文档内容
第四章 整式的加减压轴训练
01 压轴总结
目录
压轴题型一 单项式的规律题.....................................................................................................................................1
压轴题型二 多项式系数、指数中字母求值............................................................................................................2
压轴题型三 已知同类项求指数中字母的值............................................................................................................4
压轴题型四 已知同类项求指数中代数式的值........................................................................................................5
压轴题型五 整式加减中的无关型问题....................................................................................................................7
压轴题型六 整式加减中的新定义型问题..............................................................................................................11
压轴题型七 整式加减的应用...................................................................................................................................15
02 压轴题型
压轴题型一 单项式的规律题
例题：（23-24八年级下·青海西宁·开学考试）按一定规律排列的单项式： ，第
2024个单项式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可．
【详解】解：∵ ，
∴系数的规律为 ，指数的规律为n，
∴第n个单项式为： ，
当 时，单项式为 ，
故答案为： ．
巩固训练
1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）观察下列单项式：x， ， ， ， ， …考虑它们的系数和次数．请写出第8个： ．
【答案】
【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的单项式可以发现数字因数和字母的指数的变化特点，即可
写出第n个单项式，即可得出结果．
【详解】解：∵一列单项式：x， ， ， ， ， …
∴第n个单项式为： ，
当 时，这个单项式是 ，
故答案为： ．
2．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）按一定规律排列的数依次为： ， ， ， ，…，其中 ，
按此规律排列下去，第10个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查单项式中的规律探究，根据已有单项式，得到第 个单项式为： ，进而求出
第10个数即可．
【详解】解：观察可得：第 个单项式为： ，
∴第10个数是 ；
故答案为： ．
3．（23-24七年级上·浙江台州·期中）一组按规律排列的式子： ， ， ， ，…根据你发现的规
律：写出第6个式子是 ，第 个式子是 ．（ 为正整数）
【答案】
【分析】本题考查单项式规律的探究．观察可得：每一个式子都是分数形式，其中第奇数个式子为负，第
偶数个式子为正；分母为 ，分子为 ，由此即可得出答案．【详解】解：∵ ， ， ， 、……，
第n个式子是 ，
∴第6个式子是 ，
故答案为： ； ．
压轴题型二 多项式系数、指数中字母求值
例题：（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）多项式 是关于 的三次四项式，且二次
项系数是−2，求 ．
【答案】
【分析】本题考查多项式的知识，解题的关键是掌握多项式的定义，根据题意，则 ，求出 ，
，即可．
【详解】∵ 是关于 的三次四项式，二次项系数是−2，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
巩固训练
1．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）若多项式 是关于x的五次三项式，则m的值为
．
【答案】【分析】本题主要考查了多项式项和次数的定义，几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多
项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得
，解之即可得到答案．
【详解】解：∵多项式 是关于x的五次三项式，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 。
2．（23-24七年级上·河南安阳·期中）已知多项式 是三次三项式，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查多项式的次数和项数的定义，根据定义得出 ， ，即可求得答案。
【详解】解：∵多项式 是三次三项式，
∴ ， ，
解得： ，
则 ．
故答案为： ．
3．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）若多项式 是关于 的五次三项式，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查多项式的次数与项数问题，熟练掌握多项式的次数与项数是解题的关键；因此此题
可根据多项式的相关概念进行求解．
【详解】解：由多项式 是关于 的五次三项式，可知： ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ．压轴题型三 已知同类项求指数中字母的值
例题：（23-24七年级下·山东德州·开学考试）如果 与 是同类项，则 ，
．
【答案】
【分析】本题考查了同类项的定义，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别
相同，那么就称这两个单项式为同类项，根据同类项的定义求解即可．
【详解】解：∵ 与 是同类项，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ， ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·河南洛阳·开学考试）单项式 与 是同类项，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类项的定义，掌握两个相同是解题关键．根据同类项定义：“含有相同的字母，并
且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项”进行求解即可．
【详解】解：∵ 与 是同类项，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·甘肃兰州·开学考试）单项式 与 是同类项，则 ，
．
【答案】 或
【分析】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指
数相同由同类项的定义，先求出 、 的值，然后求出答案即可．
【详解】解：∵单项式 与 是同类项，
∴ ， ，∴ 或 ， ；
故答案为： 或 ．
3．（23-24六年级上·山东青岛·期末）已知 与 是同类项，则 ， ．
【答案】 4 2
【分析】本题考查了同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；根据
同类项的定义即可作答．
【详解】∵ 与 是同类项，
∴
∴
故答案为：4，2．
压轴题型四 已知同类项求指数中代数式的值
例题：（22-23七年级上·山东青岛·期末）若 与 的和还是一个单项式，则 的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了同类项、求代数式的值，根据单项式与的和是单项式得出两个单项式是同类项，由此
即可得出m，n的值，代入进行计算即可．
【详解】解：∵ 与 的和还是一个单项式，
∴ 和 是同类项，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
巩固训练
1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若 与 是同类项，则 ．
【答案】
【分析】本题考查同类项的概念，有理数的乘方运算，正确的计算是解题的关键．根据同类项的概念：相同字母的指数相同，即可求出 ，在代入 求解即可．
【详解】解：∵若 与 是同类项，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（22-23七年级上·内蒙古包头·期末）若 与 的和仍是单项式，则 的值等于
．
【答案】
【分析】本题考查合并同类项，根据题意，得到两个单项式为同类项，根据同类项的定义，求出 的值，
进而求出代数式的值即可．
【详解】解：由题意，得： 与 为同类项，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·重庆万州·期末）若单项式 与 是同类项，则 ．
【答案】29
【分析】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指
数相同．根据同类项的概念求解．
【详解】解：∵单项式 与 是同类项，
， ，
∴ ， ，
则 ．故答案为： ．
压轴题型五 整式加减中的无关型问题
例题：（23-24七年级下·四川自贡·开学考试）已知多项式 ， ．
(1)求 的值；
(2)若 的值与y的取值无关，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式加减运算与无关型问题，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计
算．
（1）将 ， 代入 ，按照整式加减运算法则计算即可；
（2）根据 的值与y的取值无关时，y的系数为0，即可求出x的值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
（2）解：由（1）得
当 ，即 时， 的值与y的取值无关，
巩固训练
1．（23-24七年级下·山东日照·开学考试）已知 ，小明在计算 时，误将其按
计算，结果得到 ．
(1)求 的正确结果；(2)若 的值与 无关，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减运算、及整式加减运算中的无关型问题：
（1）由题意得 ，确定 得值，利用整式的加减运算法则即可求解；
（2） 的值与x无关，即x的系数为0，进而可得 ，再代入即可求解；
熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得： ，
．
则
．
（2）由题意得： ，
的值与x无关，
，
解得： ，
．
2．（23-24七年级上·四川眉山·期中）已知 ，
(1)若 ，求 的值
(2)若 的值与a的取值无关，求b的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了整式的加减运算，熟知运算法则是解本题的关键．
（1）根据整式的加减运算法则计算即可；
（2）根据整式的加减运算法则计算出 的值，然后根据 的值与 a 的取值无关，即可得出答案．
【详解】（1）
∵
∴原式 ；
（2）
∵ 的值与a的取值无关，
∴
∴ ．
3．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知： ， ．
(1)计算： ；
(2)若 的值与 的取值无关，求 的值；
(3)如果 ，那么 的表达式是什么？
【答案】(1)
(2) 的值为(3)
【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）合并同类项可得 的最简结果；
（2）若 的值与y的取值无关，则 ，即可得出答案；
（3）利用整式的加减先计算出 即可得出结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
当 的值与 的取值无关时， ，
解得 ，所以 的值为 ；
（3）解：由题意，得 ，
，
，
．
4．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】
（1）已知代数式 的值与x的值无关，求m的值；
【类比应用】
（2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形 内，
未被覆盖的两部分的面积分别记为 ， ，当AB的长度变化时， 的值始终不变，求a与b的数量
关系．【答案】（1）3；（2）
【分析】本题主要考查了整式的混合运算及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键．
（1）根据题意，代数式 ，可化为 ，因为代数式的值与x无关，可得
，即可得出答案；
（2）设 ，算出阴影的面积分别为 ， 即可得出面
积的差为 ，因为S的取值与n无关，即 ．
【详解】解：（1）原式 ．
由题意得，含x项的系数为0，即 ．
所以 ．
（2）设 ，
则 ， ，
所以 ，
由题意得，含n项的系数为0，即 ．
压轴题型六 整式加减中的新定义型问题
例题：（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义：若 ，则称 与 是关于 的相关数．
(1)若 与 是关于 的相关数，则 ______．
(2)若 与 是关于 的相关数， ， 的值与 无关，求 的值．
【答案】(1)3
(2)8
【分析】（1）根据相关数的定义得到 ，从而得到a的值；（2）根据相关数的定义得到 ，从而 ，根据B的值与m无关得到 ，
求出n的值，从而得到B的值．
本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m无关就合并同类项后让m前面的系数等于0是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
故答案为：3；
（2）解：∵ ，
∴
∴
∵B的值与m无关，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答：B的值为8．
巩固训练
1．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）定义：若 ，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与
是关于 的平均数，7与13是关于10的平均数．
(1)填空：2与_______是关于 的平均数，______与 是关于2的平均数；
(2)现有 与 （k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值
无关，求n的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题：
（1）根据所给的定义列式计算即可；
（2）先根据整式的加减计算法则求出 ，再根据a与b始终是关于数n的平均数，
与x的取值无关，得到 ，则 ，再由 ，即可求出答案．【详解】（1）解：设2与m是关于 的平均数，
∴ ，
∴ ；
设n与 是关于2的平均数，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ； ；
（2）解：∵ 与 ，
∴
，
∵a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读理解题
我们定义：如果两个多项式 与 的差为常数，且这个常数为正数，则称 是 的“雅常式”，这个常数
称为 关于 的“雅常值”，如多项式 ， ，
，则 是 的“雅常式”， 关于 的“雅常值”为9
(1)已知多项式 ， ，则 关于 的“雅常值”是______；
(2)多项式 是多项式 的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式 ，求多项式
(3)已知多项式 （ 为常数）， ， 是 的“雅常式”，求 关于 的“雅常值”
【答案】(1)1(2)
(3)4
【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可．
（1）计算 即可求解；
（2）由题意得 ，据此即可求解；
（3）计算 ，令含未知数的项的系数为零即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 关于 的“雅常值”是1
故答案为：
（2）解： 多项式 是 的“雅常式”且“雅常值”是3，
，
.
（3）解：
.
是 的雅常式，
，
，
，
关于 的“雅常值”是4.
3．（23-24七年级上·江苏·周测）定义一种新运算“ ”： ，比如：
．
(1) _____________； _____________；(2)当 时， 是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出一组 的具体
值加以说明；
(3)若 ，比较 与 的大小．
【答案】(1)16，
(2)不成立，说明见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减，解题的关键是：
（1）直接根据新定义，代入计算即可；
（2） ，假设 分别代入计算即可发现结论；；
（3）化简 和 ，再计算 ，根据结果分类讨论即可．
【详解】（1）解： ；
；
（2） ，假设
则： ；
；
故 不成立；
（3）
；；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
压轴题型七 整式加减的应用
例题：（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一
圆组成（半径相同）．
(1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：
__________；（结果保留π）
(2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示
窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留π）
(3)当 米， 米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为
________（π取3）
【答案】(1) ；
(2)(3)
【分析】本题考查列代数式和整式加减的应用，解题的关键是用代数式表示出装饰物的面积．
（1）将两个四分之一的圆面积相加即是装饰物的面积，用矩形的面积减去装饰物的面积即是射进阳光的
面积；
（2）用矩形面积减去一个半圆和两个四分之一圆的面积即为射进阳光的面积；
（3）将（2）（1）的结论作差，再将 米， 米代入，即可求解．
【详解】（1）解：由题意知：四分之一圆的半径为 ，
∴装饰物的面积为： ，
∴窗户能射进阳光的面积为： ；
（2）解：由题意知：半圆和四分之一圆的半径为 ，
∴装饰物的面积为： ，
∴图2窗户能射进阳光的面积为： ；
（3）解：
，
将 代入，可得：
原式 ，
答：两图中窗户能射进阳光的面积相差 ．
巩固训练
1．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，学校要利用专款建一长方形的电动车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为 米，宽比长少 米．
(1)用 表示长方形停车场的宽；
(2)求护栏的总长度；
(3)若 ，每米护栏造价100元，求建此停车场所需的费用．
【答案】(1) 米
(2)护栏的长度是 米；
(3)建此停车场所需的费用是23000元．
【分析】本题考查了整式的加减、列代数式和代数式求值，解题时要数形结合，该护栏的长度是由三条边
组成的．
（1）长方形停车场的宽=长方形停车场的长 ；
（2）护栏的长度=2×与围墙垂直的边长+与围墙平行的一边长；
（3）把a、b的值代入（2）中的代数式进行求值即可．
【详解】（1）解：依题意得长方形停车场的宽： 米；
（2）解：护栏的长度 ；
答：护栏的长度是 米；
（3）解：由（2）知，护栏的长度是 米，
则依题意得：（元）．
答：若 ，每米护栏造价100元，建此停车场所需的费用是23000元．
2．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割成7小块，除
阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形．其较短一边长为 ．
(1)从图可知，这5块完全相同的小长方形较长边的长是 (用含 的代数式表示)
(2)分别计算阴影A，B的周长（用含 ， 的代数式表示）
(3)当 ， 时，分别计算阴影A，B的面积．
【答案】(1)
(2)阴影A的周长为 ；阴影B的周长为
(3)阴影A的面积为： ；阴影B的面积为：
【分析】本题主要考查了列代数式，以及代数式求值，解题的关键是数形结合，熟练掌握长方形的面积公
式和周长公式．
（1）根据图形用已知数据和y表示出小长方形较长边的长即可；
（2）根据长方形的周长公式计算阴影A，B的周长即可；
（3）根据 ， ，结合长方形面积公式分别求出阴影A，B的面积即可．
【详解】（1）解：由图可知，每块小长方形较长边的长是 ；
故答案为： ；
（2）解：阴影A的周长为： ，阴影B的周长为 ，
（3）解：当 时，
阴影A的面积为：
，
阴影B的面积为：
答：阴影A的面积为： ；阴影B的面积为：
3．（23-24七年级上·湖北宜昌·期中）甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下
表所示：
运费
商
A型电暖气 B型电暖气
场
A电暖气 B电暖气
甲 200元/台 300元/台 10元/台 10元/台
乙 220元/台 290元/台 免运费 12元/台
某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台．
(1)请用含x的代数式分别表示在两家商场购买电暖气所需要的总费用（总费用=购买价+运费）；
(2)若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方
案吗？请你设计一种方案．
【答案】(1)在甲商场购买电暖气所需要的总费用为 元，在乙商场购买电暖气所需要的总费
用为 元
(2)在乙商场购买划算；更优惠的方案为：在甲商场中购买40台A型电暖气，在乙商场中购买60台B型电
暖气费
【分析】本题考查列代数式及其求值、整式的加减运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键．
（1）设A型电暖气需要买x台，则B型电暖气需要买 台，根据总费用=购买价+运费列出对应代数式即可求解；
（2）将 代入（1）代数式中求解，结合表中数据，进而比较大小可作出结论．
【详解】（1）解：设A型电暖气需要买x台，则B型电暖气需要买 台，
根据题意，在甲商场购买电暖气所需要的总费用为
元；
在乙商场购买电暖气所需要的总费用为 元；
（2）解：当 时，在甲商场购买电暖气所需要的总费用为
（元），
在乙商场购买电暖气所需要的总费用为 （元），
根据表格数据，甲商场中的A型电暖气费用低，乙商场中的B型电暖气费用低，则同时在两家商场自由选
择的较低费用为 （元），
∵ ，
∴需购买A型电暖气40台，在乙商场购买划算，若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案为：
在甲商场中购买40台A型电暖气，在乙商场中购买60台B型电暖气费．
