文档内容
第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）
（满分120分，考试时间120分钟，共25题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：北师大版2024八年级勾股定理+实数；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（山西省晋中市部分学校2025-2026学年上学期第一次月考八年级数学试卷）下列各数中，是无理数的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了无理数．解题的关键是理解有理数和无理数的概念．有理数是整数与分数的统称，
即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】A、 是开方开不尽的数，属于无理数，符合题意；
B、 ， 是整数，属于有理数，不合题意；
C、 有限小数，属于有理数，不合题意；
D、 ， 是整数，属于有理数，不合题意；
故选：A．
2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）直角三角形两边分别为 和 ，则第三边为（ ）
A．3 B．4 C． D．4或
【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的计算，掌握勾股定理的计算是关键．根据勾股定理分类讨论即可求解．
【详解】解：当直角三角形两直角边分别为 和 时，斜边，即第三边为 ；
当直角三角形斜边长为5，一直角边为3，则第三边长为 ，
综上所述，第三边长为 或 ，
故选：D ．
3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的除法运算，二次根式的减法运算，二次根式的性质，据此相关性质进行逐
项分析，即可作答．
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项符合题意；
D、 ，故该选项不符合题意；
故选：C．
4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式 与 可以合并，则 的值是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式 与 可以合并，可知与 是同类二次根式，由此求出m的值，代入 计算即可．
【详解】解：由题意知 与 是同类二次根式，
，
解得 ，
，
故选B．
5．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在 中， ，分别以 和 为边向外作正
方形 和正方形 ．若 ，则正方形 和正方形 的面积和为（ ）
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理，结合正方形面积公
式求解．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ．
∵正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，
∴正方形 和正方形 的面积和为 ．
故选：C．
6．（24-25九年级下·重庆·自主招生）将式子 根式外的因式移到根式内的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得 ，再根据二次根式的性质计算即可得．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
∴ ，
则
，
故选：C．
7．（24-25九年级下·湖北荆门·自主招生）如图， 中， ， ，三角形的顶点在相
互平行的三条直线 上，且 之间的距离为 ， 之间的距离为 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，作 于 ，作 于 ，可证
，得到 ，再利用勾股定理求出 即可，正确作出辅助线是解题的
关键．
【详解】解：如图，作 于 ，作 于 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
8．（24-25七年级下·福建厦门·期末）因为 ， ， ，所以 ，
若 是正整数 ， ，则与实数 最接近的整数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．先求出m的取值
范围，即可确定整数m的值，于是可求出整数n的值，再估算实数 的取值范围，即可得解．
【详解】解： ，
，
即 ，
为正整数，
，
是正整数 ，，
，
，
与 最接近的整数是1，
即与实数 最接近的整数是1，
故选：A．
9．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图是一个长为 ，宽为 ，高为 的仓库，在其内壁的
点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短
距离应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用．将点A和点B所在的面展开，则为矩形，连接 ，分类探讨壁虎
爬到蚊子处的距离，找到最短距离即可．
【详解】解：如图，
①将正面和右面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则 为直角三角形，
， ，
，
故壁虎爬到蚊子处的最短距离为 ．②将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6，垂直距离为7，
此时的最短距离为 ，
，
故选：A．
10．（24-25九年级上·福建泉州·期末）四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼成两
个直角三角形，且 与 是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理的应用．首先过 作 交 的延长线于 ，根据题意即可得
， ， ，可得 是最长边，长为9或 ，然后由勾股定理可得
，然后分别从 ， 为9或5或1； ， 或5或1
去分析求解，即可求得答案．此题难度很大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想
的应用，小心别漏解．
【详解】解：如图，过 作 交 的延长线于 ，
根据题意得： ， ， ，
，
是最长边，长为9或 ，若 ， ，则 ，
若 ， ，则 ，
若 ， ，则 ，
若 ， ，则 ，
若 ， ，则 ，
若 ， ，则 ，
共6个，
故选：C．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小 ．
【答案】<
【分析】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③
局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．两边同时求倒数，
比较倒数的大小，然后即可求得答案．
【详解】解：左边求倒数为 ，
右边求倒数为 ，
，
．
故答案为：<
12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺
寸（单位： ），可以计算出两孔中心B和C的距离为 ．【答案】150
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据图形得出 ， 的长度．
根据图形分别得出 ， 的长度，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由图可知： ， ，
根据勾股定理可得： ．
故答案为：150．
13．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）已知x、y是实数， ，若 ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是根据非负数的性质先求出x及y
的值再求解．
根据 ，可求出x，y的值，代入 ，即可解出a．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
代入 ，
，
故 ．故答案为： ．
14．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示
的“垂美”四边形 ，若 ，则 ．
【答案】34
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在 和 中，根据勾股定理得 ，进一步得
，再根据 ， ，然后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，根据勾股定理得： ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
．
故答案为：34．
15．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，已知 是腰长为1的等腰直角三角形，以 的斜
边 为直角边，画第二个等腰 ，再以 的斜边 为直角边，画第三个等腰 ，
……依此类推，则第2020个等腰直角三角形的斜边长是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理、数字规律等知识点，找到等腰直角三角形的斜边长的变化规律是解题
的关键．
先根据勾股定理计算第1个，第2个，第3个，第4个等腰直角三角形的斜边长，再找到规律，再利用规
律求出第2020个等腰直角三角形的斜边长．
【详解】解：根据勾股定理可得：
第1个 的斜边 ；
第2个 的斜边 ；
第3个 的斜边 ；
．．．．．．
第n个等腰直角三角形的斜边 ；
所以第2022个等腰直角三角形的斜边 ．
故答案为： ．
16．（2025八年级下·浙江宁波·竞赛）观察下列各式：
，
，
，
．．．
请利用你发现的规律，计算：，其结果为 ．
【答案】
【分析】先根据所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和．
本题主要考查探索规律，二次根式的化简等内容，根据给出式子，找到规律是解题关键．
【详解】解：由题意可得：
．
故答案为： ．
三、解答题（9小题，共72分）
17．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）求下列各式中的x的值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键；
（1）先求 ，再根据平方根定义得 ，解方程即可；
（2）利用立方根定义求得 ，然后解方程．
【详解】（1）解： ，
，
，
即 或 ，解得 或 ．
（2） ，
，
18．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)3
(2)7
(3)0
(4) ，
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、利用平方根解方程等知识，解题关键是掌握上述
知识点并能运用求解．
（1）先作二次根式的乘法，再计算减法；
（2）先计算除法，再计算加法；
（3）先利用平方差公式计算，再计算加减；
（4）移项，系数化为1，然后结合平方根的性质解该方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）；
（3）
；
（4） ，
移项，得 ，
开平方，得 ，
即 ， ．
19．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知 ，两直角边 ， ，点 为
上一点，现将 沿 折叠，使点 落在斜边 上的点 处，
(1)求 的长；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出 的三边，然后利用勾
股定理列出方程是解题的关键．
（1）先根据勾股定理求得 的长，再根据折叠的性质求得 ，进而即可求出 的长．
（2）在 中，用勾股定理列方程即可求得 的长．
【详解】（1）解： ， ， ，
根据翻折的性质可得 ，则 ．
（2）解：设 ，由折叠可知： ， ，
在 中，
∴
解得：
∴ 的长为 ．
20．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他
们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表：
课题 测量学校旗杆的高度
工具 绳子、皮尺等
说明：线段 表示学校旗杆， 垂直地面于点 ，如图1，第一
测量
次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段 ，用皮尺
示意
测出 的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的
图
点 处，用皮尺测出 的距离．
测量项目 数值
测量 图1中 的长度 1米
数据
图2中 的长度 5米
根据以上测量结果，请求出学校旗杆 的高度．
【答案】 米
【分析】此题考查勾股定理的应用，能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解．
设旗杆的高度为 米，则绳子的长度为 米，在 中，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米，
设旗杆的高度为 米，则绳子的长度为 米
由图2可得，在 中， ，解得， ，
答：旗杆的高度为12米．
21．（24-25七年级下·安徽·阶段练习）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称
为“勾股定理”．即在直角三角形 中（如右图）， ．两条直角边分别为 ， ，斜边
为 ．则 ．利用勾股定理解答下列问题：
(1)在直角三角形 中， ， ， ，求 的长．
(2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 的网格中，每个小格的顶点叫做格点．
①在图中，利用勾股定理求线段 的长度．
②在图中，画一条格点线段 ，使 ．
【答案】(1) ；
(2)① ；②见详解．
【分析】该题考查了勾股定理．
（1）利用勾股定理，求解即可．
（2）①利用勾股定理求解即可．
②利用数形结合的思想解决问题即可．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ．
（2）解：① ，所以 ．
②如图2中，线段 即为所求作．
22．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积
为 的大正方形纸片．
(1)小正方形纸片的边长为 ；
(2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为 ，且面
积为 ？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根的应用，
（1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可；
（2）根据剪出的大长方形的面积为 ，列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求
解．
【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半，
∴小正方形的面积为 ，
设小正方形的边长为a，
则 ，
∴ （负值舍去），
故答案为： ；（2）解：不能，理由如下：
大正方形的边长为： ，
∵长方形的长宽之比为 ，
∴设长方形的长和宽分别是 ， ，
∴ ，
，
∵ ，
，
∴长方形的长为 ，
， ，
∵ ，
∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形．
23．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索
与分析．
【提出问题】已知 ，求 的最小值．
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和 的
线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形 ，P为 边上的动点，设 则
，则 _________ _________；（2）在（1）的条件下，已知 ，请结合图形求 的最小值；
【应用拓展】（3）直接写出 的最小值为_________．
【答案】（1）PA ， PD；（2） （3）7
【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题：
（1）利用勾股定理，即可得出结果；
（2）作点D关于 的对称点 ，连结 ，与 交于点P，则 ，此时 的值最小，
且 ，即 的最小值为 的长，
利用勾股定理求出的长即可；
（3）构造一个长方形 ，使两边长 ， ，点P为 边上一动点，设 ，则
，作点D关于 的对称点 ，连结 ，与 交于点P，则 ，此时
的值最小，且 ，即 的最小值为 的长，利用（1）的方法进行求解即
可．
【详解】解：（1）根据题意得： ；
故答案为： ； ；
（2）作点D关于 的对称点 ，连结 ，与 交于点P，则 ，
此时 的值最小，且 ，
即 的最小值为 的长，在 中，由勾股定理得： ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 的最小值为 ；
（3）如图，构造一个长方形 ，使两边长 ， ，点P为 边上一动点，设 ，则
，作点D关于 的对称点 ，连结 ，与 交于点P，则 ，
此时 的值最小，且 ，
即 的最小值为 的长，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ 的最小值为7，
∴ 的最小值为7．
24．（辽宁省大连市高新园区名校联盟2024--2025学年4月八年级下学期数学月考试卷）在进行二次根式
的化简与运算时，如遇到 ， ， 这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号．
，①
，②．③
以上化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．④
(1)请参照③和④分别用两种不同的方法化简 ．
(2)计算： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．
（1）按照分母有理化和应用平方差公式分解分子两种方法，对原式进行化简即可；
（2）分母有理化，按照运算法则，进行二次根式的混合运算即可．
【详解】（1）解：；
．
（2）解：
．
25．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在长方形 中， ．(1)如图①，将长方形 沿 翻折，使点 与点 重合，点 落在点 处，求 的长；
(2)如图②，将 沿 翻折，若 交 于点 ，求 的长；
(3)如图③， 为 边上的一点，将 沿 翻折得到 分别交 边于点 ，且
，求 的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】 设 ，在 中，根据 ，构建方程即可解决问题；
首先证明 ，设 ，在 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
设 ，首先证明 ，推出 ， ，由 ，推出
， ， ，在 中，可得 ，解方程
即可解决问题；
【详解】（1）解：根据折叠的性质，得 ．
因为四边形 是长方形，
所以 ．
设 ，则 ，
在Rt 中，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
（2）因为四边形 是长方形，
所以 ．
根据折叠的性质，得 ．
又因为 ，
所以 ．因为 交 于点 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
设 ，则 ．
在Rt 中，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
（3）因为四边形 是长方形，
所以 ．
根据折叠的性质，得 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
又因为 ，
设 ，则 ，
所以 ．
在Rt 中， ，解得 ，
所以 ．
【点睛】此题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立
方程是解题的关键．
