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第七章 证明
清单01 定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推
出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那
么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，
不能保证结论正确，即结论不成立.
清单02 公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，
“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定
理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
清单03 平行线的判定
1）判定方法一：同位角相等，两直线平行.
2）判定方法二：内错角相等，两直线平行.
3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.
4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
5）平行线的传递性：若l∥l，l∥l，则l∥l （用共面知识可证明，此处不证）
1 3 2 3 1 2.
清单04 平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等;
2）两直线平行，内错角相等;
3）两直线平行，同旁内角互补.
注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系.易错点1 平行线中的旋转问题
1. **忽略“旋转后直线位置关系”**：易默认旋转后两线仍平行，实则旋转角度可能让直线相交，需先判
断旋转后是否仍满足“同位角相等”等平行条件。
2. **漏算“旋转产生的多解情况”**：旋转方向（顺时针/逆时针）或旋转中心不同，会导致角度、线段
长度等结果不同，需全面分析所有可能情形，避免漏解。
例题1．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在直线 上取两点 ，作射线 和射线 ，
且 ，固定 两点，按图示方向和速度分别转动 ．当 与 第1次平行
时，转动时间为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，先理解速度和旋转方向，以及 与 第1次
平行，运用同旁内角互补，两直线平行进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设转动时间为 时， 与 第1次平行，
如图所示：
当 ，则 与 第1次平行，
依题意，
∴
解得 ，
故答案为：易错点2 平行线判定与性质中的多结论问题
1. **混淆判定与性质逻辑**：易把“由角等推平行”（判定）和“由平行推角等”（性质）弄反，比如用
性质条件证平行，导致逻辑链错误。
2. **漏用隐含条件**：常忽略对顶角相等、邻补角互补等隐含角关系，无法串联已知与结论，导致关键角
的等量关系缺失，无法判定或推导。
例题2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，E在线段 的延长线上， ， ，
，连接 交 于G， 的余角比 大 ，K为线段 上一点，连接 ，使
，在 内部有射线 ， 平分 ．则下列结论：① ；② 平分
；③ ；④ ．其中正确的结论是 ．
【答案】①②③④
【分析】本题考查平行线的判定和性质，余角的定义，角平分线的定义．由 ， 得出
，可判断①；由 得出 ，结合 ，可判断②；根据
的余角比 大 ， ，可判断③；设 ， ，根据角平分线
的定义及角的和差关系，分别表示出 和 ，即可判断④．
【详解】解： ， ，
，
；故①正确；
，
，
，
平分 ；故②正确；
的余角比 大 ， ，
，
；故③正确；设 ， ，
， ，
，
，
平分 ，
，
，
解得 ，
即 ；故④正确；
综上可知，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
易错点3 平行线的判定与性质综合问题
1. **逻辑链断裂**：不会串联判定与性质，比如用判定证出平行后，忘了用性质推角的关系，或反之，导
致解题中途卡住。
2. **辅助线添加不当**：遇“折线”“拐角”类图形，常漏加或错加平行线辅助线，无法构造“同位角、
内错角”，找不到角的传递桥梁。
例题3．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日
常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，
也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动．
(1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图， 交 于点O， ，垂足为点O， ．则
的度数为___________．
(2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图， 为 上一点，射线 与 交于点I，射线 交 于点E．若 ，则 与 所在的直线存在的位置关系是___________．
(3)图3为“丁字型”抓法及示意图， ，射线 交 于点M，交 于点 与 交于点G，
射线 交 于点H．
①若 ， ，求 的度数．
②若 ，当 ，垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)① ②
【分析】本题考查平行线的性质，垂线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据邻补角的性质求出 ，再根据垂直的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质得到 ， ，据此证明 即可；
（3）①根据平行线的性质和对顶角相等得到 ，再根据三角形内角和定理可得答案；
②根据平行线的性质和对顶角相等得到 ，则可求出 ，再由垂线的
定义得到 ，平行线的性质得到 ，则 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：①∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
② ．
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
易错点4 平行线中的拐点问题
1. **辅助线添加错误**：不会过拐点作已知平行线的平行线，或作线后漏标字母、错连线段，导致无法构
建“内错角”“同旁内角”等关键角关系。
2. **角的关系算反**：推导时混淆角的“和”与“差”，比如“铅笔头模型”错用角差、“锯齿模型”错
用角和，违背拐点模型的角度规律。
例题4．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）【问题情境】
（1）若将具有图 特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：若 ，
为 ， 之间一点，则 ______．
【问题迁移】
（2）已知直线 ，点 ， 在直线 上，点 ， 在直线 上，连接 ， ， 平分 ，平分 ，且 ， 所在的直线交于点 ．
如图 ，当点 在点 的左侧时，若 ， ，请你结合（ ）中“平行凸折线”的
性质，求 的度数；
如图 ，当点 在点 的右侧时，设 ， ，请写出 的度数并说明理由（用含
， 的式子表示）．
【答案】（ ） ；（ ） ， ，理由见解析．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理推论，熟练掌握平行线的性质及结
合图形进行角的和差运算是解题的关键．
（ ）过点 作 ，根据平行线的性质进行证明，即可得到结论成立；
（ ） 由平行线的性质，角平分线的定义，结合（ ）的结论，即可求出答案；
由平行线的性质，角平分线的定义，结合（ ）的结论，即可求出答案．
【详解】解：（ ）如图，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（ ） 如图，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，
由平行凸折线的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
，理由如下，
如图，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由平行凸折线性质可得： ，
∴ ，
∴ ．一、单选题
1．如图，已知题设：直线 ， ，以及三个结论：① ；② ；③ ，则
这些结论中，与题设组成的命题是真命题的有（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理，平行线的性质，垂线，根据平行线的性质，垂直的定义，三角形的内角
和定理等逐个判定即可．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ， （两直线平行，同位角相等），
故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
无法说明 ，
故③错误；
综上所述，与题设组成的命题是真命题的有①②，
故选：C．
2．如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中 ，垂足为B， 可绕点A旋转，
可绕点D旋转．当 时，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据题意，结合图形，得到 ， ，代入已知条件中 ，
，即可得到结果．
【详解】解：如图，过A点作 ，
，
∴ ，
，
，
，
即 ，
， ，
，
故选：C．
3．如图，已知： ， ， 平分 ， ，有下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的结论有（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内
角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键．
①根据平行线的传递性可以判断出来；
② 所以 ，然后根据两直线平行同旁内角互补可得 ， 即
，联立可求得结果；
③根据 以及 ，可求得结果；
④根据 即 以及 ，可求得结果；
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，即 ，
①∵ ， ，
∴ ， 故①正确
②∵ ，
∴
∴ ，即 ，
∵ ，
∴
∴ ， 即 ， 故②正确；
③由①可得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ， 即 ，
将 代入 ，化简可得： ， 故③正确；
④：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 故④不正确；
正确的有 个：①②③，
故选：A．
二、填空题
4．如图， ，O是AB上一点，直线 与 所夹的 ，要使 ，直线 绕点
O按逆时针方向至少旋转 °．
【答案】
【分析】此题考查了平行线的性质和角度的计算．根据平行线的性质求出 再根据
角度的计算即可得到答案．
【详解】解：如图， ，
∵ ，
∵
即直线 绕点O按逆时针方向至少旋转 ，
故答案为： ．5．如图， 相交于点 ， ．若 ，则 的度数是
．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明 得到 ，再由 ，
得到 ，即可推出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
6． 月 日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图 ，这是某款机器人跑步
瞬间的姿态，图 为其平面示意图，其中 ， ， ．若
， ，则 的度数为 ．
【答案】【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，垂直定义，由 ， ，则
，延长 至 ，过 作 ，则有 ，所以
， ， ，通过角度和差可得 ，
，又 ，则 ，最后通过角度和差即可求解，掌握相关知识的应用是解题
的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
如图，延长 至 ，过 作 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
7．已知：如图， ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的性质和对顶角的知识，
（1）根据平行线的性质得 和 ，即可得 ；
（2）根据平行线的性质得 ，结合对顶角得 ，即可求得 ．
【详解】（1）证明： ．
．
∴又 ，
，
∴则 ；
（2）解： ．
．
∴又 ，
．
∴8．如图，已知 ， 与 交于点 ，点 、 分别在 、 上，连结 、 ，
， ．(1)判断 与 是否平行，并说明理由；
(2) ， ，求 的度数．
【答案】(1) ，详见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
根据题意，结合图形，得到 ，利用同位角相等，两直线平行，证得结论；
根据题意，先计算出 ，再得到 ，利用两直线平行，内错角相等，得
到结果．
【详解】（1）解： ，理由如下：
， ，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
．
9．如图所示，点B，C在线段 的异侧，点E，F分别在线段 ， 上， ， ，
．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由．（不必写出每步推理的依据）(2)若 ，
①求 的度数（用含 的式子表示）．
②若 ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)① ；②
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
由已知推出 ，根据内错角相等两直线平行即可得出结论；
（2）①根据对顶角相等结合已知可以求出 ，得出 ，根据两直线平行同旁内角互补
即可得到 ；②根据已知得到 ，解出 ，再根据两直线平行同旁内
角互补即可得出结果．
【详解】（1）解：位置关系： ，理由如下：
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ；
（2）①因为 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，
所以 的度数为 ；
②因为 ， ，
所以 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
10．（1）如图①，点 在 上， ．求证： ；
（2）如图②， ， 平分 的延长线与 的平分线交于点 ，若 比
大 ，求 的度数；
（3）如图③， ， 的度数与（2）中求出的相同， 平分 平分 ，作
，求 的度数．【答案】（1）详见解析
（2）100°
（3）
【分析】（1）延长 交 于点 ．利用同角的补角相等得到 ，利用平行线的判定得
，由性质得 ，则有 ，即可判定平行；
（2）作 ，则 ，结合角平分线得到 ，进一步得到
，再次利用角平分线得到 ，则 ．设 ，有
．结合已知有 即可；
（3）过点E作 ，设直线 和射线 相交于点G．由角平分线得 和
由平行得 ， ， ．由（2）可知
，则 ．结合平行得 ，即可列出
求解即可．
【详解】（1）证明：如答图①，延长 交 于点 ．
，
，，
∴ ，
，
∴ ，
．
（2）解：如答图②，作 ．
，
∴ ，
．
平分 ，
．
，
∴ ，
，
∴ ，
．
平分 ，
，
，
，
．
设 ，
．比 大60°，
，
，解得 ，
的度数为100°．
（3）解：如答图③，过点E作 ，设直线 和射线 相交于点G．
平分 ， 平分 ，
，
，
，
， ， ．
由（2）可知 ，
，
．
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查同角的补角相等、平行线的判定和性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，解
题的关键是熟悉平行线的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握辅助线是解题的关键．
11．如图1，直线 上点P位于点Q的左侧，点A，B位于 的上方，点C，D位于 的下方，在点
A，B，C，D位置变化的过程中始终保持 ．(1) 和 是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）；
(2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当 时，请在图2中补全图形，试判断 与 的位置
关系，并说明理由；
(3)若点A在点B左侧，当 时，若设 ， ，直接写出α与β之间的数量关系．
【答案】(1)否
(2)图见解析， ，理由见解析
(3) 或 或
【分析】本题考查了平行线的性质与判定．
（1）根据角的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质求得 ，计算得到 ，利用平行线的判定定理即可证
明 ；
（3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可．
【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧，
∴点P与点Q不共点，
∴ 和 没有公共顶点，
∴ 和 不可能为对顶角，
故答案为：否；
（2）解：补全图形，如图，，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：分以下四种情况：
当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ；
当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图，
∵ ，∴ ，
∴ ，
整理得 ；
当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ；
当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ；
综上，α与β之间的数量关系为 或 或 ．
12．如图， ，点 是直线 上一点，点 是平行线 、 之间一点，连接 、 ．【问题提出】
（1）如图1，过点 作 ，若 ， ，求 的度数；
【问题初探】
（2）如图2， 平分 ， 平分 ， 与 相交于点 ，若 ，求 的度数；
【衍生拓展】
（3）如图3， 平分 ， 平分 ， 与 相交于点 ， 平分 ，过点 作
，请探究 与 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键．
（1）过点 作 ，由平行线的性质得出 ， ，根据
，计算求解即可；
（2）根据（1）中的结论先得到： ， ，再由角平分线的定义即
可得出结论；
（3）作 的角平分线 交 于点 ，由邻补角的角平分线互相垂直得到 ，由根据两
直线平行，同旁内角互补得到 与 的关系，再由（2）题的结论即可得出 与 的数量关
系即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
， ，
，
的度数为 ；（2）解：由（1）得： ，
同理： ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
；
，
；
（3）解： ，理由如下，
∵ 平分 ，
，
平分 ，
，
，即 ，
，即 ，
，
，即 ，
，
由（2）得： ，
．
