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2023-2024学年九年级数学上学期第一次月考卷01（测试范围：第1-2
章）
一、单选题
1．在下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x﹣ ＝2
C． x2﹣ +x＝0 D．x（x﹣1）2＝3+x2
【答案】C
【分析】根据一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；
（3）整式方程，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】A、a=0时，是关于x的一元一次方程，故本选项错误;
B、是分式方程，故本选项错误；
C、是关于x的一元二次方程，故本选项正确；
D、整理以后是关于x的一元一次方程，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二
次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( )
A．邻边相等 B．四个角都是直角
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】D
【解析】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，所以一定都具有的性质是平行四边形的性质，即对角线互
相平分.
故选：D.
3．下列一元二次方程中，根是 的是（ ）
A． B．
1C． D．
【答案】D
【分析】根据求根公式 解答．
【解析】解：由 知： ， ， ．
所以该一元二次方程为： ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式 中字母所表示
的意义．
4．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且 ，从而求解．
【解析】解：根据题意得：a≠0且 ，即
，
解得： 且 ，
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞
0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无
实数根．
5．如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，若CE＝1，DE
＝2，则CF长为（ ）
2A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】B
【分析】根据菱形的性质得到AD＝CD＝CE+DE＝3，AD∥BC，推出△ADE∽△FCE，根据相似三角形的性
质得到 ，代入数据即可得到结论．
【解析】解：在菱形ABCD中，
∵AD＝CD＝CE+DE＝3，AD∥BC，
∴△ADE∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴CF＝1.5，
故选B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形对应成比例.
6． 年，某省新能源汽车产能达到 万辆．到了 年，该省新能源汽车产能将达到 万辆，设这
两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x．则根据题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为 ，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【解析】解：设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为 ，根据题意得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
7．如图，在矩形 中， ，对角线 与 相交于点O， ，垂足为E，
3，则 的长为（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质得出 ，由已知条件得出 ， ，由线段垂直平分线
的性质得出 ，得出 为等边三角形，即可求出 的长．
【解析】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明 是等边
三角形是解决问题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形 为菱形， ， ， ，则顶点 的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4【分析】过点B作 轴于点N，由直角三角形的性质求出 长即可．
【解析】解：过点B作 轴于点N，如图所示：
∴ ，
∵四边形 为菱形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，由勾股定理得 ，
∴ ，
所以顶点 的坐标为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含 直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（
）
x 0 0.5 1 1.5 2
ax2+bx+c ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【答案】D
【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c=10的解．
【解析】解：由表格可知：当x=1.5时，ax2+bx+c=5.25，则ax2+bx+c-10=-4.75，
当x=2时，ax2+bx+c=13，则ax2+bx+c-10=3，
5∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10（a≠0）的一个解x的范围是1.5＜x＜2，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解．
10．如图，在正方形 中，以 为边作等边三角形 ，连接 ， ， ，则下列结论；①
；② ；③ 和 的面积比为 ；④ ，其中结论正确的序
号有（ ）
A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得
，由等腰三角形的性质可得
，故①正确；利用 证明 ，可判断②，由三角形的面积公式可得
， ，可得 和 的面积
比为 ，故③正确；由直角三角形的性质可得 ，可得 ，故④正确，
即可求解．
【解析】解：∵四边形 是正方形， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
6∵ ，
∴ ，故②正确；
∴ ，
过点P作 于H， 于G，如图所示：
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
，
∴ 和 的面积比为 ，故③正确；
过点C作 交 的延长线于N，如图所示，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确，
综上所述：①②③④．
故选：D．
7【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、
直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，熟练掌握相关的性质与适当作
辅助线是解答此题的关键．
二、填空题
11．已知a，b是一元二次方程 的两个根，则代数式 的值为 ．
【答案】3
【分析】根据方程根的定义，分别把a，b代入方程可得a2+a=1，b2+b=1，再把代数式2a2+b2+2a+b变形代
值则可．
【解析】解：∵a，b是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
∴
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，方程的解的定义．一般解题思路是，把表示根的字母代入方程
得到相关的等式，再把所求的代数式变形成已知条件的形式，把已知条件整体代入即可．
12．如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，点 ， 在 上，且 ，连接
， ， ， ．若添加一个条件使四边形 是矩形，则该条件可以是 ．(填写一个
即可)
8【答案】 (答案不唯一)
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理以及矩形的判定定理即可得到结论．
【解析】解：
理由： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
．
即 ．
四边形 为平行四边形，
， ，
，
，
四边形 是矩形．
故答案为： 答案不唯一 ．
【点睛】此题主要考查了矩形 的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和
性质定理是解题的关键．
13．已知等腰三角形的底边长为7，腰长是 的一个根，则这个三角形周长为 ．
【答案】17
【分析】求出方程的解，得出两组情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．
【解析】解： ，
，
， ，
， ，
即①等腰三角形的三边为7，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是 ；
②等腰三角形的三边为3，3，7，此时不符合三角形三边关系定理，
9故答案为：17．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系定理，等腰三角形性质的应用，关键是确定三角形
的三边长．
14．如图，四边形 是边长为 的菱形，其中对角线 长 ．则菱形 的面积为
．
【答案】
【分析】首先根据菱形的性质可得 ， ， ，然后再根据勾股定理计算出 长，
进而得到答案．
【解析】解： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
，
，
．
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直且平分．
15．新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现： 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有
人感染，若设 人平均感染 人，则 的值为 ．
【答案】14
10【分析】第一轮共感染 人，第二轮共感染 （人），根据经过两轮传染将会有
人感染，列出一元二次方程，解方程即可．
【解析】解：由题意得： ，
解得： ， （不合题意舍去），
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．如图，矩形 的对角线 和 相交于点 ，过点 的直线分别交 和 于点 、 ，
， ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】3
【分析】矩形的对角线相等且互相平分，所以过交点的 把矩形分成面积相等的两部分，通过面积的等
量代换可求出解．
【解析】解： 矩形 的对角线 和 相交于点 ，
四边形 里面的空白三角形的面积和四边形 中阴影三角形的面积相等．
求阴影部分的面积可看成求四边形 的面积．
阴影部分的面积为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，过交点的线段把矩形分成面积相等的两部
分．
17．如图，正方形 和正方形 中，点 在 上， ， ， 是 的中点，那么
的长是 ．
11【答案】
【分析】连接 ， ，根据正方形性质结合勾股定理求出 ， 的长 ，即可得出
，利用勾股定理即可求出 的长，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出
的长．
【解析】解：如图，连接 ， ，
正方形 和正方形 中，点 在 上， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
，
在 中，
，
是 的中点，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握
性质并正确作出辅助线构造出直角三角形是解答本题的关键．
1218．如图，在矩形纸片 中， ， ， 是 的中点， 是 边上的一个动点(点 不
与点 ， 重合)．将 沿 所在直线翻折，点 的对应点为 ，连接 ， ．当 是等
腰三角形时， 的长为 ．
【答案】 或 或
【分析】存在三种情况：当 ，连接 ，勾股定理求得 的长，可判断 ， ， 三点共线，
根据勾股定理即可得到结论；当 ，证明 是正方形，于是得到结论；当 时，连
接 ， ，证明点 ， ， 三点共线，再用勾股定理可得答案．
【解析】解：①当 时，连接 ，如图：
点 是 的中点， ， ，四边形 是矩形，
， ， ，
，
将 沿 所在直线翻折，得到 ，
，
，
13，
点 ， ， 三点共线，
，
，
设 则 ，
在 中 ，
，
解得： ，
；
②当 时，如图：
，
点 在线段 的垂直平分线上，
点 在线段 的垂直平分线上，
点 是 的中点，
是 的垂直平分线，
，
将 沿 所在直线翻折，得到 ，
， ，
四边形 是正方形，
；
③当 时，连接 ， ，如图：
14点 是 的中点， ， ，四边形 是矩形，
， ，
，
将 沿 所在直线翻折，得到 ，
，
，
，
点 ， ， 三点共线，
，
，
设 则
在 中， ，
在 中， ，
，
即
解得： ，
；
综上所述， 的长为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类
15讨论思想的运用是解题的关键．
三、解答题
19．解下列方程：
(1)x（2x+3）＝4x+6；
(2)3x2﹣7x+5＝0；
(3)x2+x﹣ ＝0．（配方法）
【答案】(1)
(2)原方程无解
(3)
【分析】（1）移项以后利用因式分解法即可求解；
（2）用公式法解方程即可；
（3）移项以后用配方法求解即可．
(1)
解：
移项，得：
即，
或
解得：
(2)
解：
∴原方程无解
(3)
16移项，
配方得，
化简得，
开方得，
解得，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围．
（2）当 取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【答案】（1） 且 （2） ，
【分析】（1）根据一元二次方程二次项系数不为0和 ＞0，列不等式即可；
（2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可．
【解析】解：（1）∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴
解得：
∵ ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 且 ；
（2）∵ 的取值范围是 且 ，
∴ 的最大整数值为4，当 时，原方程可化为：
，
，
或 ，
17解得 ， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，解题关键是依据根的判别式列出不
等式，注意一元二次方程二次项系数不为0这一隐含条件；熟练的解方程．
21．如图， ABC中，∠ACB=90°，EF垂直平分BC，垂足为D，交AB于点F，CE∥AB，连接BE、CF．
△
(1)求证：四边形CFBE是菱形；
(2)若AB=10，BC=8，求DF的长．
【答案】(1)见解析
(2)DF的长为3．
【分析】（1）证 CDE≌△BDF（ASA），得DE=DF，则四边形CFBE是平行四边形，再由菱形的判定即可
得出结论； △
（2）由勾股定理得AC=6，再证四边形ACEF是平行四边形，得EF=AC=6，即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠DCE=∠DBF，
∵EF垂直平分BC，
∴CD=BD，
在 CDE和 BDF中，
△ △
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，
∴四边形CFBE是平行四边形，
又∵EF⊥BC，
∴平行四边形CFBE是菱形；
（2）解：∵∠ACB=90°，
18∴AC= =6，AC⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
又∵CE∥AB，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴EF=AC=6，
由（1）可知，DF=DE，
∴DF= EF=3．
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知
识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出
100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40千克．
(1)若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式表示）？
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出250千克，那么水果店需将每千克的售价降低
多少元？
【答案】(1)（ ）
(2)水果店需将每千克的售价降低1元．
【分析】（1）销售量＝原来销售量＋上升的销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出方程求解即可．
【解析】（1）解：每天的销售量是： =（ ）千克；
（2）解：设这种水果每斤售价降低x元，
根据题意得：
解得：
当 时，销售量是
当 时，销售量是 （斤）．
∵每天至少售出250斤，
19∴ ．
答：水果店需将每千克的售价降低1元．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，第一问关键求出总销售量．第二问，根据售价和销售量、利润之间
的等量关系列方程求解．
23．请阅读下列材料：
问题：已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 倍．
2
解：设所求方程的根为 ，则 ，所以 ．
y
把 代入已知方程，得 ．
化简，得 ，
故所求方程为 ．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程 要求：把所求方程化为一般形式 ．
已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，求所求方程；
已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】 ； ．
【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y，然后把x=﹣y代入已知方程得
（﹣y）2+（﹣y）﹣2=0；
（2）设所求方程的根为y，则y= ，所以x= ．然后把x= 代入已知方程得2（ ）2+7• ﹣3=0．再化
成整式方程即可．
【解析】（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y．
把x=﹣y代入已知方程，得：（﹣y）2+（﹣y）﹣2=0．
化简得：y2﹣y﹣2=0，故所求方程为y2﹣y﹣2=0；
20（2）设所求方程的根为y，则y= ，所以x= ．
把x= 代入已知方程，得：2（ ）2+7• ﹣3=0．
化简得：3y2﹣7y﹣2=0，即所求方程为3y2﹣7y﹣2=0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握换根法的使用．
24．如图，已知 和 是两个边长都为 的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连
接 、 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， 沿着 的方向以每秒 的速度运动，设 运动时间为t秒．
①当 为何值时， 是菱形？请说明理由；
② 有可能是矩形吗？若可能，求出 的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)① 3秒， 是平行四边形，理由见解析；② 有可能是矩形， 秒，
【分析】（1）因为 和 是两个边长为 的等边三角形，所以 ，又
，可得 ，所以四边形 是平行四边形；
（2）①证明四边相等即可；②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵ 和 是两个边长为 的等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
21∴四边形 是平行四边形；
（2）解：①当 3秒时， 是菱形，理由如下：
如解图①，当 秒时，点B与点D重合，点C与点E重合，
所以 ，
即 是菱形．
故答案为：3．
② 有可能是矩形；理由如下：
如解图②，当 秒时，点B与点E重合，
∵ ， ，
∴ ，
∴点A、E、F共线，
∵ ，
∴ ，
即 是矩形．
∴ ，
又∵ ，
22∴ 是等边三角形，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形和矩形的判定，勾股定理，熟记这些定理是解题的关键．
25．如图，四边形 中， ， ， ， ， 于E， 交 于
F．
（1）若 ，求 的值．
（2）若 ，求 的值．
（3）若 ，过A点作 交 的延长线于M，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）过B点作 于H，由已知 ，结合两直线平行，同旁内角互补，计算
，进而证明四边形 为矩形，再由矩形的性质解得 ，利用 的
正切值解题即可；
（2）由已知可证 ，根据相似三角形对应边成比例的性质，解得 ，延
长 、 交于点G，根据勾股定理计算AB的长，进而由平行判定 ， ，最
后再根据相似三角形对应边成比例的性质解题即可；
（3）延长 、 交于点N，由平行判定 ， ，结合相似三角形对应边成比
例性质及勾股定理解题．
【解析】（1）如图1，过B点作 于H，
23．
∵ ， ，
，
∴四边形 为矩形，
， ．
，
，
．
（2） ，
，
，
．
延长 、 交于点G，如图2，
∵ ， ，四边形 是矩形，
则有 ， ，
， ．
，
24，
，
，
，
．
，
，
．
（3）延长 、 交于点N，如图3．
∵ ，
，
∴ ，
，
解得 ，
，
，
，
25，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线定理等知识，是重要考点，难度一般，作
出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键．
26．如图，正方形 中，点 是射线 上一点．
(1)如图1，点 在对角线 上，点 在边 上， ．求证：四边形 是正
方形；
(2)如图2，点 在正方形 内，点 在边 上，四边形 是正方形，求 的大小；
(3)如图3，点 是射线 上一动点，四边形 是以 为对角线的正方形， 是线段 的中点，
，请直接写出 周长的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点 作 于点 ，交 于点 ，证明 ，由全等三角形的性质可
得 ；再结合“有三个角为直角的四边形为矩形”证明四边形 是矩形，结合 即可证
明四边形 是正方形；
26（2）过点 作 于点 ，交 于点 ，先证明 ，由全等三角形的性质可得
，进而证明 为等腰直角三角形，即可获得答案；
（3）连接 ，由正方形的性质可证明 ，易知点 共圆，
，进而可得点 在 的平分线上运动；作点 关于 的对称点 ，连接
，则 的最小值为 的长，根据勾股定理求得 ，即可获得答案．
【解析】（1）证明：过点 作 于点 ，交 于点 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形
（2）解：过点 作 于点 ，交 于点 ，
27则 ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
如下图，连接 ，
∵四边形 和四边形 均为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 共圆，
28∴ ，
∴点 在 的平分线上运动，
作点 关于 的对称点 ，连接 ，
则 的最小值为 的长，
∵点 在 的平分线上，点 、点 关于 的对称，
∴点 在 延长线上，且 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
即 周长的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、
三角形内角和定理、四点共圆、圆周角定理等知识，综合性较强，综合运行相关知识是解题关键．
29
