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第一次月考押题培优02卷（考试范围1.1-2.7）
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判
断即可．
【详解】
解：A． =2 ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
B． = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
C． 被开方数含分母，不是最简二次根式， 故选项不符合题意；
D． 是最简二次根式，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的定义．
2．(本题3分)下列各数3.14159， ，0.131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1），6%，
， ， ， 中，无理数有（ ）个.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据无限不循环小数是无理数即可判断无理数的个数．【详解】
解：3.14159是有限小数，属于有理数；
中，带根号的开不尽方，它是无理数；
0.131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1）是无限不循环小数，它是无理数；
6% 是分数，属于有理数；
中带根号的开不尽方，它是无理数；
是分数，属于有理数；
中， 是无限不循环小数，它属于无理数；
，它是整数，属于有理数．
综上所述，无理数有： ，0.131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1）， ， ，共
4个．
故选：B．
【点睛】
本题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义．
3．(本题3分)下列条件：① ；② ， ， ；③
；④ ．其中能判定 是直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是 ；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方
和是否等于最长边的平方即可．
【详解】
① ， ， 能判定 是直角三角形；
② ，∴ ， 能判定 是直角三角形；
③ ， ， ， 能判定 是直角三角形；④ ， ， ， 能判定 是直角三角形；
综上所述，能判定 是直角三角形的有4个．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，那么这个
三角形就是直角三角形是解答此题的关键．也考查了三角形内角和定理．
4．(本题3分)估计 的运算结果介于（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】C
【解析】
【分析】
由二次根式的性质，二次根式的乘法、加法进行计算，再进无理数的估算即可．
【详解】
解：
=
= ；
∵ ，
∴ ；
故选：C
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法、加法运算法则，以及无理数的估算，解题的关键
是掌握运算法则进行计算．
5．(本题3分)已知 ，则 的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2022 D．－2022
【答案】A
【解析】【分析】
先根据绝对值和算术平方根的非负性可得一个关于 的二元一次方程组，解方程组可得 的值，
再代入计算即可得．
【详解】
解： ， ， ，
，
解得 ，
则 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、二元一次方程组的应用、代数式求值，熟练掌握绝对
值和算术平方根的非负性是解题关键．
6．(本题3分)若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件，得出不等式求出答案．
【详解】
解：若代数式 有意义，
则x≥0且x-1≠0，
解得：x≥0且x≠1．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的定义、分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
7．(本题3分)下列说法正确的是（ ）A．﹣22的算术平方根是﹣2，即 ＝﹣2
B．±2是4的平方根，即 ＝±2
C．± 表示3的平方根
D．8的立方根是2，即 ＝2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题．
【详解】
解：A．由﹣22＝﹣4＜0，得﹣22没有算术平方根，那么A错误，故A不符合题意．
B．根据平方根的定义，（±2）2＝4，得 ，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据平方根的定义， 表示3的平方根，那么C正确，故C符合题意．
D．根据立方根的定义，23＝8，得 ，那么D错误，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解
决本题的关键．
8．(本题3分) 的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．若满足 ，则下面结
论成立的是（ ）
A． B． C． D． 不是直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得 ，然后利用勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，∴△ABC是直角三角形，
∴∠B＝90°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是
解题的关键．
9．(本题3分)如图，在矩形 中， 在数轴上，若以点A为圆心，对角线
的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用矩形的性质得AD=BC=1，再由勾股定理求出AC的长，最后根据AM=AC，可得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=1，∠ABC=90°
在Rt ABC中，AC= ，
△
∴AM=AC= ，
∴点M表示的数是 ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理求出AC的长是解题的
关键．
10．(本题3分)如图，一棵大树在暴风雨中被台风刮倒，在离地面3米处折断，测得树顶端距离树
根4米，已知大树垂直地面，则大树高约多少米？（ ）A．5米 B．8米 C．9米 D．25
【答案】B
【解析】
【分析】
设大树高约有 米，再由勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：设大树高约有 米，由勾股定理得：
，
解得： ，负值舍去，
答：大树高约8米．
故选：B．
【点睛】
此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．解：设大树高约有x
米，由勾股定理得：
11．(本题3分)如图，将一个边长分别为4、8的矩形纸片 折叠，使点 与点 重合（
， ），则折痕 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】先过点F作FM⊥BC于M．利用勾股定理可求出AE，再利用翻折变换的知识，可得到AE=CE，
∠AEF=∠CEF，再利用平行线可得∠AEF=∠AFE，故有AE=AF．求出EM，再次使用勾股定理可
求出EF的长．
【详解】
解：过点F作FM⊥BC于GM，
∵EF是折痕
∴AE=CE，∠AEF=∠CEF．
又∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠FEM，
根据翻折，∠AEF=∠FEM，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
在Rt ABE中，设BE=x，AB=4，AE=CE=8-x．
x2+42=△（8-x）2
解得x=3．
在Rt FEM中，EM=BM-BE=AF-BE=AE-BE=5-3=2，FM=4，
△
∴EF= ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了折叠的知识，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和运用，掌握折叠的性质以及进
行的性质是解题的关键．
12．(本题3分)如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝8cm，BC＝4cm，BF＝6cm，点M
在棱AB上，且AM＝2cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行
到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）A．10cm B．4 cm C．6 cm D．2 cm
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面展开图有三种情况需要比较，画出图形利用勾股定理求出MN的长，然后作比较即可．
【详解】
解：如图1中，MN＝ （cm），
如图2中，MN＝ （cm），
∵10＜2
∴一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为10cm，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出
是解题关键.
二、填空题(共12分)13．(本题3分)计算： ________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先开平方和开立方，再计算减法．
【详解】
解： ，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握开平方和开立方的运算法则是解题的关键．
14．(本题3分)已知一直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，则第三边上的高为________.
【答案】4.8cm
【解析】
【分析】
先由勾股定理求出斜边的长，再用面积法求解.
【详解】
解：如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，CD⊥AB，
△
则 （cm），
由 ，
得 ，
解得CD=4.8(cm).
故答案为4.8cm.【点睛】
本题考查了勾股定理和用直角三角形的面积求斜边上的高的知识，属于基础题型.
15．(本题3分)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
三角形．若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是_____．
【答案】18
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式，运用勾股定理得出6个小正方形的面积和与最大正方形面积的数量关系
即可得出答案．
【详解】
解：根据勾股定理得到：A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F
的面积的和是M的面积．
即A、B、C、D、E、F的面积之和为2个M的面积．
∵M的面积是32＝9，
∴A、B、C、D、E、F的面积之和为9×2＝18．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了勾股定理，关键就是运用勾股定理和正方形的面积公式推导出6个小正方形的面积和
等于最大正方形的面积的2倍．
16．(本题3分)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，
M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是______．
【答案】10【解析】
【分析】
作A点关于BC的对称点A，连接AM，作E点关于DC的对称点E，连接EN，因此
1 1 1 1
，所以最小值为 ，用勾股定理算出即可．
【详解】
解：如图，作A点关于BC的对称点A，连接AM，作E点关于DC的对称点E，连接EN，
1 1 1 1
∵∠B＝∠D＝90°，点A和点A 关于BC对称，点E和点E 关于DC对称，
1 1
∴ ， ，
∴ ，
∴AM＋MN＋EN的最小值是 ，
∵AD＝AB＝4，E是AD中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵∠BAD＝90°，
∴ ，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了线段和的最值问题，勾股定理、轴对称性质，作出辅助线是本题的关键．
三、解答题(共72分)
17．(本题8分)计算：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)2
(2)
【解析】
【分析】
（1）原式分别化简 ， ， ，然后再合并即可得到答案；
（2）原式分别计算乘方，化简绝对值，化简立方根和二次根式后，再进行加减运算即可．
（1） = =2
（2） = = =
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算以及运用二次根式的性质进行化简，熟练掌握二次根式的性质是
解答本题的关键．
18．(本题8分)求 的值
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据先移项、把系数化为1、最后开平方，这几个步骤计算；
（2）根据先移项、再开立方，最后移项合并同类项，这几个步骤计算．
(1)
解：4x2-121=0，
4x2=121，x2= ，
x= ；
(2)
解： ，
(x-3)3=-27，
x-3=-3，
x=0．
【点睛】
本题考查利用平方根、立方根解方程，若x2=a，则x叫a有平方根，表示为：x= ，若x3=a，
则x叫a的立方根，表示为x= ，熟练掌握平方根与立方根的概念是解题的关键．
19．(本题10分)如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖
直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC．
【答案】此时梯子底端离墙的距离为1.4m．
【解析】
【分析】
利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：∵△ABC是直角三角形，
∴
答：此时梯子底端离墙的距离为1.4m．【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形两直角边分别为a，
b，斜边为c，那么a2+b2=c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
20．(本题10分)如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．
(1)这个魔方的棱长为 cm；
(2)图甲中间是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；
(3)把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为
．
【答案】(1)4
(2) cm
(3)
【解析】
【分析】
（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方，再利用立方根的含义求解即可；
（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度，利用勾股定理求解即可；
（3）由 把A往左边平移 个单位即可得到D点表示的数．
(1)
解：设魔方的棱长为a cm，
根据题意得 a3=64
∴a=4
故答案为4．
(2)
设小正方体的棱长为b cm，
根据题意得 8b3=64 ∴b=2∴所以根据勾股定理得 AD2=22+22
∴AD= ，
答：这个正方形的边长是 cm．
(3)
由（2）知，AD= ，
∵点A对应的数是1
∴把A往左边平移 个单位长度可得点D对应的数是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理．二次根式的化简，正方体的体积=
棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上的点的左右移动后对应的数的表示．
21．(本题12分)如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
(1)BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ；
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)2 ；5；等腰直角三角形
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接BD，根据网格图，结合勾股定理，即可求出BC，AD的长，又因为 ，
得到△ABD为直角三角形；又BD=AD，所以△ABD为等腰直角三角形；（2）根据勾股定理的逆定理，可以证明△ABD为直角三角形；△BCD为直角三角形；所以四边
形ABCD的面积等于△ABD加上△BCD的面积，即可求解；
（1）解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得：
， ，∴ ， ，∴BD=
， ，∴ ， ∴ ，∴△ABD为直
角三角形；又因为：BD=AD=5，∴△ABD为等腰直角三角形，故答案为：2 ；5；等腰直角三
角形．
（2）由网格图，结合勾股定理可知： ， ，∴
，所以△BCD为直角三角形，∴四边形ABCD的面积= ABD的面积+ BCD的
△ △
面积，= ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长
的平方之和等于斜边长的平方，是解答此题的关键．
22．(本题12分)先阅读下列解答过程：
形如 的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使 ， ，即
， ，那么便有 ．
例如：化简 ．解：首先把 化为 ，这里 ， ，
由于 ， ，即 ， ，
所以 ．
请根据材料解答下列问题：
(1)填空： ______；
(2)化简： （请写出计算过程）；
(3)化简： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）化简 时，根据范例确定a，b值为3和1；
（2）将 转化为： ，即可求解；
（3）先把各项中分母的无理式变成 的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解．
（1）解：在 中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3即 ， ∴
= ；故答案为： ；
（2）原式 ．
（3）原式．
【点睛】
本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，分母有理化．二次根式根号内含有根号的式子化
简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式
的特点的式子．
23．(本题12分)阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：
【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c=
m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形
三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数．
关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数
（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、
古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个
表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．
【问题解答】
（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；
（2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾
股数．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如 ， 等
【解析】
【分析】
（1）把 直接代入 ， ， 即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论；
（3）根据勾股数解答即可．
【详解】
（1）把 代入 ， ， 得：
， ， ，
这组勾股数为 ；
（2） 表示大于1的整数，
， ， 都是正整数，且 是最大边，
，
是一组勾股数；
（3） ， 等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出．
【点睛】
本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键．
