第二章相交线与平行线（5个类型85题）-常考压轴题2023-2024学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版）（原卷版）_1、初中学习资料_24秋试卷_初中数学《常考压轴题攻略》

第二章 相交线与平行线压轴题专练 内容导航 一、与余角（补角）有关的压轴题 （ 1 5 题） 二、与三角板旋转有关的压轴题（ 1 5 题） 三、平行线的性质与判定（ 2 9 题） 四、平行线的实际应用问题（ 1 0 题） 五、平行线 + 三角板旋转的综合问题（ 1 6 题） 一、与余角（补角）有关的压轴题 1．已知：如图1，点 是直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，过点 作射线 ， 使 ．如图2， 绕点 以每秒9°的速度顺时针旋转得 ，同时射线 绕点 以每 秒3°的速度顺时针旋转得射线 ，当射线 落在 的反向延长线上时，射线 和 同时停止， 在整个运动过程中，当 时， 的某一边平分 （ 指不大于180°的角）． 2．直观想象，逻辑推理 已知点O为直线AB上一点．(1)如图，过点O作射线OC，使 ，求 与 的度数； (2)如图，射线OC为 内部任意一条射线，射线OD、OE分别是 、 的角平分线，求 的度数，并写出简要的推理过程； (3)写出上图中所有互余的角和互补的角． 3．已知直线 与 相交于点O． （Ⅰ）如图1，若 ， 平分 ，则 _________． （Ⅱ）如图2，若 ， ， 平分 ，求 的大小； （Ⅲ）如图3，若 ， ， 平分 ，求 的大小（用含 的式子表 示）． 4．如图，已知点O为直线 上一点， ， 是 的平分线． (1)如图1，若 ，求 的度数； (2)如图2， 是 的平分线，求 的度数； (3)在（2）的条件下， 是 的一条三等分线，若 ，求 的度数．5．如图①，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起， ． (1)若 ，求 和 的度数； (2)试猜想 与 的数量关系，并说明理由； (3)如图②，是两个同样的直角三角尺 锐角的顶点重合叠放在一起， ，若 平分 ， 试判断 是否平分 ，并说明理由；并直接写出 与 的数量关系． 6．已知： 平分 ， 和 互为补角． (1)如图 ，求 的度数； (2)如图 ， 平分 ，求证： ； (3)如图 ，在（ ）的条件下，连接 ， ， ，求 的度数． 7．如图1， 是直线 上的一点， ， 平分 ． (1)若 ，求 的度数； (2)将图1中的 绕顶点 顺时针旋转至图2的位置． ①探究 和 的度数之间的关系，并说明理由； ②在 的内部有一条射线 ， 内部有一条射线 ，且 ，试确定 与 的度数之间的关系，并说明理由．8．定义：从 （ ）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将 分得的两个角 中有一个角与 互为余角，则称该射线为 的“分余线”． (1)如图1， ， ，请判断 是否为 的“分余线”，并说明理由； (2)若 平分 ，且 为 的“分余线”，则 ______ ； (3)如图2， ，在 的内部作射线 ， ， ，使 为 的平分线， 为 的“分余线”．当 为 的“分余线”时，请直接写出 的度数． 9．点O为直线l上一点，射线 均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线 和射线 ，使 得 ，作 的平分线 ． (1)求 与 的度数； (2)作射线 ，使得 ，请在图2中画出图形，并求出 的度数； (3)如图3，将射线 从图1位置开始，绕点O以每秒 的速度逆时针旋转一周，作 的平分线 当 时，求旋转的时间． 10．如图，过点 在 内部作射线 ． ， 分别平分 和 ， 与 互 补， ． (1)如图1，若 ，则 ______°， ______°， ______°；(2)如图2，若 平分 ． ①当 时，求 度数； ②试探索： 是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 11．如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线． (1)若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC．求∠AOD及∠BOC的度数； (2)如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，请写出 ∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆时针旋转， OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回到OD时，OB、OC同 时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此时t的值为 （直接写出答 案）． 12．阅读下面材料 小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补． 小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构 造平角找到∠AOC的补角∠COD． 如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD． 因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线 OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补． (1)根据小聪的画法可知，如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请说明∠AOC与∠BOC互补 的理由； (2)参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余（保留画图痕迹）； (3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜ 90°），直接写出锐角∠MPN的度数是 ．13．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线 AB的同一侧作射线 ， ， 使 ． （1）如图①，若 平分 ，求 的度数； （2）如图②，将 绕点O按逆时针方向转动到某个位置时，使得 所在射线把 分成两个角． ①若COD:BOD1:2，求AOE的度数； ②若COD:BOD1:n（n为正整数），直接用含n的代数式表示AOE． 14．已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，AOC 120，DOE． （1）如图1，70，当OD平分AOC时，求EOB的度数． （2）如图2，若DOC 2AOD，且80，求EOB（用表示）． （3）若90，点F 在射线OB上，若射线OF 绕点O顺时针旋转n（0n180），FOA2AOD， OH 平分EOC，当FOH 120时，求n的值． 15．如图（1）所示，线段AM 与线段BN 重合，点O是它们的中点，保持AM 不动，将BN 绕点O顺时针 旋转 m0m180 ）；射线 OP 从与射线OM 重合开始，绕点 O 逆时针旋转 n （至多旋转到与射线 ON 重 合为止）． 在此基础上，我们给出如下定义：比较POA与POB的大小，若POAPOB，则将其中较小角的度 数定义为OP对AOB的“迷你角度”；若POAPOB，则将POA或POB的度数定义为OP对 AOB的“迷你角度”． (1)当m60时， ①如图（2）所示，若n138，求OP对AOB的“迷你角度”是多少度； ②若OP对AOB的“迷你角度”为65，请借助图（3）和图（4）进行分析，求出n的值是多少． m:n1:2 OP AOB 42 m (2)若 时， 对 的“迷你角度”是 ，请直接写出 的值，不用说明理由． 二、与三角板旋转有关的压轴题（15题） 16．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（D30、BAC 45），将三角板DBE绕点B逆时针旋 转一定角度，如图2所示，且0CBE90，有下列四个结论：①在图1的情况下，在DBC内作DBF EBF ，则BA平分DBF； ②在旋转过程中，若BM 平分DBA，BN 平分EBC，MBN的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90的次数为3次； ④DBCABE的角度恒为105． 其中正确的结论个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．如图1，点O为直线AB上一点，将两个含60角的三角板MON 和三角板OPQ如图摆放，使三角板的 一条直角边OM、OP在直线AB上，其中OMN POQ60． (1)将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP在MON 的内部且平分 MON ，此时三角板OPQ旋转的角度为 度； OPQ OP MON MOP NOQ (2)三角板 在绕点O按逆时针方向旋转时，若 在 的内部．试探究 与 之间满足 什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板MON 绕点O以每秒2的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ绕点O 以每秒3的速度按逆时针方向旋转，将射线OB绕点O以每秒5的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线 OB记为OE，射线OC平分MON ，射线OD平分POQ，当射线OC、OD重合时，射线OE改为绕点O 以原速按顺时针方向旋转，在OC、OD第二次相遇前，当COE13时，直接写出旋转时间t的值． 18．将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON ，OBC 90， BOC 45，MON 90，MNO30），保持三角板OBC不动，将三角板MON 绕点O以每秒6的 速度顺时针旋转直至OM 边第一次重合在直线AD上(1)当t  秒时，OM 平分AOC； (2)①如图2，旋转三角板MON ，使得OM 、ON同时在直线OC的异侧，则NOC与AOM 数量关系为 ； ②如图3，继续旋转三角板MON ，使得OM 、ON同时在直线OC的右侧，猜想NOC与AOM 有怎样 的数量关系？并说明理由． (3)若在三角板MON 开始旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒3的速度顺时针旋转，当OM 旋 转至直线AD上时同时停止．请直接写出在旋转过程中NOC与AOM 的关系． 19．如图，一副三角板的边OD、ON 在直线AB上，直角顶点C、M分别在直线AB的上方和下方， COD45，MON 60． (1)将图1中的三角板MON 绕点O逆时针旋转90，则BOM  ； (2)将图1中的三角板MON 绕点O按逆时针方向旋转到图2的位置，使OM 在AOC的内部，求 AONCOM 的度数； (3)将图1中的三角板MON、COD同时绕点O按逆时针方向旋转，速度分别为每秒15和每秒5，当三角 板MON 第一次旋转到起始位置时，一副三角板都停止运动．设运动时间为t秒，当直线OM 恰好平分 AOC时，求t的值． 20．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在O处，射线OC平分MOB． (1)如图（1），若AOM 40，则CON ______； (2)将图（1）中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图（2）的位置，一边OM 在直线AB上方，另一 边ON在直线AB下方． ①试探究AOM BON的结果是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由； ②当AOC 3BON时，求BON 的度数．21．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使BOC 65，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板MON 的一边ON与射线OB重合时，则MOC________；（答案写在右边一栏答题 区域） (2)如图2，将三角板MON 绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是MOB的角平分线，求旋转角BON 的度数和CON 的度数； 1 (3)将三角板 绕点 逆时针旋转过程中，当NOC  AOM 时，直接写出 的度数． MON O 3 NOC 22．一副三角板如图1放置，点A，O，B在直线MN上，其中BOD30，AOC45， (1)如图2，OE平分DOC，OF 平分BOC，求EOF的度数； (2)如图3，若三角板AOC绕点O逆时针旋转30，OF 平分BOC，OG平分AOD，求FOG； (3)若三角板AOC绕点O逆时针旋转（0360），（2）中其它条件不变，请求出FOG的度数． 23．已知O是直线AB上的一点，射线OC在直线AB的上方，BOC 50，将一个直角三角板DOE的直 角顶点放在O处，且直角三角板在直线AB的上方． (1)如图1，若直角三角板的边OD在BOC的内部，请直接写出COE与BOD之间的数量关系； (2)若OE恰好平分AOC，求COE和BOD的度数； (3)将图2中的三角板绕点O以每秒6的速度顺时针旋转180，设运动时间为t秒，是否存在t值，使 1 COD AOE？若存在，请求出 的值，并求出此时 的度数． 9 t BOD 24．小明利用三角尺进行数学探究活动：如图，O为直线AB上一点，将一三角尺COD的直角顶点放在点O处，OE平分BOC． (1)如图①，若AOC 40，求DOE的度数； (2)如图②，若OF 平分BOD，求EOF的度数； AOC 40 COD O 5 t (0t36) AOC (3)当 时， 绕点 以每秒 的速度按逆时针方向旋转 秒 ，请探究 和 DOE之间的数量关系． 25．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，COE 140，将一直角三角板 AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕 着点O按每秒20的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分COD，求此时BOC的度数； (2)若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条 射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由； (3)若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒25的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时 间，射线OC平分BOD．直接写出t的值．（本题中的角均为大于0且小于180的角） 26．将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON ，OBC 90， BOC 45，MON 90，MNO30），保持三角板OBC不动，将三角板MON 绕点O以每秒10 的速度顺时针旋转直至ON边第一次重合在直线AD上，整个过程时间记为t秒．(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了 秒； (2)如图2，旋转三角板MON ，使得OM 、ON在直线OC的异侧，请直接写出CON 与AOM 数量关系； 如图3，继续旋转三角板MON ，使得OM 、ON同时在直线OC的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成 立？并说明理由． (3)若在三角板MON 旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒12的速度顺时针旋转，当ON边第 一次重合在直线AD上时两三角板同时停止． ①试用字母t分别表示AOM 与AOC； ②在旋转的过程中，当t为何值时OM 平分AOC． 27．如图，O为直线MN上一点，将一副直角三角尺（分别含45、45、90和30、60、90的角）按图中方式 放在点O处，使AOC 150．将三角尺AOB绕点O以每秒5的速度顺时针旋转，旋转180后停止设运 动时间为t秒． (1)当t 5时，BOC __________；(2)若在三角尺AOB开始旋转的同时，三角尺COD也绕点O以每秒10的速度逆时针旋转，当三角尺AOB 停止旋转时，三角尺COD也停止旋转． ①在线段OA与OC第一次相遇前，t为何值时，OA平分COD； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使�AOD� 2 BOC．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 28．现有一副三角尺，将 ABC和VADE重合于点A放置，且BACD90，ABC C 45， DAE60．将三角尺ADE绕点A逆时针旋转一周（旋转过程中BAD和CAE均是指小于180的 角），分别作出BAD、CAE的平分线AM 、AN (1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点B在AE上，直接写出图1中MAN ______度； (2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点B在EA的延长线上，直接写出图2中MAN ______度 (3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若BAEx， ①NAE ______．（用含x的代数式表示） ②请求出MAN 的度数． 29．以直线AB上一点O为端点，在直线AB的上方作射线OC，使BOC 50，将一个直角三角板DOE 的直角顶点放在O处，即DOE90，直角三角板DOE可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板 DOE所有部分始终保持在直线AB上或上方． (1)如图1，若直角三角板DOE的一边OE在射线OA上，则COD______； (2)将直角三角板DOE绕点O转动后，使其一边OD在BOC的内部，如图2所示， ①若OE恰好平分AOC，求此时BOD的度数； 1 ②若COD AOE，求此时 的度数； 3 BOD(3)直角三角板DOE在绕点O转动的过程中，COE与BOD之间存在一定的数量关系，请直接写出来， 不必说明理由． 30．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在 互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将 AOB绕着点O顺 0180 时针旋转 ． 26 BOP AOM BOQ (1)如图2，若 ，则 ______， ______； OC BOM POC  (2)若射线 是 的角平分线，且 ．  AOB BON   ① 旋转到图3的位置， ______．（用含 的代数式表示）  AOB AOC2AOM  ② 在旋转过程中，若 ，则此时 ______． 三、平行线的性质与判定（30题） 31．如图，AB∥CD，C 60，点E是射线CD上一点，连接AE，将△AEC沿着AE翻折得△AEF ， 点C的对应点为点F ，若EAF 2FAB，那么AEC ． AB  CD P Q AB CD PB 5 32．已知直线 ，点 、 分别在 、 上，如图所示，射线 按顺时针方向以每秒 的速度 旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1旋转至QD停止．此时射线PB也 停止旋转，若射线QC先转60秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为 秒时，PB∥QC．33．如图1，AB∥CD，点P为直线AB，CD间一点，点E，F分别是直线AB，CD上的点，连接EP，FP. (1)【证明推断】求证：EPF AEPCFP，请完善下面的证明过程，并在（ ）内填写依据. 证明：过点P作直线MN∥AB，  MN∥AB（已作）， AEPEPN （______）， 又 MN∥AB，AB∥CD（已知）  ______，（______） CFPFPN， AEPCFPEPNFPN ______. AEP PFC Q (2)如图2，若 的平分线与 的平分线交于点 . ①【类比探究】试猜想EPF与EQF之间的关系，并说明理由； BEPDFP240 EQF ②【结论运用】若 ，求 的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线AB∥CD，点P，H为直线AB、CD间的点，请直接写出AEP，PHF， EPH ，HFD的数量关系：______. 34．已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，(1)连接AD，BC，BE平分ABC，DE平分ADC，且BE，DE所在直线交于点E． ①如图1，若ABC 60，ADC 70，则BED的度数为 ； ABC  ADC  BED ②如图2，设 ， ，则 的度数为 （用含有α，β的式子表示）． EF MEN NP END EQ∥NP FEQ BME (2)如图3， 平分 ， 平分 ， ，则 和 的数量关系是 ． 2 2 (3)如图4，若BAP BAC，DCP ACD，且 平分 ， 平分 ，猜想 5 5 AE BAP CF DCP EF 的结果并且证明你的结论； AB∥CD EF AB，CD EF AP，CP 35．已知：如图， ，直线 分别交 于点G，H，点P为直线 上的点，连接 ． (1)如图1，点P在线段GH 上时，请你直接写出BAP，DCP，APC的数量关系； HG CP AB HQ，AC ACPPHQCQH (2)如图2，点P在 的延长线上时，连接 交 于点Q，连接 ，若 ， 求证：AC∥EF； (3)在（2）的条件下，如图3，CK 平分ACP，GK平分AGP，GK与CK 交点K，连接AK，若 PQH 4PCK2PHQ，CKGCHQ，AKCKAC 159，求BAC的大小． 36．如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上．1 ECA180 (1)如图 ，求证： 1 1 (2)如图 ，直线 ， 交于点 ，且BAF  BAE，DCP DCE． 2 FA CP P 3 3 ①试探究E与APC的数量关系； 3 CE PF Q AE∥PC BAQα(0 α22.5) PQC ( ②如图 ，延长 交射线 于点 ，若 ， ，则 的度数为 用含 α的式子表示)． AB  CD G AB CD 37．如图1， ， 为 、 之间一点． (1)若GE平分AEF，GF 平分EFC．求证：EGFG； 2 2 AEP AEF CFP EFC (2)如图2，若 ， ，且 的延长线交 的角平分线于点 ， 的延长 5 5 FP AEP M EP 线交CFP的角平分线于点N ，猜想M N 的结果并且证明你的结论； H EB FG EFH MF EFC G GQFM Q (3)如图3，若点 是射线 之间一动点， 平分 ， 平分 ，过点 作 于点 ， FGQ EHF 请猜想 与 的关系，并证明你的结论． AB CD  38．已知 ． [ ] 1 E BEDABEEDC 知识回顾 （1）如图 ，点 在两平行线之间，试说明： ．[ ] 2 BP DP ABE EDC 1 知识应用 （2）如图 ， 、 分别平分 、 ，利用 中的结论，试说明： 1 BPD BED； 2 （3）如图2，直接写出BPD、BED、PBE、PDE四个角之间的数量关系． [ ] 3 BEF 145 EFD135 BP DP ABE CDF 知识拓展 （4）如图 ，若 ， ， 、 分别平分 、 ，那么 BPD  ( ) ______ ； 只要直接填上正确结论即可 （5）如图4，若BEF、EFG、FGD三个角的和是n，BP、DP分别平分ABE、CDG，那么 BPD ．( n ) ______ 用含 的式子表示 AB,CD MN M,N,MP CD P AB∥CD 39．如图1，已知两条直线 被直线 所截，交点分别为 交 于点 ，且 ， PMN MPN ． MP AMN (1)判断 是否平分 ，并说明理由． (2)如图2，点E是射线PD上一动点（不与点P,N 重合），MF平分EMN 交CD于点F ，过点F 作 FQ∥MP交AB于Q， E PN MFQ40 MEN ①当点 在线段 上时，若 ，求 的度数； E MEN ,MFQ,  ②当点 在运动过程中，设 和 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说 明理由． 40．【问题解决】 如图①，AB∥CD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE．若ABE40，CDE 60，求 BED的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整； 解：过点E作EF∥AB ABEBEF（________________）EF∥AB，AB∥CD（已知）  EF CD  （________________） CDE （________）（________________________） 又 BEDBEFDEF （________________） BEDABECDE（________________）  ABE40，CDE 60（已知） BEDABECDE100（等量代换） 【问题迁移】 请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题： 如图③，AB∥CD，射线OM 与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B， D P ON AP CP BAP DCP ，点 在射线 上运动，连接 ， ，设 ， ． （1）如图③，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出，和APC之间满足 的数量关系，并说明理由； P B D P B D   （2）当点 在 ， 两点外侧运动时（点 不与点 ， 重合），请画出图形，并直接写出 ， 和 APC之间满足的数量关系； 41．如图1，AB∥CD，点E、F 分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且EOF 80． (1)求BEOOFD的值； (2)如图2，直线MN分别交BEO、∠ OFC的角平分线于点M 、N ，直接写出EMNFNM 的值； (3)如图3，EG在AEO内，AEGmOEG；FH 在DFO内，DFH mOFH ，直线MN分别交 EG、FH 分别于点M 、N ，且FMNENM 80，直接写出m的值． 42．如图，直线a∥b，直线EF与直线a，b分别交于点E，F ，点B在射线EF上运动（点B不与点E，F 重合），A是直线b上的一个定点，连接AB，过点B作直线l AB，在直线b上取一点C，使得 ABC ACB． (1)若直线l∥b，则的度数是______； (2)若直线l与a相交于点D，完成以下问题： ①当BAF 90时，猜想BDE与之间有怎样的数量关系，并写出证明过程； ②当BAF 90时，判断①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出它们之间 的数量关系． 43．综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，直线CD∥直线AB，直线FE分别交直线CD、直线AB于点H、G， 求证：BGECHG180． 独立思考：（1）请解答王老师提出的问题． 实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师提出新问题，请你解答． HF GE HC GA NQ,MP “如图2，点N在射线 上，点M在射线 上，点Q在射线 上，点P在射线 上，连结 ， NQCAPM 270 NQ MP 且 ，探究直线 与直线 之间的位置关系并说明理由；” 问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，连接KH， 使KH平分NKM ，KHECHE 180，若给出FHC与APK 一定的数量关系，则图3中所有已 经用字母标记的角中，有些角是可以求出来的，该小组提出下面的问题，请你解答． FHC 17 “如图3，若  ，求∠PMH的度数并说明理由．” APE 744．如图，AB∥CD，点E在AB上，点G在CD上． (1)如图1，在AB、CD上分别取点M、N，连接MN，点F在MN上，已知FH 平分MFE，FK 平分 MFG，若AEF 30，CGF 42，求EFG，HFK的度数． (2)如图2，EK 平分FEB，GH 平分CGF，反向延长GH 交EK 于K，设EFG x，请通过计算，用 含x的代数式表示EKG． (3)如图3，已知FHG90，FGH 60，FK 平分EFH ，GK平分CGH ，请直接写出AEF与 FKG的数量关系_________________ AB  CD AB、CD 45．如图，直线 ，点E、F分别在 上，点M为两平行线内部一点． (1)如图1，探究1、2、M 的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若MEB和MFD的角平分线交于点N，且ENF 100，直接利用（1）中的结论，求M 的度数； (3)如图3，点G为直线CD上一点，连接GM 并延长交直线AB于点Q，在线段MG上取一点P，连接PF， 2 2 使PFG MFG，在射线 取一点H，连接 ，使BEH  BEM ，设 ，求 的度 5 PF EH 5 EMF  H 数（用含的代数式表示）． MN∥PQ AB MN、PQ A、B ABP90 D BQ 46．如图1，直线 ，直线 分别交 于 点， ，点 在线段 上（不在端点处），点C在直线AB上，点E在直线MN上，连接CD、CE． C AB EC CD,AEC 65 CDB (1)如图1，点 在线段 上，若 ，则 的度数为_________； (2)如图2，点C在线段AB上，点K为直线MN与PQ之间区域的一点，点E在线段AN上（不与端点重 1 1 合），连 ．若ECD60,NEK  CEN,KDQ CDQ，求 的度数； EK、KD 3 3 EKD DH  AB H,EC CD C HA C H AEC CDB (3)如图3， 于点 ，点 在射线 上运动（ 不与 重合）， 与 的角 平分线所在直线交于点G,AEC与CDQ的角平分线所在直线交于点F,FGD与GFD的角平分线交于 点T，直接写出FEN、CDG与FGT 的数量关系． 47．已知AB∥CD，点P为平面内的一点，APPC，垂足为P． (1)问题呈现 如图1，A120，则C  ； (2)问题迁移 如图2，点P在AB的上方，请探究A，C之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展 QAB2QAP QCD2QCP Q 如图3，在（2）的条件下，已知 ， ，请求出 的度数． 48．已知：12，EG平分AEC．(1)如图1，MAE 45，FEG15，NCE75，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由； MAE140 FEG30 AB  CD NCE (2)如图2， ， ，当 时， 的度数为___________； MAE FEG NCE AB  CD (3)如图2，试写出 、 、 之间满足什么关系时， ，并说明理由． l ∥l ABC ABC 49．已知 1 2，李想同学将 放置在这两条平行线上展开探究，其中 三边与两条平行线分别交 于点D、E、F 、G． (1)【特例探究】 如图1，C 90． ①CEDCGF ______度； ②若CED与CGF的角平分线相交于点P，则EPG______度； (2)【一般探索】 C  EPG 如图2， ， ． 1 1 ①若DEP 3 CED，FGP 3 CGF，求  与的关系； 1 1 ②若DEP n CED，FGP n CGF（ n2 且 n 为整数），直接写出  与的关系； (3)【拓展应用】 如图3， CED 与 CGF 的角平分线相交于点 P 1， P 1 ED 与 P 1 GF 的角平分线相交于点 P 2， P 2 ED 与 360C PGF P EP G 2 3 2023360C 的角平分线相交于点 ；……，以此类推，则 的值是多少？（直接写出结果） PGF P EP G 2 3 2023 50．如图1，已知直线a∥b，线段AB在直线a上运动，C为直线b上一定点，D为直线a，b之间一定点， E为直线b上C点右侧一点．（本题中的角均为小于180的角） (1)当线段AB运动到图2位置时，若BAD与DCE互余，求ADC的度数； (2)在线段AB在直线a上运动过程中，请直接写出BAD，DCE和ADC之间的数量关系； (3)当线段AB运动到如图3所示的位置时，ADC的平分线DF交直线a于点F，G为直线a上点A左侧 1 一点，且 ，求证：FDG DCE． AGDADG 2 51．课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求BBACC的度数．阅读并补充下 面推理过程． 解：过点A作ED∥BC，所以B ，C  ， 又因为EABBACDAC 180， 所以BBACC 180． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将BAC、B、C “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图1，已知AB∥CD，求BBPDD的度数； (3)深化拓展：已知直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接PA、PD． ①如图2，已知A50，D140，请直接写出APD的度数； ②如图3，请判断PAB、CDP、APD之间的数量关系，并说明理由．m∥n，Rt  ABC ACB90，Rt  ABC AC、AB 52．如图，直线 中 的边 与直线m相交于D、E两点，边 BC、AB与直线n交于F、G两点． (1)将 Rt△ABC 如图1位置摆放，如果ADE46，则CFG______； (2)将Rt△ABC如图2位置摆放，H为AC上一点，HFGCFG180，请写出HFG与ADE之间的 数量关系，并说明理由； (3)将Rt△ABC如图3位置摆放，若EDC 140，延长AC交直线n于点K，点P是射线EG上一动点， 探究PDK，DPK 与PKG的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）． 53．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探 照灯．如图1所示灯A射线从AM 开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至 BQ A B 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯 转动的速度是每秒2度，灯 转动的速度是每秒1度．假 定主道路是平行的，即PQ∥MN，且BAM :BAN 2:1． (1)填空：BAN ______°；BQ B A B A (2)若灯 射线先转动45秒，灯 射线才开始转动，在灯 射线到达 之前， 灯转动几秒，两灯的光束 互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前若射出的光束交于点C，过C作ACD交PQ于点 D，且ACD120，则在转动过程中，请求出BAC与BCD的数量关系． 54．(1)如图1，将一副直角三角板按照如图所示的方式放置，其中点C，D，A，F 在同一条直线上，两 条直角边所在的直线分别为MN，PQ，BAC 30，DEF 45，AB与DE相交于点O，则BOE的 度数是______． (2)将图1中的三角板ABC和三角板DEF 分别绕点B，F 按各自的方向旋转至如图2所示的位置，其中BA 平分MBC，求PFA的度数． (3)将图1位置的三角板ABC绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒15°，三角板DEF 不动，在此过程中，经 过______秒边AB与边DE互相平行． 55．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转 AM AN B BP BQ 探照灯，如图，灯A射线自 开始顺时针旋转至 便立即回转，灯 射线自 顺时针旋转至 便立 即回转，两灯不停交叉照射巡视.若A转动的速度是a/秒，B转动的速度是b/秒，且a、b满足 a3b ab42 0 ，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且 BAN:ABP1:3 ． (1)求a和b的值，并求∠BAN的度数． BQ B B (2)若灯 先转动30秒，灯A才开始转动，在灯 到达 之前，灯A转动几秒，两灯的光束第一次互相平 行？ (3)如图，两灯同时转动，在灯A到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD AC交PQ于点D， 则在转动过程中，BAC与BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． PQ∥MN A B MN PQ BAN 45 AM A 56．如图， ， 、 分别为直线 、 上两点，且 ，若射线 绕点 顺时针旋 转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转， AM a/ BQ b/ a b |a6|(b1)2 0 若射线 转动的速度是 秒，射线 转动的速度是 秒，且 、 满足 ．（友情 提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向） (1)a ，b ； AM BQ AM BQ (2)若射线 、射线 同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线 、射线 互相垂直． AM A BQ B BQ BA (3)若射线 绕点 顺时针先转动18秒，射线 才开始绕点 逆时针旋转，在射线 到达 之前，问 射线AM 再转动多少秒时，射线AM 、射线BQ互相平行？ 57．如图①，点A、点B分别在直线EF和直线MN上，EF∥MN ，ABN 45，射线AC从射线AF 的位 置开始，绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，同时射线BD从射线BM 的位置开始，绕点B以每秒6的速 度顺时针旋转，射线BD旋转到BN 的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． (1)BAF ______； (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线AC与射线BD所在直线的夹角为80，若存在，求出t的 值；若不存在，请说明理由； AHK (3)在转动过程中，若射线 与射线 交于点H，过点H做 交直线 于点K， 的值是 AC BD HK BD AF ABH 否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由． 58．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置 了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且ABN 45．灯 A射线自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射线自BM 顺时针旋转至BN 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒． (1)若两灯同时转动，在灯B射线第一次转到BN 之前，两灯射出的光线交于点C． ①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求ABC的度数． ②如图2，当两灯光线同时转动55秒时，过C作CDBC交PQ于点D，求ABC与ACD的比值． (2)若灯A射线先转动30秒，灯B射线才开始转动，在灯A射线第一次转到AP之前，B灯转动几秒，两灯 的光线互相平行？ MN∥PQ AB MN A PQ B C AB C CE CF 59．已知， ，直线 交 于点 ，交 于点 ，点 在线段 上，过 作射线 、 分别交直线MN、PQ于点E、F ． (1)如图1，当CE CF时，求AECBFC的度数； (2)如图2，若MEC和PFT 的角平分线交于点G，求ECF 和G的数量关系； (3)如图3，在（2）的基础上，当CE CF，且ABP60，ACE20时，射线FT 绕点F 以5每秒 的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当射线FG与△AEC的一边互相平行时，请直接写出t的值． 四、平行线的实际应用问题（10题） 60．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．BAF 100，CD与AB在直线EF异侧． 若DCF 60，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t 秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为（ ）时，CD与AB平行．（ ） A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒61．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调 ABM 节角 的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线 PHG EPG30 EF）的夹角 ，则反射光束GH与天花板所形成的角 不可能取到的度数为 （ ） A．129° B．72° C．51° D．18° 62．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM 开始顺时针旋转至AN便立即 BP BQ 回转，灯B射线从 开始顺时针旋转至 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每 PQ//MN BAM :BAN 2:1 秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即 ，且 ． (1)填空：BAN  ； (2)如图2， ①若灯B射线先转动15s，灯A射线才开始转动，灯A射线与PQ交于点M'，灯B射线与MN交于点P'， 在灯A射线到达AN之前，设灯A转动t秒，则MAM ，PBP ；（用含t的式子表示） ②若灯B射线先转动15s，灯A射线才开始转动，灯A射线与PQ交于点M'，灯B射线与MN交于点P'，BQ AM//BP 在灯B射线到达 之前，设灯A转动t秒，当 ，求t的值． (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作ACD交PQ于 点D，且ACD120，则在转动过程中，请探究BAC与BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请 求出其数量关系；若改变，请说明理由． 63．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光 灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至 BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转 动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是 ． 64．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直， (1)当EDC DCB120时，求CBA． (2)连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设EDC，DCB，CBA的度 数分别为，，，请求出，，之间的数量关系． 65．如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座AOOE于点O，BA与CB是分别可绕点 CD OE DM,DN A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体 始终保持平行于 ，台灯最外侧光线 组成的 MDN 始终保持不变．如图2，调节台灯使光线DN∥BA，此时BAO130，且CD的延长线恰好是 MDN 的角平分线，则MDN  ．如图3，调节台灯使光线MD垂直AB于点B，此时BAO120， 则PDN  ．66．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以 抽象出如图2的数学模型：MN∥AB，BAC 60，C 90，MN分别交AC、BC于点E、F、 BAC的角平分线AD交MN于点D，H为线段AB上一动点（不与A、B重合），连接FH 交AD于点K． 1 (1)当BFH  BFN时，求 ． 2 AKF (2)H 在线段AB上任意移动时，求AKF ，HAK，DFH 之间的关系． t0t36 △DKF F (3)在（1）的条件下，将 绕着点 以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为 ，则在旋 转过程中，当△DKF的其中一边与△CEF 的某一边平行时，直接写出此时t的值． 67．甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的 具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝AB在C，D，E处弯折得到如下图①的形状，其中AC∥DE，CD∥BE． 第二步：将DE绕点D旋转一定角度，再将BE绕点E旋转一定角度并在BE上某点F 处弯折，得到如下图 ②的形状． 第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成G，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： (1)如图①，若C 2D，求E；(2)如图②，若AC∥BF，请判断C，D，E，F之间的数量关系，并说明理由； ACD3DCG DEF 3DEG Dx F  y G (3)在（2）的条件下，如图③，若 ， ，设 ， ，求 ． （用含x， y 的式子表示） 68．【学习新知】： 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平 面镜，若入射光线与水平镜面夹角为1，反射光线与水平镜面夹角为2，则12． （1）【初步应用】： DO 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光” 1射入到平面镜 AB 上、被平面镜 AB 反射到平面镜 BC 上，又被平面镜 BC 反射后得到反射光线 O 2 E ．回答下列问题： DO ∥EO EOC 60 460 DOO ①当 1 2， 2 （即 ）时，求 1 2的度数． ②当 �B�90 时，任何射入平面镜 AB 上的光线 DO 1经过平面镜 AB 和 BC 的两次反射后，入射光线 DO 1与 O E 反射光线 2 总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明． （提示：三角形的内角和等于180） （2）【拓展探究】： 如图3，有三块平面镜 AB ， BC ， CD ，入射光线 EO 1经过三次反射，得到反射光线 O 3 F ，已知 136 ， B120 ，若要使 EO 1 ∥O 3 F ，求 C 的度数． 69．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的 同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理．（1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求 ∠APC的度数； （2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表 示反射光线，a∥b．平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝，求．    （3）如图③，若 ＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝ （90°＜ ＜180°），入射光线a与平面 镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线  b与入射光线a平行时，请直接写出 的度数．（可用含x的代数式表示）． 70．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图 12,34 1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有 ，请 判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相 等，如图2有一口井，已知入射光线与水平线OC的夹角为40，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底?（即求MN与水平线的夹角） （3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．BAF 105，DCF 65，射线AB、 CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间 内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 五、平行线+三角板旋转的综合问题（15题） 71．如图，直线GH∥MN ，一副三角板按如图1摆放，其中EDF ACB90，E45， BAC 30．保持三角板ABC不动，现将三角板DEF 绕点D以每秒2的速度顺时针旋转，如图2，设旋 转时间为t秒，且0t180，则经过 秒边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行． 72．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB的直角顶点放 在O处，AOB90，OAB30，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角 三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒，且AOC 40． (1)若射线OC的位置保持不变，则当旋转时间t ______秒时，边AB所在直线与OC平行； (2)如图2，在旋转的过程中，若射线OC的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD 中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请 说明理由； 73．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起（其中，A60， D30；EB45）．(1)若DCE45，则ACB的度数为__________； (2)猜想ACB与DCE的数量关系，并说明理由． (3)当ACE 180且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请画出 相应的图形并直接写出ACE角度所有可能的值；若不存在，请说明理由． 74．如图，直线PQ∥MN，一副三角板（ABC CDE 90，ACB30，BAC60， DCEDEC 45）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分 ACN． (1)求 的 DEQ 度数； (2)如图②，若将 ABC绕B点以每秒10的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋 0t36 转时间为t秒 ； ①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值； ②若在 ABC绕B点旋转的同时， CDE绕E点以每秒5的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别 为K、T），请直接写出EK 与BG平行时t的值． 75．在一次数学活动课上，同学们用一个含有60角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在 Rt△ABC中，ACB90，CAB60，EF∥GH ．(1)如图1，点C在EF上，点A在GH 上，AB与EF交于点D，若120，求2的度数； C EF A EF B GH BC GH Q ACE (2)如图2，点 在 上，点 在 上方，点 在 下方， 与 交于点 ，作 的角平分线 CQH O O 并反向延长与 的角平分线交于点 ，求 的度数； (3)如图3，点C在EF上，点A在直线EF，GH 之间（不含在EF，GH 上），点B在GH 下方，AB， BC分别与GH 交于点P，Q．设FCBn，是否存在正整数m和n，使得APH mFCB．若存在， 请求出m和n的值；若不存在，请说明理由． 76．如图，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，ACBEDF 90，ABC=45， DFE30，此时点A与点E重合，点A，C，F 三点共线． (1)固定 ABC的位置不变，将 DEF 绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所 示，此时FAC的度数是_________． MN∥PQ  ABC  DEF AC F (2)若直线 ，固定 的位置不变，将图1中的 沿 方向平移，使得点 正好落在直线 MN上，再将 DEF 绕点F 按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边EF与边BC交于点G，试判断BGFEFN 的值是否为定值，若是定值，则求出该定值；若不是 定值，请说明理由． ②固定 ABC的位置不变，将 DEF 绕点F 按顺时针方向以每秒8的速度进行旋转，当EF与直线MN首 次重合时停止运动，当经过t秒时，线段DE与 ABC的一条边平行，请直接写出满足条件的t的值． 77．问题情境：在数学综合实践活动课上，老师让同学们以“两条平行直线DG，EF和一块含30的直角 三角板ABC（DG∥EF，ACB90，A30，ABC 60）”为背景，开展数学探究活动．问题探究： (1)如图1，将直角三角板ABC的边BC放置于直线EF上，则1________，2________． (2)把直角三角板ABC绕点B转动，位置如图2所示，点C恰好落在直线DG上，若365，求1、2 的度数． (3)如图3，把直角三角板ABC绕点B转动，使得点C落在直线DG，EF之间，点A落在直线DG的上方， 若221，请直接写出3的度数． 78．如图，一副三角板，其中EDF ACB90，E45，A30． (1)若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求ABF 的度数． (2)将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN ，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF 绕点D以每 秒2的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0t180，若边BC与三角板的一条直角边（边 DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值． (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线GH∥MN ，现将三角板ABC绕点A以每秒1的速度顺时针旋转， 同时三角板DEF 绕点D以每秒2的速度顺时针旋转．设旋转时何为t秒，如图4， BAH t，FDM 2t，且0t150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接 写出满足条件的t的值．79．如图1，直线AB与直线OC交于点O，BOC （090）．小明将一个含30，60的直角三 PQD P AB Q MN∥AB OC H H 角板 如图1所示放置，使顶点 落在直线 上，过点 作直线 交直线 于点 （点 在 Q左侧）． PD∥OC NQD45  (1)若 ， ，求 的度数． PQH AB E (2)如图2，若 的角平分线交直线 于点 ． ①当QE∥OC，60时，求证：OC∥PD． ②小明将三角板保持PD∥OC并向左平移，运动过程中，探究PEQ与之间的数量关系，并说明理由． AB  CD EF AB CD G H EHD(090) 80．如图，直线 ，直线 与 ， 分别交于点 ， ， ．小安将一个 含30角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N 、M 分别在直线AB、CD上，且在点C、H 的右侧， P90，PMN 60．PNBPMD P    ) (1)填空； （填“ ”“ ”或“ ” ； (2)若MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②． ①当NO∥EF ，PM∥EF 时，求的度数； ②小安将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM //EF ，点N 、M 分别在直线AB和直线CD上移动， 请直接写出MON 的度数（用含的式子表示）． 81．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H ，EHD(090)．小安将一个 含30角的直角三角板PMN 按如图①放置，使点N 、M 分别在直线AB、CD上，且在点G、H 的右侧， P90，PMN 60． (1)填空：PNBPMD P（填“”“”或“”）； (2)若MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②． ①当ON∥EF ，PM∥EF 时，求的度数； ②当PM∥EF 时，求MON 的度数（用含的式子表示）． 83．请作答： (1)图1，图2均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合， ACB90，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记 PED，PAC ．①如图1，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出APE与，之间的数量关系； ②如图2，当点P在B，D两点之间运动时，APE与，之间有何数量关系？请判断并说明理由； (2)当点P在C，D两点之间运动时，若PED，PAC的角平分线EN ，AN相交于点N ，请直接写出 ANE与，之间的数量关系． 84．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角 板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转． (1)如图1，∠DPC＝ 度； (2)我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图2，三 角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始以每秒5°绕点P按逆时针方向旋转一周（0°＜旋转角＜ 360.），问旋转时间t为多少秒时，这两个三角形是“孪生三角形”． (3)如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速a°秒，同时三角板PBD的边PB从 6a PM处开始绕点P逆时针旋转，转速b°/秒，且a，b满足 |a﹣b﹣2|＝0． ①求a；b的值． ②在两个三角板旋转过程中（PC 转到与PM重合时，两三角板都停止转动），设两个三角板旋转时间为t CPD 秒，以下两个结论：（ⅰ） 为定值；（ⅱ）∠BPN+∠CPD为定值，请选择你认为对的结论加以证 BPN 明． 85．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝ 45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．(1)若三角板如图1摆放时，则∠α＝ ，∠β＝ ； (2)现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交 于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠FHG的度数； (3)现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的 一条边平行时，则∠BAM＝ ．（直接写出答案）