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第三章 整式及其加减压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1．设a、b互为相反数，c、d互为倒数，则2016（a+b）﹣cd的值是 （ ）
A．2016 B．0 C．1 D．﹣1
【答案】D
【详解】由题意得：a+b=0，cd=1，
则原式=0−1=-1，
故选D
2．已知 ， ， ， ， ， ， ，…，请你推测
的个位数字是( )
A．3 B．9 C．7 D．1
【答案】C
【详解】试题解析：由31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，…，可知3
的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
∵2015÷4=503…3，
∴32015的末位数字与33的末位数字相同是7．
故选C．
3．我校给某“希望小学”邮寄每册a元的图书1000册，若每册图书的邮费为书价的5%，
则共需邮费（ ）元．
A．5%a B．5%×1000a C．1000a（1+5%） D．50
【答案】B
【分析】先求出每册的邮费，再乘以1000即可得共需多少邮费．
【详解】每册a元的图书的邮费为：5%a元则1000册图书共需邮费：5%a×1000＝
5%×1000a元．故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式，明确题目所给的数量关系，是解题的关键．
4．甲乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价5%，乙超市一次性降
价10%，在哪个超市购买这种商品合算？下列选项中正确的是（ ）
A．甲超市 B．乙超市
C．两个超市一样 D．与商品的价格有关
【答案】B
【分析】根据题意，分别列出降价后在甲乙两个商场的购物价格，问题即可解决．
【详解】解：设商品的定价为x，则在甲超市购买这种商品价格为：x(1- )2= x；
在乙超市购买这种商品的价格为：x(1- )= x，
∴在乙超市购买这种商品合算．
故选B．
【点睛】该题考查了列代数式在现实生活中的应用问题；解题的关键是深刻把握题意，正
确列出代数式，准确求解运算．
5．有下列说法：（ ）单项式 的系数、次数都是 ；（ ）多项式 的系数是 ，
它是三次二项式；（ ）单项式 与 都是七次单项式；（4）单项式 和
的系数分别是 或 ；（ ） 是二次单项式；（ ） 与 都是
整式，其中正确的说法有（ ）．
A． 个 B． C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断．
【详解】根据单项式和多项式的概念可知，单项式的系数是字母前的数字，次数是字母的
指数和；多项式是若干个单项式的和．故（1），（2），（3）（4）（5）（6）都错．
其中，（1）单项式 的系数、次数都是1；
（2）多项式-3x2+x-1不能说多项式的系数，它是2次3项式；
（3）单项式-34x2y是3次单项式， 是6次单项式；
（4）单项式- 和- 的系数分别是- 和- π；
（5） 是多项式；
（6） 是整式， 是分式．
故选A．
【点睛】主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部
分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项
式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若
干个单项式的和，有加减法．
6．一益智游戏分二阶段进行，其中第二阶段共有25题，答对一题得3分，答错一题扣2
分，不作答得0分．若小明已在第一阶段得50分，且第二阶段答对了20题，则下列哪一
个分数可能是小明在此益智游戏中所得的总分（ ）
A．103分 B．106分 C．109分 D．112分【答案】B
【分析】如果想要求出小明两个阶段的总得分，就要知道第一阶段的得分和第二阶段的得
分．已知第一阶段的得分为50分，那么关键是求出第二阶段的得分．已知第二阶段答对了
20道题，可得60分，那么就要看剩下的5道题中，有多少题是错误的，有多少题是不作答
的．可设答错的题有x道，那么不作答的题就有（5-x）道．由于不作答和答错的题数目最
少也不能是负数，因此可得出x≥0，5-x≥0；由此可得出自变量的取值．然后根据两阶段的
总得分为50+60-2x，可计算出小明在此益智游戏中的总得分．
【详解】设剩下的5道题中有x道答错，则有（5-x）道不作答．
小明的总得分是50+60-2x=110-2x．
因为5-x≥0，且x≥0．
则0≤x≤5；即x=0或1或2或3或4或5．
当x=0时，小明的总得分为110-2x=110分．
当x=1时，小明的总得分为110-2x=108分．
当x=2时，小明的总得分为110-2x=106分．
当x=3时，小明的总得分为110-2x=104分．
当x=4时，小明的总得分为110-2x=102分．
当x=5时，小明的总得分为110-2x=100分．
答案中，只有B符合．
故选B．
【点睛】能够根据未知数的取值范围进行分析．要擅于利用题中答题个数不能为负数等隐
藏的条件进行求解．
7．若|x＋y＋2|＋(xy－1)2＝0，则(3x－xy＋1)－(xy－3y－2)的值为( )
A．3 B．－3 C．－5 D．11
【答案】C
【分析】根据非负数的和为零，可得二元二次方程组，根据解方程组，可得x、y的值，根
据代数式求值，可得答案．
【详解】由|x+y+2|+（xy-1）2=0，得 ，解得 ．
（3x-xy+1）-（xy-3y-2）=3x-xy+1-xy+3y+2
=3x+3y-2xy+3，
当x=-1，y=-1时，原式=-3-3-2+3=-5，
故选C．
【点睛】本题考查了整式的加减，利用非负数的性质求出x、y的值是解题关键．
8．一家商店以每包a元的价格进了20包甲种茶叶，又以每包b元的价格买进30包乙种茶
叶（a<b），如果以每包 元的价格卖出这两种茶叶，则卖完后，这家商店（ ）A．赚了 B．赔了 C．不赔不赚 D．不能确定赚或赔
【答案】B
【分析】根据题意知商店获得的利润为 ×（20+30）-20a-30b=5（a-b），由a<b知5
（a-b）<0，可得答案．
【详解】该商店一共购进茶叶50包,若每包以 元的价格卖出，
则共收入50× =25(a+b)元；
购进两种茶叶共花费：20a+30b；
25(a+b)−(20a+30b)=25a+25b−20a−30b=5a−5b=5(a−b)
∵a<b，即a−b<0，
所以5(a−b)<0
即卖完后，这家商店赔了.
故选B.
【点睛】本题主要考查列代数式的能力及整式的化简，理解题意列出商店获取利润的代数
式是解题的关键．
9．当 时，代数式 的值为7，那么当 时 的值为( )
A． B． C．4 D．1
【答案】A
【分析】把 代入 可得 ，从而得到 ，再将 代入
中整体代换即可求解．
【详解】解：∵当 时，代数式 的值为7．
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ．
故选：A
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，根据题意得到 再整体代换求解是解题的
关键．
10．如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分
的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】正方形AKIE的周长表示为AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG的周长表示为
GJ+JF+FC+CL+LH+HG，再利用线段的和差，求解即可．
【详解】解：∵长方形ABCD的周长为m，阴影部分的周长为n，
∴AB+BC ，JI+HI= ，
延长FG交AD于M，
正方形AKIE的周长为：AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，
正方形FCLG的周长为：GJ+JF+FC+CL+LH+HG，
∵AK+JF=AB，KJ+FC=BC，
∴AK+JF+KJ+FC= AB+BC= ，
∵AM+GL=AD=BC，
∴AM+GL+LC=BC+AB-DL= -DL，
∴GJ+JI+EI+ME=GJ+JI+HI+EH+GH= GJ+JI+HI+GH+EH=2(GJ+JI)+EH=n+EH，
∵EH=DL，
∴正方形AKIE的周长+正方形FCLG的周长= + -DL+ n+EH=m+n．
故选：A．
．
【点睛】本题考查了列代数式、正方形的周长、长方形的周长，利用数形结合的思想解答
是解答本题的关键．
评卷人 得分 二、填空题11．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋
子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要
枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．
【答案】 127
【详解】∵n=1时，总数是6+1=7；
n=2时，总数为6×（1+2）+1=19；
n=3时，总数为6×（1+2+3）+1=37枚；
…；
∴n=6时，总数为6×（1+2+3…+6）+1=127枚；
…；
∴n=n时，有6×（1+2+3+…n）+1= 6×(n+1)n+1=3n2+3n+1枚．
故答案为127，3n2+3n+1（n∈N+）．
12．船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为18千米/时，船顺水航行5小时的行程比
船逆水航行4小时的行程多 千米
【答案】a+162
【分析】先求出顺流速度，逆水速度，再根据路程=速度×时间，分别求出船顺流航行5小
时的行程与逆流航行4小时的行程，两者相减即可求解．
【详解】5(a+18)−4(a−18)=5a+90−4a+72=a+162(千米).
故小时的行程多(a+162)千米.
故答案为a+162.
【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题目中的等量关系列出代数式.
13．若a－b＝2019，c＋d＝2018，则 (b＋c)－(a－d ) 的值是
【答案】-1
【分析】将（b+c）-（a-d）去括号后重新组合，得到-（a-b）+（c+d），将a-b=2019，
c+d=2018整体代入即可．
【详解】原式=b+c−a+d=−(a−b)+(c+d)，
当a−b=2019，c+d=2018时，
原式=−2019+2018=-1.故答案为-1.
【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的加减运算.
14．已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．若a＝﹣
3且点B到点A，C的距离相等，P是数轴上B，C两点之间的一个动点，设点P表示的数为
x，当P点在运动过程中，bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|的值保持不变，则b的值为 ．
【答案】
【分析】由bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|结果是定值，说明与x无关，可得出b与c的关系，再
根据中点得出b与c的另一个关系，联立求出b即可．
【详解】解：∵点P在BC上，
∴b＜x＜c，
∴bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|＝bx+cx+c﹣x﹣10x﹣10a＝（b+c﹣10﹣1）x+c﹣10a，
∵结果与x无关，
∴b+c＝11，
又∵a＝﹣3且点B到点A，C的距离相等，
∴c﹣b＝b+3，即c＝2b+3，
∴b＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式的加减、数轴、绝对值、有理数的乘法，解决本题的关键是综合
运用以上知识．
15．定义：a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数．如：2的差倒数是 ，
－1的差倒数是 ．已知 ． 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的
差倒数，…，以此类推，则 ．
【答案】
【分析】根据题目中给出的信息，依次算出 、 、 ，然后找出规律，进行解答即可．
【详解】解：∵ ，∴ ， ， ，……，
∴每3次运算结果循环出现一次，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，找数字规律，解题的关键是理解题意，算出 、 、
，找出规律．
16．为了求 的值，可这样解答：
令 ，则 ．
因此 ，所以 ，即 ．
仿照以上推理，计算 ．
【答案】
【分析】根据题目中的例子，可以求出所求式子的值，本题得以解决．
【详解】解：令M=1+5+52+53+…+52019，
则5M=5+52+53+…+52015+52020，
因此5M-M=52020-1，
所以4M=52020-1，
所以M= ，
故答案为： .
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，运用
类比的数学思想求出所求式子的值．
17．若规定 ，例如 ，则
＝ .
【答案】20
【分析】先根据x<5和x≥5，对f(x)进行化简，然后再代入计算即可.
【详解】当x<5时，f(x)=5－x+5－x=10－2x，
当x≥5时，f(x)=5－x+x－5=0，
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)= f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
=(10－2×1)+(10－2×2)+(10－2×3)+(10－2×4)
=8+6+4+2=20.
【点睛】本题考查绝对值的化简及新定义计算求值，明确题意，熟练掌握绝对值的性质是
解题的关键.
18．若 ，则 ．
【答案】
【分析】由 变形可得 ， ，把 化为
整理化简即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
故答案为：2022
【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值问题，灵活把所求的代数式变形是解题的关键．
评卷人 得分
三、解答题
19．观察下列等式： ； ； 将这三个等式两边分别相加得：
+ + =1﹣ + ﹣ + ﹣ =1﹣ =
（1）猜想并写出： =_____．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① + + +…+ =_____．
② + + +…+ =_____．（3）探究并计算： + + +…+ ．
【答案】（1） ﹣ ；（2）① ；② ；（3）
【分析】（1）先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可；
（2）①根据（1）中的猜想计算出结果；②根据（1）中的猜想计算出结果；
（3）根据乘法分配律提取 ，先拆项，再抵消即可求解.
【详解】解：（1）猜想并写出： = ﹣ ；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① + + +…+ = ；
② + + +…+ = ；
（3） + + +…+ = ×（1- + - + - +…+ - ）= ×
= ．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．先化简，再求值．
（1） ．其中x，y满足 ．
（2）求 的值，其中 ， ，其中 ．
【答案】（1） ， ；（2） ；
【分析】（1）根据乘方和绝对值的性质，通过求解二元一次方程组，得 ， ；再
根据整式加减运算性质，先去括号，再合并同类项，再将 ， 代入到代数式，经
计算即可得到答案；
（2）根据整式加减运算性质，先去括号，再合并同类项，再将 代入到代数式，根据
含乘方的有理数混合运算性质计算，从而完成求解．
【详解】（1）∵
∴
∴
∴ ，把 ， 代入到代数式中，得：
；
（2）
∵ ，
将 代入到代数式，得：
．
【点睛】本题考查了代数式、整式加减运算、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握
整式加减运算，含乘方的有理数混合运算的性质，从而完成求解．
21．如果一个两位数的个位数字是 ，十位数字是 ，那么我们可以把这个两位数简记为
，即 ． 如果一个三位数的个位数字是 ，十位数字是 ，百位数字是 ，
那么我们可以把这个三位数简记为 ，即 ．
（1）若一个两位数 满足 ，请求出 ， 的数量关系并写出这个两位数．
（2）若规定：对任意一个三位数 进行 运算，得到整数 ． 如：
． 若一个三位数 满足 ，求这个三位数．
（3）已知一个三位数 和一个两位数 ，若满足 ，请求出所有符合条件的
三位数．【答案】（1）43或86；（2）507或516或523；（3） 、 、 、 、 、
、 、
【分析】（1）根据题意列等式并合并同类项计算，即可得到m和n的关系式；再结合m
和n的取值范围及整数性质，根据有理数乘除运算的性质计算，即可得到答案
（2）结合题意，根据有理数乘方和加减运算的性质，得x和y的关系式；再结合x和y的
取值范围及整数性质，根据有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；
（3）结合题意，通过列等式并合并同类项计算，得a、b、c的关系式，再结合a、b、c的
取值范围及整数的性质，通过计算即可得到答案．
【详解】（1）根据题意得： ，
∴
∴
∵m为1到9的整数，n为0到9的整数
∴m＝4，n＝3或m＝8，n＝6
∴这两个数是 或 ；
（2）根据题意得：
∴
∵x，y为0到9的整数
∴当 时，
当 时，
当 时，
∴这三个数是507或516或523；
（3）∵ ， ，且
∴
∴
∵a为1到9的整数，b、c为0到9的整数
当 时，得：
当b＝0时，c＝4，三位数是104
当b＝1时，c＝5，三位数是115
当b＝2时，c＝6，三位数是126
当b＝3时，c＝7，三位数是137
当b＝4时，c＝8，三位数是148
当b＝5时，c＝9，三位数是159
当 时，得：当b＝0时，c＝8，三位数是208
当b＝1时，c＝9，三位数是219
∴符合条件的三位数有： 、 、 、 、 、 、 、 ．
【点睛】本题考查了有理数、代数式、合并同类项的知识；解题的关键是熟练掌握含乘方
的有理数混合运算、代数式、合并同类项的性质，从而完成求解．
22．小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设整个长方形地面，
其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计）
（1）求a的值；
（2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米；
（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米．装修公司有
A，B两种活动方案，如表：
已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费
及安装费）更低？
【答案】（1）3；（2）木地板：75﹣7x，地砖：7x+53；（3）B种活动方案
【分析】（1）根据长方形的对边相等可得a+5=4+4，即可求出a的值；
（2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板
的面积，用长方形的面积-三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积；
（3）根据卧室2的面积为21平方米求出x，再分别求出所需的费用，然后比较即可．
【详解】解：（1）根据题意，可得a+5＝4+4，
得a＝3；
（2）铺设地面需要木地板：
4×2x+a[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]+6×4＝8x+3（17﹣5x）+24＝75﹣7x，
铺设地面需要地砖：16×8﹣（75﹣7x）＝128﹣75+7x＝7x+53；
（3）∵卧室2的面积为21平方米，
∴3[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]＝21，
∴3（17﹣5x）＝21，
∴x＝2，
∴铺设地面需要木地板：75﹣7x＝75﹣7×2＝61，
铺设地面需要地砖：7x+53＝7×2+53＝67，
A种活动方案所需的费用：61×300×0.8+67×100×0.85+2000＝22335（元），
B种活动方案所需的费用：61×300×0.9+67×100×0.85＝22165（元），
22335＞22165，
所以小方家应选择B种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低．
【点睛】本题考查了列代数式，长方形的面积，分别求出铺设地面需要木地板与地砖的面
积，理解A，B两种活动方案是解题的关键．
23．（1）已知 、 满足： ， 是最大的负整数，先化简再求值：
；
（2）已知 ， ，求代数式 的值.
【答案】（1） ，90；（2）5ab+4（a+b），22
【分析】（1）分别计算出x、y、z的值，代入化简后的多项式进行计算；
（2）将多项式化简，再将 ， 整体代入计算.
【详解】（1） ，
，
，
∵ ，
∴x-2=0，y+3=0，
∴x=2，y=-3，
∵ 是最大的负整数，
∴z=-1，
∴原式 =90；
（2）
=3ab+6a+4b-2a+2ab，
=5ab+4a+4b，
=5ab+4（a+b），
∵ ， ，∴原式=50-28=22
【点睛】此题考查整式的化简求值，将整式正确化简是解题的关键，再将字母的值或代数
式的值代入计算即可解答问题.
24．先阅读下列材料，然后解答问题：
材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不
同元素中选取2个元素的组合，组合数记为 ＝ ＝6．一般地，从n个不同元素中选
取m个元素的组合数记作 ， ＝ （m≤n）．
例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作 ＝ ＝20
（1）为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览．王老师在班级8幅优秀书画中
选取3幅，共有多少种选法？
（2）探索发现：
计算： ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ．
由上述计算，试猜想 ， ， 之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由）
（3）请你直接利用（2）中猜想的结论计算： + + + +…+ ．
【答案】（1）56种；（2）3，1，4，10，5，15；Ckn+∁nk+1＝Cn
+1
k+1；（3）165
【分析】（1）根据材料给出组合的方法直接计算即可；
（2）根据新定义分别进行计算；利用计算结果得∵ + = ， + ＝ ，由此规律
可得 + = ， ；
（3）利用（2）中的规律从左到右依次计算即可．
【详解】解：（1）根据公式 ＝ ＝56，
答：共有56种选法．
（2） ＝3， ＝1， ＝4， ＝10， ＝5， ＝
15，
∵ + ＝3+1＝4= ，
+ ＝10+5=15= ，
∴ + = ，
故答案为3；1；4；10；5；15；
（3） + + + +…+ ，＝ + + +…+ ，
＝ + +…+ ，
＝ ，
＝ ，
＝165．
【点睛】本题考查组合新定义计算，有理数的乘除法混合计算，掌握新定义的计算方法与
性质，有理数的乘除法混合计算法则是解题关键．
