专题04 圆
（30个高频易错题型讲练 共60题 新教材）
【解析版】
易错题型1 利用垂径定理求同心圆问题............................................................................................................................1
易错题型2 利用垂径定理求解其他问题............................................................................................................................4
易错题型3 求圆弧的度数........................................................................................................................................................5
易错题型4 同弧或等弧所对的圆周角相等.......................................................................................................................7
易错题型5 半圆(直径)所对的圆周角是直角................................................................................................................10
易错题型6 90度的圆周角所对的弦是直径....................................................................................................................12
易错题型7 求四边形外接圆的直径...................................................................................................................................15
易错题型8 点与圆上一点的最值问题..............................................................................................................................18
易错题型9 确定圆心(尺规作图)........................................................................................................................................20
易错题型10 画圆(尺规作图)...............................................................................................................................................23
易错题型11 已知直线和圆的位置关系求半径的取值................................................................................................24
易错题型12 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离..................................................................................25
易错题型13 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离...........................................................................................26
易错题型14 求直线平移到与圆相切时运动的距离.....................................................................................................27
易错题型15 切线的应用........................................................................................................................................................29
易错题型16 切线的性质和判定的综合应用...................................................................................................................31
易错题型17 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系.......................................................................................34
易错题型18 圆外切四边形模型..........................................................................................................................................36
易错题型19 三角形内心有关应用.....................................................................................................................................38
易错题型20 三角形内切圆与外接圆综合.......................................................................................................................41
易错题型21 过圆外一点作圆的切线(尺规作图).........................................................................................................44
易错题型22 圆内知识综合(圆的综合问题)...................................................................................................................47
易错题型23 圆与三角形的综合(圆的综合问题).........................................................................................................49
易错题型24 圆与四边形的综合(圆的综合问题............................................................................................................51
易错题型25 圆与函数的综合(圆的综合问题)..............................................................................................................54
易错题型26 已知正多边形的中心角求边数...................................................................................................................59易错题型27 正多边形和圆的综合.....................................................................................................................................60
易错题型28 尺规作图——正多边形.................................................................................................................................62
易错题型29 求图形旋转后扫过的面积............................................................................................................................65
易错题型30 圆锥侧面上最短路径问题............................................................................................................................67
易错题型1 利用垂径定理求同心圆问题
1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和❑√34的两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点，若CD=8，则AB的大小为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【思路点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接OD,OB，过点O作
1
OH⊥CD于点H，由垂径定理可得DH=CH= CD=4,HB=HA，再由勾股定理可得
2
OH2 =OD2−H D2 =OB2−BH2，求出BH，即可求解AB．
【规范解答】解：连接OD,OB，过点O作OH⊥CD于点H，
∵OH⊥CD，OH经过圆心，
1
∴DH=CH= CD=4,HB=HA，
2
∵OD=5,OB=❑√34，
∴OH2 =OD2−H D2 =OB2−BH2，∴OH2 =25−16=34−BH2
∴BH=5（舍去负值），
∴AB=2BH=10
故选：C．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D
两点．
(1)求证：AC=BD．
(2)若AC=2,BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为❑√17.
【思路点拨】（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可知E为CD和AB的中点，则可证得结论；
（2）连接OC,OA，由条件可求得CD的长，则可求得CE和AE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理可
求得OE的长，在Rt△COE中可求得OC的长；
【规范解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图1，
由垂径定理可得AE=BE,CE=DE,
∴AE−CE=BE−DE,
∴AC=BD.
（2）解：连接OC,OA，如图2，∵AC=2,BC=4，
∴AB=2+4=6，
∴AE=3，
∴CE=AE−AC=1，
在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2 =OA2−AE2 =52−32 =16，
在Rt△COE中，由勾股定理可得OC2 =OE2 +CE2 =16+12 =17,
∴OC=❑√17，即小圆的半径r为❑√17．
易错题型2 利用垂径定理求解其他问题
3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．圆心角相等，则所对的弧也相等
C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等
【答案】C
【思路点拨】根据圆的相关定理逐一判断各命题的正确性解答即可．
本题考查圆的基本性质，垂径定理及其推论，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【规范解答】解：根据题意，得
A：∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但若弦为直径，则平分它的直径不一定垂直，∴A错误；
B：∵圆心角相等所对的弧相等必须基于同圆或等圆，命题未指定条件，
∴B错误；
C：∵直径是通过圆心的弦，且是圆中最长的弦，
∴C正确；
D：∵同圆中两条等弦所对的弧可能一是优弧一是劣弧，弧长不一定相等，
∴D错误．
故选：C．
4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、
A、B、C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，画出过A、B、C三点
的圆，圆心为点P．(1)B，C两点的坐标分别为B（___________），C（___________）；
(2)圆心P的坐标为（___________）；
(3)求出圆P的半径．
【答案】(1)(2,−1)，(−4,−1)；
(2)(−1,−2)
(3)❑√10
【思路点拨】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，根据垂径定理确定圆心的位置是解题的关键．
（1）根据平面直角坐标系写出坐标即可；
（2）连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线交于点P，则点P是过A、B、C三点的圆的圆心，根
据平面直角坐标系写出坐标即可；
（3）连接PC，利用勾股定理求解即可．
【规范解答】（1）解：由平面直角坐标系可得，B(2,−1)，C(−4,−1)，
故答案为：(2,−1)，(−4,−1)；
（2）解：如图，连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线交于点P，则点P是过A、B、C三点的圆
的圆心，
由坐标系可知，圆心P的坐标为(−1,−2)，
故答案为：(−1,−2)；
（3）解：如图，连接PC，
由勾股定理得PC=❑√12 +32 =❑√10，
即圆P的半径为❑√10．
易错题型3 求圆弧的度数
5．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
(1)若∠A=35°，求D´E的度数；
(2)若BC=6,AC=8，求BD的长．
【答案】(1)20°
36
(2)
5
【思路点拨】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添
加辅助线构造直角三角形．
（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，根据垂径定理得到BH=DH，再利用勾股定理计算出AB=10，接着利
24
用面积法计算出CH= ，然后利用勾股定理计算出BH，从而得到BD的长．
5
【规范解答】（1）解：连接CD，
∵∠A=35°，∠C=90°，
∴∠B=55°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=55°，
∴∠BCD=180°−∠B−∠CDB=70°，
∴∠DCE=∠ACB−∠BCD=20°，
∴D´E的度数为20°；
（2）解：过点C作CH⊥BD于点H，则BH=DH，
在Rt△ABC中，BC=6,AC=8，∴AB=❑√BC2 +AC2 =❑√62 +82 =10，
1 1
∵ CH⋅AB= BC⋅AC，
2 2
6×8 24
∴CH= = ，
10 5
√ 24 2 18
∴在Rt△BCH中， BH=❑√BC2−CH2 =❑62−( ) = ，
5 5
36
∴BD=2BH= ．
5
6．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，在△ABC中∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆
交AB于点D，交AC于点E．
(1)若∠A=28°，求D´E的度数；
(2)若BC=3，AC=4，求BD的长．
【答案】(1)34°
18
(2)
5
【思路点拨】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．
（1）先求出∠B的度数，再求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）作CH⊥BD，根据垂径定理得到BH=DH，再利用勾股定理计算出AB=5，接着利用面积法计算
12
出CH= ，然后利用勾股定理计算出BH，从而得到BD的长．
5
【规范解答】（1）解：连接CD，
∵∠A=28° ∠ACB=90°
， ，
∴∠B=62°，∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=62°，
∴∠BCD=56°，
∴∠DCE=34°，
∴D´E的度数为34°；
（2）解：作CH⊥BD，则BH=DH，
在Rt△ACB中，AB=❑√BC2 +AC2 =❑√32 +42 =5，
1 1
∵ CH⋅AB= BC⋅AC，
2 2
3×4 12
∴CH= = ，
5 5
在Rt△BCH中，BH=❑√BC2−CH2 =❑
√
32−
(12) 2
=
9
，
5 5
18
∴BD=2BH= ．
5
易错题型4 同弧或等弧所对的圆周角相等
7．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，AB是⊙O的直径，C是A´D的中点，连接CA，CD，CO．
(1)求证：OC∥DB；
(2)若⊙O的半径是5，DB=8，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)❑√10
【思路点拨】（1）连接OD，根据圆周角定理，平行线的判定只能即可；
（2）连接AD，交OC于点E，利用垂径定理，勾股定理解答即可．
本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性
质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
【规范解答】（1）证明：连接OD．∵C是A´D的中点，
∴A´C=D´C，
∴∠AOC=∠DOC
，
∵∠AOD=2∠B，
∴∠AOC=∠B，
∴OC∥DB．
（2）解：连接AD，交OC于点E．
∵半径是5，
∴AB=10
，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ADB中，AD=❑√AB2−BD2 =6，
∵OC∥DB，
∴OC⊥AD，
∴AE=DE=3，
∴在Rt△AOE中，OE=❑√OA2−AE2 =4，
∴CE=OC−OE=1，
∴在Rt△ACE中，AC=❑√CE2 +AE2 =❑√10．
8．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，
点A是劣弧B´E的中点．若∠D=92°，则∠AEB的度数是（ ）A．40° B．44° C．45° D．46°
【答案】B
【思路点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质、角平分线的定义以及弧与圆周角的关系，熟练掌握圆
内接四边形的性质是解题的关键．
先利用圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数，再由角平分线的定义得出∠ABE的度数，最后根据圆周
角定理即可求解．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°−∠D=180°−92°=88°，
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠ABE= ∠ABC=44°，
2
∵点A是劣弧B´E的中点，
∴A´B=A´E，
∴∠AEB=∠ABE=44°．
故选：B
易错题型5 半圆(直径)所对的圆周角是直角
9．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，
AB=10cm，BC=6cm，若点P是直径AB上一动点，当△PBC是等腰三角形时，AP= cm．
【答案】2.8或4或5
【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，根据圆周角定理分三种情况，当B为顶点，即
BC=BP时；当C为顶点，即CP=CB时；当P为顶点，即CP=BP时，分别进行解答即可
【规范解答】解：当B为顶点，即BC=BP=6cm时，AP =AB−BP
1 1
=10−6
=4；
当C为顶点，即CP=CB时，过点C作CD⊥AB于点D，
∴BP =2BD，
2
∵ AB ⊙O
是 的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△BAC中，AC=❑√AB2−BC2 =8，
1 1
∵S = AC⋅BC= AB⋅CD，
△ABC 2 2
8×6
解得CD= =4.8，
10
∴BD=❑√BC2−CD2 =3.6，
∴AP =AB−BP =AB−2BD=2.8；
2 2
当P为顶点，即CP=BP时，P与O重合，
∵ AB是⊙O的直径，AB=10cm ，
∴AP =r=5，
3
综上所述，AP为2.8或4或5，
故答案为：2.8或4或5．
10．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，点B是⊙O上一点，AD为⊙O的直径，点C在⊙O上
且平分A´D．(1)连接BC，∠ABC= _____°．
(2)若AC=5❑√2，BD=6，求AB的长．
【答案】(1)45
(2)8
【思路点拨】本题考查圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
（1）由直径所对的圆周角为90度可得∠ACD=90°，由等弧所对的圆周角相等，可得
∠ADC=∠CAD=45°，由同弧所对的圆周角相等，可得∠ABC=∠ADC=45°；
（2）由点C在⊙O上且平分A´D，可得AC=DC=5❑√2，再由勾股定理解Rt△ACD，Rt△ABD即可．
【规范解答】（1）解：∵ AD为⊙O的直径，
∴ ∠ACD=90°，
∵点C在⊙O上且平分A´D，
∴ A´C=D´C，
∴ ∠ADC=∠CAD，
1 1
∴ ∠ADC= (180°−∠ACD)= ×(180°−90°)=45°，
2 2
∴ ∠ABC=∠ADC=45°，
故答案为：45；
（2）解：∵ AD为⊙O的直径，
∴ ∠ACD=∠ABD=90°，
∵点C在⊙O上且平分A´D，
∴ A´C=D´C，
∴ AC=DC=5❑√2，
∴ AD=❑√AC2 +CD2 =❑√2AC=❑√2×5❑√2=10，
在Rt△ABD中，AB2 +BD2 =AD2，
∴ AB=❑√AD2−BD2 =❑√102−62 =8．易错题型6 90度的圆周角所对的弦是直径
11．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）数学课堂上，王老师带同学们利用直角三角尺检查某种半圆形
零件是否合格，下列四个零件中，合格的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查圆周角定理，根据直角所对的弦为直径，进行判断即可．
【规范解答】解：由直角所对的弦为直径，可知，只有选项C中的零件是合格的；
故选C．
12．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图1，将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”
形图案，AB=3，AD=6．
(1)请直接写出△ACF的形状；
(2)在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转．
①如图2，当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，求△CMF的面积；
②如图3，连接AE，取AE的中点H，连接DH，求线段DH长度的最大值和最小值．
【答案】(1)△ACF为等腰直角三角形
45 3❑√5+3 3❑√5−3
(2)① ；②最大值为 ，最小值为
8 2 2
【思路点拨】（1）证明△ABC≌△FGC，可得∠BAC=∠GFC，从而得到∠GFC=∠ACG，进
而得到∠ACF=90°，即可求解；
（2）①证明△CDM≌△FGM，可得CM=FM，再由等腰三角形的性质可得AD=DF=6，然后在15
Rt△CDM中，利用勾股定理可得FM= ，即可求解；②连接DE，取DE的中点P，连接HP,CP，取
4
AD,BC的中点M、N，连接MN,MH,NH，证明四边形MHPD是平行四边形，可得
MD=HP,MD∥HP，再根据四边形HNCP是平行四边形，可得∠MHN=90°，从而得到点H在以
3❑√5
MN为直径的圆上，设MN的中点为点T，再根据勾股定理可得DT= ，即可求解．
2
【规范解答】（1）解：∵两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG，
∴AC=CF，AB=GF,∠FGC=∠ABC=90°,BC=CG，
∴△ABC≌△FGC，
∴∠BAC=∠GFC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACG，
∴∠GFC=∠ACG，
∵∠GFC+∠GCF=180°−∠CGF=90°，
∴∠GCF+∠ACG=90°，
∴∠ACF=90°，
∴△ACF为等腰直角三角形；
（2）解：①∵∠CMD=∠FMG,∠CDF=∠CGF=90°,CD=FG，
∴△CDM≌△FGM，
∴CM=FM，
∵AC=CF，CD⊥AD，
∴AD=DF=6，
在Rt△CDM中，CD2 +DM2 =CM2，AB=CD=3，
∴32 +(6−FM) 2 =FM2，
15
解得：FM= ，
4
1 1 15 45
∴S = CD×FM= ×3× = ；
△CFM 2 2 4 8
②连接DE，取DE的中点P，连接HP,CP，取AD,BC的中点M、N，连接MN,MH,NH，则
1
MN=AB=3,DM= AD=3，
2∵点H是AE的中点，
1
∴MH∥DE, MH= DE，
2
∵CD=CE，
∴CP⊥DE, DP=PE，
∵MH∥DP,MH=DP，
∴四边形MHPD是平行四边形，
∴MD=HP,MD∥HP，
∵AD∥BC,MD=CN，
∴HP∥CN,HP=CN，
∴四边形HNCP是平行四边形，
∴NH∥CP，
∴∠MHN=90°，
∴点H在以MN为直径的圆上，
设MN的中点为点T，
∴DT=❑√MT2 +DM2 =❑
√ (MN) 2
+
(AD) 2
=❑
√ (3) 2
+32 =
3❑√5
，且⊙T的半径为
3
，
2 2 2 2 2
3❑√5 3 3+❑√5 3❑√5 3 3❑√5−3
∴DH的最大值为 + = ，最小值为 − = ．
2 2 2 2 2 2
易错题型7 求四边形外接圆的直径
13．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，BC=CD=5，
AD=5❑√5，E为对角线AC上一动点，连结BE并延长交⊙O于点F．(1)若BF⊥AD，求证：∠ABF=∠ACB；
(2)求四边形ABCD的面积；
【答案】(1)见解析
(2)40
【思路点拨】本题主要考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质和判定，全等三角形，解直角三角形等知
识；
（1）先根据垂径定理可得：A´B=A´F，再由圆周角定理可得结论；
（2）如图1，过点C分别作AD和AB的垂线，垂足分别为G，H，证明Rt△CGD≌Rt△CHB(HL)，
则四边形ABCD的面积=四边形CGAH的面积，可以解答．
【规范解答】（1）证明：∵AD为直径，BF⊥AD，
∴ A´B=A´F，
∴∠ABF=∠ACB；
（2）解：如图1，过点C分别作AD和AB的垂线，垂足分别为G，H，
∵CD=BC
，
∴ C´D=B´C，
∴∠CAD=∠BAC，
∴CG=CH，
∴Rt△CGD≌Rt△CHB(HL)，
∴四边形ABCD的面积=四边形CGAH的面积，
∵CG=CH，AC=AC，∴Rt△ACG≌Rt△ACH(HL)，
∴S =S ，
△ACG △ACH
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∵AD=5❑√5，CD=5，
∴AC=❑√AD2−CD2 =❑√ (5❑√5) 2 −52 =10，
1 1
∵S = ⋅AC⋅CD= ⋅AD⋅CG，
△ACD 2 2
1 1
∴ ×5×10= ×5❑√5×CG，
2 2
∴CG=2❑√5，
由勾股定理得：AG=❑√AC2−CG2 =❑√102−(2❑√5) 2 =4❑√5，
1
∴四边形ABCD的面积=四边形CGAH的面积=2S =2× ×2❑√5×4❑√5=40．
△ACG 2
14．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的
动点，且AB=4❑√3，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°，则线
段OP的取范围 ．
【答案】4<OP≤8
【思路点拨】如图，由条件可以得出AOBP四点共圆，当OP是圆的直径时OP的值最大，当点O与点A或
点B重合时OP的值最小，通过解直角三角形就可以求出结论．
【规范解答】解：∵∠MON=60°，∠APB=120°，
∴∠MON+∠APB=180°，
∴四边形APBO四点共圆．
∴当OP为直径时，OP最大，∴∠OAP=90°
．
∵AP=BP，
1 1
∴∠AOP=∠BOP= ∠AOB=30°，∠PAB=∠PBA=30°，AD=BD= AB=2❑√3，
2 2
∴∠APO=60°，
∴∠ADP=90°．
∴AP=2DP，
在Rt△ADP中，由勾股定理，得
DP=2，
∴AP=4．
∵∠AOP=30°，
∴OP=2AP，
∴OP=8．
当点O与顶A重合时，OP最小．作PD⊥AB于点D．
∵AP=BP
，
1
∴AD= AB=2❑√3．
2
∵∠APB=120°，
∴∠PAD=30°，
∴AP=2DP．
在Rt△ADP中，由勾股定理，得
DP=2，
∴AP=4，即OP=4．
∴OP的取值范围是：4<OP≤8．
故答案为：4<OP≤8．
易错题型8 点与圆上一点的最值问题
15．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为(−2,0)，
(3,0)，(4,4)，以点C为圆心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线
段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
❑√113−5
【答案】
2
【思路点拨】连接CM，由垂径定理得出CM⊥QP，利用圆周角定理即可得出点M在以AC为直径的圆H
1 5 (1 )
上，则HC=MH= AC= ，可得H ,0 ，当H、M、N三点共线时，MN有最小值，由勾股定理，
2 2 2
可得HN，即可得线段MN的最小值．
【规范解答】解：连接CM，
∵A(−2,0)，C(3,0)，
∴AC=5，
∵M是QP的中点，∴CM⊥QP，
∴∠AMC=90°，
∴点M在以AC为直径的圆H上，
1 5
∴HC=MH= AC= ，
2 2
(1 )
∴H ,0 ，
2
当H、M、N三点共线时，MN有最小值，
∵N(4,4)，
√ 1 ❑√113
∴HN=❑(4− ) 2 +(4−0) 2 = ，
2 2
❑√113 5 ❑√113−5
∴MN=HN−HM= − = ，
2 2 2
❑√113−5
∴线段MN的最小值为 ，
2
❑√113−5
故答案为： ．
2
16．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半
径作⊙A．若动点E在⊙A上，动点P在BC上，则PE+PD的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【思路点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本
题的关键．以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，并延长，交
⊙A′于一点G，则DE'就是PE+PD最小值；根据勾股定理求得A′D的长，即可求得PE+PD最小值．
【规范解答】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于
P，并延长，交⊙A′于一点G，则DE'就是PE+PD最小值；∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，圆A的半径为1，
∴A′D′ =BC=3,DD′ =2DC=2AB=4,A′G=A′E′ =1，
∴A'D=❑√A'D'2 +DD'2 =5，
∴A'G=5−1=4，
即PE+PD的最小值为4，
故选：A．
易错题型9 确定圆心(尺规作图)
17．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，AB，CD是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点P，
且PB=PD．
(1)用直尺和圆规作出该圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：PA=PC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路点拨】考查了作图，利用垂径定理确定圆心，圆周角定理以及全等三角形的判定与性质，解决本题
的关键是证明△ADP≌△CBP．
（1）根据垂径定理，作线段AC，CD的垂直平分线，交点即为所求；
（2）根据圆周角定理可得∠ABC=∠ADC，由此可得∠PBC=∠PDA，再由角边角的证明方法证明
△ADP≌△CBP，由此可证．
【规范解答】（1）解：如图，分别作线段AC，CD的垂直平分线，相交于点O，
则点O即为所求．（2）证明：由圆周角定理可得，∠ABC=∠ADC，
∴∠PBC=∠PDA．
∵∠APD=∠CPB，PB=PD，
在△ADP与△CBP中，
{∠APD=∠CPB
)
PB=PD ，
∠PBC=∠PDA
∴△ADP≌△CBP(ASA)，
∴PA=PC．
18．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）小明和小丽在一次综合实践活动中，尝试用一张矩形纸条测量
马克杯杯口的直径．他们的方法是：将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、
C、D四点．
(1)小明利用尺规作图找到圆心，进而度量出直径大小，请你用尺规作图在图1中确定圆心O；
(2)小丽利用刻度尺测量纸条的宽为7cm,AB=8cm,CD=6cm，请你根据上述数据计算纸杯的直径（请利
用图2解答）．
【答案】(1)见解析
(2)10cm
【思路点拨】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，垂直平分线的性质，关键是通过作辅助线构造直角三
角形；
（1）连接BC，分别作BC与AB的垂直平分线，交于一点O，即可求解；
1 1
（2）连接CO，BO，过圆心作EF⊥AB，得CF=DF= CD=3，AE=BE= AB=4，设OF=a，
2 2那么OE=7−a，根据在Rt△OFC与Rt△OEB中，OB2 =OC2，可知a2 +32 =(7−a) 2 +42，即可求解.
【规范解答】（1）解：如图：连接BC，分别作BC与AB的垂直平分线，交于一点O，即是圆心O，
下图O即为所求：
（2）解：连接CO，BO，过圆心作EF⊥AB，
∵EF=7cm,AB=8cm,CD=6cm，
1 1
∴CF=DF= CD=3cm，AE=BE= AB=4cm，
2 2
设OF=a，那么OE=7−a，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴在Rt△OFC与Rt△OEB中，OB2 =OC2，
∴a2 +32 =(7−a) 2 +42，
解得：a=4；
∴OC=❑√32 +42 =5 ，
∴纸杯的直径为2OC=10cm.
易错题型10 画圆(尺规作图)
19．（25-26九年级上·广东汕头·月考）实践与操作：
已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．
（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）
【答案】见解析【思路点拨】此题主要考查了尺规作图，圆的基本性质，熟练掌握常见尺规作图是解题的关键．
作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆
心．
【规范解答】解：如图，⊙O即为所求．
（1）作出∠CAB的角平分线，
（2）作出线段BC的垂直平分线交于O，
（3）以O点为圆心，OB为半径，作圆O，如下图所示：
即⊙O为所求的圆．
20．（25-26九年级上·浙江·课后作业）设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形．
(1)到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形．
(2)到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路点拨】本题考查的是圆的认识，掌握点与圆的位置关系是解决此题的关键．
（1）根据“到定点的距离等于定长的所有点的集合是圆”可知，到点A和点B的距离都等于2cm的所有点
组成的图形为⊙A和⊙B的交点，据此可画出图形；
（2）根据“到点A和点B的距离小于2cm的所有点组成的图形，是半径为2cm的⊙A和⊙B的公共部
分”，可画出图形．
【规范解答】（1）解：作图如下：∵到点B的距离等于2cm的点组成的图形是以B为圆心、以2cm长为半径的圆，
到点A的距离等于2cm的点组成的图形是以A为圆心、以2cm长为半径的圆，
∴到点B和点A的距离都等于2cm的所有点组成的图形为⊙A和⊙B的交点，即点D和点C；
（2）解：作图如下：
到点B和点A的距离都小于2cm的所有点组成的图形为⊙A和⊙B的公共部分（不包括公共部分的两条
弧），即图中的阴影部分．
易错题型11 已知直线和圆的位置关系求半径的取值
21．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5cm．以点O为圆心，
rcm为半径画圆．当⊙O上有且只有2个点到直线l的距离等于3cm时，则r的取值范围是 ．
【答案】2<r<8
【思路点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，理解题意是解题的关键．以点O为圆心的圆上只有两
点到直线l的距离为5cm，则两个交点在到直线l的距离是3cm的直线m上，圆与直线l的位置关系是相
交，据此即可判断．
【规范解答】解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为3cm，则两个交点在到直线l的距离是
3cm的直线l上．
则直线l到圆心O的距离是：5+3=8cm或5−3=2cm．
圆O与直线l相交，因而该圆的半径r的取值范围是2<r<8．
故答案为：2<r<8．
22．（2025九年级上·山东·专题练习）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的
取值范围是（ ）
A．r<6 B．r=6 C．r>6 D．r≥6
【答案】C
【思路点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当
d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径．
【规范解答】解：∵直线l与⊙O相交，
∴点O到直线l的距离d<r，
又∵d=6，
∴r>6．
故选：C．
易错题型12 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
23．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O半径为6cm，则圆心O到直
线l的距离可以是（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
【答案】A
【思路点拨】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
由直线与圆无公共点可知两者相离，圆心到直线的距离大于半径，据此判断即可．
【规范解答】解：根据题意得，⊙O与直线l无公共点，
则直线l与⊙O相离，
因此圆心O到直线l的距离大于6cm，
选项中只有7cm>6cm，
故选：A．
24．（24-25九年级上·全国·随堂练习）设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a
至多只有一个公共点，则d的取值范围是 ．
【答案】d≥4
【思路点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据题意可得⊙O与直线a相离或相切，即可求解．
【规范解答】解：∵⊙O与直线a至多只有一个公共点，
∴⊙O与直线a相离或相切，
∵⊙O的半径为4，
∴d≥4．
故答案为：d≥4
易错题型13 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
25．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右
侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终
在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切．【答案】2或3
【思路点拨】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于
这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定
与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，然后计算出
圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间．
【规范解答】解：当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，
∵开始时O点到AB的距离为5，
∴当圆向右移动5−1或5+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB相切，
∴t=(5−1)÷2=2(s)或t=(5+1)÷2=3(s)，
即⊙O与直线AB在2秒或3秒时相切．
故答案为：2或3．
26．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的
坐标为(−3,0)，将OP沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．3或5
【答案】B
【思路点拨】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆
心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位于y轴右侧，根据平移的性质和圆
的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【规范解答】解：⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，
∴OP=3，
∵⊙P的半径为2，
∴AP=BP=2，
∴OA=1，OB=5，∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1，
当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，
∴平移的距离为1或5，
故选：B．
易错题型14 求直线平移到与圆相切时运动的距离
27．（25-26九年级上·全国·课后作业）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线y=−x+b与
⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b≤2❑√2 B．−2❑√2≤b≤2❑√2 C．−2❑√3<b<2❑√3 D．−2❑√2<b<2❑√2
【答案】D
【思路点拨】求出直线y=−x+b与⊙O相切时b的值，即可求出b的取值范围．
【规范解答】解：当直线y=−x+b与圆相切，且函数图象经过一、二、四象限时，如图：
在y=−x+b中，
令x=0时，y=b，则与y轴的交点是(0，b)，
当y=0时，x=b，则与x轴的交点是(b，0)，
则OA=OB，即△AOB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C，则OC=2，
则OB=❑√2OC=2❑√2．即b=2❑√2；
同理，当直线y=−x+b与圆相切，且函数图象经过二、三、四象限时，b=−2❑√2．
则若直线y=−x+b与⊙O相交时，b的取值范围是−2❑√2<b<2❑√2．
故选：D．
28．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线1
段AB的中点C的运动轨迹为W，当l:y= x+b的图象与W只有1个交点时，b= ．
2
【答案】±2❑√5
【思路点拨】该题考查了切线的性质，一次函数与几何综合，得出点C的运动轨迹是解题的关键．
1
根据题意得出点C的运动轨迹W为以4为半径的⊙O，得出当l:y= x+b的图象与W只有1个交点时，
2
1
即⊙O与y= x+b的图象相切，根据等面积法求解即可．
2
【规范解答】解：设A(a,0),B(0,b)，
(a b)
则C , ，
2 2
∵AB=8，
∴−8≤a≤8,−8≤b≤8，
a b
∴−4≤ ≤4,−4≤ ≤4，且a2 +b2 =64，
2 2
故点C的运动轨迹W为以4为半径的⊙O，
1
在y= x+b中，令x=0，则y=b，即OD=b，
2
令y=0，则x=−2b，即OF=2b，
则DF=❑√OD2 +OF2 =❑√5b，1
当l:y= x+b的图象与W只有1个交点时，
2
1
即⊙O与y= x+b的图象相切，
2
此时OC′ ⊥DF，
1 1
如图，则 OC′ ⋅DF= OD⋅OF，即b⋅2b=4×❑√5b，
2 2
解得：b=±2❑√5，
故答案为：±2❑√5．
易错题型15 切线的应用
29．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线l：y=x+❑√2与抛物线
y=x2 +(1−3❑√2)x+❑√2相交于M，N两点，点P为x轴上一动点，当∠MPN最大时，点P的坐标为
．
【答案】(4−❑√2,0)/(−❑√2+4,0)
【思路点拨】本题考查了二次函数和切线定性质；先通过联立方程求出交点坐标，再利用圆的性质和距离
公式求解点P坐标，关键在于理解∠MPN最大时的几何特征．先联立直线与抛物线方程求出M、N两点
坐标，再根据圆的性质，当∠MPN最大时，过M、N、P三点的圆与x轴相切于点P，设出圆心坐标，利
用圆心到M、N距离相等以及圆心到x轴距离等于半径求解P点坐标．
{ y=x+❑√2 )
【规范解答】解：
y=x2 +(1−3❑√2)x+❑√2
∴x+❑√2=x2 +(1−3❑√2)x+❑√2
∴x(x−3❑√2)=0
解得x =0，x =3❑√2．
1 2当x=0时，y=❑√2，所以M(0,❑√2)；
当x=3❑√2时，y=4❑√2，所以N(3❑√2,4❑√2)．
如图，QP⊥x轴，
∵∠MPN=∠1=∠2+∠3>∠2
∴当∠MPN最大时，过M、N、P三点的圆与x轴相切于点P，设圆心坐标为(a,b)，则半径r=b，
P(a,0)．
根据圆心到M、N距离相等可得：
❑√ (a−0) 2 +(b−❑√2) 2 =❑√ (a−3❑√2) 2 +(b−4❑√2) 2
∴a2 +b2−2❑√2b+2=a2−6❑√2a+18+b2−8❑√2b+32
∴6❑√2a+6❑√2b=48
∴a+b=4❑√2
❑√2(a2 +2)
又因为r=b，MP的距离等于半径，即❑√ (a−0) 2 +(b−❑√2) 2 =b即b= ．
4
❑√2(a2 +2)
将b= 代入a+b=4❑√2得：
4
❑√2(a2 +2)
a+ =4❑√2
4
解得：a=4−❑√2或a=−4−❑√2（舍去）
∴点P的坐标为(4−❑√2,0)
30．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知Rt△ABC中，AC=6，BC=8，以C为圆心，以r为半
径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ．【答案】r=4.8或6<r≤8
【思路点拨】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出AB，利用等面积法求出当圆与AB相切
时，r=4.8；然后得到当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是6<r≤8，进而求解即可．
【规范解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=❑√CB2 +AC2 =10，
∵CD⊥AB
1 1
∴S = AB⋅CD= AC⋅BC
△ABC 2 2
AC⋅BC 6×8
∴CD= = =4.8，
AB 10
∴当圆与时AB相切时，r=4.8；
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是6<r≤8，
综上所述：若此圆与线段AB只有一个交点，r的取值范围是r=4.8或6<r≤8．
故答案为：r=4.8或6<r≤8．
易错题型16 切线的性质和判定的综合应用
31．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点
E、F，过点A作PO的垂线AB，垂足为点D，交⊙O于点B．求证：PB与⊙O相切．【答案】证明见解析
【思路点拨】本题考查了切线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，连接
OA、OB，由切线的性质得∠PAO=90°，由等腰三角形的性质得PO垂直平分AB，得到PA=PB，进
而可证△PAO≌△PBO(SSS)，得到∠PAO=∠PBO=90°，即可求证，正确作出辅助线是解题的关
键．
【规范解答】证明：如图，连接OA、OB，
∵PA是⊙O的切线，
∴ OA⊥PA，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB， AB⊥PO，
∴AD=BD，
∴PO垂直平分AB，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
{PA=PB
)
OA=OB ，
PO=PO
∴△PAO≌△PBO(SSS)，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OB⊥PB，
∵OB是半径，
∴ PB与⊙O相切．
32．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，点B、C、D在⊙O上，且
PA=PB．(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若∠B+∠D=230°，则∠P= ．
【答案】(1)见解析
(2)80°
【思路点拨】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形
的性质，需要学生灵活运用所学知识．
（1）连接OB,OA,OP，证明△BOP≌△AOP，可得∠OBP=∠OAP=90°，即可求证；
（2）连接AB，根据圆内接四边形的性质以及∠D+∠CBP=230°，可得∠ABP=50°，再由等腰三角
形的性质可得∠BAP=∠ABP=50°，即可求解．
【规范解答】（1）证明：如图，连接OB,OA,OP，
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP=90°，
∵OB=OA,OP=OP,PB=PA，
∴△BOP≌△AOP，
∴∠OBP=∠OAP=90°，即PB⊥OB
∵OB为半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AB，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∵∠CBP+∠D=230°，
∴∠ABP=50°，
∵PA=PB，
∴∠BAP=∠ABP=50°，
∴∠P=180°−∠BAP−∠ABP=80°．
易错题型17 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
33．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90∘．
(1)求作：⊙O，使点O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AC=4，BC=3，求则⊙O的半径长为______．
【答案】(1)见解析
3
(2)
2
【思路点拨】本题考查勾股定理、作图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的
思想解答．
（1）根据角平分线的性质和圆的特点，画出相应的图形即可；
（2）根据勾股定理求出AB的长，再根据等面积法即可求得⊙O的半径长．
【规范解答】（1）解：先作∠ABC的平分线BO，交AC于点O，再以O为圆心，OC长为半径画圆，
⊙O即为所求；（2）解：作OD⊥AB于点D，如上图所示，
∵AC=4，BC=3，∠ACB=90∘，
∴AB=❑√AC2 +BC2 =❑√42 +32 =5，
∵S =S +S ，
△ABC △AOB △COB
3×4 5⋅OD 3⋅OC
∴ = + ，
2 2 2
3
解得OD=OC= ，
2
3
故答案为： ．
2
34．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)尺规作图：作⊙O，使得⊙O经过点C，并且与边AB、BC都相切；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若AC=3，BC=4，则⊙O的半径为 ．
【答案】(1)见解析
4
(2)
3
【思路点拨】此题考查了切线的判定、勾股定理、角平分线的作图和性质等知识，准确作图是关键．
（1）作∠ABC角平分线交AC于点O，过点O作OD⊥AB于点D，根据角平分线的性质得到OD=OC，
以点O为圆心，OC为半径画圆，即为所求；
（2）设⊙O的半径为r，根据求出AB=❑√AC2 +BC2 =❑√32 +42 =5，证明OD=OC=r，根据等积法进行
解答即可．
【规范解答】（1）解：如图，⊙O即为所求，（2）解：设⊙O的半径为r，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°．AC=3，BC=4，
∴AB=❑√AC2 +BC2 =❑√32 +42 =5，
∵OD⊥AB，∠ACB=90°．∠ABC角平分线交AC于点O，
∴OD=OC=r，
1 1 1 9
∴S =S +S = AB⋅OD+ BC⋅OC= r(AB+BC)= r
△ABC △ABO △BCO 2 2 2 2
1
S =S +S = AC⋅BC=6,
△ABC △ABO △BCO 2
9
∴ r=6，
2
4
解得r=
3
4
即⊙O的半径为 ．
3
易错题型18 圆外切四边形模型
35．（2023·湖北武汉·二模）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD、CD分别与⊙O切于点E、F，
点M、N分别在线段 DE、DF上，且MN与⊙O相切．若△MBN的面积为6，则⊙O的半径为
（ ）
A．2❑√3 B．❑√10 C．2❑√2 D．❑√6
【答案】D
【思路点拨】本题考查正方形内切圆的性质，正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，设MN与⊙O相切于点K，设正方形的边长为2a．因为AD、CD、MN是切线，可得AE=DE=DF=CF=a，
MK=ME，NK=NF，设MK=ME=x，NK=NF=y，在Rt△DMN中，以为
MN=x+y，DN=a−y，DM=a−x，则(x+y) 2 =(a−x) 2 +(a−y) 2，推出ax+ay+xy=a2，根据
S =S ❑ −S −S −S =6，构建方程求出a即可解决问题；
△BMN 正方形 ABCD △ABM △DMN △BCN
【规范解答】解：如图所示，设MN与⊙O相切于点K，
由题意得，AE=DE=DF=CF，
由切线长定理可知ME=MK，NK=NF，
设正方形边长为2a，ME=MK=x，NK=NF=y，则AE=DE=DF=CF=a，
∴MN=x+y，DM=a−x，DN=a−y，
由勾股定理得M N2 =DM2 +DN2，
∴(x+y) 2 =(a−x) 2 +(a−y) 2，
∴x2 +2xy+y2 =a2−2ax+x2 +a2−2ay+y2，
∴ax+ay+xy=a2，
∵S =S ❑ −S −S −S =6，
△BMN 正方形 ABCD △ABM △DMN △BCN
1 1 1
∴(2a) 2− ⋅2a⋅(a+x)− (a−x)(a−y)− ⋅2a⋅(a+y)=6，
2 2 2
3 1
∴ a2− (ax+ay+xy)=6，
2 2
3 1
∴ a2− a2 =6，
2 2
∴a=❑√6（负值舍去），
∴AB=2a=2❑√6，
∴⊙O的半径为❑√6，
故选：D．
36．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，AB=9，CD=15．则四边形ABCD的周长为 ．
【答案】48
【思路点拨】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
根据切线长定理得到AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG，得到AD+BC=AB+CD=24，根据四边
形的周长公式计算，得到答案．
【规范解答】解：如图，令⊙O与边AB,BC,CD,AD的切点分别为E，F，G，H，
∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG，
∴AH+DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG
∴AD+BC=AB+CD=9+15=24，
∴四边形ABCD的周长为
AD+BC+AB+CD=24+24=48．
故答案为：48．
易错题型19 三角形内心有关应用
37．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点O为△ABC的内心，∠A=60°，OB=2，OC=4，
则△OBC的面积是（ ）
A．4❑√3 B．2❑√3 C．2 D．4【答案】B
【思路点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握
三角形的内心定义．
过点C作CH⊥BO的延长线于点H，根据点O为△ABC的内心，∠A=60°，可得
∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=120°，所以∠COH=60°，利用含30°角的直角三角形可得CH
的长，进而可得△OBC的面积．
【规范解答】解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H，
∵ O △ABC
点 为 的内心，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
∵ ∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=120°，
∴∠OBC+∠OCB=60°，
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=120°，
∴∠COH=60°，
∴∠OCH=90°−∠COH=30°，
∵OC=4，
∴OH=2，
∴CH=❑√OC2−OH2 =2❑√3，
∵OB=2，
1 1
∴S = ×OB⋅CH= ×2×2❑√3=2❑√3．
△OBC 2 2
故选：B．
38．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆
相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，则
∠BEC=120°；③DB＝DE；④若点G为BC的中点，则BG⊥GD，其中一定正确的序号是 ．【答案】①②③④
【思路点拨】根据点E是△ABC的内心，可得∠BAD=∠CAD，故①正确；连接BE，CE，可得
1 1
∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB，从而得到∠CBE+∠BCE=60°，进而得到
2 2
∠BEC=120°，故②正确；根据点E是△ABC的内心和三角形的外角的性质，可
∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB得，从而得到∠DBE＝∠DEB，故③正确；由
∠BAD＝∠CAD，得出B´D=D´C，再由点G为BC的中点，则BG⊥GD成立，故④正确．
【规范解答】解：①∵ E是△ABC的内心，
∴ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD，故①正确；
②如图，连接BE，CE，
∵ E △ABC
是 的内心，
1 1
∴ ∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB，
2 2
∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠ABC+∠ACB＝180°−∠BAC＝180°−60°＝120°，
∴ ∠CBE+∠BCE=60°，
∴ ∠BEC=120°，故②正确；
③如图，连接BE，OB，OC，OD，∴BE ∠ABC
平分 ，
∴ ∠ABE=∠CBE，
∵ ∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴ ∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴ ∠DBE＝∠DEB，
∴ DB＝DE，故③正确；
④∵ ∠BAD＝∠CAD，
∴ B´D=D´C，
∴ BD＝DC，OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴线段AD经过圆心O，
∴ ∠BGD=90°，
∴ BG⊥GD，故④正确；
综上，一定正确的结论为①②③④．
故答案为：①②③④．
易错题型20 三角形内切圆与外接圆综合
39．（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径r与外接圆的半径R的比值叫做该三角
形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（ ）
6 12 1 1
A． B． C． D．
25 25 2 4
【答案】B
【思路点拨】本题主要考查了新定义，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，
解题的关键是求出内切圆和外接圆的半径．
本题需计算等腰三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比值，通过勾股定理求高，进而计算面积，分别求
出两个半径，最后求比值．
【规范解答】解：如图所示，AD为等腰△ABC底边BC上的高，点E为三角形的外心，∴R=AE=BE，
由三线合一和勾股定理得，AD=❑√AB2−BD2 =❑√52−32 =4，
1 1
S = BC⋅AD= ×6×4=12，
△ABC 2 2
由勾股定理得BE2 =BD2 +DE2 =9+(4−R) 2 =R2，
25
解得R= ，
8
如图，点F为△ABC的内心，
∴r=FH=FI=FD
，
S 12 3
r= △ABC = =
∴ 1 8 2，
(AB+BC+AC)
2
3
r 2 3 8 24 12
∴ = = × = =
R 25 2 25 50 25
8
故选：B．
40．（2025·河北张家口·二模）如图，已知正方形ABCD的边长为2，Rt△MNP的直角顶点M落在线
段BD上，直角边MN经过点A，直角边MP与直线BC交于点E，连接AE．设点O为△AME的内心，当
点O在△ABD的内部（包括边界）时，DM的取值范围是 ．【答案】0≤DM≤2
【思路点拨】当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O在BD上．此时DM最短，当点O落在AB
上时，DM最大，过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MK⊥AB于点K，由角平分线的性质
得MG=MK，证明四边形AFMK为矩形，得MK=AF，MG=AF，进而证得
△AFM≌△MGE(ASA)，得AM=ME，进而得∠MAB=22.5°，∠DAM=67.5°，
∠DMA=67.5°，再根据等角对等边得DM=DA=2，即可求解．
【规范解答】解：当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O为△ADC的内心．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD为∠ADC的平分线，
∴点O在BD上．此时DM最短．
如图，当点O落在AB上时，DM最大．
过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MK⊥AB于点K．
∵∠GBM=45°，
∴∠GMB=45°，
∴△MGB是等腰直角三角形，
∴MG=GB．
∵MG∥AB，MK∥GB，MG=GB，MG⊥BC，
∴ MGBK
四边形 是正方形，
∴MG=MK．
∵MF∥AK，AF∥MK，MF⊥AD，
∴四边形AFMK为矩形，
∴MK=AF，
∴MG=AF．∵∠NMP=90°，
∴∠FMA+∠FAM=∠FMA+∠GME，
∴∠FAM=∠GME．
{∠AFM=∠MGE,
)
在△AFM和△MGE中， AF=MG, ，
∠FAM=∠GME,
∴△AFM≌△MGE(ASA)，
∴AM=ME，
∴△AME为等腰直角三角形．
∵点O为△AME的内心，
1
∴∠MAB= ∠MAE=22.5°，
2
∴∠DAM=90°−22.5°=67.5°．
又∵∠ADM=45°，
∴∠DMA=180°−45°−67.5°=67.5°，
∴DM=DA=2，
∴DM的取值范围是0≤DM≤2．
易错题型21 过圆外一点作圆的切线(尺规作图)
41．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）尺规作图：
(1)如图，点Q在直线AB上，点C在直线AB外，作⊙O经过Q，C两点且与AB相切．
(2)已知⊙O．求作一点P，过点P作出⊙O的两条切线分别为PA，PB点为A，B．且使∠APB=45°．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【思路点拨】本题考查尺规作图，解题的关键在于掌握垂直平分线和角平分线的作法，结合题意作图；
（1）所求圆经过点Q和C，且与直线AB相切于Q，关键在于意识到：圆心必须在QC的垂直平分线上；同
时，圆心必须在过点Q且垂直于AB的直线上（因为切点与圆心的连线垂直于切线）因此圆心是这两条直线的交点．
（2）圆心O与切点A、B的连线垂直切线，所以∠APB与圆心角∠AOB互补，已知∠APB=45°，则
∠AOB=135°，利用垂直构造90°，利用角平分线构造45°，即可构造∠AOB=135°，再作过点
A、B的切线相交于点P即可．
【规范解答】（1）
作图步骤如下：
1
①以点Q为圆心任意画圆，与直线AB相交于LM，分别以点L，点M为圆心，大于 LM为半径画弧，交
2
于点K，点L，连接KL，则KL垂直平分LM，KL所在直线为直线l（圆心O在此线上）；
1
②连接CQ，分别以点C，点Q为圆心，大于 CQ为半径画弧，交于点G，点F，连接GF，GF所在直线
2
为直线m；
③直线l与m的交点O即为所求圆心；
④以O为圆心，OQ为半径作圆．
故圆O为符合题意的圆．
（2）
作图步骤如下：1
①先作直径CD，分别以点C，点D为圆心，大于 CD画弧，交点分别为点L，K，连接LK与圆O相交于
2
EB，则EB垂直平分CD；
1
②以点E，D为圆心，大于 ED为为半径画弧，交于点H，连接OH与圆O交于点A，则OA平分∠EOD，
2
使得∠AOD=45°；
1
③以点A为圆心，OA为半径作圆，延长OA，与圆A交于点G，以点G，点O为圆心，大于 OG为半径画
2
弧，交于点M，点N，连接MN，MN所在的直线即为圆O切线，切点为A；以点K为圆心，OK为半径作
1
圆，延长OK，与圆K交于点F，以点F，点O为圆心，大于 OF为半径画弧，交于点Q，点L，连接QL，
2
QL所在直线即为圆O切线，切点为B；两切线交于点P，则∠BOA=135°，∠APB=45°．
故所作切线PA，PB所成∠APB=45°．
42．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）我们知道，过圆外一点可以作两条直线与圆相切．如图，点P
为⊙O外一点．
(1)请过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B；（尺规作图，保留作图痕迹）
(2)求证：PA，PB是⊙O的切线．
【答案】(1)图见详解；
(2)证明见详解．
【思路点拨】本题考查尺规作图（作圆的切线）与切线的证明，核心是掌握线段垂直平分线的尺规作法、
圆周角定理的推论及切线的判定定理，通过构造辅助圆将切线问题转化为直角问题解决．
（1）作法：①连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点M；②以M为圆心，以MO为半径作⊙M，与
⊙O交于两点A和B；③作直线PA，直线PB，则直线PA和直线PB是⊙O的两条切线；
（2）利用圆周角定理的推论（直径所对圆周角为直角）证明半径与直线垂直，再结合切线判定定理完成
证明．
【规范解答】（1）解：如图所示：PA、PB即为所求；（2）证明：连接OA，OB，如图，
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP=∠OBP=90°；
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
又∵点A，B在⊙O上，
∴OA，OB是⊙O的半径，且OA=OB，
∴PA，PB是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
易错题型22 圆内知识综合(圆的综合问题)
43．（2025·广东深圳·三模）某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有
圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公
分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心．
为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式．这两种方式皆是将2张桌子的
一边完全贴合进行拼接A、B两点为图2中距离最远的两个桌角，C、D两点为图3中距离最远的两个桌角，
且CD与2张桌子的接缝EF相交于G点，G为EF中点．
请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
(1)GF的长度为多少公分？
(2)判断CD与AB的长度何者较大？请说明理由．
【答案】(1)30公分
(2)CD>AB，见解析
【思路点拨】（1）由EF=大圆的半径−小圆的半径，可求得EF=60公分，再根据中点性质即可求得
答案；
（2）根据AB为大圆的直径可得AB=160公分，再根据勾股定理可得CG=DG=10❑√89公分，进而可得CD=20❑√89公分，比较160与20❑√89的大小，即可得出答案．
【规范解答】（1）解：∵大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，
∴EF=大圆的半径−小圆的半径 =80−20=60(公分)，
∵G为EF中点，
1
∴GF= EF=30公分；
2
答：GF的长度为30公分．
（2）解：CD>AB，理由如下：
由题意得：AB=大圆的直径=80×2=160(公分)，
如图3，延长CH、EF交于点O，延长DK、FE交于点O'，则OC=OE=O'D=O'F=80公分，
∵EG=GF=30
（公分），
∴OG=O'G=50（公分），
∵∠O=∠O'=90°，
∴CG=❑√OC2 +OG2 =❑√802 +502 =10❑√89=DG，
∴CD=CG+DG=20❑√89（公分），
∵❑√89>8，
∴20❑√89>160，
即CD>AB.
44．（2024·河南周口·三模）已知一个等腰直角三角形ABC， ∠C=90°，AC=BC=❑√2，分别以
A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若CD的长度为2，则AD的长为 ．
【答案】❑√2或❑√10
【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键；
根据勾股定理求出AB，设AB与其垂直平分线的交点为E，分DE=CD−CE和DE=CD+CE两种情况讨
论，根据直角三角形的勾股定理分别求解即可．
【规范解答】以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点 D 在AB 的垂直平分线上．
∵ ∠C=90°，AC=BC=❑√2，∴AB=❑√AC2 +BC2 =2，
如图，
设AB与其垂直平分线的交点为E，
1
则 CE=AE= AB=1，
2
当CD的长为2时，如图，
即 CD =CD =2，
1 2
①在Rt△AED 中，
1
D E=CD −CE=2−1=1
1 1
∴AD =❑√AE2 +D E2 =❑√12 +12 =❑√2，
1 1
②在Rt△AED 中， D₂E=CD₂+CE=2+1=3 ，
2
∴AD₂=❑√AE2 +D E2 =❑√12 +32 =❑√10.
2
综上，AD 的长为❑√2或❑√10．
故答案为：❑√2或❑√10
易错题型23 圆与三角形的综合(圆的综合问题)
45．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为⊙O上一点，
A´C=C´E，CD⊥OB，垂足为D．
(1)连结CO，判断CO与AE的位置关系．并证明；(2)若AE=4，BD=1，求⊙O的半径．
【答案】(1)CO⊥AE，理由见解析
5
(2)
2
【思路点拨】（1）延长CO交AE于点G，连接OE，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可；
1
（2）由（1）中结论，CO⊥AE，AG= AE=2，先证明△AGO≌△CDO(AAS)，再根据勾股定理
2
即可．
【规范解答】（1）解：CO⊥AE，理由如下：
延长CO交AE于点G，连接OE，
∵A´C=C´E
，
∴∠AOC=∠COE,
∵∠AOG=180°−∠AOC,∠GOE=180°−∠EOC,
∴∠AOG=∠GOE,
∵OA=OE，
∴CO⊥AE；
1
（2）解：由（1）中结论，CO⊥AE，AG= AE=2，
2
∠AGO=∠CDO=90°,∠AOG=∠COD,AO=CO,
∴△AGO≌△CDO(AAS)，
∴AG=CD=2，
设⊙O的半径为r，则OD=r−1，OC=r,
在Rt△CDO中，CD2 +OD2 =OC2，
即22 +(r−1) 2 =r2，
5
解得：r= ，
2
5
即⊙O的半径为 ．
2
46．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线．
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，∠AOB=45°，求CB的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)3❑√2−3
【思路点拨】（1）先利用AD⊥OB，根据直角三角形的性质得到∠DAC+∠ACD=90°，然后由
OA=OC，根据等腰三角形的性质可得∠OAC=∠OCA，紧接着根据AC是∠BAD的平分线，得到
∠DAC=∠BAC，最后通过等量代换得出∠OAC+∠BAC=∠DAC+∠OCA=90°，即
∠OAB=90°，因为OA是⊙O的半径，根据圆的切线的判定定理证明结论；
（2）先根据∠AOB=45°，∠OAB=90°可判断△OAB是等腰直角三角形，得出AB=OA，然后在
Rt△OAB中，利用勾股定理OB2 =OA2 +AB2，结合AB=OA=OC=2，计算OB的长度，最后利用线
段的和差关系求出CB的长度．
【规范解答】（1）证明：∵AD⊥OB于点D，
∴∠ADB=90°，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°，
∴AB⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线．
（2）解：∵∠OAB=90°，∠AOB=45°，
∴∠B=∠AOB=45°，
∴AB=OA，
∵⊙O的半径为2，∴AB=OA=OC=2，
∴OB=❑√AB2 +OA2 =❑√2OA=3❑√2，
∴CB=OB−OC=3❑√2−3，
∴CB的长是3❑√2−3．
易错题型24 圆与四边形的综合(圆的综合问题
47．（2025·河南新乡·三模）如图，四边形ABCD中，BC=CD，且∠BAC=∠DAC=45°，连接
AC，BD．若AC=4，则四边形ABCD的面积为 ，BD的最小值为 ．
【答案】 8 4
【思路点拨】本题考查了四点共圆的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，三角形三边关
系，熟练掌握相关知识的是解题的关键．
由题先证明A,B,C,D四点共圆，得到∠BCD=90°，在AD的延长线上取DE=AB，连接CE，证明
1
△ABC≌△EDC(SAS)，得到AC=CE=4，求出S =S = AC⋅CE=8；连接AO,CO，
四边形ABCD △ACE 2
得到AO+CO=BD≥AC，即BD≥4，得到BD的最小值为4．
【规范解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥AD于点N，
∴∠M=∠ANC=∠DNC=90°，
∵∠BAC=∠DAC=45°，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∴ CM=CN，四边形AMCN是矩形，
∴∠MCN=90°
∵BC=CD，
∴Rt△BCM≌Rt△DCN(HL)，
∴∠BCM=∠DCN，
∴∠DCN+∠BCN=∠BCM+∠BCN=∠MCN=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCD+∠BAD=90°+90°=180°∴A,B,C,D
四点共圆，
设BD的中点为O，
∴BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°
如图，在AD的延长线上取DE=AB，连接CE，
∵∠ABC+∠ADC=180 ∠EDC+∠ADC=180°
， ，
∴∠ABE=∠EDC，
∴△ABC≌△EDC(SAS)，
∴AC=CE=4，∠ACB=∠ECD，
∴S =S ，
△ABC △ECD
∵∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD+∠ECD=90°，
1
∴S =S = AC⋅CE=8；
四边形ABCD △ACE 2
如图，连接AO,CO，
∴AO+CO=BD≥AC，即BD≥4，
∴BD的最小值为4；
故答案为：8，4 ．
48．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运
动，若⊙O的面积为6π ，MN＝1，则△AMN的周长的最小值是 ．【答案】6
【思路点拨】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的
关键．
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作C A′ ∥BD，且使C A′ =1，连接A A′交BD
于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【规范解答】解：连接AC，
⊙O的面积为6π ，则圆的半径为❑√6，则BD=2❑√6=AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，BD⊥AC，
过点C作C A′ ∥BD，且使C A′ ＝1，
∴C A′ ⊥AC，
连接A A′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
∵C A′ ∥BD，且A′C＝MN，则四边形MC A′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长=AM+AN+MN=A A' +1为最小，
则A′ A=❑√ (2❑√6) 2 +12 =5，
则△AMN的周长的最小值为5+1＝6，
故答案为：6．易错题型25 圆与函数的综合(圆的综合问题)
49．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2，0)，以点A
为圆心，OA为半径的⊙A，交x轴于点P，点B是⊙A上的一个动点，作点P关于点B的对称点Q，连接
PQ．
(1)当点Q刚好落在y轴上时，点B的坐标为_________；
❑√15
(2)点B在运动过程中，若线段PQ与反比例函数y= (x>0)有交点，求交点横坐标x的取值范围；
x
(3)若由点Q所组成的图形与直线y=kx−6k(k≠0)有且仅有一个交点时，请直接写出k的值．
【答案】(1)(−2,2)或(−2,−2)
(2)1≤x≤❑√15
2❑√5
(3)k=±
5
−4+0
【思路点拨】（1）由条件得点P(−4,0)，再根据中点坐标求出点B的横坐标为 =−2，由点B和点
2
A的横坐标相同得两个点在同一竖直方向上，则AB=2，点B的纵坐标为±2；
❑√15
（2）线段PQ与反比例函数y= (x>0)有交点的临界状态为点Q在反比例函数图象上，设点
x
( ❑√15) (a−4 ❑√15)
Q a, ，利用中点坐标表示出点B , ，利用AB=AO=2和勾股定理建立方程即可解出a
a 2 2a
的取值范围，即x的取值范围；
（3）连接OQ,OB，OP为直径，则直径所对的圆周角∠PBO=90°，结合BP=QP得OB垂直平分PQ，
OQ=OP=4，可判断点Q所组成的图形是以点O为圆心，4为半径的圆，则直线y=kx−6k(k≠0)与⊙O
相切；直线y=kx−6k=k(x−6)过定点(6,0)，设直线y=kx−6k(k≠0)与x轴交于点E，与y轴交于点F，
与 切于点 ，连接 ，利用勾股定理得 ，再通过三角形面积公式
⊙O M OM EF=❑√OF2 +OE2 =6❑√k2 +11 1
S = OE⋅OF= EF⋅OM列出方程求解即可．
△OEF 2 2
【规范解答】（1）解：∵点A的坐标为(−2，0)，
∴点P(−4,0)，⊙A的半径为2；
当点Q刚好落在y轴上时，点Q的横坐标为0，
∵点B为线段PQ中点，
−4+0
∴点B的横坐标为 =−2，
2
此时点B和点A在同一竖直方向，则点B(−2,2)或B(−2,−2)，
故答案为：(−2,2)或(−2,−2)．
( ❑√15)
（2）当点Q在反比例函数图象上时，设点Q a, ，
a
(a−4 ❑√15)
则点B , ，
2 2a
∵点B在圆上，
∴AB=AO=2， (a−4 +2 ) 2 + (❑√15) 2 =22，
2 a
解得a2 =1或a2 =15，
∵a>0，
∴a=1或a=❑√15，
∴1≤a≤❑√15，
即交点横坐标x的取值范围为1≤x≤❑√15．
（3）如图，连接OQ,OB，
∵OP为直径，
∴∠PBO=90°，
∵BP=QP，∴OB垂直平分PQ，
∴OQ=OP=4，
则点Q所组成的图形是以点O为圆心，4为半径的圆，
由条件得直线y=kx−6k(k≠0)与该圆相切，
∵y=kx−6k=k(x−6)，
∴直线过定点(6,0)，
设直线y=kx−6k(k≠0)与x轴交于点E，与y轴交于点F，与⊙O切于点M，连接OM，
∴F(0,−6k),E(6,0),OM=4，
∴OF=6|k),OE=6，
∴EF=❑√OF2 +OE2 =❑√(6k) 2 +62 =6❑√k2 +1，
1 1
∵S = OE⋅OF= EF⋅OM，
△OEF 2 2
1 1
∴ ×6×6|k)= ×6❑√k2 +1×4，
2 2
2❑√5
解得k=± ．
5
50．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）【阅读】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式
之一，若P (x ,y )，P (x ,y ) ，则P P =❑√(x −x ) 2 +(y −y ) 2．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
【理解】请用所学知识解决问题：已知⊙O的半径为3．
(1)如图1，P(x,y)为圆上任意一点，请探究x，y的关系式；(2)如图2，已知Q(a,b)，QA为⊙O切线，B(2,−1)，且QA=QB，求b与a的函数关系式；
【运用】如图3，点P在圆心为C(0,1)，半径为1的圆上运动，点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,−4)，
求当△PAB面积最大值时P点的坐标．
( 4 8)
【答案】（1）x2 +y2 =9；（2）b=2a−7；（3） − , ；
5 5
【思路点拨】（1）根据两点间距离公式可得答案；
（2）连OA、OQ，根据切线的性质，QA=QB得方程a2 +b2−9=(a−2) 2 +(b+1) 2，化简即可得到答案；
（3）过⊙C上一点作MN⊥AB，则MN与⊙C相切，MN∥AB与y轴交于点D，此时△APB的面积
4
最大为△NAB，过点C作CN⊥MN，延长NC与AB交于点Q，求得直线AB的表达式为y= x−4；再
3
CD BC ( 8)
计算得CQ=sin∠CBQ⋅BC=3；可证△CDN∽△CBQ，即 = ，可得D 0, ，根据
CN CQ 3
1 1 4 4
S = CN·DN= CD·NE，得N横坐标为 − ，设直线MN的表达式为：y= x+m过点D，代入即
△CND 2 2 5 3
可求得纵坐标，即为所求坐标.
【规范解答】解：（1）由题可得❑√(x−0) 2 +(y−0) 2 =3，
即x2 +y2 =9；
（2）如图；连OA、OQ，
∵QA为⊙O切线，
∴∠OAQ=90°，
∴QA2 =QO2−OA2 =a2 +b2−9，QB2 =(a−2) 2 +(b+1) 2，
又∵QA=QB，
∴QA2 =QB2，∴a2 +b2−9=(a−2) 2 +(b+1) 2 ，
整理得：b=2a−7．
（3）如图，过⊙C上一点作MN⊥AB，则MN与⊙C相切，MN∥AB与y轴交于点D，此时△APB
的面积最大为△NAB，作点C作CN⊥MN延长NC与AB交于点Q，
∴CQ⊥AB，
∵⊙C的半径为1，
∴NC=1，
∵A(3,0)，B(0,−4)，
∴设直线AB的表达式为：y=kx+b；
{0=3k+b) { k= 4 )
解得： 3 ，
−4=b¿
b=−4
4
∴直线AB的表达式为y= x−4 ；
3
∴OA=3，OB=4，
∴在Rt△ABO中，AB=❑√32 +42 =5，
OA 3
∴sin∠ABO= = ，
AB 5
∵在Rt△CBQ中，BC=5，
3
∴CQ=sin∠CBQ⋅BC= ×5=3，
5
∵ MN∥AB，
∴△CDN∽△CBQ，
CD BC
∴ = ，
CN CQCD 5 5
∴ = 即CD= ，
1 3 3
( 8)
则D 0, ，
3
在Rt△CDN中，DN=❑
√ (5) 2
−12 =
4
，
3 3
过点N 作NE⊥y轴于点E，
1 1
∵S = CN·DN= CD·NE ，
△CND 2 2
4 5 4
∴ ×1= ×NE，解得：NE= ；
3 3 5
4
∴N横坐标为 − ；
5
4
∵MN∥AB，设直线MN的表达式为：y= x+m过点D，
3
4 8
∴y= x+ ，
3 3
4 4 8 4 ( 4) 8 8
将N横坐标为 − 代入y= x+ 得y= × − + = ，
5 3 3 3 5 3 5
( 4 8)
∴N − , ，
5 5
( 4 8)
即P − , .
5 5
易错题型26 已知正多边形的中心角求边数
51．（2025九年级上·全国·专题练习）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【思路点拨】本题考查正多边形的中心角，正多边形的所有中心角之和为360°，且每个中心角相等，因此
边数等于360°除以中心角．
【规范解答】解：∵正多边形的中心角和为360°，且每个中心角相等，∴边数360°÷45°=8，
故选：C．
52．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅A 中，∠1=15°，
1 2 3 n
则n的值是 ．
【答案】12
【思路点拨】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值．
【规范解答】解：设点O为正n边形A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅A 外接圆的圆心，连接OA ，OA ，
1 2 3 n 1 2
∵∠1=15°，
∴∠A OA =2∠1=30°，
1 2
360
∴n= =12，
30
故答案为：12．
易错题型27 正多边形和圆的综合
53．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，OA=AB，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则
这个多边形是正 边形．
【答案】六【思路点拨】本题主要考查了圆的性质、等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质等知识点，根
据题意求出∠AOB=60°是解题的关键．
如图：连接OB，根据题意可得OA=AB=OB，进而证明△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，即
可得到这个多边形是正六边形．
【规范解答】解：如图，连接OB，则OB=OA，
∵OA=AB，
∴OA=AB=OB
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴360°÷60°=6，
∴这个多边形是正六边形．
故答案为：六．
54．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P在A´B上，连结
CP,CE，则∠CPE的度数为 ．
【答案】72°/72度
【思路点拨】此题考查了正多边形与圆以及圆心角、圆周角的关系，解题的关键是掌握圆内接正五边形的
性质以及圆周角与圆心角的关系．
连接OE，OC，OD，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得∠CPE的度数．
【规范解答】解：如图，连接OE，OC，OD，ABCDE ⊙O
∵正五边形 内接于 ，
360°
∴∠EOC= ×2=144°，
5
1 1
∴∠CPE= ∠EOC= ×144°=72°．
2 2
故答案为：72°．
易错题型28 尺规作图——正多边形
55．（2024·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙O经过格点A．
（1）⊙O的周长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙O的内接等边△ABC，并简要说明点B，C的位
置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 2❑√5π 见解析
【思路点拨】（1）利用勾股定理可得答案；
（2）延长AO交网格线于点D，取格点E，F，连接EF交网格线于点G，作直线DG交⊙O于点B，C，连
接AB，AC，则△ABC即为所求．
【规范解答】（1）∵⊙O的半径为：OA=❑√12 +22 =❑√5，
∴⊙O的周长2×π×❑√5=2❑√5π，
故答案为：2❑√5π（2）如图：
∵OE=EF=❑√12 +22 =❑√5,OF=❑√12 +32 =❑√10，
又∵(❑√5) 2 +(❑√5) 2 =(❑√10) 2 ，
∴OE2 +EF2 =OF2，
∴∠OEG=90°．
1
∵tan∠OAF=tan∠AFE= ，
2
∴∠OAF=∠AFE，
∴OA∥EF．
1
∵DM∥NP,OM= OP，
2
1 ❑√5
∴OD= ON= ．
2 2
1
∵GL∥FH,EL= EH，
2
1 ❑√5
∴EG= EF= ．
2 2
∴EG=OD，
∵EG∥OD，
∴四边形OEGD是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴▱OEGD是矩形．
∴∠ADG=90°，
∴∠ODC=90°，
❑√5
∵OC=❑√5,OD= ,∠ODC=90°，
2
❑√5
∴ 2 1，
cos∠COD= =
❑√5 2
∴∠COD=60°，
1
∴∠CAO= ∠COD=30°．
2
∵∠ADG=90°，∴AD⊥CB，
∵AD过圆心, AD⊥CB，
∴A´C=A´B,C´N=B´N，
∴AC=AB,∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠CAB=30°+30°=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：如图，延长AO交网格线于点D，取格点E，F，连接EF交网格线于点G，作直线DG交⊙O于
点B，C，连接AB，AC，则△ABC即为所求．
56．（2024·陕西·模拟预测）如图，已知⊙O，点A在圆上，请以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．
（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【思路点拨】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于B、D，则四边形ABCD为正方形．
【规范解答】解：如图，正方形ABCD为所作．易错题型29 求图形旋转后扫过的面积
57．（25-26九年级上·浙江温州·期中）在5×5的方格纸中，按要求画出格点三角形(顶点均在格点上的
三角形).
(1)将图中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A′B′C；
(2)求线段CB所扫过的区域面积．
【答案】(1)作图见详解
5
(2) π
4
【思路点拨】本题考查作图-旋转变换、扇形面积的计算，熟练掌握旋转的性质、扇形的面积公式是解答
本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）利用勾股定理求出BC的长，再利用扇形面积公式计算即可．
【规范解答】（1）解：如图所示：
∴△A′B′C
即为所求；（2）解：由勾股定理得BC=❑√22 +12 =❑√5，
由（1）知，线段CB绕点C按顺时针方向旋转90°，
90π ×(❑√5) 2 5
∴线段CB所扫过的区域面积为 = π ．
360 4
58．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)△A B C 与△ABC关于原点O对称，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC绕点A逆时针旋转90°，在网格中画出旋转后对应的△AB C ，并求出此过程中线段AC扫
2 2
过的面积．
【答案】(1)见解析
13
(2)图见解析， π
4
【思路点拨】本题考查了求图形旋转后扫过的面积，画旋转图形，求关于原点对称的点的坐标，解题关键
是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）分别作出三角形关于原点的对称点，再顺次连结即可；
（2）先根据旋转方向与角度，画出旋转后的图形，再求出AC扫过的面积．
【规范解答】（1）解：如图，A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)关于原点对称的点分别为：
A (−1,−1)，B(−4,−2)，C(−3,−4)，
1
所以ΔA B C 即为所求，
1 1 1（2）如图，ΔAB C 即为所求，
2 2
AC=❑√22 +32 =❑√13
，
90π ⋅(❑√13) 2 13
所以S= = π ．
360 4
易错题型30 圆锥侧面上最短路径问题
59．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑
上装饰一条灯带，灯带自B处开始绕侧面一周又回到点B，若这个圆锥形建筑物的底面周长为40πcm，母
线AB的长为60cm，则这条灯带的最短长度是（ ）
A．40cm B．60cm C．30❑√3cm D．60❑√3cm
【答案】D
【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运
用勾股定理求出BB 的长即可．
1
【规范解答】如图，扇形BAB 为圆锥的侧面展开图，连接BB ．
1 1∵ 40πcm AB 60cm
圆锥形底面周长为 ，母线 的长为 ，
nπ×60
∴40π= ．解得n=120°，即∠BAB =120°，
180° 1
∵AB=AB ，
1
∴∠ABB =∠AB B=30°，
1 1
过点A作AD⊥BB 于点D，
1
∴∠ADB=90°．
∵AB=60cm．
∴AD=30cm，BD=30❑√3cm，
∵AB=AB ，AD垂直BB ，
1 1
1
∴B D=BD= BB ，
1 2 1
∴BB =60❑√3cm．
1
故这条灯带的最短长度为60❑√3cm，
故选D．
60．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践
问题情境：如图1，将一个圆心角为n°、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为
r，点A与点A′重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料．
(1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）．(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n；
(3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，AB=6cm，R=6cm，C是PB中点，现要从点A到点 C
再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值．
【答案】(1)相等；
360r
(2)n= ；
R
(3)6❑√5cm
【思路点拨】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相
关计算是解题的关键．
（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解；
nπR
（2）根据2πr= 求解即可；
180
（3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，进而根据勾股定理求解即可．
【规范解答】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥
底面周长相等．
故答案为：相等．
（2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得：
nπR 360r
则：2πr= ，即：n= ．
180 R
（3）解：如图：
∵AB=6cm，R=6cm，
1
∴r= AB=3cm，
2
360×3
∴n= =180，
6
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，1
∴∠A′PC= ×180°=90°，
2
∵PA′ =PB=6，C是PB中点，
1
∴PC= PB=3cm，
2
∴在Rt△A′PC中，A′C=❑√PA′2 +PC2 =❑√62 +32 =3❑√5cm，
∴彩带长度的最小值为6❑√5cm．
