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解题技巧专题：共顶点的等腰三角形
——形成精准思维模式，快速解题
类型一 共顶点的等腰直角三角形
1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
(1)求证：AD＝CE；
(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写
理由．
2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA至点
E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.
求证：
(1)AF＝AD；
(2)EF＝BD.
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类型二 共顶点的等边三角形
3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：
①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第3题图 第4题图
4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接
AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________．
5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接
AE.
(1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由；
(2)试说明AE∥BC的理由；
(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有
AE∥BC？证明你的猜想．
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参考答案与解析
1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝
∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE，
∴AD＝CE.
(2)解：垂直．理由如下：延长AD分别交BC和CE于G和F.由(1)知△ABD≌△CBE，
∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝
∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE.
2．证明：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝180°－∠ABC
＝135°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD.∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝
CD，∴△ABF≌△ACD(SAS)，∴AF＝AD.
(2)由(1)知△ABF≌△ACD，AF＝AD，∴∠FAB＝∠DAC.∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，
∠EAB＝∠EAF＋∠FAB＝90°，∴∠EAF＝∠BAD.∵AE＝AC，AB＝AC，∴AE＝AB，
∴△AEF≌△ABD(SAS)，∴EF＝BD.
3．D
4．120° 解析：设AC与BD交于点H.∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA，CB
＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD＋∠ACB＝∠BCE＋∠ACB，即∠DCB＝∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，∴∠CDB＝∠CAE.∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋
∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，∴∠AOH＝∠DCH＝60°，∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°.
5．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，∴AC＝
BC，DC＝EC，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵
∴△DBC≌△EAC(SAS)．
(2)由(1)知△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC.
(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，
∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC
和△EAC中，∵∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝
∠ACB，∴AE∥BC.
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