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第一次月考压轴题专练
一、单选题
1．（2023下·安徽宿州·七年级安徽省泗县中学校联考阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学
家欧拉就引进了求和符号“ ”．如：记 ；
．已知： ，则 的值是
（ ）
A．40 B． C． D．
【答案】D
【分析】可求 ，当 时，即可化简求解．
【详解】解：由题意得
，
当 时，
；
因为
所以 ，
所以 ．
故选：D．【点睛】本题主要考查了整式运算中的多项式乘以多项式，恒等式的性质，能理解求和符号进行正确运算
是解题的关键．
2．（2022上·福建泉州·七年级校考阶段练习）如图，将两张边长分别为 和 的正方形纸片按图
1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆
盖的部分用阴影表示，若长方形中边 、 的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为 ，图2中
阴影部分面积为 ．当 时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 ， ，图①中阴影部分的面积为 ，②中阴影
部分面积为 ，且 ，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，图①中阴影部分面积为
∴ ，且 ， ， ，
∴ ；
如图所示，图②中阴影部分面积为∴ ，且 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查图像变换与面积的关系，整式的混合运算，理解图形变换中边与边的和与差的关系
是解题的关键．
3．（2023上·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）下列说法中，正确的个数是（
）
①若 ，则 ；
②若 ，则有 是正数；
③ 、 、 三点在数轴上对应的数分别是 、6、 ，若相邻两点的距离相等，则 ；
④ 有最小值；⑤ ， ，则 的值为 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据句绝对值的定义和性质逐个进行判断即可．
【详解】解：①若 ，则 ；故①不正确，不符合题意；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确，符合题意；
③当点C在点B右边时： ，解得： ，
当点C在点A和点B之间时， ，解得： ，当点C在点A左边时， ，解得： ，
∴ 或 或 ，故③不正确，不符合题意；
④∵ ，
∴当 时， 有最小值，故④正确，符合题意；
⑤∵ ，
∴ ，
则 ，
∵ ， ，
∴a、b、c两正一负，
∴ ，
故⑤不正确，不符合题意；
综上：正确的有②④，共2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查绝对值的性质，平方差公式，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝
对值是它的相反数，0的绝对值是0．
4．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若有两个整式
， ．下列结论中，正确的有
（ ）
①当 为关于 的三次三项式时，则 ；
②当多项式 乘积不含 时，则 ；
③ ；
④当 能被 整除时， ；
⑤若 或 时，无论 和 取何值， 值总相等，则 ．
A．①②④ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤
【答案】C
【分析】求出 ，可得当 时， 为关于 的三次三项式，此时 ，故说法①错误；求出 ，再由多项式 乘积不含 ，可得 ，解得： ，故说法②错误；当 时，
可得 ，当 时，可得 ，故③说法正确；设 ，可得
，从而得到 ，故④说法正确；根据当 或 时，无
论 和 取何值， 值总相等，可得 且 ，故⑤说法正确，即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
当 时， 为关于 的三次三项式，此时 ，故说法①错误；
∵多项式 乘积不含 ，
∴ ，解得： ，故说法②错误；
当 时， ，
即 ，
当 时， ，
即 ，
∴ ，故③说法正确；
∵ 能被 整除，
∴可设 ，
∵
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，故④说法正确；
当 时， ，
当 时， ，
∵当 或 时，无论 和 取何值， 值总相等，
∴ 且 ，
解得： ，故⑤说法正确；
故选：C
【点睛】本题考查了整式的加减与乘法，熟练掌握整式混合运算法则是解题关键．
5．（2022上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）对于五个整式， ： ； ： ； ：
； ： ； ： 有以下几个结论：
①若 为正整数，则多项式 的值一定是正数；
②存在有理数 ， ，使得 的值为 ；
③若关于 的多项式 （ 为常数）不含 的一次项，则该多项式 的值一定大于 ．
上述结论中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据整式的乘法混合运算，及完全平方公式为非负的特点，结合特殊值代入法求解．
【详解】解：① ，
当 时， ．故①是错误的；
②当 ，
即 ，
∴ ，
当 时， 或者 ．所以②是正确的．③∵
，
∵ 不含x的一次项，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴③是错误的；
综上，只有②是正确的．
故选：B．
【点睛】本题考查整式的乘法运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握整数的乘法运算法则是解题的
关键．
6．（2023下·山东济南·七年级统考期末）设 ， ， ．若 ，则
的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据完全平方公式得出 ， ，进而根据已知条件得出 ，进而即可求
解．
【详解】 ， ， ，
， ，
，
，
，
，
故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出 是解题的关键．
7．（2023上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知 ，且 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知 ， ，两等式左右两边分别相减，可得到 ，将
，利用完全平方公式，变为 ，再将上面的式子的值代
入，问题得解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
即：
，
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，将 变为 是难点．
8．（2022上·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考阶段练习）有依次排列的2个整式： ， ，对
任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新
整式串： ， ， ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得
到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，
①第二次操作后整式串为： ， ， ， ， ；
②第二次操作后，当 时，所有整式的积为正数；
③第四次操作后整式串中共有19个整式；
④第2022次操作后，所有的整式的和为 ．下列结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
【答案】D
【分析】根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算，从而作出判断．
【详解】解： 第一次操作后的整式串为： ，3， ，第二次操作后的整式串为 ， ，3， ， ，
即 ， ，3， ， ，故①的结论正确，符合题意；
第二次操作后整式的积为 ，
，
，即 ，
，
即第二次操作后，当 时，所有整式的积为非负数，故②的说法错误，不符合题意；
第三次操作后整式串为 ， ， ， ，3， ， ，3， ，
第四次操作后整式串为 ， ， ， ， ， ， ， ，3， ， ，3， ，
，3， ， ，
共17个，故③的说法错误，不符合题意；
第一次操作后所有整式的和为 ，
第二次操作后所有整式的和为 ，
第三次操作后所有整式的和为 ，
...，
第n次操作后所有整式的积为 ，
∴第2022次操作后，所有的整式的和为 ，
故④的说法正确，符合题意；
正确的说法有①④，
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减，整式的乘法，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号
的运算法则（括号前面是“ ”号，去掉“ ”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“ ”号，
去掉“ ”号和括号，括号里的各项都变号）和平方差公式 是解题关键．
二、填空题
9．（2022上·江西新余·八年级统考阶段练习） 为非零自然数，若 为两个连续自然数之积，
则 的值是 ．
【答案】2或6
【分析】可分析确定 ，进而 或，分别求解；
【详解】 ；
∵
，
∴
∴ 或
解得 或
时， ，
时， ，
故答案为：2或6
【点睛】本题考查整式的运算，运用整式乘法确定代数式的取值范围是解题的关键．
10．（2023下·江苏镇江·七年级统考阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1， ，4， ，16，
，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为 ，其中三数之和的最大值记为A，
最小值记为B，则 的值等于 ．
【答案】
【分析】由题意知，卡片数字为 ， ， ， ， ， ，……，则使三数之和最大
的三个数为 ， ， ，即 ，使三数之和最小的三个数为 ， ，
，即 ，然后代入计算求解即可．
【详解】解：由题意知，卡片数字为 ， ， ， ， ， ，……
∵三张卡片上的数字乘积为 ，
∴使三数之和最大的三个数为 ， ， ，
∴ ，
∴使三数之和最小的三个数为 ， ， ，
∴ ，∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的加减运算．解题的关键在于确定使三数之和最大的三个数
于使三数之和最小的三个数．
11．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，非负数的性质，代数式求值．将等式
进行恰当的变形，从而求出a和b的关系是解题关键．根据多项式乘多项式法则，结
合完全平方公式可将等式 变形为 ，再根据平方的非负性即得出
， ，从而可得出 ， ，最后将所求式子变形为 ，再代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．12．（2023下·浙江温州·七年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）如图，正方形 和三角形
重叠部分是长方形 ，四边形 和 均为正方形．若长方形 面积为4， ，
， ，连接 ， ，则阴影部分的面积为 ．
【答案】10
【分析】设长方形 中， ， ，根据题意可知 ， ，
，可知 ，进而可得 ，由阴影部分的面积
，即可求解．
【详解】解：设长方形 中， ， ，
∵四边形 ，四边形 和 均为正方形，
∴ ，则 ，
∵长方形 面积为4， ， ， ，
∴ ， ，则 ，
∴ ，
连接 ，则阴影部分的面积
，故答案为：10．
【点睛】本题考查完全平方的几何背景，观察图形，求出 ， 及 的值是求解本题的关键．
13．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）对于一个三位数，其十位数字等于个位数字与
百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”，则最小的“倍差数”为 若一个数 能够写
成 （ ， 均为正整数，且 ），则我们称这样的数为“不完全平方差数”，记
．例如 ，所以 或 ．若一个小于 的三位
数 （其中 ， ，且 ， ， 均为整数）既是一个“不完全平方差数”，
也是一个“倍差数”，则满足条件的 的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据新定义，可得百位数最小为1，再根据新定义确定十位数与个位数，即可得出最小的倍差数；
由三位数 小于 ， ，得到 的值，根据情况讨论，可得答案．
【详解】解：依题意，最小的“倍差数”百位数最小为1，当十位为0时，则个位为1，
∴最小的“倍差数”是
∵三位数 小于 ， ， ，
，
又∵ 是“倍差数”，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
，
，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
而 不是“不完全平方差数”，∴ 的最大值 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查再新定义的情境下的整式的乘法运算，掌握平方差公式的应用，弄懂新定义的含义是解
题的关键．
14．（2022下·重庆·七年级重庆南开中学校考期中）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试
验田里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2．第一
小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余
下试验田面积的 种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的 ，且第二小组种植三种
蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的 ，则最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为
．
【答案】 /4:7
【分析】设第一小组已经种植黄瓜面积为3m，种植黄瓜的单位面积种植株数为n，根据三种蔬菜面积之比
及单位面积种植株数之比可得第一小组已经种植番茄面积为2m，已经种植辣椒的面积为4m，种植番茄的
单位面积种植株数为2n，种植辣椒的单位面积种植株数为2n，设余下的面积为z，第二小组在余下的实验
田里种植辣椒面积的 ，可列方程 ，可得 ，设第二小组种植黄瓜面
积为a，第二小组种植番茄面积为 ，利用第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜
的总株数的 ，列方程 ，解方程即可．
【详解】解：设第一小组已经种植黄瓜面积为3m，种植黄瓜的单位面积种植株数为n，
单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2，
第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，
第一小组已经种植番茄面积为2m，已经种植辣椒的面积为4m，
种植番茄的单位面积种植株数为2n，种植辣椒的单位面积种植株数为2n，
设余下的面积为z，
第二小组在余下的实验田里种植辣椒面积的 ，解得 ，
设第二小组种植黄瓜面积为a，
第二小组种植番茄面积为 ，
黄瓜种植面积： ，番茄种植面积： ，
辣椒种植面积： ，
第二小组种植三种蔬菜的总株数为：
第一小组种植三种蔬菜的总株数为：
解得 ，
黄瓜总株数： ，
番茄总株数：
最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为 ．
【点睛】本题主要考查了代数式表示数、代数式在生活中的的运用和一元一次方程的实际问题等知识，仔
细阅读抓住辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的 ，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第
一小组种植三种蔬菜的总株数的 ，列出方程是做出本题的关键．
15．（2023下·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）对整式 进行如下操作：将 与另一个整式
相加，使得 与 的和等于 ，表示为 ，称为第一次操作；将第一次操作的结果 与另一个整式 相减，使得 与 的差等于 ，表示为 ，称为第二次操作；
将第二次的操作结果 与另一个整式 相加，使得 与 的和等于 ，表示为
，称为第三次操作；将第三次操作的结果 与另一个整式 相减，使得 与 的
差等于 ，表示为 ，称为第四次操作，以此类推，下列四种说法：① ；
② ；③ ；④当 为奇数时，第 次操作结果 ；
当 为偶数时，第 次操作结果 ；四个结论中正确的有 ．
【答案】④
【分析】根据题意可得出规律为 ， ，当n为奇数时，
，当n为偶数时， ，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知，
，
，
，
，
以此类推，
可得 ．
由于 ，，
，
，
以此类推，
可得 ，
当n为奇数时， ，当n为偶数时， ．
，故结论①错误；
．
故结论②错误；
．
故结论③错误；
∵当n为奇数时， ，当n为偶数时， ，
故结论④正确．
故四个结论中正确的有④，共1个，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式及平方差公式，整式规律探究，找出规律是解决本题的关
键．三、解答题
16．（2022上·湖北荆州·八年级统考期末）如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所
以 ．
(1) ______ ；若 ，则 ______ ；
(2)已知 ， ， ，若 ，求 的值；
(3)若 ， ，令 ．
①求 的值；
②求 的值．
【答案】(1)4，64
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）由 ，可直接得出 ；由 ，可得出 ；
（2）由题意可得出 ， ， ．根据 ，得出 ，即 ，进而即可求出
；
（3）①由题意可得出 ， ，再根据 ， ，即可
求出 ；②根据 ，即得出 ，结合题意可得出 ．由①知 ，
即得出 ，进而得出 ，即说明 ，代入 中求值即可．
【详解】（1）解： ，
；，且 ，
．
故答案为： ， ；
（2）解： ， ， ，若 ，
， ， ．
，
，即 ，
；
（3）解：① ， ，
， ，
， ，
；
② ，
，
．
由①知： ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关
键．
17．（2023下·四川达州·七年级校考阶段练习）探索：
；
；；
；
…
(1)第五个等式是 ；
(2)求 的值；
(3)判断 的值的个位数字是几．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据规律题中的已知条件得到规律即可求出第五个等式；
（2）将 代入代数式，且依据等式的规律列式即可计算得出答案；
（3）先计算该代数式的值得到结果为 ，再探究得到个位数字的规律即可得到答案．
【详解】（1）解：第五个等式是 ，
故答案为： ．
（2）解：
；
（3）解：
，
∵ 的个位数是 ， 的个位数是 ， 的个位数是 ， 的个位数是 ， 的个位数是
……，
∵
∴ 的个位数是 ．
【点睛】此题考查整式的乘法规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键．
18．（2022上·山西长治·八年级统考期末）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，
在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了 （n为非负数）展开式的各项系数的规律．
根据上述规律，完成下列问题：
(1)直接写出 _________．
(2) 的展开式中a项的系数是__________．
(3)利用上述规律求 的值，写出过程．
【答案】(1)
(2)8
(3)
【分析】（1）根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照 的降幂， 的升幂顺序排列，项
数为 项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的
第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类
推，即可得出结论；
（2）根据 ，即可得出结论；
（3）根据 ，利用（1）中等式求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
，
，
，∴ ；
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴a项的系数是 ；
故答案为： ；
（3）解：
．
【点睛】本题考查数字类规律探究，解题的关键是根据已知等式的特点，抽象概括出相应的数字规律．
19．（2023下·江西赣州·七年级校考阶段练习）（1）已知 ，求 的值．
（2）已知将 乘开的结果不含 和 项．求m、n的值；
（3）小明在做一道计算题目 的时候是这样分析的：这个算式里面每个
括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的
差，于是添了 ，并做了如下的计算：
请按照小明的方法，计算 ．
【答案】（1）72，详见解析
（2） ，详见解析
（3） ，详见解析【分析】（1）由 ，即可求得答案；
（2）先根据多项式乘多项式的计算法则化简代数式，然后根据不含 的项和 的项得到 ，据
此求出m、n的值即可得到答案．
（3）根据题意以及平方差公式即可求出答案．
【详解】解：（1）∵ ，
∴
；
（2）
∵关于x的代数式 的化简结果中不含 的项和 的项，
∴ ，
∴ ，
（3）．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，多项式乘以多项式，平方差公式的应用，掌握相
关计算法则是解题的关键．
20．（2023下·江苏·七年级统考阶段练习）阅读：在计算 的过程中，我们
可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问
题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】① ；
② ；
③ ；
……
(1)【归纳】由此可得： ________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算： _______；
(3)计算： ______；
(4)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) ．
【分析】（1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案；
（2）利用（2）中变化规律进而得出答案；
（3）将 转化为，再利用（2）中变化规律进而得出答案；
（4）利用（2）中变化规律得出x的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：① ；
② ；
③ ；
……；
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：
；
（3）解：
；
故答案为： ；
（4）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了平方差公式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键．
21．（2022上·山东德州·八年级校考阶段练习）已知．
(1)根据以上式子计算：
① ；
② （n为正整数）；
③ ．
(2)通过以上计算，请你进行下面的探索：
① _______；
② _______；
③ ________．
【答案】(1)① ；② ；③ ；
(2)① ；② ；③ ．
【分析】（1）①直接利用题中的结论代入数值计算；②缺少( 项，从而可以凑配易得
，同理即可解答；③
中， 按降亘进行排列，然后套用规律进行解答；
（2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案．
【详解】（1）① ；
② ；
③ ；
（2）① ；
② ；③ ．
故答案为∶① ；② ；③ ．
【点睛】本题考查平方差公式，正确理解平方差公式及展开形式是解决本题关键．
22．（2022上·河南南阳·八年级校考阶段练习）对于任意四个有理数 ，可以组成两个有理数对
与 ，我们规定： ．例如： ．
(1)若 是一个完全平方式，求常数 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值；
(3)在（2）的条件下，将长方形 及长方形 按照如图方式放置，其中点 分别在边
上，连接 ，若 ， ， ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)4
(3)136
【分析】（1）由题目中的规定可知 ，根据完全平方公式的特征确定答案即可；
（2）根据题目中的规定求出 等号左边部分，可得 ，再借助完
全平方公式，将 代入求解即可；
（3）根据三角形面积公式将阴影部分的面积表示出来，得到含 ， 的整式，再代入求值即可．
【详解】（1）解：根据题意，可得 ，
∵ 是一个完全平方式，
∴ ，
解得 ；（2）根据题意，可得
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）由（2）可知， ， ，
∵四边形 和四边形 均为长方形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴阴影部分的面积为
．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算、完全平方公式的应用、代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公
式并灵活运用是解题关键．
23．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考阶段练习）在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题．借助直观、形象的几何图形，加深对照式乘法的认识和理解，感悟代数与几何的内
在联系．如图1，现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号，以及长为a．宽为b的长方形Ⅲ号卡片足够
多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形（卡片间不重叠、无缝隙）．解答下列问题：
(1)图2的长方形是由图1中的卡片拼接而成，则这个几何图形表示的等式是______；
(2)若想用几何图形表示等式 ，图3给出了所拼接的几何图形的一部分，请你补
全图形；
(3)若用图1中的卡片拼得一个面积为 的长方形，求共用了多少张卡片？
(4)设 ， ，Ⅰ号、Ⅱ号和Ⅲ号每种卡片各有9张．从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），
若把取出的这些卡片拼成一个正方形，当所拼正方形的边长最大时，请直接写出所用卡片的最少数量．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3)共用了84张卡片；
(4)16张．
【分析】（1）得出图2中长方形的长为 ，宽为 ，由面积公式可得答案；
（2）根据等式 ，所拼成的长方形的长为 ，宽为 ，需要Ⅰ卡片2张，
Ⅱ卡片1张，Ⅲ卡片3张，在所给定的图3中补全即可；
（3）计算出 ，再根据Ⅰ卡片，Ⅱ卡片，Ⅲ卡片的面积可得数量；
（4）根据所拼成的是边长最大的正方形，再结合三种卡片的数量，可得最大正方形的边长为 ，计算
出 ，即可得出需要卡片的张数．
【详解】（1）图2是长为 ，宽为 的长方形，因此面积为 ，故答案为： ；
（2）用几何图形表示等式 ，即需要卡片Ⅰ2张，卡片Ⅱ1张，卡片Ⅲ3张，
所以所拼成的图形如下：（不唯一）
（3） ，
所以Ⅰ号卡片用了15张，Ⅱ号卡片用了28张，Ⅲ号卡片用了41张，共用了84张卡片；
（4）根据题意可得，所拼成的正方形边长最大，即卡片Ⅰ用的要尽可能的多，每条边上最多是3个，又由
于三种卡片均要使用，因此正方形的边上还应有卡片Ⅱ，所以边长可以为 ，但边长为
时，卡片的数量不足，因此最大边长为 ，
所以所拼成的最大正方形的面积为 ，
即Ⅰ号卡片用9张，Ⅱ号卡片用6张，Ⅲ号卡片用1张，共用16张卡片，
答：把取出的这些卡片拼成一个正方形，当所拼正方形的边长最大时，请直接写出所用卡片的最少数量是
16张．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法以及完全
平方公式的结果特征是正确解答的前提．
24．（2023下·广东佛山·七年级统考阶段练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是
指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到
代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成 （ 、 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如， 是
“完美数”．理由：因为 ，所以 是“完美数”．
【解决问题】
(1)数61 “完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
(2)已知 ，则 ；(3)已知 （ 、 是整数， 是常数），要使 为“完美数”，试求出符合条件的
值；
【拓展结论】
(4)已知 、 满足 ，求 的最小值．
【答案】(1)是；
(2) ；
(3) ；
(4)
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）先把登上的左边进行配方，再根据非负数的性质求出 、 的值，再求 ；
（3）先根据 的前四项进行配方，再根据相等的条件求解；
（4）根据条件求出 的值，再进行配方求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 是“完美数”，
故答案为：是；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：∵
，
为“完美数”，
∴
∴ ；
（4）解：∵ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ，时， 的最小值为： ．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
25．（2022上·四川巴中·八年级统考期中）图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均
分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
(2)观察图2你能写出下列三个代数式 之间的等量关系 ．
(3)运用你所得到的公式，计算若 ，求：
① 的值．
② 的值．
(4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)① ②
(4)
【分析】（1）根据线段的差可得结论；
（2）方法1，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，方法2，阴影部分小正方形的边
长为 ,即可计算出面积，可得两次计算的都是阴影部分的面积，即可得出答案；（3）分别根据完全平方公式可解答；．
（4）先把代数式配方为完全平方公式，利用非负性解题即可．
【详解】（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ；
故答案为： ；
（2）根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，即 ；
方法2，阴影部分小正方形的边长为 ，则面积为 ；
∴ ；
故答案为： ；
（3）由（2）知： ,
，
① ；
②∵ ；
∴ ；
（4）
∵ ， ，
∴代数式 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本
题的关键．
26．（2023下·吉林·八年级校考阶段练习）【观察】如图①是一个长为 、宽为b的长方形，沿图中虚线
用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出 ，， 之间的等量关系____________________________；
【应用】若 ， ，则 _______________；
【拓展】如图③，正方形 的边长为x， ， ，长方形 的面积是200，四边形
和四边形 都是正方形，四边形 是长方形，求图中阴影部分的面积．
【答案】观察： ；应用： ；拓展：900
【分析】观察：根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可得答
案；
应用：将 ， 代入（1）中公式即可求解；
拓展：由正方形 的边长为x，则 ， ，得 ，设 ，
， ，得 ，则 ，代入即可．
【详解】解：观察：由图形知，大正方形的面积为 ，中间小正方形的面积为 ，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，
∴ ，
故答案为： ；
应用：∵ ，
∴ ，
将 ， 代入得： ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ；
拓展：∵正方形 的边长为x，
∴ ， ，
∴ ，
设 ， ， ，
∴ ，
∴
，
∴图中阴影部分的面积为900．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，解题的关键是能从整体和部分两方面来
理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用．
27．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考阶段练习）如图1是长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚
线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2，请你写出 之间的等量关系：__________；
(2)根据（1）中的结论，若 ，求 的值；
(3)请求解下面实际问题：
如图3，已知正方形 的边长为 ， ， 分别是 、 上的点，且 ，长方形
的面积是 ，分别以 、 为边长作正方形 和正方形 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）根据图形的面积可得到 ， ， 之间数量关系；
（2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解；
（3）根据题意找出题中各线段之间的数量关系和等量关系，设 ， ，即 ，阴影部分
面积 ，根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵如图 是一个长为 、宽为 的长方形，
∴图 的长方形面积为： ，
∵图 的边长为 ，图 阴影部分的面积为： ，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
∴
（3）解：∵正方形 的边长为 ，正方形 和正方形 ， ，
∴ ， ， ，
∵长方形 的面积是 ，
∴ ，
设 ， ，即 ，则 ，
∴阴影部分面积，
∵ ，
∴ （负值舍去），
∴ ，
即阴影部分面积为 ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是
解题的关键．
28．（2022上·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）（1）若 满足 ，求 的值；
（2）将正方形 和正方形 按如图所示摆放，点 在 边上， 与 交于点 ，且 ，
，长方形 的面积为24，以 为边作正方形 ．设 ，
用含 的代数式直接表示 和 的长；
求图中阴影部分的面积．
【答案】（1） 的值为37；（2） 的长为 ， 的长为 ； 20
【分析】（1）设 ，则 ，通过 得到 ，再将
还原即可得到答案；
（2） 由四边形 为正方形， ，得 ，通过 ， 计算即可得到答案； 由长方形 的面积为24，设 ， ，则 ，
，求出 ，进而得出 ，求出 ，再由
进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）设 ，则 ，
，
，
，
，
即 ；
的值为37；
（2） 四边形 为正方形， ，
，
，四边形 为正方形，
，
，
的长为 ， 的长为 ；
长方形 的面积为24，
，
设 ， ，则 ，
，
，，
，
，
或 ，
∵ ．
∴
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，正方形的性质，熟练掌握完全平方公式及其变形，
正方形的性质，是解题的关键．
29．（2022上·江苏无锡·九年级校联考阶段练习） 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式
子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变
形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成 、 是整数）的形式，
则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为 ，所以5是“完美数”．
【解决问题】
(1)已知29是“完美数”，请将它写成 （a、b是整数）的形式 ；
(2)若 可配方成 （m、n为常数），则mn＝ ；
【探究问题】
(3)已知 ，则 ；
(4)已知 x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个
k值，并说明理由．
【拓展结论】
(5)已知实数x、y满足 ，求 的最值．
【答案】(1) ；
(2)﹣12；(3)﹣1；
(4)S是一个“完美数”，理由见解析；
(5)﹣ ．
【分析】（1）把29分为两个整数的平方即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，确定出 与 的值，即可求出 的值；
（3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出 与 的值，即可求出 的值；
（4）根据 为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出 的值即可；
（5）由已知等式表示出 ，代入 中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）根据题意得： ；
故答案为： ；
（2）根据题意得： ，
， ，
则 ；
故答案为： ；
（3）已知等式变形得： ，
即 ，
， ，
， ，
解得： ， ，
则 ；
故答案为： ；
（4）当 时， 为“完美数”，理由如下：
，， 是整数，
， 也是整数，
是一个“完美数”；
（5） ，
，即 ，
，
当 时， 最大，最大值为 ．
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
30．（2023上·河南南阳·八年级校联考阶段练习）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，
可以得到一个数学等式，例如图1可以得到 ．
请解答下列问题：
(1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：___________．
(2)若 ，用上面得到的数学等式求 的值．
(3)小明同学用图3中的 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张长、宽分别为 、 的长方形
拼出一个面积为 的长方形，求 的值．
【答案】(1)
(2)40
(3)104【分析】（1）整体计算正方形的面积和分部分求和，二者相等；
（2）依据 ，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为： ，而 ，可得 ， ， 的值，
从而得解．
【详解】（1）解： 图2中正方形的面积有两种算法：① ；② ．
．
故答案为： ．
（2） ，
故答案为：40．
（3）由题可知，所拼图形的面积为： ，
，
， ，
．
故答案为：104．
【点睛】本题属于整式乘法公式的几何表示及其相关应用，属于基础题目，难度不大．
