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第七章 证明（复习讲义）
1. 了解定义、命题（含真假命题）、公理、定理的意义，体会“定义-命题-公理/定理”之间的逻辑联系，
明确证明的基础要素。
2. 能用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方法判定两直线平行；能利用“垂直于同一直线”“平
行线传递性”识别平行线。
3. 理解平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），并能结合平行线的判定与性质，解决
线线平行相关的推理问题。
4. 建立“判定（由角定线）-性质（由线定角）”的知识关联，能区分证明过程中公理、定理的应用场景，
提升逻辑推理的条理性。清单01 定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推
出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那
么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，
不能保证结论正确，即结论不成立.
清单02 公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，
“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定
理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
清单03 平行线的判定
1）判定方法一：同位角相等，两直线平行.
2）判定方法二：内错角相等，两直线平行.
3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.
4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
5）平行线的传递性：若l∥l，l∥l，则l∥l （用共面知识可证明，此处不证）
1 3 2 3 1 2.
清单04 平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等;2）两直线平行，内错角相等;
3）两直线平行，同旁内角互补.
注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系.
题型一 判断是否是命题
【例1】（24-25七年级下·广西钦州·月考）下列语句中不是命题的是（ ）
A．垂线段最短 B．连接A，B两点
C．等角的补角相等 D．在同一个平面内，两直线不平行就相交
【答案】B
【分析】该题考查了命题，命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．逐一分析选项是否为陈述句且
能判断真假．
【详解】解：A．“垂线段最短”是陈述句，属于命题，不符合题意．
B．“连接A，B两点”是祈使句，表示指令而非陈述事实，无法判断真假，故不是命题，符合题意．
C．“等角的补角相等”是陈述句，逻辑上为真，属于命题，不符合题意．
D．“在同一个平面内，两直线不平行就相交”是陈述句，属于命题，不符合题意．
故选：B．
【变式1-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列语句是命题的是（ ）
A．若 ，求 的值 B．两直线相交有几个交点
C．画一个角等于已知角 D．若 ，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是
否为判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可．
【详解】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意；
B、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意；
C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意；
D、符合命题的定义，本选项符合题意；
故选：D．
【变式1-2】（24-25七年级下·四川广安·月考）下列语句中，是命题的是（ ）①若 ， ，则 ；
②同位角相等吗？
③画线段 ；
④地球围着太阳公转；
⑤直角都相等
A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤
【答案】A
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义，难度不大．根据命题的概念
判断即可．
【详解】解：①若 ， ，则 ，是命题，符合题意；
②同位角相等吗？，是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意；
③画线段 ，没有作出判断，不是命题，不符合题意；
④地球围着太阳公转，是命题，符合题意；
⑤直角都相等，是命题，符合题意．
故选：A．
题型二 判断命题的真假
【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．判断某一件事情的句子叫作命题
C．如果两个三角形有两边及其一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等
D．三角形具有稳定性
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、命题的定义以及三角形的稳定性．
根据全等三角形的判定和性质、命题的定义以及三角形的稳定性逐一分析各选项的正确性．
【详解】解：A：全等三角形的对应角相等，原命题为真命题；
B：命题是能够判断真假的陈述句，原命题为真命题；
C：两边及其中一边的对角对应相等可能存在 的情况，不能保证全等，原命题为假命题；
D：三角形具有稳定性，原命题为真命题；
故选： C．
【变式2-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果两个角是同旁内角，那么这两个角一定互补B．两个互补的角一定是邻补角
C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】此题主要考查命题真假的判断，解题的关键是熟知平行线的性质、邻补角定义、点到直线的距离
的概念、垂直的定义．根据平行线的性质、邻补角定义、点到直线的距离的概念、垂直的定义逐项判断即
可．
【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故A不符合题意；
B、两个互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题，故B不符合题意；
C、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，原命题是假命题，故C不符合题
意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此命题为真命题，故D符合题意．
故选：D．
【变式2-2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）下列命题中，是真命题的有（ ）
①如果两个数的和是有理数，那么它们可能是无理数
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③一个数的平方根等于它本身，这个数一定是0
④一次函数的图像经过原点，这个函数一定是正比例函数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假
关键是要熟悉课本中的性质定理．根据实数的性质、垂线的性质、平方根的概念、正比例函数的性质判断
即可．
【详解】解：①如果两个数的和是有理数，那么它们可能是无理数，选项说法正确，是真命题，例如：
是有理数， 和 是无理数，故符合题意；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法错误，是假命题，故不符合题意；
③一个数的平方根等于它本身，这个数一定是0，选项说法正确，是真命题，故符合题意；
④一次函数的图像经过原点，这个函数一定是正比例函数，选项说法正确，是真命题，故符合题意；
则是真命题的有①③④，共3个．
故选：C．题型三 举反例说明命题是假命题
【例3】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）对于命题“如果 ，那么 ”，能说明它是假
命题的是（ ）
A． ， B． ，
C． D． ，
【答案】C
【分析】本题考查判断命题的真假，角度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．要说明命题是假命题，
需找到满足条件但结论不成立的反例．
【详解】解：A、 ，其和为90°，但 ，符合原结论，不能说明命题是假命题；
B、 ， ，和为 ，不符合命题的条件，不能作为反例说明命题是假命题；
C、 ，和为 且 ，能说明命题是假命题；
D、 ， ，和为 ，不符合命题的条件，不能作为反例说明命题是假命题．
故选：C．
【变式3-1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若 ，则 ”是假
命题的反例是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查假命题的反例判断，关键是确保前提成立但结论不成立．
要证明命题“若 ，则 ”是假命题，需找反例，即x满足 但 ．
【详解】解：A、 时， ，且 ，不符合反例；
B、 时， ，前提不成立，不符合反例；
C、 时， ，且 ，不符合反例；
D、 时， ，但 ，即 ，结论不成立，符合反例，故选：D．
【变式3-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）举反例说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，下列
所举的反例不正确的是（ ）
A．设这个角是 ，它的补角是 ，但
B．设这个角是 ，它的补角是 ，但
C．设这个角是 ，它的补角是 ，但
D．设这个角是 ，它的补角是 ，但
【答案】C
【分析】本题主要考查了举反例判断命题是假命题，判断哪个选项不能作为反例证明命题“一个角的补角
大于这个角”为假，需找出补角大于角的情况．根据补角性质，当角 时，补角 角．
【详解】 一个角 的补角为 ，命题“补角大于角”即 ，解得： ，
当 时，补角 角，命题不成立，此类情况可作为反例，
A选项： ，补角 ，补角 角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故A选项不
符合题意；
B选项： ，补角 ，补角 角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故B选项不
符合题意；
C选项： ，补角 ，补角 角，命题成立，不能说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，
故C选项符合题意；
D选项： ，补角 ，补角 角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故D选项不
符合题意．
故选：C．
题型四 写出命题的题设与结论
【例4】（25-26八年级上·山西忻州·期中）把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那
么…”的形式： ．
【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等
【分析】本题考查命题与定理．把题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面即可．
【详解】解：命题“等边三角形三个内角都相等”可改写成“如果一个三角形是等边三角形，那么它的三
个内角都相等”；
故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等．
【变式4-1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是 ．
【答案】如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形
【分析】本题考查命题的改写，把命题的条件写成如果……的形式，把命题的结论写成那么……的形式即
可．
【详解】解：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形；
故答案为：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形．
【变式4-2】（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如
果……那么……”的形式是
【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行
【分析】本题考查了命题与定理，把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面．
【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……那么……”的形式为：如果两条
直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行，
故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行．
题型五 判断使两直线是否平行
【例5】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在下列条件中，不能判断直线 的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：
①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于
同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．根据平行线的判定方
法逐项分析即可．
【详解】A．∵ 不能判断直线 ；
B．∵ 与 是一对同位角，
∴由 能判断直线 ；
C．∵ 与 是一对同旁内角，∴由 能判断直线 ；
D．∵ 与 是一对内错角，
∴由 能判断直线 ．
故选：A．
【变式5-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）将一块含有 、 、 的三角尺如图放置，点
A、B分别在直线m、n上，下列条件中：① ，② ，③ ，④
，⑤ ， ，能判断 的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的
判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到 ，从而可以解答本题．
【详解】解： ， ，
不一定等于 ，
和n不一定平行，故①不符合题意；
， ，
不一定等于 ，
和n不一定平行，故②不符合题意；
过点C作 ，
，
， ，
，
，
，故③符合题意；，
，
，故④符合题意；
， ， ，
，
，故⑤符合题意；
故选：C．
【变式5-2】（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，下列过程及括号中所注明的依据正确的是（ ）
A．因为 ，所以 （内错角相等，两直线平行）
B．因为 ，所以 （两直线平行，同旁内角互补）
C．因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等）
D．因为 ，所以 （同位角相等，两直线平行）
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键．
根据平行线的判定定理，即“内错角相等，两直线平行”，“同位角相等，两直线平行”以及平行线的性
质，即“两直线平行，同旁内角互补”，“两直线平行，内错角相等”，由此判断选项即可．
【详解】解：A选项，因为 ，所以 （内错角相等，两直线平行），故A错误；
B选项，因为 ，所以 （两直线平行，同旁内角互补），故B错误；
C选项，因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等），故C错误；
D选项，因为 ，所以 （同位角相等，两直线平行），故D正确．
故选：D ．
题型六 补充条件使两直线平行
【例6】（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，已知 ，要判定 ，则可以补充的一个条
件为 ．【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质即可解答．
【详解】解：可以补充条件： ，理由如下：
延长 交 于点G，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： （答案不唯一）
【变式6-1】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图所示，请添加一个合适的条件： ，使
（填一个即可）．
【答案】 或 或 （任填一个即可）
【分析】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【详解】解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．故答案为： 或 或 （任填一个即可）．
【变式6-2】（2024·河南南阳·一模）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图1是某品牌共享
单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中 、 都与地面 平行， ，
，当 时， ．
【答案】 /70度
【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先
根据平行公理推论可得 ，根据平行线的性质可得 ，再根据平行线的判定可得
要使 ，则 ，则可得 ，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：∵ 、 都与地面 平行，
∴ ，
∴ ，
要使 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即当 时， ，
故答案为： ．
题型七 利用平行线的性质求解
【例7】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，直线 ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了对顶角相等，两直线平行同旁内角互补，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
先根据两直线平行同旁内角互补，得出 ，再根据对顶角相等，求得 ，代入
，即可求得 ．
【详解】解：如图，
∵直线 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
故选：B．
【变式7-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）根据题意分析 如图， ， ，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质定理，通过 “两直线平行，同旁内角互补”，即可得到结果．
【详解】解： ， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选： ．
【变式7-2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘 ，三角板 中 角的顶点 在 上，直角顶点 在 上，三角板与直尺边缘形成的 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过点 作 ，且点 在点 的右侧，则
，进而得 ， ，由此得 ，再根据 ，
即可得出 的度数，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
【详解】解：过点 作 ，且点 在点 的右侧，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
题型八 平行线的判定与性质多结论问题
【例8】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在三角形 中，延长 至点 ， 的平分线
与 的平分线 交于点 ，在 的内部做射线 ，已知 ， ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中所有正确结论的序号是
．
【答案】①②④
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质、角平分线的定义，逐一分析每个
结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，所以结论①正确．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，所以结论②正确．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，所以结论③错误．
∵ ，
∴ ，
∴ ，所以结论④正确．
故答案为：①②④．
【变式8-1】（24-25七年级下·吉林·期末）某自行车的示意图如图所示，其中 ，且都与地面 平行，
若 ，则下列结论正确的是 （填序号）
① ；②当 时，有 ；
③当 时，有 ；④当 时，有 ．【答案】①②④
【分析】本题考查了平行线的性质与判定的应用；根据平行线的性质与判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故①正确；
当 时，∵ ，
∴ ，
又∵
∴
∴ ，故②正确；
当 时， ，
∴
∴ 与 不平行，故③错误；
当 时，则
∴ ，故④正确；
综上分析可知：正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【变式8-2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在 中，点 分别在 上，
连接 ，下列条件： ； ； ；
； ．其中能判定 的条件有 （填序号即可）．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一排除即可，熟练掌握平行线的判定方法是
解题的关键．
【详解】解： ∵ ，∴ ；
由 不能判定 ；
，
∴ ；
，
∴ ；
不能判定 ；
综上可知： 能判定 ，
故答案为： ．
题型九 平行线的判定与性质的综合问题
【例9】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光 和 分别沿水平方
向发射．一束斜向光线 照射到 上，经过折射后与 相交于点F，并继续折射至 上的点D处，
从点D引出一条新的折射光线 ，且 ．
(1)求证： ．
(2)若命题“已知 ______，则 ”是真命题，请填空，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等，两直线平行、两直线平行；同位角相等；两直
线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
（1）由对顶角定义得到 ，结合题意，等量代换即可得到 ，最后由同位角相等两直
线平行即可得证；
（2）由 ，求得 的度数，再由 ，即可求得 的度数．
【详解】（1）证明： 和 是对顶角，
，
，
，∴ ；
（2）解：已知 ，则 ，
理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式9-1】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，在四边形 中， ， ，点
在 上方，连接 ， ， 交 于点 ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)点 是 上的一点，连接 ， ，求证 ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先根据已知条件求出 的度数，再利用四边形内角和或三角形外角等知识，结合
与 的度数判断 与 的位置关系，进而求出 的度数．
（2）求出 与 相关角的度数，通过同位角或内错角相等来证明 ．
本题主要考查了平行线的判定与性质、对顶角相等以及角的和差计算等知识，熟练掌握平行线的判定定理
（内错角相等、同旁内角互补等）和性质（两直线平行，同位角、内错角相等）是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．（2）解：由（1）知 ，
∴ （对顶角相等）．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
【变式9-2】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）如图 ，点 在线段 的延长线上， ， 交于点
，且 ， ．
(1)猜想 与 的位置关系，并证明；
(2)如图 ， 为 反向延长线上一点， ， 的平分线交于点 ，求 的度数．
【答案】(1) ，证明见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线、角的计算，解决本题的关键是根据平行线的性质找
到角之间的关系．
根据内错角相等，两直线平行，可得 ，根据两直线平行，内错角相等，可得： ，
等量代换可得： ，根据同位角相等，两直线平行可证结论成立；
由 可知 ，过 点作 ，根据在同一平面内平行于同一条直线的两直线互相平行，可
得： ，根据两直线平行同旁内角互补，可得： ，从而有
，结合图形可知 ，可得： ．
【详解】（1）证明： ，
理由如下：，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，过 点作 ，
，
，
， ，
，
即 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
．基础巩固通关测
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角都是对顶角 B．若一个数的相反数是 ，则这个数是
C．若 ，则 D．同旁内角相等，两直线平行
【答案】B
【分析】本题主要考查了判断命题真假，
根据对顶角，相反数，平方根及平行线的判定逐项判断即可．
【详解】解：∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角相等），∴ A是假命题，
设这个数为x，则其相反数为 ，由题意 ， ，∴ B是真命题，
∵ ，∴ ，∴ C是假命题，
∵ 同旁内角互补时两直线平行，相等时不一定平行（如同旁内角均为60°时，两直线不平行），∴ D是
假命题，
故选：B．
2．能说明命题“对于任何实数 ”是假命题的一个反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命
题，说明一个命题是假命题只需举一个反例．
根据“a是实数，则 ”成立的条件是 即可得答案．
【详解】解：∵ 时，
∴当 时，原命题成立，故A不符合题意，
同理 时，原命题成立，故B不符合题意；
时，原命题成立，故C不符合题意，而当 时，原命题不成立，故D符合题意；
故选：D．
3．如图，在 中，点D、E、F分别在边 上，且 ．要使 ，还需要添加的
条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定．
根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，得出 ，再利用要使 ，找出符合要求的答案
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等），
要使 ，只要 就行，
∵ ，
∴还需要添加条件 即可得到 （等量代换），
故选：B．
4．有两个直角三角形纸板，一个含 角，另一个含 角，如图①所示叠放，先将含 角的纸板固定
不动，再将含 角的纸板绕顶点 顺时针旋转，使 ，如图②所示，则旋转角 的度数为
（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 与 交于点 ，根据平行线的性质得出 ，再根据三角形的外角性质即
可求解．本题考查了平行线的性质，旋转的性质，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，设 与 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
二、填空题
5．“4的平方根是2”这个命题是 命题．（填“真”或者“假”）
【答案】假
【分析】本题考查了平方根，判断命题的真假；
根据4的平方根是 可知这个命题是假命题．
【详解】解：∵4的平方根是 ，
∴“4的平方根是2”这个命题是假命题，
故答案为：假．
6．根据光的反射定律，入射光线和平面镜的夹角等于反射光线和平面镜的夹角．如图，笔直的墙面 上
点的灯泡发出的一束光线照在平面镜 上的 点， ，反射光线 恰好和墙面 平行，
若 ，则 的度数为 ．【答案】 /110度
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得出 的度数，即可求出
的度数，再根据平角的定义计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（1）如图①，E是 延长线上一点，如果添加一个条件，使 ，则可添加的条件为：
，（任意添加一个符合题意的条件即可）
（2）如图②，点 在 的延长线上，对于给出的四个条件：① ；② ：③ ；
④ ．其中能判定 的是 ．（填序号）
【答案】 （答案不唯一） ②③④
【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
（1）根据平行线的判定定理求解即可；
（2）根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】（1）解：可添加的条件为 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）；
（2）∵ ，
∴ ，
故①不符合题意；
∵ ，
∴ ，
故②符合题意；∵ ，
∴ ，
故③符合题意；
∵ ，
∴ ，
故④符合题意；
故答案为：②③④．
8．如图，点E在 延长线上， ， 交于F，且 ， ， 比 的
余角小 ， P 为线段 上一动点，Q为线段 上一点，且满足 ， 为 的平
分线，则下列结论：① ；② 平分 ；③ ；④ ；⑤ 的度数
为定值，其中正确结论的是 ．（填序号）
【答案】①②③⑤
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、余角和补角、角平分线的定义以及三角形内角和定理，逐一分
析四条结论的正误是解题的关键．①由 ，可得出 ，进而可得出 ，结
合 可得出 ，根据“同位角相等，两直线平行”可得出 ，结论①正确；②由
可得出 ，结合 可得出 ，即 平分 ，结论②
正确；③由 可得出 ，结合 比 的余角小 可求出 的度数，再由
结合三角形内角和定理可求出 ，结论③正确；④由③得： 无法
证明 ，结论④错误；⑤根据角平分线的定义可得出 以及
，将其代入 可求出 的角度为定值 ，结论⑤正确．综
上即可得出结论．
【详解】解：①∵ ，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，结论①正确；
②∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，结论②正确；
③∵ ，
∴ ．
∵ 比 的余角小 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，结论③正确；
④由③得： 无法证明 ，结论④错误；
⑤∵ 为 的平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，结论⑤正确．
综上所述：正确的结论有①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
三、解答题
9．如图， ， ， ，求证 ．【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和为 ，结合已知条件求
出 的度数，再结合平行线的判定定理证明即可．
【详解】证明：如图所示，在 中， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
10．填空：
已知： ，
求证： _______．
证明：过A点作_______∥_______，
则 _______， _______．（_______，_______）
∵ 是平角，
∴ _______+_______ ．（______________）
∴ _______ _______．（______________）
即 ______．
【答案】 ； ， ； ， ；两直线平行，内错角相等； ， ，平角定义； ，
，等式的性质；
【分析】本题考查了平角的定义，平行线的性质．根据平行线的性质，平角的定义完成推理过程即可．【详解】已知： ，
求证： ．
证明：过A点作 ，
则 ， ．（两直线平行，内错角相等）
∵ 是平角，
∴
∴
即 ．
11．【问题感知】
（1）如图1，若 ， 平分 ，求证： ．
请将下列证明过程补充完整：
证明： 平分 ，（已知），
_____（角平分线的定义）．
（已知），
_____ （两直线平行，内错角相等）．
（等量代换）．
【问题探索】
（2）如图2，直线 ， 被直线 所截， 平分 ， ，点 在射线 上，
点 在线段 上，连接 ，若 ，求证： ；
【衍生拓展】
（3）如图3，将（2）中的点 移动到线段 的延长线上，其他条件不变，连接 ，若
，求 的度数．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是
熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直
线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互
补．
（1）根据角平分线定义和平行线的性质进行解答即可；
（2）先证明 ，得出 ，在证明 ，根据平行线的判定得出结论即可；
（3）根据角平分线定义得出 ，根据平行线的性质求出
，求出 ，最后根据平行线的性质求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，（已知），
∴ （角平分线的定义），
∵ （已知），
∴ （两直线平行，内错角相等），
∴ （等量代换）．
（2）证明：∵ 平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：∵ ，
∴根据（2）可知： ，
，
根据探索可知： ，
，
，
，
，，
．
能力提升进阶练
一、单选题
1．下列命题中真命题的个数是（ ）
①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线距离．②平移时，对应点的连线平行．③过一点有且只有
一条直线与已知直线平行．④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．⑤如果 ，那么 ．⑥
在同一平面内，垂直于一条直线的两条直线平行．
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】本题考查了命题的判断，包含点到直线的距离的定义，平移的性质，平行公理，同位角相等的前
提，等式的性质，解决本题的关键是逐一判断命题是否正确．
根据点到直线的距离、平移的性质、平行公理、平行线的判定以及等式的性质等相关知识，对每
个命题逐一进行分析判断．
【详解】解：命题①：点到直线的距离是指从点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段本身．
因此，命题①是假命题．
命题②：平移时，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等．
因此，命题②是假命题．
命题③：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
因此，命题③是假命题．
命题④：两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，
若两条直线不平行，被第三条直线所截，同位角不相等，
因此，命题④是假命题．
命题⑤：当 时， ，此时 不一定等于 ，
只有当 时，等式两边同时除以 ，才能得到 ，
因此，命题⑤是假命题．
命题⑥在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．
因此，命题⑥是真命题．∴只有⑥是真命题．
故选：A．
2．如图， ， ，点 在 上，点 在 上，设与 相等的角的个数为
不包括 本身 ，与 互补的角的个数为 若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的性质，理解和掌握平行线的性质是解题的关键．设 的延长线为 ，
由 ， ，根据平行线的性质得到与 相等的角 、 、 、
、 ，因为 ，可推出 互补的角的个数，即可求出答案．
【详解】解：设 的延长线为 ，
， ，
， ，
与 互补的角有 ， ， ， ， ， ，
， ，
．
故选：D．
3．如图，已知 ， ， ，给出下列结论：① ；② ；③
；④ 平分 ；其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键．
由平行线的性质，即“两条直线平行，同位角相等”可判断①；由“内错角相等，两直线平行”可判断②；
由 可判断③和④．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
但 由已知信息无法推断，
故 不一定成立，故③错误；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
但 不一定成立，故④错误，
∴正确的为①和②，共2个．
故选：B．
4．如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（ ）与它的对边（ ）是否平行，启航小组的四位同
学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（ ）A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行
B．画一条直线，分别与 ， 相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行
C．画一条直线，分别与 ， 相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行
D．将直角三角板 的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边 ， 分别与刻度尺的两
条边 ， 相交于点M，N，度量 与 ，若相等，则平行
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁
内角互补，两直线平行．
由平行线的判定方法，即可判断．
【详解】解：A、由同旁内角互补，两直线平行判定 ，故A不符合题意；
B、由内错角相等，两直线平行判定 ，故B不符合题意；
C、由同位角相等，两直线平行判定 ，故C不符合题意；
D、如图所示，
∵ 与 不是同位角，也不是内错角，
∴两角相等不能判定 ，故D符合题意．
故选：D．
二、填空题
5．将命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
【答案】如果两直线平行，那么同位角相等
【分析】本题考查了命题的改写，如果部分是命题的题设，那么部分是命题的结论；命题“两直线平行，
同位角相等”中，“两直线平行”是命题的题设， “同位角相等”是命题的结论，据此改写即可．
【详解】解：如果两直线平行，那么同位角相等；
故答案为：如果两直线平行，那么同位角相等．6．如图，若 ，则 °．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，准确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关
键；
过点O作 ，可得 ，再根据平行线的性质得 ，
然后根据平角定义得 ，最后代入整理可得答案．
【详解】解：如图所示，过点O作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：180．
7．命题“若 ，则 ．”是假命题，举一个反例时， 可以是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了举反例．
任举一个小于等于 的数即可．
【详解】解：当 时，满足 ，但此时 ，
故答案为： （答案不唯一）8．如图， ，点 、 在直线 上，点 在 上， ， 平分 ，
．下列结论：① ；② ；③ ；④ 平分 ．其中正确的
有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，余角的性质，角平分线定义，垂线定义理解，熟练掌握相
关的判定和性质，是解题的关键．根据平行线的性质，角平分线定义和余角性质证明 ，再根
据 ，得出 ，即可证明 ，得出①正确；根据平行线的性质得出
，即可判定②正确；根据现有条件无法证明 ，即可判断③错误；根据平行
线的性质证明 ，说明 平分 ，判定④正确．
【详解】解：①∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③根据已知条件无法证明 ，故③错误；
④∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，故④正确；
综上分析可知：正确的有①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题
9．如图，有如下三个论断：① ，② ，③ ．请以其中2个条件为题设，另1
个条件为结论构成一个真命题．
(1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号）
(2)请证明你选择的命题．
【答案】(1)①②，③或②③，①或①③，②
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案；
（2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的
判断方法，即可证得．
【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是 ， ，作为结论的条件是 ；
②选择作为题设的条件是 ， ，作为结论的条件是 ；
③选择作为题设的条件是 ， ，作为结论的条件是 ；
（2）解：①如果 ， ，那么 ；
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
②如果 ， ，那么 ；
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
③如果 ， ，那么 ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
10．完成推理，并在右侧的括号内填写推理依据：
(1)如图①， ________， （________________）．
________， （________________）．
， ， ________（________________）．
(2)如图②，填空：
① （已知）， ________（________________）
② （已知）， ________（________________）
③ （已知）， ________（________________）
④ ________ （已知）， （________________）
【答案】(1) ；同位角相等，两直线平行； ；同位角相等，两直线平行； ；如果两条直线和第三
条直线平行，那么这两条直线也互相平行(2)① ；同位角相等，两直线平行；② ；内错角相等，两直线平行；③ ；内错角相
等，两直线平行；④ ；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．
（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的判定求解即可．
【详解】（1） ，
（同位角相等，两直线平行）．
，
（同位角相等，两直线平行）．
， ，
（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
故答案为： ；同位角相等，两直线平行； ；同位角相等，两直线平行； ；如果两条直线和第三
条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）① （已知），
（同位角相等，两直线平行）
② （已知），
（内错角相等，两直线平行）
③ （已知），
（内错角相等，两直线平行）
④ （已知），
（同位角相等，两直线平行）
故答案为：① ；同位角相等，两直线平行；② ；内错角相等，两直线平行；③ ；
内错角相等，两直线平行；④ ；同位角相等，两直线平行．
11．如图1，一个直角三角板的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于点E、F．(1)如图1，若 ，请判断直线a与b的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，在问题（1）的条件下，若N为 上一点，且 ，请写出 与
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) ．理由见解析
(2) ．理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质；
（1）根据 ， ，求得 ，根据平行线的判定定理
即可得到结论；
（2）如图，过点C作 ，等量代换得到 ，求得 ，于是
得到 ．
【详解】（1）解： ．理由：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ．理由：
如图，过点C作 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
12．已知 ．(1)如图1，若 ．则 ；
(2)如图2， 于点E， 的角平分线交于点P， 平分 ，若 比 的
5倍还多 ，求 的度数；
(3)如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足： 直
线 与直线 交于点Q．直接写出 的大小 ．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理并分情况讨论是解题关键．
（1）过E作 ，利用同旁内角互补和内错角相等可得答案；
（2）设 度，则 度，根据题意可得 ，再解方程可得答案；
（3）分四种情况解答，分别利用内错角相等解答即可．
【详解】（1）解：过E作 ，如图；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）设 度，则 度，分别过点 和点 作 ， ，
则 ，
∴ ， ，
∵ 、 分别为 、 的角平分线，
∴ ，即 度，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， 度，
∴ 度，
∵ 度，
∴ ，
解得 ，
所以 ；
（3）分四种情况；
①如图；此时， ，
∵ ， ，
∴ ；
②如图
此时， ，
∵ ， ，且 ， ，
∴ ；
③如图，
此时， ，
∵ ， ，∴ ；
④如图
此时， ，
∵ ， ，
∴ ；
综上所述： 或 或 或 ；
故答案为： 或 或 或 .
