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专题 04 圆（13 知识&17 题型&6 易错&5 方法清单）【清单01】 圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
【清单02】圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读作圆
AB
弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
【清单03】垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分【清单04】圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
C
B O
【清单05】圆角角的概念
A
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
1
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 圆心角
2
）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 D C
B O
A
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
C
B A
O
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
B A
O【清单06】圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形 D
C
∴
B
A E
【清单07】点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系 图形 定义 性质及判定
P
r
d
点在圆外 点在圆的外部 d > r 点P在圆外
P
r
d
点在圆上 点在圆周上 d = r 点P在圆上
r P
点在圆内 d 点在圆的内部 d < r 点P在圆内【清单08】直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
r
相离 没有公共点 d > r直线l与⊙O相离
d
r
相切 有唯一公共点 d = r直线l与⊙O相切
d
r
相交 有两个公共点 d < r直线l与⊙O相交
d
【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
【清单09】切线的性质与判定
定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆
心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中
性质
作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计
算或证明．
1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.
3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，
判定
1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半
径，简称“连半径，证垂直”；3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半
径，简称“作垂直，证半径”．
【清单10】切线长定理
定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角
三角形来求解．
【清单11】三角形内切圆与外接圆
1.三角形内切圆与外接圆的定义
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平
三角形外接圆
分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这
三角形内切圆
个三角形叫做圆的外切三角形.
2. 三角形内心与外心
圆心的 圆心的确定方法 图形 圆心的性质
名称
外心 三角形三边中垂线的交点 A 1)OA=OB=OC
O 2)外心不一定在三角形的内部．
B C
内心 三角形三条角平分线的交点 A 1)到三边的距离相等；
2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、
O
∠ACB；
B C
3)内心一定在三角形内部．
【清单12】正多边形与圆的有关概念
1. 正多边形的相关概念
正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
【清单13】弧长和扇形面积
设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则
扇形弧长公式 nπR
l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且 n
180
表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
扇形面积公式 nπR2 1
l
S扇形=
360
=
2
R
圆锥侧面积公式 S =πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
圆锥侧
圆锥全面积公式 S =πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
圆锥全
圆锥的高h，圆 r2+h2=l2
锥的底面半径r
【题型一】圆的基本性质
【典例1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∠BCD=30°，则
∠ABC等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂线定义，由AB⊥CD，得出∠BEC=90°，根据
∠BCD=30°，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：∵AB⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∵∠BCD=30°，
∴∠ABC=180°−90°−30°=60°．
故选：D．【变式1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧 D．弦是直径
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，正确的了解有关概念及性质是解题的关键．
利用圆的有关概念及性质逐项判断即可解答．
【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，故正确，符合题意；
B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；
C、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意；
D、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意．
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·广西防城港·期末）我国古代铜钱蕴含“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽
象成如图所示的几何图形，已知AC,BD为⊙O的直径，AC⊥BD，四边形EFGH是正方形，若
⊙O的面积为4πcm2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．πcm2 B．2πcm2 C．1.5πcm2 D．3πcm2
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由题意得，图②所示的图形
为轴对称图形，则有S =S ，进而将阴影部分的面积转化为S ，再结合圆O的面积为
△OEF △OHG 扇形OAB
4πcm2即可求解．
【详解】解：∵AC,BD为圆O的直径，正方形EFGH顶点均在AC,BD上，
∴图②所示的图形是轴对称图形，
∴由轴对称的性质有：S =S ，
△OEF △OHG∵圆O的面积为4πcm2，AC⊥BD，
1 1
∴ S = S = ×4π=πcm2 ，
扇形OAB 4 圆 4
∴阴影部分的面积=S −S +S =S =πcm2 ．
扇形OAB △OEF △OHG 扇形OAB
故选：A．
【变式3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（
）
A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变
C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变
【答案】C
【分析】本题考查了圆的定义．圆是到定点的距离等于定长的所有的点的集合，定点就是圆心，定长
就是半径，确定圆的两个要素是圆心和半径，所以要画了个圆就要保持圆心位置不变，圆的半径不变．
【详解】解：A选项：保持圆心位置不变，如果圆的半径发生变化，则不能画出圆，故A选项不符合
题意；
B选项：保持圆的半径不变，如果圆心的位置发生变化，则不能画出圆，故B选项不符合题意；
C选项：保持圆心位置和圆的半径不变，可以画出一个圆，故C选项符合题意；
D选项：圆心的位置可以改变，改变了圆心的位置不能画出一个圆，故D选项不符合题意．
故选：C．
【题型二】垂径定理及应用
【典例2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若
CD=8cm,MB=2cm，则半径的长为 cm．【答案】5
【分析】本题考查垂径定理，连接OC，设⊙O的半径是rcm，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接OC，设⊙O的半径是rcm，则OB=OC=rcm，OM=OB−BM=(r−2)cm，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，CD=8cm ，
∴CM=DM=4cm,∠OMC=90°，
由勾股定理得OC2=CM2+OM2，
∴r2=42+(r−2) 2，
解得∶r=5，
即⊙O的半径是5cm，
故答案为：5．
【变式1】（25-26九年级上·贵州·期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C是AB的中点，连接OC，
则OC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理的推论，勾股
定理即可求得OC的长．
【详解】解：∵点C是AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵弦AB=8，
1
∴AC=BC= AB=4，
2
∵⊙O的半径为5，
在Rt△AOC中，由勾股定理得，OC=❑√AO2−AC2=3．
故选：C．
【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧A´B，点O是这段圆弧
所在圆的圆心．已知AB=200米，C是A´B上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=40米．则这段弯路
的半径是 米．
【答案】145
1
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理可得AD= AB=100米，设这段弯路的半
2
径是x米，则OA=OC=x米，OD=OC−CD=(x−40)米，由勾股定理可得x2=(x−40) 2+1002，解
方程即可得到答案．
【详解】解：∵C是A´B上的一点，OC⊥AB，垂足为D，
1
∴AD= AB=100米，
2
设这段弯路的半径是x米，则OA=OC=x米，
∴OD=OC−CD=(x−40)米，
在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2=OD2+AD2，
∴x2=(x−40) 2+1002，解得x=145，
∴这段弯路的半径是145米，
故答案为：145．
【变式3】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图所示，是一个直径为10cm的圆柱形输油管的横截面，若
此时油面宽AB=6cm，则油面的深度为 ．
【答案】1cm
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是运用垂径定理，勾股定理解决实际问题；过O
作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理得AD=3cm，再根据勾股定理得OD=4cm，
再求DE即可得解．
【详解】解：设圆心为O，过O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
∵OD⊥AB
，
1 1
∴AD= AB= ×6=3(cm)， ∠ADO=90°，
2 2
∵直径为10cm，
∴OA=OE=5cm，
在Rt△AOD中，OD=❑√OA2−AD2=4(cm)，
∴DE=OE−OD=5−4=1(cm)，
∴油面的深度为1cm，
故答案为：1cm．
【题型三】点与圆上一点最值问题
【典例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A为圆心，2为半径作⊙A．若点E在⊙A上，点P在BC上，则PE+PD的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】延长DC到点M，使得DC=CM，连接MA交⊙A于点O，交BC于点N，
当点E与点O重合，点P与点N重合时，PE+PD=NO+MN=MO=MA−OA此时取得最小值，利
用矩形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：延长DC到点M，使得DC=CM，连接MA交⊙A于点O，交BC于点N，
∵PE+PM≥ME，
∴当点E，P，M三点共线时，PE+PM取得最小值，此时为ME，
∵点E是⊙A上动点，
∴当E与点O重合时，ME最小，此时为MO，
∴当点E与点O重合，点P与点N重合时，PE+PD=NO+MN=MO=MA−OA此时取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A为圆心，2为半径作⊙A．
∴DM=2AB=8，AD=BC=6，∠ADC=90°，
∴MA=❑√AD2+DM2=10，∴MO=MA−OA=8，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的性
质，勾股定理，圆的基本性质是解题的关键．
1
【变式1】（21-22九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线y= x2−1与x轴交于A，B两点，D是以点
9
C(0,4)为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是
（ ）
3 5 3❑√2
A． B．2 C． D．
2 2 2
【答案】B
【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角
1
形中位线性质可知OE= BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可.
2
1
【详解】∵y= x2−1，
9
1
∴当y=0时，0= x2−1，
9
解得：x=±3，
∴A点与B点坐标分别为：(−3，0)，(3，0)，
即：AO=BO=3，
∴O点为AB的中点，
又∵圆心C坐标为(0，4)，
∴OC=4，∴BC长度=❑√OB2+OC2=5，
∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
1
即：OE= BD，
2
∵D点是圆上的动点，
由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，
∴BD的最小值为4，
1
∴OE= BD=2，
2
即OE的最小值为2，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半
径分别为2和1，点P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．
【答案】3
【分析】作A点关于直线DC的对称点A′，连接A A′，延长CD交A A′于点N，连接BD，DA′，利用
菱形的性质以及圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．
【详解】解：如图，作A点关于直线DC的对称点A′，连接A A′，延长CD交A A′于点N，连接BD，DA′，
∵ ABCD ∠BAD=60° AB=3
四边形 是菱形， ， ，
∴AB=AD=CD=BC=3，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ADB、△BCD是等边三角形 ，
∴∠BDC=∠ADB=60°，
∴∠ADN=180°−∠ADB−∠BDC=60°，
∴∠A′DN=∠ADN=60°，
∴∠ADB+∠ADN+∠A′DN=180°，
∴A′，D，B在一条直线上，
由题意可得出：当P与D重合，E点在AD上，F在BD上时，PE+PF最小，
∵BD=AB=AD=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=AD−AE=1，PF=BD−BF=2，
∴PE+PF的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及圆的性质等相关
知识，根据题意得出P点位置是解题关键．
【变式3】（25-26九年级上·北京·月考）如图，A，B为圆O上两点，∠AOB=60°，C为圆O上一动点
（不与A、B重合），D为AC的中点．若圆O的半径为2，则线段BD的长的最大值为 ．
【答案】❑√3+1
【分析】取OA的中点E，连接OC,BE,DE，得到EO=EA，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上
的一点，进一步再求最值即可．1
【详解】解：如图，取OA的中点E，连接OC,BE,DE，则EA=EO= OA=1，
2
∵D为线段AC的中点，
∴DE是△OAC的中位线，
1
∴DE= OC=1，
2
∴EO=EA=DE，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点，
∴线段BD长度的最大值即是点B与⊙E上的点的最大距离，
如图，当点D在线段BE的延长线上时，即BD在⊙E的直径上，线段BD的长度取得最大值，
连接AB，
∵∠AOB=60°，OA=OB=2，
∴△AOB为等边三角形，
∵E为OA的中点，
∴BE⊥OA，
∴BE=❑√OB2−OE2=❑√3，
∴线段BD长度的最大值为BE+DE=❑√3+1．
故答案为：❑√3+1．
【点睛】本题主要考查圆的定义及性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的中位
线的性质，能够通过性质得出点的轨迹是解题关键．
【题型四】圆周角定理
【典例4】（24-25九年级上·全国·期末）如图，AB 为⊙O 的直径，已知圆周角∠BCD=30° ，则∠ABD= （ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，根据AB为⊙O直径，直径所对的圆周角是直角求得∠ACB的度
数，然后根据同弧所对的圆周角相等求得∠ABD的度数即可．
【详解】解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°−∠BCD=90°−30°=60°．
故选：A．
【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，如果∠ABC=70°，
那么∠D的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．70°
【答案】A
【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于90度，同弧或等弧所对的圆周角相等等知识，掌握以上知
识点是解答本题的关键．
根据直径所对的圆周角等于90度得∠ACB=90°，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠A=20°，
最后根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠D的度数．
【详解】解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=70°，
∴∠A=90°−∠ABC=20°，∴∠D=∠A=20°，
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，O为圆心，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=50°，
则∠AOB的度数是（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，
根据圆周角定理解答，即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半．
【详解】解：∵∠ACB=50°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×50°=100°．
故选：C．
【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，AB是⊙O的直径，B是C´D的中点，连接AC，OD，
若∠CAB=24°，则∠BOD=（ ）
A．48° B．24° C．66° D．33°
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接AD，得到∠DAB=∠CAB=24°，得出∠BOD=2∠DAB=48°，即可得到答案．
【详解】如图，连接AD，
∵ B是C´D的中点，
∴B´C=B´D，
∴∠DAB=∠CAB=24°，
∴∠BOD=2∠DAB=48°，故选：A．
【题型五】圆内接四边形
【典例5】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是B´D的中点，
∠A=40°，则∠CBD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】A
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意得出
∠BCD的度数和BC=CD．
根据内接四边形的性质得出∠BCD的度数，再由点C是B´D的中点，得出BC=CD，最后利用等腰三
角形的性质得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠A=40°，
∴∠BCD=180°−40°=140°，
∵点C是B´D的中点，
∴B´C=D´C，
∴BC=CD，
1
∴∠CBD= (180°−∠BCD)=20°．
2
故选：A
【变式1】（2025·福建龙岩·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是B´D的中点，AD∥BC，
∠BCD=110°，则∠ACB的度数是（ ）A．20° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接四边形，平行线的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形，对角互补得
∠BAD=180°−∠BCD=70°，因为点C是B´D的中点，所以B´C=C´D，结合圆周角定理，得
∠BAC=∠DAC=35°，最后由两直线平行，内错角相等，即可作答．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=110°，
∴∠BAD=180°−∠BCD=180°−110°=70°，
∵点C是B´D的中点，
∴B´C=C´D，
1
∴∠BAC=∠DAC= ×70°=35°，
2
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC=35°
故选：B
【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，连接OB，
OD，则∠BOD的度数是（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，先根据圆内接四边形的性质求出∠BAD的
度数，然后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵圆内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，
∴∠BAD=180°−∠BCD=60°，∴∠BOD=2∠BAD=120°，
故选：B．
【变式3】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，
∠A=70°，则∠BCE的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
【答案】C
【分析】本题考查圆内角四边形，根据圆内接四边形的对角互补，结合平角的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=70°，
∴∠BCD=180°−70°=110°，
∵E为DC延长线上一点，
∴∠BCE=180°−∠BCD=70°；
故选C．
【题型六】点与圆的位置关系的判定
【典例6】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知⊙O的半径为3，若PO=2，则点P与⊙O的位置关系
是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查判断点与圆的位置关系，已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当
r>d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r5，
∴点P在⊙O内，
故选：A．
【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在同一平面内，已知半径为5的⊙O及点P，M，N，Q．若
OP=3，OM=4，ON=5，OQ=6，则在⊙O外的点是（ ）
A．P B．M C．N D．Q
【答案】D
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离
等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答
案．
【详解】解：∵⊙O的半径为r=5，OP=3，OM=4，ON=5，OQ=6，
∴OPr，
∴点P、M在圆内，N在圆上，Q在圆外．
故选：D．
【题型七】三角形的外接圆
【典例7】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A(2,2)，B(4,0)，O
三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点D(2,1) B．点E(2,0) C．点F(3,0) D．点G(2,−1)
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．根据图形作线段AB
的垂直平分线PQ，与OB的垂线平分线的交点E即为圆心，根据图形得出即可．
【详解】解：如图：AB PQ OB
作线段 的垂直平分线 ，与 的垂线平分线交于点E，即为弧的圆
心，
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）Rt△ABC的外接圆⊙O的半径r=6cm，则斜边AB的
长是（ ）
A．5cm B．6.5cm C．12cm D．13cm
【答案】C
【分析】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，根据90度角所对的弦是直径，得到斜边AB是⊙O
的直径，即可得出结果．
【详解】解：∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，
∴斜边AB是⊙O的直径，
∵r=6cm，
∴AB=2r=12cm；
故选C．
【变式2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（ ）
A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据
外心的定义进行解答即可．
【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，
∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点．
故选：A．
【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图所示，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为
(4,−1)(1)将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到对应的△A B C ，请画出△A B C ，并写出点B
1 1 1 1 1 1 1
的坐标；
(2)请在图中标出△ABC的外接圆的圆心M以及写出点M的坐标，并计算△ABC的外接圆的面积．
【答案】(1)见解析；B (−4,−5)
1
(2)点M位置见解析，M(3,−3)；5π
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，确定三角形外接圆圆心，两点距离计算公式，圆的
面积计算，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据网格的特点和旋转方式可得A 、B 、C 的位置，描出A 、B 、C ，并顺次连接
1 1 1 1 1 1
A 、B 、C ，再写出B 的坐标即可；
1 1 1 1
（2）作线段AC，AB的垂直平分线交于点M，根据网格的特点可得点M的坐标，再利用勾股定理得
到CM的长，再根据圆面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，△A B C 即为所求，则B (−4,−5)；
1 1 1 1
（2）解：如图所示，作线段AC，AB的垂直平分线交于点M，则M(3,−3)，
∵C(4,−1)，
∴CM=❑√ (4−3) 2+[−3−(−1)) 2 =❑√5，
∴△ABC的外接圆半径为❑√5，
∴△ABC的外接圆的面积为π×(❑√5) 2=5π．【题型八】直线与圆的位置关系的判定
【典例8】（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP的长为
4cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能
【答案】D
【分析】考查直线和圆的位置关系，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若dr，则直线与圆相离．
已知点P在直线l上且OP=4cm，d是圆心到直线的最短距离（垂线段长度），因此d≤OP=4cm．
结合半径r=3cm，分析d的不同情况即可确定位置关系．
【详解】解：圆心O到直线l的距离d是直线l上各点到O的最短距离，由垂线段最短可知
d≤OP=4cm．
∵圆的半径r=3cm，
∴当d<3cm时，直线与圆相交；
当d=3cm时，直线与圆相切；
当d>3cm时，直线与圆相离；
∴直线l与⊙O的位置关系可能是相交、相切或相离．
故选：D
【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为7，则直线l与
⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意可得直线l在⊙O外，即可得解，熟练掌握直线
与圆的位置关系是解此题的关键．
【详解】解：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为7，
∴直线l在⊙O外，∴直线l与⊙O的公共点的个数是0个，
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，若⊙O的半径为1，点O到某条直线的距离为2，则这
条直线可能是（ ）
A．直线l B．直线l C．直线l D．直线l
1 2 3 4
【答案】A
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当
圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据
此可得答案．
【详解】解：∵⊙O的半径为1，圆心O到一条直线的距离为2，即1<2，
∴⊙O与该直线相离，
∴这条直线可能是l ，
1
故选：A．
【变式3】（24-25九年级上·重庆·期中）已知圆心A到直线m的距离为d，⊙A的半径为r，若d、r是方程
x2−7x+12=0的两个根，则直线m和⊙A的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交
【答案】D
【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，
掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得到d,r的值，再根据圆半径r与圆心到直线的距离d的关系“d>r，
相离；d=r，相切；dr（圆的
半径为r，圆心到直线的距离为d）求解．
【详解】解：由题意知，
∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，
∵点A到圆心O的距离OA=3cm，大于圆的半径2cm，
∴点A在圆⊙O的外部，
∵点B到圆心O的距离OB=2cm，等于圆的半径，
∴点B在圆⊙O上，
∵点A在圆外，点B在圆上，
∴直线AB会与圆O相交或相切．
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，将OP沿x轴正方向平移，
使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．3或5
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆
心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位于y轴右侧，根据平移的性质和
圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，
∴OP=3，
∵⊙P的半径为2，
∴AP=BP=2，
∴OA=1，OB=5，
∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1，
当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，∴平移的距离为1或5，
故选：B．
3．如图， O 的直径AB长度为12， O 的直径为8，∠AOO＝30°， O 沿直线OO 平移，当 O 平
1 2 1 2 2 1 2 2
移到与⊙ O 和AB所在直线都有公⊙共点时，令圆心距OO＝x，则x的⊙取值范围是（ ） ⊙
1 1 2
⊙
A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4❑√3 D．2≤x≤8
【答案】D
【分析】由题意得出点O 在点O 的右侧，⊙O 与⊙O 和AB所在直线都有公共点时，OO 的最大值
2 1 2 1 1 2
和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O 在点O 的左侧时的结论．
2 1
【详解】解：当点O 在点O 的右侧时，
2 1
当⊙O 向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M，
2
则OM=4，
2
又∵∠AOO=30°，
2 1
∴OO=2•OM=8，
1 2 2
当⊙O 继续向左移动到与⊙O 内切时，如图2所示，此时OO=6-4=2，
2 1 1 2
所以当⊙O 平移到与⊙O 和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8；
2 1
故选：D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问
题的关键．
【题型04 ：圆周角定理】
1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=45°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27° B．108° C．126° D．90°
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理计算即可得到答
案．
【详解】解：∵B´C=B´C，
∴∠BOC=2∠BAC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=2×45°=90°，
故选：D．
2．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B=62°，∠ACD=39°，则∠CAD=（ ）
A．23° B．28° C．31° D．33°
【答案】A
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得
∠D=180°−∠B=118°，再在△ACD中，由三角形内角和定理求∠CAD即可．
【详解】解：∵∠B=62°，
∴∠D=180°−∠B=118°，
∵∠ACD=39°，∴∠CAD=180°−∠D−∠ACD=23°，
故选：A．
【题型05：三角形的内切圆】
1．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD=2，△ABC的周长
为14，则BC的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据
切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，由△ABC的周长为14，可求BC的长．
【详解】解：∵⊙O与A B，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AD+AF+BE+BD+CE+CF=14，
∴2(BE+CE)=10，
∴BC=5．
故答案为：5．
【题型06 ：求不规则阴影部分面积】
1．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC．若AB=2,BC=1，则阴影部分的面积为
（ ）
❑√3 π ❑√3 2π ❑√3 π
A． + B． + C．π D． +
2 3 4 3 4 3
【答案】D
【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，关键是判定△OBC是等边三角形，掌握
扇形面积的计算公式．过O作OH⊥BC于H，判定△OBC是等边三角形，得到∠BOC=60°，求出∠AOC=120°，于是扇形OAC的面积，由等边三角形的性质得到CH的长，由勾股定理求出OH，
进而求出△OBC的面积，根据阴影部分的面积=扇形OAC的面积+△OBC的面积，即可得到阴影部
分的面积．
【详解】解：如图，过O作OH⊥BC于H，
∵ AB=2 BC=1
直径 ， ，
∴OC=OB=BC=1，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=180°−60°=120°，
120π×12 π
∴ S = = ，
扇形OAC 360 3
∵△OBC是等边三角形，OH⊥BC，
1 1
∴ CH= BC= ，
2 2
❑√3
∴
OH=❑√OC2−CH2=
，
2
1 ❑√3
∴ S = BC×OH=
△OBC 2 4
π ❑√3
∴ S =S +S = +
阴影 扇形OAC △OBC 3 4
故选：D．
2．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，
BC为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，BE为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积
为（ ）A．π−1 B．π−2 C．π−3 D．4−π
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，理解图示，掌握不规
则图形面积的转换，扇形面积的计算是解题的关键．
根据正方形的性质可得弓形OB=弓形OD，由阴影部分的面积=S −S ，即可求解．
扇形CBD △CBD
【详解】解：如图所示，连接BD,EF，E,O,F三点共线
∵四边形ABCD是正方形，点E,F分别为BC,AD的中点，
1
∴AF=DF=BE=CE= ×2=1，AD∥BC，
2
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
{∠FDO=∠EBO
)
∠DOF=∠BOE ，
FD=EB
∴△DFO≌△BEO(AAS)，
∴OB=OD,OE=OF，∠DFO=∠BEO
∴O´B=O´D，
∴弓形OB=弓形OD，
1 1
∴阴影部分的面积=S −S = π×22− ×2×2=π−2，
扇形CBD △CBD 4 2
故选：B．【题型一】垂径定理及其应用
1.圆中模型“知2得3”
由图可得以下5点：
¿ ¿ ¿ ¿
①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④AC=BC；⑤AD=BD；
以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。
2. 常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角
【题型二】三角形外接圆
1、三角形的外心：三角形三边中垂线的交点；
实际画图时只需要画两条中垂线的交点即可！
2、三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；
常做辅助线：连结三角形内心和顶点的线段
【题型三】切线的判定和性质
切线的判定方法1：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
切线证明常见辅助线及规律：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径；
【题型四】三角形的内切圆
1.三角形的内心：三角形条角平分线的交点；
实际画图时只需要画两条角分线的交点即可！
2、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；
常做辅助线：作内心到三边的垂线段【题型五】弧长和扇形的面积
nπr nπr2 1
L = ；S = = Lr；
弧长 180 扇形 360 2
公式可以直接应用，也可以由弧长（或面积）的数值求解对应的圆心角或者半径
