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班级 姓名 学号 分数
第二次月考模拟卷（前四章）
（时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案中是正确的，每小题2分，共20分）
1. 下列标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解： 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选： ．
2. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
【分析】根据求证直角三角形全等对每个选项进行分析，即可解题．
【解答】解： 两条直角边对应相等，则斜边相等，故两三角形全等， 正确；
斜边和一锐角对应相等，则另一锐角对应相等，根据角边角即可求证两三角形全等， 正确；
斜边和一条直角边对应相等，则另一直角边对应相等，根据边边边即可求证两三角形全等， 正确；
两锐角相等可证明两三角形相似，但无法证明两三角形全等， 错误．
故选： ．
3. ， 为实数，且 ，则下列不等式的变形正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质1，可判断 ，根据不等式的性质3、1可判断 ，根据不等式的性质2，可判
断 、 ．【解答】解： 、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故 错误；
、不等式两边先同乘以 ，再加上2，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故
错误；
、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故 正确；
、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故 错误；
故选： ．
4. 如图， 的三边 、 、 长分别是60、70、80，其三条角平分线将 分为三个三角形，则
等于
A． B． C． D．
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是60、70、
80，所以面积之比就是 ．
【解答】解：过点 作 于 ， 于 ， 于 ，
点 是内心，
，
，
故选： ．
5. 如图，点 、 的坐标分别为 、 ，将 沿 轴向右平移，得到 ，已知 ，则点
的坐标为A． B． C． D．
【分析】直接利用对应点的变化，进而得出平移距离，即可得出答案．
【解答】解： 的坐标为 ，
，
，
，
向右平移了3个单位长度，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为： ．
故选： ．
6. 已知点 在第三象限，则 整数的值是
A．4 B．3，4 C．4，5 D．2，3，4
【分析】点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数．列出式子后可得到相应的整数解．
【解答】解： 点 在第三象限，
，
解得： ，
整数 的值是3，4．
故选： ．
7. 如图，已知 ， ， ，以 ， 两点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 、 ，直线 与 相交于点 ，则 的周长为
A．16 B．20 C．22 D．26
【分析】利用基本作图得到 垂直平分 ，利用线段垂直平分线的定义得到 ，然后利用等线
段代换得到 的周长 ．
【解答】解： ， ，
，
由作法得 垂直平分 ，
，
的周长 ．
故选： ．
8. 已知 ， ， 是 的三条边，且满足 ，则 是
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到 ，即可确定出
三角形形状．
【解答】解：已知等式变形得： ，即 ，
，
，即 ，
则 为等腰三角形．
故选： ．
9. 如图，已知 ，点 在 边上， ，点 ， 在边 上， ．若 ，
则 的长为A． B． C． D．
【分析】先作辅助线 ，然后根据 角所对的直角边等于斜边的一半可以求得 的长，再根据
等腰三角形的性质，即可得到 的长，然后即可计算出 的长．
【解答】解：作 于点 ，
，
，
，
，
，
． ， ，
，
，
故选： ．
10. 如图，在 中， ， ，点 从点 出发以每秒 的速度向点 运动，点 从点
同时出发以每秒 的速度向点 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当
时，点 、点 运动的时间是A．4秒 B．3.5秒 C．3秒 D．2.5秒
【分析】设运动时间为 秒时， ，根据点 、 的出发点及速度，即可得出关于 的一元一次方
程，解之即可得出结论．
【解答】解：设运动时间为 秒时， ，
根据题意得： ，
解得： ．
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 等腰三角形的一个外角是 ，则它的顶角的度数是 ．
【分析】三角形内角与相邻的外角和为 ，三角形内角和为 ，等腰三角形两底角相等， 只可
能是顶角．
【解答】解：等腰三角形一个外角为 ，那相邻的内角为 ，
三角形内角和为 ，如果这个内角为底角，内角和将超过 ，
所以 只可能是顶角．
故答案为： ．
12. 等腰三角形的一个角是 ，则它的底角是 ．
【解答】解：由题意知，分两种情况：
（1）当这个 的角为顶角时，则底角 ；
（2）当这个 的角为底角时，则另一底角也为 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题
时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
13. 如图， 垂直平分 ， 垂直平分 ，若 ，则 度．【分析】根据三角形内角和定理得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据等
腰三角形的性质得到 ，进而求出 ，结合图形计算即可．
【解答】解： ，
，
垂直平分 ，
，
，
同理可得： ，
，
，
故答案为：40．
14. 因式分解： ．
【分析】先提出 ，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
【解答】解：原式
．
故答案为： ．
15. 分解因式： ．
【分析】先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解可得．
【解答】解：原式 ，
故答案为： ．
16. 如图，在 中， ， ， 是 的中点， 交 于点 ， ，则 的
长为 ．【分析】连接 ，根据垂直平分线的性质得 ，再根据在直角三角形中， 角所对的直角边等于
斜边的一半，求出 长，再根据勾股定理得出 的长，根据中点定义得 ，从而得出 的长．
【解答】解：连接 ，
是 的中点， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17. 分解因式：
【分析】先根据完全平方公式展开，再合并同类项，然后利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解： ，
，
，
．
18. 解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】根据不等式的性质：去分母、移项，再合并同类项最后系数化1即可．
【解答】解：去分母，得 ，
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并，得 ．
解得 ．
在数轴上表示为：
．
19. （1）现在的“互联网 ”时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．
有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：利用多项式的分解因式结果．
如，多项式： 因式分解，其结果写成 ，当 时， ， ，
，此时可以得到数字密码171920．
根据上述方法，当 ， 时，对于多项式 分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三
组）
（2） 可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数．【分析】（1）多项式提取公因式，再利用平方差公式分解，把 与 的值代入计算即可求出所求；
（2）原式利用平方差公式分解，计算因式结果，确定出所求即可．
【解答】解：（1） ，
当 ， 时， ， ，
可得数字密码是211428；也可以是212814；142128；
（2） ，
，
；
，
， ，
这两个数是65、63．
四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）
20. 如图，已知 ．
（1）求作 边上高 ，交 于点 ， 的平分线 ，交 于点 （要求：尺规作图，不写作
法，保留作图痕迹）．
（2）若 ， ，求 的度数．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据 ，计算即可．
【解答】解：（1）如图，线段 ，线段 即为所求．（2） ， 平分 ，
，
，
，
，
．
21. 如图，在直角坐标系中，即 的三个顶点分别是 ， ， ．
（1）画出 关于点 成中心对称的△ ；
（2）平移 ，若点 的对应点 的坐标为 ，画出平移后对应的△ ，求线段 在平移
过程中扫过的面积；
（3）若将△ 绕某一点旋转可以得到△ ，请直接写出旋转中心的坐标为 ．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 即可；
（2）线段 在平移过程中扫过的面积 四边形 的面积 四边形 的面积；
（3）对应点连线的交点即为旋转中心．【解答】解：（1）如图，△ 即为所求；
（2）如图，△ 即为所求．线段 在平移过程中扫过的面积 四边形 的面积 四边形
的面积 ；
（3）旋转中心 的坐标为 ．
故答案为： ．
五、解答题：（本题12分）
22. 如图，平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点 ，直线 与 轴相交于点 ，
点 在直线 上，连接 ．
（1）求 点坐标；
（2）已知点 是线段 上一动点，过点 作 轴， 轴的垂线，分别交 ， 于点 ， ，连接
，当 时，求点 的坐标．【分析】（1）两直线解析式联立成方程组，解方程组即可求得；
（2）由直线 求得 的坐标，由直线 求得 的坐标，然后利用待定系数法求得直线 的解析式，设
， ，则 ， ， ，表示出 、 ，然后利用三角
形面积公式得到关于 的方程，解方程求得 的值，即可求得点 的坐标．
【解答】解：（1）联立 得 ，
， ；
（2） 直线 与 轴相交于点 ，
，
点 在直线 上，
，解得 ，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，直线 的解析式为 ，
设 ， ，则 ， ， ，
， ，
，
，
解得 或 ，
，
或 ， ．
六、解答题：（本题12分）
23. 某文具店第一次用400元购进胶皮笔记本若干个，第二次又用400元购进该种型号的笔记本，但这次每个
的进价是第一次进价的1.25倍，购进数量比第一次少了20个．
（1）求第一次每个笔记本的进价是多少？
（2）若要求这两次购进的笔记本按同一价格全部销售完毕后后获利不低于460元，问每个笔记本至少是多
少元？
【分析】（1）设第一次每个笔记本的进价为 元，然后根据第二次又用400元购进该种型号的笔记本数量
比第一次少20个列方程求解即可；
（2）设每个笔记本售价为 元，然后根据全部销售完毕后后获利不低于460元列不等式求解即可．
【解答】解：（1）设第一次每个笔记本的进价为 元．
依据题可得，
解这个方程得： ．
经检验， 是原方程的解．
故第一次每个笔记本的进价为4元．
（2）设每个笔记本售价为 元．根据题意得： ，
解得： ．
所以每个笔记本得最低售价是7元．
七、解答题：(本题12分)
24. 定义：如图1， ， 为直线 同侧的两点，作点 关于直线 对称的点 ，连接 ，连接 交直线
于点 ，连接 ，则称点 为点 ， 关于直线 的“等角点”．
（1）由“等角点”的定义可知：如图1，点 和点 关于直线 对称，
．
， ，
可得若满足 ，则点 为点 ， 关于直线 的“等角点”．
（2）如图2，在 中， ， 分别是 ， 上的点， ， ，然后将 绕点
顺时针旋转一定角度，连接 ， ，得到图3，试写出 与 的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，延长 交 的延长线于点 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，得
到图4，求证：点 为点 ， 关于直线 的“等角点”．
【分析】（1）根据等量代换可得结果；
（2）由 ，可推出 ，进而证明 ，从而得出结论；
（3）由 得 ，进而得出 ，再证明 ，进一步得出
结论．
【解答】（1）解：根据等量代换得，
，
故答案是： ， ， ， ；
（2）解： ，理由如下：
，，
，
在 和 中，
，
，
；
（3）证明：由（2）得： ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
点 为点 ， 关于直线 的“等角点”．
