间距离公式可得答案；
（2）连OA、OQ，根据切线的性质，QA=QB得方程a2 +b2−9=(a−2) 2 +(b+1) 2，化简即可得到答案；
（3）过⊙C上一点作MN⊥AB，则MN与⊙C相切，MN∥AB与y轴交于点D，此时△APB的面积
4
最大为△NAB，过点C作CN⊥MN，延长NC与AB交于点Q，求得直线AB的表达式为y= x−4；再
3
CD BC ( 8)
计算得CQ=sin∠CBQ⋅BC=3；可证△CDN∽△CBQ，即 = ，可得D 0, ，根据
CN CQ 3
1 1 4 4
S = CN·DN= CD·NE，得N横坐标为 − ，设直线MN的表达式为：y= x+m过点D，代入即
△CND 2 2 5 3
可求得纵坐标，即为所求坐标.
【规范解答】解：（1）由题可得❑√(x−0) 2 +(y−0) 2 =3，
即x2 +y2 =9；
（2）如图；连OA、OQ，
∵QA为⊙O切线，
∴∠OAQ=90°，
∴QA2 =QO2−OA2 =a2 +b2−9，QB2 =(a−2) 2 +(b+1) 2，
又∵QA=QB，
∴QA2 =QB2，∴a2 +b2−9=(a−2) 2 +(b+1) 2 ，
整理得：b=2a−7．
（3）如图，过⊙C上一点作MN⊥AB，则MN与⊙C相切，MN∥AB与y轴交于点D，此时△APB
的面积最大为△NAB，作点C作CN⊥MN延长NC与AB交于点Q，
∴CQ⊥AB，
∵⊙C的半径为1，
∴NC=1，
∵A(3,0)，B(0,−4)，
∴设直线AB的表达式为：y=kx+b；
{0=3k+b) { k= 4 )
解得： 3 ，
−4=b¿
b=−4
4
∴直线AB的表达式为y= x−4 ；
3
∴OA=3，OB=4，
∴在Rt△ABO中，AB=❑√32 +42 =5，
OA 3
∴sin∠ABO= = ，
AB 5
∵在Rt△CBQ中，BC=5，
3
∴CQ=sin∠CBQ⋅BC= ×5=3，
5
∵ MN∥AB，
∴△CDN∽△CBQ，
CD BC
∴ = ，
CN CQCD 5 5
∴ = 即CD= ，
1 3 3
( 8)
则D 0, ，
3
在Rt△CDN中，DN=❑
√ (5) 2
−12 =
4
，
3 3
过点N 作NE⊥y轴于点E，
1 1
∵S = CN·DN= CD·NE ，
△CND 2 2
4 5 4
∴ ×1= ×NE，解得：NE= ；
3 3 5
4
∴N横坐标为 − ；
5
4
∵MN∥AB，设直线MN的表达式为：y= x+m过点D，
3
4 8
∴y= x+ ，
3 3
4 4 8 4 ( 4) 8 8
将N横坐标为 − 代入y= x+ 得y= × − + = ，
5 3 3 3 5 3 5
( 4 8)
∴N − , ，
5 5
( 4 8)
即P − , .
5 5
易错题型26 已知正多边形的中心角求边数
51．（2025九年级上·全国·专题练习）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【思路点拨】本题考查正多边形的中心角，正多边形的所有中心角之和为360°，且每个中心角相等，因此
边数等于360°除以中心角．
【规范解答】解：∵正多边形的中心角和为360°，且每个中心角相等，∴边数360°÷45°=8，
故选：C．
52．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅A 中，∠1=15°，
1 2 3 n
则n的值是 ．
【答案】12
【思路点拨】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值．
【规范解答】解：设点O为正n边形A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅A 外接圆的圆心，连接OA ，OA ，
1 2 3 n 1 2
∵∠1=15°，
∴∠A OA =2∠1=30°，
1 2
360
∴n= =12，
30
故答案为：12．
易错题型27 正多边形和圆的综合
53．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，OA=AB，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则
这个多边形是正 边形．
【答案】六【思路点拨】本题主要考查了圆的性质、等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质等知识点，根
据题意求出∠AOB=60°是解题的关键．
如图：连接OB，根据题意可得OA=AB=OB，进而证明△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，即
可得到这个多边形是正六边形．
【规范解答】解：如图，连接OB，则OB=OA，
∵OA=AB，
∴OA=AB=OB
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴360°÷60°=6，
∴这个多边形是正六边形．
故答案为：六．
54．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P在A´B上，连结
CP,CE，则∠CPE的度数为 ．
【答案】72°/72度
【思路点拨】此题考查了正多边形与圆以及圆心角、圆周角的关系，解题的关键是掌握圆内接正五边形的
性质以及圆周角与圆心角的关系．
连接OE，OC，OD，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得∠CPE的度数．
【规范解答】解：如图，连接OE，OC，OD，ABCDE ⊙O
∵正五边形 内接于 ，
360°
∴∠EOC= ×2=144°，
5
1 1
∴∠CPE= ∠EOC= ×144°=72°．
2 2
故答案为：72°．
易错题型28 尺规作图——正多边形
55．（2024·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙O经过格点A．
（1）⊙O的周长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙O的内接等边△ABC，并简要说明点B，C的位
置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 2❑√5π 见解析
【思路点拨】（1）利用勾股定理可得答案；
（2）延长AO交网格线于点D，取格点E，F，连接EF交网格线于点G，作直线DG交⊙O于点B，C，连
接AB，AC，则△ABC即为所求．
【规范解答】（1）∵⊙O的半径为：OA=❑√12 +22 =❑√5，
∴⊙O的周长2×π×❑√5=2❑√5π，
故答案为：2❑√5π（2）如图：
∵OE=EF=❑√12 +22 =❑√5,OF=❑√12 +32 =❑√10，
又∵(❑√5) 2 +(❑√5) 2 =(❑√10) 2 ，
∴OE2 +EF2 =OF2，
∴∠OEG=90°．
1
∵tan∠OAF=tan∠AFE= ，
2
∴∠OAF=∠AFE，
∴OA∥EF．
1
∵DM∥NP,OM= OP，
2
1 ❑√5
∴OD= ON= ．
2 2
1
∵GL∥FH,EL= EH，
2
1 ❑√5
∴EG= EF= ．
2 2
∴EG=OD，
∵EG∥OD，
∴四边形OEGD是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴▱OEGD是矩形．
∴∠ADG=90°，
∴∠ODC=90°，
❑√5
∵OC=❑√5,OD= ,∠ODC=90°，
2
❑√5
∴ 2 1，
cos∠COD= =
❑√5 2
∴∠COD=60°，
1
∴∠CAO= ∠COD=30°．
2
∵∠ADG=90°，∴AD⊥CB，
∵AD过圆心, AD⊥CB，
∴A´C=A´B,C´N=B´N，
∴AC=AB,∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠CAB=30°+30°=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：如图，延长AO交网格线于点D，取格点E，F，连接EF交网格线于点G，作直线DG交⊙O于
点B，C，连接AB，AC，则△ABC即为所求．
56．（2024·陕西·模拟预测）如图，已知⊙O，点A在圆上，请以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．
（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【思路点拨】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于B、D，则四边形ABCD为正方形．
【规范解答】解：如图，正方形ABCD为所作．易错题型29 求图形旋转后扫过的面积
57．（25-26九年级上·浙江温州·期中）在5×5的方格纸中，按要求画出格点三角形(顶点均在格点上的
三角形).
(1)将图中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A′B′C；
(2)求线段CB所扫过的区域面积．
【答案】(1)作图见详解
5
(2) π
4
【思路点拨】本题考查作图-旋转变换、扇形面积的计算，熟练掌握旋转的性质、扇形的面积公式是解答
本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）利用勾股定理求出BC的长，再利用扇形面积公式计算即可．
【规范解答】（1）解：如图所示：
∴△A′B′C
即为所求；（2）解：由勾股定理得BC=❑√22 +12 =❑√5，
由（1）知，线段CB绕点C按顺时针方向旋转90°，
90π ×(❑√5) 2 5
∴线段CB所扫过的区域面积为 = π ．
360 4
58．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)△A B C 与△ABC关于原点O对称，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC绕点A逆时针旋转90°，在网格中画出旋转后对应的△AB C ，并求出此过程中线段AC扫
2 2
过的面积．
【答案】(1)见解析
13
(2)图见解析， π
4
【思路点拨】本题考查了求图形旋转后扫过的面积，画旋转图形，求关于原点对称的点的坐标，解题关键
是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）分别作出三角形关于原点的对称点，再顺次连结即可；
（2）先根据旋转方向与角度，画出旋转后的图形，再求出AC扫过的面积．
【规范解答】（1）解：如图，A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)关于原点对称的点分别为：
A (−1,−1)，B(−4,−2)，C(−3,−4)，
1
所以ΔA B C 即为所求，
1 1 1（2）如图，ΔAB C 即为所求，
2 2
AC=❑√22 +32 =❑√13
，
90π ⋅(❑√13) 2 13
所以S= = π ．
360 4
易错题型30 圆锥侧面上最短路径问题
59．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑
上装饰一条灯带，灯带自B处开始绕侧面一周又回到点B，若这个圆锥形建筑物的底面周长为40πcm，母
线AB的长为60cm，则这条灯带的最短长度是（ ）
A．40cm B．60cm C．30❑√3cm D．60❑√3cm
【答案】D
【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运
用勾股定理求出BB 的长即可．
1
【规范解答】如图，扇形BAB 为圆锥的侧面展开图，连接BB ．
1 1∵ 40πcm AB 60cm
圆锥形底面周长为 ，母线 的长为 ，
nπ×60
∴40π= ．解得n=120°，即∠BAB =120°，
180° 1
∵AB=AB ，
1
∴∠ABB =∠AB B=30°，
1 1
过点A作AD⊥BB 于点D，
1
∴∠ADB=90°．
∵AB=60cm．
∴AD=30cm，BD=30❑√3cm，
∵AB=AB ，AD垂直BB ，
1 1
1
∴B D=BD= BB ，
1 2 1
∴BB =60❑√3cm．
1
故这条灯带的最短长度为60❑√3cm，
故选D．
60．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践
问题情境：如图1，将一个圆心角为n°、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为
r，点A与点A′重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料．
(1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）．(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n；
(3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，AB=6cm，R=6cm，C是PB中点，现要从点A到点 C
再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值．
【答案】(1)相等；
360r
(2)n= ；
R
(3)6❑√5cm
【思路点拨】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相
关计算是解题的关键．
（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解；
nπR
（2）根据2πr= 求解即可；
180
（3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，进而根据勾股定理求解即可．
【规范解答】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥
底面周长相等．
故答案为：相等．
（2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得：
nπR 360r
则：2πr= ，即：n= ．
180 R
（3）解：如图：
∵AB=6cm，R=6cm，
1
∴r= AB=3cm，
2
360×3
∴n= =180，
6
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，1
∴∠A′PC= ×180°=90°，
2
∵PA′ =PB=6，C是PB中点，
1
∴PC= PB=3cm，
2
∴在Rt△A′PC中，A′C=❑√PA′2 +PC2 =❑√62 +32 =3❑√5cm，
∴彩带长度的最小值为6❑√5cm．
