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第 05 讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助
线与构造等腰三角形的解题技巧
目录
【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】................................................................................................1
【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】....................................................................................................8
【考点三 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】............................................................................................19
【考点四 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】..........................................................................................23
【考点五 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】................................................................................28
【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】......................................................................................................33
【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】
模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线
直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。
连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， 为 边的
中点，点 、 分别在射线 、 上，且 ， 连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，当点 、 分别在边 和 上时，连接 ，
① 证明 ： ．
② 直接写出 ， 和 的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边 、 的延长线上时， ， 和 的关系是：
(3)应用：若 ， ，利用上面探究得到的结论，求 的面积．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论．
（1）已知 ， ，则 ；
（2）已知 ，则 ；
（3）已知 ，则 ．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， 为 的中点，
于点 ， ，求 的长．
4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， ，点P为 边的中点，
于点D．
(1)求 的度数；
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学科网（北京）股份有限公司(2)求证： ．
5．（23-24七年级下·山东·期末）【探究1】
如图①，在 中， ，AD是中线，若 ，则 的度数为_______ ；
【探究2】
如图②，在 和 中， ， ，AD， 分别为 和 的中线，若
， ，则 的度数为 ______ ；
【探究3】
如图③，在 和 中， ， ，AD， 分别为 和 的中线，AD与
交于点 ，若 ，则 的度数为_______ ．
【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】
例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知 ，点 在边 上， ，
点 在边 上， ，若 ，求 的长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 ，腰
长为12m，则底边上的高是 m．
2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）（1）如图1所示，在 中， ， ，
，求证 ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）如图2所示，在 中， ， ，延长 至 使 ，求 ．
3．如图，点 ， 在 的边 上， ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当 时，过点 作 于点 ，如果 ，求 的值．
4．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在等边 中，点 在 边上，点 在 延长线上，且
．
(1)求证： ；
(2)若等边 的边长为6， 求 的长；
(3)求证： ；
(4)如图，当点 在 的延长线上，点 在 延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
5．在 中， ，过点C作射线 ，使 （点 与点B在直线 的异侧）点D
是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线段 上，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为 ；（用含a的式子
表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【考点三 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线
及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总
结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点O作 的平行线与 ， 分别
相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图 中 ， ， 平分 ，
平分 ，过 作直线平行于 ，交 ， 于 ， ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求 的周长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在 中， ， 平分 交
于点D．过点A作 ，交 的延长线于点E．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数；
(2)求证： 是等腰三角形；
(3)若 ，求 的长（用含m，n的式子表示）．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1， 中， ， ， 的平分线交
于O点，过O点作 交 ， 于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想： 与 ， 之间
有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若 ，其他条件不变，图中有 个等腰三角形； 与 ， 间的关系是 ；
（3）如图3， ，若 的角平分线与 外角 的角平分线交于点O，过点O作
交 于E，交 于F．图中有 个等腰三角形． 与 ， 间的数量关系是 ．
【考点四 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】
模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形.
条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形.
条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形.
例题：（24-25八年级上·湖南张家界·期中）如图， 是 的角平分线， ，交 于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： 是等腰三角形．
(2)当 时，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西朔州·期中）综合与探究
如图，在 中， ， 为 延长线上的一动点，且 ，交 于点 ．
(1)如图1，求证： 是等腰三角形．
(2)如图2，当 为 的中点时， 与 有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由．
2．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）如图1， 为等边三角形，动点D在边 上，动点E在
边 上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连
接 交于点P，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间的数量关系是______________________．
（2）如图2，若把（1）中的“动点D在边 上，动点E在边 上”改为“动点D在射线 上运动，
动点E在射线 上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，若把（1）中的“动点D在边 上”改为“动点D在射线 上运动”，连接 ，交
于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间存在怎样的数量关系？请写出简
要的证明过程．
【考点五 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
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学科网（北京）股份有限公司模型解析：：如图， △ABC中,AD平分 ∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得 △ABD≅△ACD,从而得
AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.
例题：（24-25八年级上·广东肇庆·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，
如图1， 平分 ．点 为 上一点，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，求
证： ．
（2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点 作 ，垂足为 交 于点 ．若
，试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】如图3， 中， ，点 在线段 上，且
于 交 于 ，试探究 和 之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图 ， 平分
．点 为 上一点，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，可证得
，则 ， ．
【问题提出】
（1）如图 ，在 中， 平分 ， 于点 ，若 ， ，通过上述
构造全等的办法，求 的度数；
【问题探究】
（2）如图 ，在 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长
线上，试探究 和 的数量关系；
【问题解决】
（3）如图 是一块肥沃的土地 ，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角
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学科网（北京）股份有限公司形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作：
作 的平分线 ；
再过点 作 交 于点
已知 米， 米， 面积为 平方米，求划出的 的面积．
【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】
模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形．
条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形.
条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形.
条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的
延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形.
例题：（23-24八年级上·山西晋中·期中）【问题提出】在 中， ， 为 的角平
分线，探究线段 ， ， 的数量关系．
【问题解决】如图1，当 ，过点 作 ，垂足为 ，易得 ；由此，如图
2，当 时，猜想线段 ， ， 有怎样的数量关系？给出证明．
【方法迁移】如图3，当 ， 为 的外角平分线时，探究线段 ， ， 又有怎样
的数量关系？直接写出结论，并说明理由．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）问题背景：在 中， ，点 为线段 一动点，
当 满足某种条件时，探讨在线段 、 、 、 四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的
数量关系．
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学科网（北京）股份有限公司(1)在图1中，当 时，则可得 ，请你给出证明过程．
(2)当 时，如图2，求证： ；
(3)当 是 的角平分线时，判断 、 、 的数量关系，并证明你的结论．
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