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第 07 讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助
线(3 类热点题型讲练)
目录
【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】................................................................................................1
【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】....................................................................................................9
【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】................................................................................20
【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】
例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，D为 的中
点， 于E．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
【变式训练】
1．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图， 中， ，D是BC的中点，E、F分别是
AB、AC上的点，且 ．求证： ．2．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图：在 中， ，D为 边的中点，过点D作
于点E， 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
3．（2023上·北京·八年级期末）如图，在 中， ，D是 的中点，过A作 ，且
．求证：
(1) ；
(2) ．4．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点E，交
于点F，D为线段 的中点，且 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知 中， ， ，点D为 的中点，
点 、 分别在直线 上运动，且始终保持 ．
(1)如图①，若点 分别在线段 上， 与 相等且 与 垂直吗？请说明理由；
(2)如图②，若点 分别在线段 的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．
6．（2023上·浙江绍兴·八年级新昌县七星中学校考期中）两个同样大小的含 角的三角尺，按如图所示
的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 ，且另三个锐角顶点 ， ，
在同一直线上， 为 中点，已知 ．(1)求 的长．
(2)求 的长．
【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】
例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知 ，点 在边 上， ，
点 在边 上， ，若 ，求 的长．
【变式训练】
1．（2023下·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，四边形 中，
， ，求四边形 的面积．
2．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）在 中， ， ，点D在 上（不与点
B，C重合）．(1)如图1，若 是直角三角形，
①当 时，求 的长；
②当 时，求 的长．
(2)如图2，点E在 上（不与点A，B重合），且 ．若 ，求证： ．
3．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）在 中， ， ，点 为边 上一动点，
连接 ．
(1) 边上的高的长度为 ；
(2)如图1，若点 从点 出发，以每秒2个单位的速度向点 运动，设运动时间为 秒 ．是否存在
值，使得 为等腰三角形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，把 沿着直线 翻折，点 的对应点为点 ， 交边 于点 ，当 时，求
的长度．
4．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在 中，点 是边 上的两点．(1)如图1，若 ， ．求证： ；
(2)如图2，若 ， ，设 ， ．
①猜想 与 的数量关系，并说明理由；
②在①的条件下， ，请直接写出 的度数．
5．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）在 中， ，过点C作射线 ，使
（点 与点B在直线 的异侧）点D是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线
段 上，且 ．
(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为 ；（用含a的式
子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在 中， 平分 ， 是 的中点，过点
作 交 的延长线于 ，交 于 ，交 的延长线于 ．
求证：
(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）(1)【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点A为 上一点，过点A作
，垂足为C，延长 交 于点B，可根据 证明 ，则 ，
（即点C为 的中点）．
(2)【类比解答】
如图2，在 中， 平分 ， 于E，若 ， ，通过上述构造全等
的办法，可求得 ．
(3)【拓展延伸】
如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足E在 的延长线上，试
探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
(4)【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地
进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取 的角平分线 ；②过点A作 于D．已知
， ， 面积为20，则划出的 的面积是多少？请直接写出答案．
2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题：
如图1，点 在 的角平分线上，过点 作 的垂线分别交 、 于点 、 ．求证：
．请你帮助完成此证明．
【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：
（1）将图1沿着过点 的直线 折叠，得到图2，使点 正好与边 上的点 重合，此时测得
．求 的度数．
（2）如图3， ， 平分 交 于 ，若 ， ，求边 的长度．
【拓展提升】
（3） 如图4， 是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中 ， 米， 米．该绿化带中修建了健身步道 、 、 、 、 ，其中入口 、 分别在 、 上，步道 、
分别平分 和 ， ， ．现要用围栏完全封闭 区域，修建地下排水
和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）
