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第 7 课时用二元一次方程组确定一次函数解析式
基础篇
一、单选题
1．一次函数 的图象经过点 ，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数表达式
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意可得：该一次函数图象还经过（3，6），然后将两点的坐标代入即可求出结论．
【详解】
解：∵一次函数 的图象经过点 ，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，
∴该一次函数图象还经过（3，6），
将点 和（3，6）分别代入 中，得
解得：
∴此函数表达式是
故选C．
【点睛】
此题考查的是求一次函数解析式，掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解题关键．
2．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数表达式
是（ ）
A．y＝x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣3 D．y＝4x﹣4
【答案】C【分析】
根据题意得出一次函数 的图象也经过点(3，6)，进而根据待定系数法即可求得．
【详解】
解：由题意可知一次函数y＝kx+b的图象也经过点（3，6），
∴ ，
解得 ，
∴ 此函数表达式是y＝3x﹣3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
3．以下四点：（1，2），（2，3），（0，1），（﹣2，3）在直线y=2x+1上的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
试题分析：把四个点的坐标分别代入直线解析式，看其是否满足解析式，可判断其是否在直线上．
解：在y=2x+1中，
当x=1时，代入得y=3，所以点（1，2）不在直线上，
当x=2时，代入得y=5，所以点（2，3）不在直线上，
当x=0时，代入得y=1，所以点（0，1）在直线上，
当x=﹣2时，代入得y=﹣4+3=﹣1，所以点（﹣2，3）不在直线上，
综上可知在直线y=2x+1上的点只有一个，
故选A．
4．如图，直线 与 y 轴相交于点 A，与 x 轴相交于点 B，点 C 为 AB 的中点，则直线
OC 的解析式为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由直线解析式求出A、B两点坐标，根据两点中点坐标公式可求出C点坐标，然后再利用待定系数法即可
求出OC直线解析式．
【详解】
解：∵直线 与 y 轴相交于点 A，与 x 轴相交于点 B，
令x=0，解得y=3，即A（0,3）；令y=0，解得x=5，即B（5,0）
又C为AB的中点，
∴C（ ， ）
设OC解析式为y=kx，把点C坐标代入解析式得： k=
解得k= ，
∴OC：y= x，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了求函数图像与坐标轴交点坐标，两点中点坐标，待定系数法求函数解析式，解题关键在于
求出C点坐标，利用待定系数法求OC解析式．
5．已知点A(－2，1)，B(2，3)，若要在x轴上找一点P，使AP＋BP最短，由此得点P的坐标为（ ）A．(－4，0) B．(－ ，0) C．(－1，0) D．(1，0)
【答案】C
【分析】
作点A关于x轴的对称点A'，则A'坐标为（-2,-1）连接B A'，交x轴于点P，此时AP＋BP最短．求出直线
BA'解析式，进而求出点P坐标即可．
【详解】
解：如图，作点A关于x轴的对称点A'，则A'坐标为（-2,-1），连接B A'，交x轴于点P，此时AP＋BP最
短．
设直线BA'解析式为y=kx+b，
∵点B、A'坐标分别为（2,3）（-2,-1），
∴ ，
解得 ，
∴直线BA'解析式为y=x+1，
把y=0代入得x=-1，
∴点P坐标为(－1，0)．
故选：C
【点睛】
本题考查了将军饮马问题，待定系数法等知识，作出点A的对称点A'，求出直线BA'解析式是解题关键．
6．若正比例函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接把点（3，-9）代入正比例函数y=kx求出k的值即可．
【详解】
解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（3，-9），
∴-9=3k，解得k=-3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是
解答此题的关键．
7．如果一次函数的图象与直线 平行且与直线y=x-2在x轴上相交，则此函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设所求的直线的解析式为 ，先由所求的直线与 平行求出k的值，再由直线 与直
线y=x－2在x轴上相交求出b的值，进而可得答案．
【详解】
解：设所求的直线的解析式为 ，
∵直线 与直线 平行，
∴ ，∵直线y=x－2与x轴的交点坐标为（2，0），直线 与直线y=x－2在x轴上相交，
∴ ，解得：b=﹣3；
∴此函数的解析式为 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了直线与坐标轴的交点以及利用待定系数法求一次函数的解析式，属于常见题型，正确理解题意、
熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键．
8．若点 和点 在直线 上，则m的值为 （ ）
A．8 B．4 C．－4 D．不是唯一的
【答案】C
【分析】
把点A的坐标代入直线解析式求出n的值，再把点B的坐标代入解析式即可求出m的值．
【详解】
解：∵点A(1,2)在直线y=-2x+n上，
∴-2×1+n=2，
解得n=4，
∴直线的解析式为y=-2x+4，
∵点B(4,m)在直线上，
∴-2×4+4=m，
解得：m=-4．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，已知点在直线上，将点的坐标代入解析式是解决此题的关
键．
9．已知点 ， ，点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点D坐标，进而可求出CD的长．
【详解】
解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（﹣1，0）、B（0，﹣3）代入，
得： ，解得： ，
∴直线AB的解析式为y=﹣3x﹣3，
∵点C（2，﹣2）且CD∥x轴交直线AB于点D，
∴当y=﹣2时，由﹣2=﹣3x﹣3得：x= ，
∴D（ ，﹣2），
∴CD=2﹣（ ）= ，
故选：C．
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形，熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法，求
出点D坐标是解答的关键．
10．在平面直角坐标系上有一动点P（x，y），已知点P到x轴、y轴的距离之和等于5，则点P所在的直
线解析式为（ ）
A．y＝﹣x+5 B．y＝±x+5 C．y＝±x﹣5 D．y＝±x±5
【答案】D
【分析】
P（x，y）到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x|，根据题意列出|x|＋|y|＝5，整理即可到答案．【详解】
∵点P（x，y），且点P到x轴、y轴的距离之和等于5，
∴|x|+|y|＝5，
当x＞0，y＞0时，x+y＝5，故，y＝﹣x+5，
当x＞0，y＜0时，x﹣y＝5，故，y＝x﹣5，
当x＜0，y＞0时，﹣x+y＝5，故，y＝x+5，
当x＜0，y＜0时，﹣x﹣y＝5，故，y＝﹣x﹣5，
综上所述，p所在直线的解析式为：y＝±x±5．
故选：D
【点睛】
本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，找到点p横纵坐标的绝对值之和为5，是解决本题的关键．
11．如图，一次函数 的图像与 轴、 轴分别交于 、 两点，以 为腰作等腰直角三
角形 ，则直线 的解析式是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】
先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出
△ABO≌△CAE，得出C点坐标，用待定系数法即可求出直线BC的解析式．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：∵一次函数y= x+2中，
令x=0得：y=2；令y=0，解得x=5，
∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（5，0）．若∠BAC=90°，如图1，作CE⊥x轴于点E，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAE=90°，
又∵∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠BAO．
在△ABO与△CAE中，
，
∴△ABO≌△CAE（AAS），
∴OB=AE=2，OA=CE=5，
∴OE=OA+AE=2+5=7．
则C的坐标是（7，5）．
设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：
解得 ，
∴直线BC的解析式是y= x+2．
若∠CBA=90°，如图2，即BC⊥AB，同理可得，直线BC解析式为：y= x+2；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是一次函数问题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、等腰
直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
12．在平面直角坐标系中，已知点 ，点P在直线 上，当 有最小值时，
点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出直线AB的解析式，可得当点P在AB上时，PA+PB有最小值，即可得解．
【详解】
解：设AB的解析式为y=kx+b，
把（-1，-2），（4，2）代入，
则 ，解得： ，
∴AB的解析式为： ，当点P在AB上，PA+PB有最小值，
即当x=2时，y= ，
∴P（2， ），
故选D．
【点睛】
本题考查了一次函数的解析式，两点之间线段最短，解题的关键是求出AB的解析式．
13．已知正比例函数 的图象过点 ，把正比例函数 的图象平移，使它过点
，则平移后的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点 求出一次函数解析式，即可求解．
【详解】
解：把点 代入 得
解得 ，
∴正比例函数解析式为 ，
设正比例函数平移后函数解析式为 ，把点 代入 得 ，
∴ ，
∴平移后函数解析式为 ，
故函数图象大致 ．
故选：D
【点睛】
本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后一次函数
解析式是解题关键．
14．若点 ， 在一次函数 的图像上，则代数式 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
先把点A（ ， ）代入一次函数 求出 的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】
∵点A（ ， ）在一次函数 上，
∴ ，即 ，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了代数式的求值，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点坐标一定适合此函数
的解析式是解答此题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，7），点B的坐标为（5，0），点C是y轴上一个动
点，且点A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，根据轴对称最短路径问题得到此时 最小，
继而解得直线 的解析式 ，最后求直线与 轴的交点即可解题．
【详解】
解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，
当△ABC的周长最小时，即 最小，
设直线 的解析式为： ，代入 的坐标得，解得
当 时，解得
故选：B．
【点睛】
本题考查待定系数法解一次函数解析式、轴对称求最短路径问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相
关知识是解题关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数y＝x图象上的一点，点A的坐标为（0，1），点B的
坐标为（4，1），当PB－PA取最大值时，点P的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（－0.5，－0.5） C．（ ＋3， －3） D．（－2，－2）
【答案】B
【分析】
根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案．
【详解】
解：作 关于直线 对称点 ，
，
∵A（0，1），
的坐标为（1，0）；
连接 并延长，交直线 于 点，此时 ，取得最大值，设直线 的解析式为 ，
把B（4，1），C（1，0）代入得
，解得 ，
直线 的方程为 ，
解 ，得 ；
点的坐标为 ， ；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称 最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，求
得 的位置是解题的关键．
17．一次函数 的图象经过原点，则 的值为________．
【答案】2
【分析】
把原点坐标代入函数解析式可求得k的值．
【详解】
∵一次函数 y=(k+2)x+k2−4 的图象经过原点，
∴ k2−4= 0，解得： k=2 或 k=−2 ，且 k+2≠0 ，所以 k=2 ．故答案为： k=2 ．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．注
意一次项系数不为零．
18．已知 ，将直线 绕点B顺时针旋转 后的直线表达式是________．
【答案】
【分析】
分别过A，C作y轴垂线，过点B过x轴垂线，交点分别为D，E，由旋转可知：∠ABC=90°，证明
△ABD≌△BCE，得到AD=BE=3，BD=CE=4，可得点C坐标，利用待定系数法求解即可．
【详解】
解：∵A（0，4），B（-3，0），
∴OA=4，OB=3，
由旋转可知：∠ABC=90°，
分别过A，C作y轴垂线，过点B过x轴垂线，交点分别为D，E，
则∠ABD+∠CBE=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，又∠D=∠E，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD=BE=3，BD=CE=4，
则点C（1，-3），设直线BC的表达式为y=kx+b，
则 ，解得： ，
∴直线BC的表达式为 ，
故答案为： ．【点睛】
本题考查了旋转的性质，一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造
全等三角形．
提升篇
19．如图，直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ．
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）平移直线使其与 轴相交与点 ，且 ，求平移后直线的解析式．
【答案】（1） ； ；（2） 或 ．
【分析】
（1）令令 ，令 ，分别求出对应的y和x的值，即可；
（2）先求出直线平移后的 或 ，再根据待定系数法，即可求解．
【详解】（1）令 ，则 ，则 ，令 ，则 ，则 ．
（2）如图，由题意得， ，则 或 ，
设平移后的直线为 ，将 代入，得 ，
；
将 代入，得 ，
．
综上所述：平移后直线的解析式为 或 ．
【点睛】
本题主要考查一次函数与坐标轴的交点以及图像的平移，掌握待定系数法，是解题的关键．
20．已知：一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，6），N（﹣2，2）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P（a﹣5，3a）在该函数图像上，求点P的坐标．
【答案】（1）y=2x+6；（2）P（-9，-12）
【分析】
（1）由一次函数y=kx+b的图象经过M（0，6），N（-2，2），得b=6，-2k+b=2，故k=2，b=6．那么，函
数解析式为y=2x+6．
（2）点P（a-5，3a）在该函数图象上，得2（a-5）+6=3a，得a=-4．那么，P（-9，-12）．
【详解】解：（1）由题意得： ，
解得： ，
∴该一次函数的解析式为y=2x+6．
（2）∵点P（a-5，3a）在y=2x+6的函数图象上，
∴2（a-5）+6=3a．
∴a=-4．
∴a-5=-9，3a=-12．
∴P（-9，-12）．
【点睛】
本题主要考查用待定系数法求函数解析式，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣2x+a与y轴交于点C （0，6），与x轴交于点B．
（1）求这条直线的解析式；
（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．
①求n的值及直线AD的解析式；
②点M是直线y=﹣2x+a上的一点（不与点B重合），且点M的横坐标为m，求△ABM的面积S与m之间
的关系式．
【答案】（1）y=-2x+6；（2）①n=8，y=4x+12；②当m＜3时， S=-6m+18；当m＞3时，S=6m-18
【分析】
（1）将点C（0，6）代入y=-2x+a求得a的值即可；
（2）①将点D坐标代入直线BD解析式可得n的值，再利用待定系数法可求得直线AD解析式；
②设M（m， 2m+6），根据面积公式可得函数关系式．
【详解】解：（1）∵直线y= 2x+a与y轴交于点C（0，6），
∴a=6，
∴y= 2x+6，
(2)①∵点D（ 1，n）在y= 2x+6上，
∴n=8，
设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0)
解得：k=4，b=12 ；
∴直线AD的解析式为y=4x+12；
②令y=0，则 2x+6=0，解得：x=3，
∴B（3，0），
∴AB=6，
∵点M在直线y=-2x+6上，设M（m，-2m+6），
∴S= ×6× = ，
∴①当m＜3时，S=3（-2m+6），即S=-6m+18；
②当m＞3时，S= ×6×[-（-2m+6）]，即S=6m-18；
【点睛】
本题主要考查待定系数法和函数解析式、三角形的面积问题及直线相交的问题，掌握两直线的交点坐标满
足每条直线的解析式是解题的关键．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与x轴交于A点 （2，0）与 轴交于点B（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点M（ 1，y ），N（3，y ）在直线AB上，比较y 与y 的大小.
1 2 1 2
（3）若x轴上有一点C，且S =2，求点C的坐标
△ABC
【答案】（1） ；（2）y ＞y ；（3） 或 ．
1 2
【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A（2，0），B（0，1）代入，即可求解析式；
（2）由k＝﹣ ＜0，可知y值随x值的增大而减小，只要比较﹣1与3的大小即可；
（3）设点C（x，0），则AC＝|2﹣x|，由面积可得 ×|2﹣x|×1＝2，求出x＝﹣2或x＝6即可求C点坐标．
【详解】
（1）解：设直线AB的解析式为
∵A（2，0）B（0,1）
∴
解得：k= ，b=12
∴直线AB的解析式为
（2）∵y＝﹣ x+1中k＝﹣ ＜0，
∴y值随x值的增大而减小，
∵﹣1＜3，
∴y ＞y ；
1 2
（3）∵x轴上有一点C，
设点C（x，0），
∴AC＝|2﹣x|，
∵S ＝2，
△ABC
∴ ×|2﹣x|×1＝2，
∴x＝﹣2或x＝6，
∴C（﹣2，0）或C（6，0）．【点睛】
本题考查一次函数的图象及性质，（3）问中，要注意AC＝|2﹣x|，从而确定C点有两个，切勿丢解．
23．如图，点M、N、P的坐标分别为 、 、 ．
（1）求直线 的函数关系式；
（2）已知直线 上一点Q使得 ，求点Q的坐标；
（3）已知点G为x轴上的一个动点，且点G在点M的右侧，连接 ，当 时，求直线
的表达式．
【答案】（1） ；（2）点Q的坐标为 或 ；（3） ．
【分析】
（1）设直线 的函数关系式为： ，将点 ， 代入利用待定系数法解题
即可；
（2）设点 ，连接 ，由三角形的面积公式结合绝对值的几何意义解题
（3）过点M作 交 于点D，作 交 于点K，过点D作 轴交x轴于点
H，垂足为H，根据题意，证明 ，由全等三角形对应边相等的性质解得 ，
继而证明 ，得到 ， ，进一步解得点 的坐标，将点、 代入直线 的表达式 ，利用待定系数法解题即可．
【详解】
解：（1）设直线 的函数关系式为： ，
将点 ， 代入可得： ，
解得：
∴直线 的函数关系式为： ；
（2）设点 ，如图1，连接 ，
则 ，
解得 ，
故点Q的坐标为 或 ；
（3）当 ，如图2，过点M作 交 于点D，作 交 于点K，过
点D作 轴交x轴于点H，垂足为H，∵
∴ ，
在 与 中，
∴
∴
∵ ，
，
∴ ，
在 与 中，
，
，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
设直线 的表达式为 ，将点 、 代入得，
，
解得 ，
故直线 的表达式为 ．
【点睛】
本题考查一次函数综合题，涉及全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
24．为进一步落实精准扶贫工作．某农科所李教授选择乘坐客车前往目的地．经了解，长途汽车客运站规
定乘客可以免费携带一定质量的行李，若携带行李质量超出免费的范围．乘客需自行购买行李票，行李票
y（元）与行李质量x（千克）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围．
（2）当李教授携带72千克行李时，行李费需要多少钱？【答案】（1） ；（2）7元．
【分析】
（1）由图象首先设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y＝kx＋b，再把x＝60，y
＝5和x＝90，y＝10代入y＝kx＋b中，求出k，b的值，得出解析式，求出当y=0时的x的值，然后进行讨
论即可；
（2）把x＝72代入（1）中解析式即可．
【详解】
解：（1）设直线AB的解析式为 ，
由题意得： ，
解得 ， ，
∴
当y=0时x=30
∴当 时， ；
当 时， ；∴该一次函数关系式为： ，
（2）当 时， （元），
∴当李教授携带72千克行李时，行李费需要7元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求一次函数．
