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第一次月考押题培优01卷（考试范围1.1-2.7）
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)计算 的结果为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据算术平方根的概念直接求解即可．
【详解】
解： ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
2．(本题3分)下面几个数： ， ，3.14159， ，0， ， ， ，2.121122111222…，其
中，无理数的个数有（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判
定选择项．
【详解】
解： 是分母，属于有理数；
是无理数；
3.14159是有限小数，是有理数；
是无理数；
0是整数，是有理数；是分数，是有理数；
是整数，是有理数；
是整数，是有理数；
2.121122111222…是无限不循环小数，是无理数，、
∴无理数一共有3个，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握有理数和无理数的定义．
3．(本题3分)下列说法中正确的是（ ）
A．有理数是有限小数
B．无理数可以写成分数的形式
C．无理数是无限循环小数
D．无限不循环小数是无理数
【答案】D
【解析】
略
4．(本题3分)下列各式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，立方根的定义，即可求解．
【详解】
解：∵ <0，
∴ 无意义，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件和立方根的定义，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0是解题的关键．
5．(本题3分)适合下列条件的△ABC中， 直角三角形的个数为（ ）
① ；② ，∠A＝45°；③∠A＝32°， ∠B＝58°；
④ ；⑤ ；⑥
⑦ ；⑧
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，直角三角形两锐角互余，三角形的三边关系进行判断即可．
【详解】
解： ，故①不能构成直角三角形；
当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；
根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；
根据 ，可知 ，故④能够成直角三角形；
由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；
令 可知 ，故⑥能够成直角三角形；
根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；
由 可知 ，故⑧能够成直角三角形．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾
股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单．
6．(本题3分)如果整数a满足 ，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【解析】
【分析】
先计算（ ）2＝7，（ ）2＝11，然后看哪个平方数在7和11之间即可．
【详解】
解：∵7＜9＜11，
∴ ＜3＜ ，
∴如果整数a满足 ，则a的值是：3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
7．(本题3分)若 ，则代数式 的值为（ ）
A．2022 B．2004 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得 ，再把 变形为 ，代入，即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，根据题意得到 是解
题的关键．
8．(本题3分)如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，
在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿
3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A． cm B．13cm C． cm D． cm
【答案】B
【解析】
【分析】
将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短即可知A′B的长度即为最短
距离．利用勾股定理求出A′B即可．
【详解】
如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，A′E=AE=3，BD＝12﹣3+A′E＝12cm，
∴A′B＝ ＝ ＝13cm．故选：B．
【点睛】
本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定
理进行求解是解题的关键．
9．(本题3分)已知 、 、 是三角形的三边长，如果满足 ，则三角形
的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．底与边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理
判断其形状是直角三角形．
【详解】
解：∵ ，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
解得：a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．
10．(本题3分)设a＝6 ，b ，c ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】B
【解析】
【分析】
先把已知量化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小，最大值比其他任何数都
大，找出最大值，以此类推找出次大值和最小值．
【详解】解答：解：a＝6 6 2 ，b 2 ，
c ，
由b﹣a＝2 2 2 0，则b＞a，
由b﹣c＝2 2 0，则b＞c，
∴b最大，
又∵a﹣c＝2 0，
则a＞c．故b＞a＞c．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了分母有理化，正确掌握二次根式的相关计算是解题关键．
11．(本题3分)如图， 中， ，M，N分别是边 上的两个动
点．将 沿直线 折叠，使得点A的对应点D落在 边的三等分点处，则线段 的长为
（ ）
A．3 B． C．3或 D．3或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分 和 两种情形，设 ，在 中，勾股定理建立方程，解方程
即可求解．
【详解】
解： ，点A的对应点D落在 边的三等分点处，设BN＝x，则 和 ， ，
在 中， ，
当 时， ，
解得： ，
当 时， ，
解得： ，
故选D．
【点睛】
本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键．
12．(本题3分)如图，正方形 的边长为1，其面积为 ，以 为斜边作等腰直角三角形，
以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 …，按此规律继续下去，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得出 ，写出部分 的值，根据数的变化找出变化规律“，依此规律即可得出结论．
【详解】
解： 正方形 的边长为1， 为等腰直角三角形，
， ，
．
观察，发现规律： ， ， ， ， ，
．
当 时， ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规
律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变
化规律是关键．
二、填空题(共12分)
13．(本题3分)－27的立方根与16的算数平方根的和是______．
【答案】1
【解析】
【分析】
分别求出-27的立方根与16的算术平方根，再把它们相加即可．
【详解】
∵-27的立方根为-3，16的算术平方根为4，
∴-27的立方根与16的算术平方根的和为：-3+4=1，
故答案为1．
【点睛】
此题考查立方根和算术平方根，解题的关键是准确的求出其立方根和算术平方根再求其和．
14．(本题3分)若 ，则y＝______．
【答案】-4
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求出x的值，再求出y的值即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ 0，
∴ ，
∴x=3，y=-4．
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是理解二次根式的被开方数为非负数．
15．(本题3分)一个正方形的面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的______倍．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据算术平方根的概念进行求解．
【详解】
解：设该正方形的边长为a，则其面积是a2，其面积的9倍是9a2，
∵（3a）2=9a2，
∴变化后正方形的边长为3a，
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了运用算术平方根解决图形问题的能力，关键是能准确理解问题间的数量关系运用算术
平方根知识列式求解．
16．(本题3分)如图所示，在边长为 的正方形 中，点 为 边的中点，点 为对角线
上一动点，连接 、 ，则 周长最小值为_________ ．【答案】 ##
【解析】
【分析】
连接 ，先根据正方形的性质可得 ， 垂直平分 ，再
根据线段垂直平分线的性质可得 ，从而可得 周长为 ，然后根据两点之
间线段最短可得当点 共线时， 的值最小，最小值为 的长，最后利用勾股定理
求出 的长即可得．
【详解】
解：如图，连接 ，
四边形 是正方形，且边长为 ，
， 垂直平分 ，
，
点 为 边的中点，
，
的周长为 ，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 的值最小，最小值为 的长，
在 中， ，
则 周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质
是解题关键．
三、解答题(共72分)17．(本题12分)计算及解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）由乘方、算术平方根、立方根的运算法则进行化简，即可求出答案；
（2）由二次根式的性质、立方根、绝对值的意义进形化简，即可得到答案；
（3）利用直接开平方的方法解方程，即可得到答案；
（4）先移项，然后开立方，即可求出答案．
(1)
解：
；
(2)
解：
；
(3)解： ，
，
；
(4)
解： ，
，
．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，平方根，立方根，绝对值的意义等知识，解题的关键是熟练掌握运
算法则，正确地进行化简计算．
18．(本题8分)已知 的平方根是 ， 的立方根是 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的算术平方根．
【答案】（1）a=5、b=2；（2）
【解析】
【分析】
分别根据3和-3是 的平方根， 的立方根是3，求出a、b的值，再求出 的值，
计算其算术平方根即可．
【详解】
解：（1）∵3和-3是 的平方根，
∴ ，
解得： ，
∵ 的立方根是3，
∴ ，
把 代入得：
解得： ，
故 ， ；
(2) ∵ ， ；
∴ ，∴ ，
即 的算术平方根是 ．
【点睛】
本题考查了平方根和算术平方根以及立方根的计算，熟练掌握这几种计算是解题关键．
19．(本题8分)如图，一块四边形的空地， ，AB的长为9m，BC的长为12m，CD的长为
8m，AD的长为17m．为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植 草坪需要花费30
元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？
【答案】 元
【解析】
【分析】
连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明 ACD为直角三角形．
从而用求和的方法求面积，也可得出需要的费用． △
【详解】
解：连接AC，在 中，
∴ ， ，
在 中，∵ ，
∴ ， 为直角三角形，
∴
∴
答：此块空地全部铺植草坪共需花费 元．【点睛】
本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式，解答关键是作出辅助线，求
出图形的总面积，难度一般．
20．(本题10分)【阅读材料】
∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，
∴1＜ ﹣1＜2．
∴ ﹣1的整数部分为1．
∴ ﹣1的小数部分为 ﹣2
【解决问题】
(1)填空： 的小数部分是________；
(2)已知a是 ﹣3的整数部分，b是 ﹣3的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）估算出 的范围 ，可得到 的整数部分，进而得到 的小数部分；
（2）估算出 的范围 ，可得到 的整数部分，进而得到 的小数部分，
从而得到a，b的值，再求代数式的值即可．
（1）解：∵ ，∴ ，∴ 的整数部分是9，∴ 的小数部分为：
，故答案为： ；
（2）∵ ，∴ ，∴ ，∴ 的整数部分是：1，∴
小数部分是： ，∴ ．∴原式＝ ＝＝ ＝ ．∴代数式 的值为： ．
【点睛】
本题考查了代数式求值，无理数的整数部分与小数部分，正确求出无理数的整数部分与小数部分，
并将其代入代数式计算求值是解题的关键．
21．(本题10分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
(2)①在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 、 、 ，
②判断此三角形的形状并求出它的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②此三角形是等腰直角三角形，面积为5
【解析】
【分析】
（1）先求出正方形的边长，再根据勾股定理画出图形即可；
（2）①根据勾股定理画出图形即可；
②先判断出三角形的形状，再由三角形的面积公式即可得出结论．
（1）解：如图1：
（2）①如图2， ABC即为所求． ② ，
△∴此三角形是等腰直角三角形S ABC ∴此三角形是等腰直角三角形，
=
△
面积为5．
【点睛】
本题考查的是作图一应用与设计作图，熟知勾股定理是解答此题的关键．
22．(本题12分)观察下列等式：
① ；
② ；
③ ；…
回答下列问题：
(1)利用你观察到的规律，化简： _____；
(2)计算： ；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用已知分子分母同乘以 进而化简求出即可；
（2）利用已知直接将原式化简求出即可；
（3）利用已知直接将原式化简求出即可．
（1）解： ；故答案为： ；（2） ；
（3）
．
【点睛】
此题主要考查了分母有理化，正确将各式化简是解题关键．
23．(本题12分)如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把 DEC沿DE折叠得
到 DEF，延长EF交AB于点G，连接DG． △
△
(1)填空，∠EDG=_________°．
(2)如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF．
①求线段AG的长；
②求 BEF的面积；
(3)填△空：当DE=DG时，若令CE=a，则BF=_________（用含a的式子表示）．
【答案】(1)
(2)① ；②
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质可得DC=DA，∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，根据翻折前后两个图形能够完
全重合可得∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后利用“HL”证明
Rt DGA和Rt DGF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠3=∠4，然后求出∠2+∠3=45°，从
而△得解； △（2）①设AG=x，则BG=6-x，根据勾股定理得：EG2=BG2+BE2，列方程可得AG的长；
②先计算△BEG的面积，根据同高三角形面积的关系可得：S BEF= ；
△
（3）根据等腰三角形三线合一的性质可得F是EG的中点，由（1）和折叠得：
AG=FG=EF=CE=a，根据勾股定理可得结论．
(1)
解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE＝∠C，DC＝DF，∠1＝∠2，
∴∠DFG＝∠A＝90°，DA＝DF，
在Rt DGA和Rt DGF中，
△ △
，
∴Rt DGA≌Rt DGF（HL），
∴∠△3＝∠4， △
∴∠EDG＝∠3+∠2
＝ ∠ADF+ ∠FDC
＝ （∠ADF+∠FDC）
＝ ×90°，
＝45°
故答案为45．(2)
①由（1）知：Rt DGA≌Rt DGF，
∴AG＝FG， △ △
∵E为BC的中点，
∴CE＝EF＝BE＝3，
设AG＝x，则BG＝6﹣x，
在Rt BEG中，由勾股定理得：EG2＝BG2+BE2，
即（3△+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
∴AG＝2；
②由①知：BG＝4，BE＝3，
∴S BEG＝ ＝6，
△
∵EF＝3，FG＝2，
∴S BEF＝ ．
△
(3)
∵DE＝DG，∠DFE＝∠C＝90°，
∴点F是EG的中点，
∴AG＝FG＝EF＝CE＝a，
∴EG=EF+FG=2a，
∵ ，
∴ ．
故答案为：a．
【点睛】
四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与
性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．
