文档内容
七年级数学·下 新课标[北师]
第二章 相交线与平行线
1.结合具体情境,理解对顶角、互为余角、互为补角的概念,探索并掌握对顶角相等,理解垂线、垂线段
等概念,掌握“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”的基本事实,会用三角尺或量角器过一点画一条
直线的垂线,了解垂线段最短的性质,了解点到直线距离的意义并会度量点到直线的距离.
2.理解平行线的概念,了解平行公理及其推论,会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线;会
识别同位角、内错角、同旁内角;探索并掌握平行线的性质和判定方法,会度量两条平行线之间的距离.
3.会用尺规作一个角等于已知角,能利用尺规作角的和、差、倍,并掌握作图步骤和作图语言的叙述及
作角的综合应用,能够通过尺规设计并绘制简单的图案,同时在尺规作图过程当中,积累数学活动经验,培养
动手能力和逻辑分析能力.
4.能初步应用本章所学的知识对图形进行简单的说理、解释生活中的现象及解决简单的实际问题,体
会研究几何图形的意义.
1.理解本章学过的关于描述图形形状和位置关系的语句,会用语句描述简单的图形,会根据描述的语句
画出图形,能结合一些具体内容进行说理,初步养成言之有据的习惯.
2.注意观察实物、模型和图形,通过观察、归纳、对比来寻找图形的位置关系和数量关系,从而发现图
形的性质.
1.在观察、操作、想象、说理、交流的过程中,发展空间观念,初步形成积极参与数学活动、与他人合
作交流的意识,激发学生对空间与图形的兴趣.
2.感受数学来源于生活又服务于生活,激发学习数学的乐趣.
3.通过一题多变,一题多解,多解归一的练习,让学生学会挖掘题目资源,用发展的眼光看问题,观察运动
中的异同,揭示知识间的内在联系.
根据《标准》的要求,图形与几何部分的整体教学目标确定为:在探索、发现、确认、理论验证图形实
质的过程中,借助几何直观,把复杂的数学问题变得简明、形象,发展空间观念和推理能力.
基于《标准》的要求和学生的实际,本章设计的总体思路是:在生动的问题情境和丰富的数学活动中,探
索相交线、平行线的有关事实;以直观认识为基础进行简单的说理,将几何直观与简单推理相结合,发展空间
观念的推理能力;借助平行的有关结论解决一些简单的实际问题.
为此,教科书共安排了4节内容.
第1节“两条直线的位置关系”,首先从反映生活中存在的两条直线位置关系的图片的观察入手,提出
两条直线的两种位置关系(相交与平行),接着介绍对顶角的概念及其性质,然后学习补角、余角,使学生在直
观情境中,认识相交线所成的角的概念及其性质,然后学习补角、余角,使学生在直观情境中,认识相交线所
成的角及其基本结论.第2节“探索直线平行的条件”、第3节“平行线的性质”,教科书通过设置观察、操作等探究活动,
按照“先探索直线平行的条件,再探索平行线的性质”顺序呈现、展开平行线的有关内容.其中,在探索直
线平行条件中自然引入“三线八角”,并试图在探索性质和解决问题过程中,加深对直线平行的理解,进一步
发展学生的空间观念.
第4节“用尺规作角”,在七年级上册“用尺规作一条线段等于已知线段”的基础上,学习“用尺规作
一个角等于已知角”,用规范的尺规作图语言加以叙述,给出了尺规作图的范例.
【重点】
1.掌握平行线的条件及平行线的特征,并会运用它们说理.
2.进一步熟悉和掌握几何语言,能用几何语言说明图形.
【难点】 能根据几何图形按照题目要求灵活的说理.
1.本章知识点在内容呈现上充分体现认知过程,给学生提供探索与交流的时间和空间.强调学生通过
“做数学”来学习数学是本章教科书的一个突出特点.在内容处理上,加强了实验几何的成分,将实验几何
与论证几何有机结合.对于几何中的结论,多是采用先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做实验等活动,
探索发现几何结论,然后再对结论进行说明、解释或论证,为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫,在教学
时应充分注意这一点.
2.对于本章中的一些概念、性质、公理和定理,教科书大多是通过“留空”、设问、设置“观察”
“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目,让学生通过探索活动来发现结论,经历知识
的“再发现”过程,在探究活动的过程中发展创新思维能力,改变学生的学习方式.
3.注意加强直观性.密切联系实际,体验知识的形成和应用过程,以实际问题为出发点和归宿是这一章教
学中特别关注的问题.几何图形是从实际中抽象出来的,所以几何图形的定义、性质都是比较抽象的,这一
点对于学生来说有一定的困难.为了减少学生学习的困难,在学习这一章时,注意加强了直观教学,使教学内
容尽量贴近学生的生活.
4.循序渐进地安排技能训练.这一章的教学,除了要学习一些数学知识以外,还担负着一些技能和能力的
培养和训练的任务.这既有几何语言、图形方面的,也有说理、推理方面的.这些内容,都是进一步学习空间
与图形知识的基础.教科书在这方面也是作了精心安排,在教学时应当注意按照由简单到复杂、由模仿到独
立操作的顺序,逐步提高要求.
5.有意识地培养学生有条理地思考和表达.对于推理能力的培养,按照“说点儿理”“说理”“简单推
理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排.本章对于推理的要求还处在入门阶段,只是结
合知识的学习,识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”.各个过程中,都没有采用
“已知…,求证…,证明…”的形式,而是用说理的方式展示推理的过程,但强调让学生经历推理的过程,感受推
理论证的作用,使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续.因此教学中要注意准确把握教学
要求,对推理能力的培养要有一个循序渐进、逐步提高的过程,要鼓励学生用自己的语言说明理由,在书写格
式上不作统一要求,可以用自然语言,可以结合图形进行说明,可以用箭头等形式表明自己的思路,也可以用
数学符号语言表示说理、简单推理的过程,等等.总之,要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语
言书写,不能操之过急.
1 两条直线的位置关系 2课时
2 探索直线平行的条件 2课时
3 平行线的性质 2课时
4 用尺规作角 1课时
回顾与思考 1课时1 两条直线的位置关系
1.通过观察、操作、推理、交流等过程,进一步培养空间观念、推理能力和表达能力.
2.在具体情境中,了解余角、补角、对顶角,掌握同角或等角的余(补)角相等,对顶角相等,并能解决一些
实际问题.
1.引出对顶角的概念和“对顶角相等”的结论,并用结论来解决相关问题.
2.从丰富的生活情境中抽象出几何模型,引入余角、补角及它们的性质.
1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度,积极进取的探索精神,团结协作的良好品质.
2.由实际问题引入,增强学生学习数学的兴趣,体会数学来源于生活又服务于生活,通过对对顶角的辨别,
培养学生的批判性思维.
【重点】
1.对顶角定义和对顶角相等.
2.余角、补角和它们的性质.
【难点】 同角或等角的余(补)角相等性质的应用.
第 课时
在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义,知道同角或等角的余角相等、同角
或等角的补角相等、对顶角相等,并能解决一些实际问题.经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表
达的能力.
激发学生学习数学的兴趣,认识到现实生活中蕴含着大量和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学
问题,用数学方法予以解决.
【重点】 了解对顶角、余角、补角的概念及应用有关性质解决实际问题.
【难点】 应用对顶角、余角、补角的性质解决实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P38~39.
导入一:
[过渡语] 在2013年3月17日,世界斯诺克球员巡回赛总决赛1/4决赛,中国选手丁俊晖以4比3绝杀
马克·艾伦后晋级四强;他打出三杆过百,其中更有一杆147分,打出个人职业生涯中的第五杆满分.不仅为个
人取得了荣誉,更为我们国家争取了荣誉.斯诺克台球运动是一项技术性很高的运动,其中包含了很多数学
知识.你想知道吗?本节课我们就共同学习相关的知识.
[设计意图] 利用相关的台球体育赛事新闻创设情境,吸引了学生的注意力,引发好奇心,感受数学知识
在生活中的应用,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,为新课的学习做好情感及心理的铺垫.并适时对
学生进行集体主义教育,从小树立集体荣誉感.
导入二:
我们在生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁……在这些大自然的杰作和人类的创造物中,蕴含着
大量的直线、射线、线段.下面我们就来欣赏一组生活中的图片.
[处理方式] 同学们观察图片,并与同伴交流观察几幅图片后的发现,得出图中的线有些是平行的,有些
是相交的.由其中一个小组作展示,其余同学作补充.教师引入课题:本节课我们就共同学习与两条直线的位
置关系相关的知识.
[设计意图] 通过学生熟悉的实物图片让学生发现数学知识,明白本节课要学习的主要内容.
[过渡语] 我们的周围有好多线条,它们有的平行,有的相交,有的垂直,我们这节课将一起研究同一平面
内的两条直线的位置关系.
探究活动1 两条直线的位置关系
思路一
同学们认真观察这些来自生活的图片,你有什么发现?(学生观察,与同伴交流)[处理方式] 在教师的引导下先由学生理解“同一平面内”的含义,再让学生找出图中同一平面内的
两条直线的位置关系.由学生进行补充说明.
【知识归纳】 在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点,
我们称这两条直线为相交线.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.(教师强调关键词:同一平面、只
有一个公共点、不相交)
[设计意图] 从学生身边熟悉的图形出发,让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学,体会数
学与生活的联系,引起学生学习的兴趣.通过师生互动,生生互动,增加学生之间的凝聚力.在相互探讨中激发
学生学习的积极性,亲身经历提炼有关数学信息的过程,总结出同一平面内两条直线的基本位置关系,提高课
堂效率.为新课的学习做好铺垫.
思路二
[过渡语] 我们在七年级上册学习了直线和直线的表示方法,请同学们在纸上画两条直线,并用字母表
示.(教师展示部分学生所画的图)
师:以上这些同学所画直线的位置关系可以分为几类?
生:可以分为两类.分别为相交和平行.
师:但是我们所展示的图形中有三种情况,如何解释呢?
生:因为直线是无限延伸的,图(1)中把直线a和b画长点就变成了两条相交的直线.
师:这位同学解释得非常好!这就是我们这节课要研究的两条直线的位置关系.
师:通过大家的画图我们知道了两条直线的位置关系有相交和平行两种.但是在说两条直线的位置关系
时,我们应强调什么问题呢?
生:必须在同一平面内.
师:很好!也就是说平面内两条直线的位置关系有两种:平行和相交.那么什么是相交线和平行线呢?
生:若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.
生:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
师:下面请同学们欣赏几幅生活中的图片,并指出图片中的相交线和平行线.(课件展示图片,找学生指出
图片中的相交线和平行线)
师:你还能举出生活中有关相交线和平行线的例子吗?(学生举出例子有窗户、黑板、学校的推拉门、
教室的墙等等)
[设计意图] 让学生观察图片,不但可以体会到几何来源于生活,激发学生学习的兴趣,还可以更进一步
地理解平行线、相交线的概念.
探究活动2 对顶角的定义与性质
[过渡语] 两条直线相交,会形成怎样的角呢?
【活动内容】 观察下面两个图形,思考以下几个问题.问题1
观察上面图中的∠1与∠2、∠3与∠4的位置有什么关系,大小有何关系,为什么?
问题2
剪子在剪东西的过程中,∠1和∠2还保持相等吗?∠3和∠4呢?你有何结论?
[处理方式] 学生观察总结之后,教师予以补充确定.得到对顶角的概念和性质.
【归纳总结】 如图①所示,直线AB和CD相交于点O,∠1和∠2有公共点O,它们的两边互为反向延
长线,具有这种位置关系的两个角叫对顶角.对顶角有如下性质:对顶角相等.
【即时练习】(多媒体显示)
1.下列各图中,∠1和∠2是对顶角的是 ( )
〔答案〕 D
2.如图所示,有一个破损的扇形零件,利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的iiiiiiiiiiiiiii
度数.你能说出所量角是多少度吗?为什么?
〔答案〕 40°,理由:对顶角相等.
[设计意图] 通过创设生动有趣的活动情境,为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的活动素
材,使学生在自主学习的过程中,学会对顶角的概念及其性质.同时通过有效的数学探究活动,使学生经历数
学的发生、发展过程,概括归纳得到猜想和规律,并加以验证,也积累了数学活动的经验.利用学习过的有关
事实解决实际问题,体会数学在生活中的应用,进一步巩固了对顶角的概念及其性质,激发学生的学习兴趣.
探究活动3 补角、余角的定义及性质
[过渡语] 通过对顶角的概念,我们知道两条直线相交所成的四个角中,不相邻的两个角是对顶角,那么
相邻的两个角叫什么角呢?
1.补角和余角的定义.
【问题】
1.在右图中,∠1与∠3有什么数量关系?
2.请同学们按下面的要求画图.
(1)画出两个角,使它们的和为90°.
(2)画出两个角,使它们的和为180°.
[处理方式] 针对问题2,学生思考后画图,教师巡视,选择学生展示所画图形,并作出补充.
展示(1):和为90°的两个角.
展示(2):和为180°的两个角.【归纳总结】
补角定义:如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角.
(补充)两条直线相交所成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角.
余角定义:如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角.
[处理方式] 学生动手画图,并相互交流结果.展示学生问题2的答案,教师并作补充,选择有代表性的图
形,使所画两角在位置关系上都不同,但是它们在数量上两角的和都是90°(①②③)或180°(④⑤).特别是图③,
利用了对顶角画出两个45°角,使它们的和等于90°,让学生理解互余与互补是指两个角之间的数量关系,与
它们的位置无关.
[设计意图] 通过动手画图,可以加深学生对概念的理解,在相互交流中,初步形成评价与反思的意识,在
相互补充、相互学习中,体验“互补、互余”仅仅表明了两个角的度量关系,并没有限制角的位置关系,在合
作交流中,获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立自信心,可以更好地掌握新知识.在集体展示时给部分
同学展示的机会,可以极大地调动这部分学生的学习热情.
【即时练习】(多媒体显示)
下列说法中,正确的有 .(填序号)
①已知∠A=40°,则∠A的余角=50°;②若∠1+∠2=90°,则∠1和∠2互为余角;③若∠1+∠2+∠3=180°,则∠1,∠2
和∠3互为补角;④若∠A=40°26',则∠A的补角=139°34';⑤一个角的补角必为钝角;⑥一个锐角的补角比这个
角的余角大90°.
[设计意图] 这是针对学生的易错点而改编的一组判断题,这种形式能引导学生逐步加深对余角、补
角的概念及其性质的理解和掌握.
2.补角和余角的性质.
[过渡语] 台球中也蕴含着我们学习的大量知识,看下面的问题.
如图(1)所示,打台球时,选择适当的方向,用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2,将图(1)
抽象成图(2),ON与DC交于点O,∠DON=∠CON=90°,且∠1=∠2.在图(2)中:
(1)有哪些角互为补角?有哪些角互为余角?
(2)∠3与∠4有什么关系?为什么?
(3)∠AOC与∠BOD有什么关系?为什么?
【归纳总结】 同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
[处理方式] 学生应有足够的时间和空间经历观察、猜测、推理、验证等活动过程.本环节的三个问
题是环环紧扣、层层递进提出来的,前一个问题为下一个问题做好铺垫.在学习的过程中,时刻不能忘记学
生是主体,一切教学活动都应当从学生已有的认知角度出发,问题环节设计跨越性不能太强,让学生在不断的
探索过程中得到不同程度的感悟,自己能够主动地去探究问题的实质,体验成功的喜悦;教师要充分发散学生
的思维,鼓励学生各抒己见,敢于质疑;上课要渗透合情说理的方法,进一步培养学生的推理能力.
[设计意图] 先给出台球桌面的实景图,再给出由实景图抽象出的几何图形,引导学生了解抽象的必要
性和抽象的过程,并通过问题串,引导学生探索出“同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等”的结论.
【即时训练】(多媒体显示)
1.因为∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,所以∠1= ,理由是 .
〔答案〕 ∠3 同角的余角相等
2.因为∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1= ,理由是 .
〔答案〕 ∠3 同角的补角相等
3.(1)画一个直角三角形ABC,使∠C=90°,如图(1)所示,则∠A是∠B的 .
(2)在(1)的基础上,作∠CDA=90°,如图(2)所示,则∠A的余角有哪几个?为什么?请找出互补的角,并说明理
由.解:(1)余角
(2)因为∠A+∠ACD=90°,∠A+∠B=90°,所以∠A的余角为∠ACD,∠B.因为∠ADC+∠BDC=180°,所以∠ADC
和∠BDC互为补角.
[设计意图] 通过练习,即时巩固所学知识,提高学生用数学解决实际问题的能力.
[知识拓展]
1.在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种,相交时两条直线只有一个公共点,平行指的
是两条直线平行,而不是线段或射线.
2.对顶角必须具备的两个要素:①有公共顶点;②两边互为反向延长线.
3.互为余角、互为补角是指两个角之间的关系,是成对出现的.两角互为补角并不一定一个是钝角一个
是锐角,也有可能是两个直角.
(1)相交线的定义.
(2)平行线的定义.
(3)对顶角的定义及性质.
(4)互为余角、互为补角的定义及性质.
1.如图所示,直线AB与CD交于点O,∠EOD=90°,回答下列问题:
(1)∠AOE的余角是 ,补角是 .
(2)∠AOC的余角是 ,补角是 ,对顶角是 .
答案:(1)∠BOD和∠AOC ∠BOE (2)∠AOE ∠AOD和∠BOC ∠BOD
2.如图所示,点O在直线AB上,∠DOC和∠BOE都等于90°.请找出图中互余的角、互补的角、相等的角.
解:互余的角:∠AOD和∠EOD,∠EOD和∠EOC,∠EOC和∠COB,∠AOD和∠BOC;
互补的角:∠AOD和∠BOD,∠AOE和∠BOE,∠AOC和∠BOC,∠AOC和∠DOE,∠EOC和∠BOD;
相等的角:∠AOD=∠EOC,∠EOD=∠BOC.
3.如图所示,小颖想测量一堵拐角高墙在地面上所成的角∠AOB的度数,人不能进入围墙内,你能帮小颖
想出简单的测量方法吗?请简述你的方法,并说明理由.
解:延长BO到C,测量出∠AOC的度数,在用180度减去∠AOC的度数,即可得出∠AOB的度数.理由:
∠AOC和∠AOB互为补角.(答案不唯一)
4.如图所示,点O在直线AB上,OC平分∠BOD,OE平分∠AOD,请找出∠COD的余角和补角,并说明理由.解:因为OC平分∠BOD,OE平分∠AOD,
所以∠BOC=∠COD,∠DOE=∠AOE,
所以∠EOC=∠EOD+∠DOC=90°.
所以∠COD的余角是∠DOE,∠AOE,∠COD的补角是∠AOC.
第1课时
探究活动1 两条直线的位置关系
探究活动2 对顶角的定义与性质
探究活动3 补角、余角的定义及性质
一、教材作业
【必做题】
教材第40页习题2.1知识技能第1题.
【选做题】
教材第40页习题2.1问题解决第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如果∠α+∠β=90°,而∠β与∠γ互余,那么∠α与∠γ的关系为 ( )
A.互余 B.互补
C.相等 D.不能确定
2.如图所示,∠1与∠2是对顶角的是 ( )
3.如图所示,直线AB,CD交于点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD=76°,则∠BOM等于 ( )
A.38° B.104° C.142° D.144°
【能力提升】
4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,且∠1=∠2.
(1)指出∠1的对顶角;
(2)若∠2和∠3的度数比是2∶5,求∠4和∠AOC的度数.5.已知一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍,求这个角的余角.
【拓展探究】
6.如图所示,点O为直线AB上一点,OC为一射线,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC.
(1)若∠BOC=50°,试探究∠FOE的度数;
(2)若∠BOC为任意角α(0°<α<180°),则∠FOE的度数是多少?
【答案与解析】
1.C(解析:因为∠β与∠γ互余,所以∠β+∠γ=90°,又因为∠α+∠β=90°,所以∠α=∠γ.故选C.)
2.C(解析:A.∠1与∠2有一条边在同一条直线上,另一条边不在同一条直线上,不是对顶角;B.∠1与∠2没有公
共顶点,不是对顶角;C.∠1与∠2的两边互为反向延长线,且有公共顶点,是对顶角;D.∠1与∠2有一条边在同一
条直线上,另一条边不在同一条直线上,不是对顶角.故选C.)
1 1
3.C(解析:因为∠BOD=76°,所以∠AOC=∠BOD=76°,因为射线OM平分∠AOC,所以∠AOM= ∠AOC=
2 2
×76°=38°,所以∠BOM=180°- ∠AOM=180°- 38°=142°.故选C.)
4.解:(1)∠1的对顶角是∠AOC. (2)因为∠1=∠2,∠2和∠3的度数比是2∶5,所以∠1∶∠2∶∠3=2∶2∶5,设∠2=2x,则
∠1=2x,∠3=5x,由题意得2x+2x+5x=180°,解得x=20°,所以∠1=40°,∠2=40°,∠3=100°,根据对顶角相等,得
∠4=∠BOC=∠2+∠3=140°,∠AOC=∠1=40°.
5.解:设这个角为x,则180°- x+10°=3(90°- x),解得x=40°,所以90°- 40°=50°.所以这个角的余角为50°.
1
6.解:(1)因为∠BOC=50°,所以∠AOC=180°- 50°=130°,因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,所以∠EOC=
2
1
∠AOC=65°,∠COF= ∠COB=25°,所以∠EOF=65°+25°=90°. (2)因为∠BOC=α,所以∠AOC=180°- α,因为OE
2
1 1 1 1 1 1
平分∠AOC,OF平分∠BOC,所以∠EOC= ∠AOC=90°- α,∠COF= ∠COB= α,所以∠EOF=90°- α+
2 2 2 2 2 2
α=90°.所以∠EOF=90°.
本课时注重创设“开放”的教学环境,引导学生从身边熟悉的情境出发,使学生经历从现实生活中抽象
出数学模型的过程,体会知识的重要性和在生活中的广泛应用.通过课堂开放,让学生在直观有趣的问题情
境中学到有价值的数学,同时也为学生搭建了一个充分展示自我的舞台,在活动中提高与他人合作交流的能
力,激发了学生的潜能,使学生成为课堂的主人,提高了学生分析问题、解决问题的能力.
讨论时,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思
考,掩盖了其他学生的疑问.再教时应注重学生几何语言的培养,对课堂生成的问题,应予以重视,教师可以激励学生课后继续探究,
将课内学习延伸到课外,不断开阔学生的视野.
随堂练习(教材第39页)
解:40°,对顶角相等.
习题2.1(教材第40页)
知识技能
1.解:因为∠1=38°,所以∠3=38°(对顶角相等),∠2=180°- ∠1=180°- 38°=142°.因为∠4=∠2,所以∠4=142°.
数学理解
2.解:互为补角的两个角不可以都是锐角,也不可以都是钝角,可以都是直角.
问题解决
3.提示:∠1=32°.
4.提示: 60°或120°.
联系拓广
5.提示:不是.
1.怎样理解互为余角和互为补角?
余角和补角都是指两个角之间的一种特殊的数量关系.即如果两个角互为余角,那么它们的和为90°;如
果两个角互为补角,那么它们的和为180°.
强调两个角中,一个角是另一个角的余角,或者两个角互为余角.补角同样如此.
另外,对余角和补角有两个非常重要且常用的结论:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
2.怎样理解对顶角的特点和性质?
特点:(1)有公共顶点;
(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.
性质:对顶角相等.
3.互余与互补是指两个角之间的数量关系,与它们的位置无关.
如图所示,将一个长方形纸片沿着直线EF折叠,点A落在点A'处;再沿着GE折叠,顶点B落在
EA'上的B'点处.∠FEA'与∠GEB'互余吗?为什么?
〔解析〕 要判断∠FEA'与∠GEB'是否互余,需要求出∠A'EF+∠B'EG是否为90°,由已知可得
∠AEF=∠A'EF,∠BEG=∠B'EG,所以不难得出结论.
解:由已知得∠AEF=∠A'EF,∠BEG=∠B'EG,而∠AEF+∠A'EF+∠BEG+∠B'EG=180°,
所以∠A'EF+∠B'EG=90°,
由互为余角定义可知∠A'EF与∠B'EG互为余角.第 课时
1.会用符号表示两直线垂直,并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线.
2.通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质,会进行简单的应用.
3.初步尝试进行简单的推理.
经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动,进一步发展学生的空间观念、
推理能力和有条理表达的能力.善于举一反三,学会运用类比、数形结合等思想方法理解新知识.
激发学生学习数学的兴趣,体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理,在解决实际问题的过程
中了解数学的价值,通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性.
【重点】 会用工具按要求画垂线,掌握垂线(段)的性质.
【难点】 从实际生活中感知垂线的性质以及体会点到直线的距离的意义,并能用准确的数学语言加
以描述.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 三角尺、长方形纸片、方格纸.
导入:
问题1
同一平面上的两条直线有哪些位置关系?你能找到生活中的一些实例吗?
问题2
同一平面上的两条直线相交,一条直线不动,另一条直线转动时,观察特殊的位置关系.
[处理方式] 问题1由学生口答完成,在观察教室周围的基础上找到一些相交的线段,并发现其中相交
的特殊情况,即两条直线相交,形成直角.在学生充分体会完成后,提炼出数学图形.问题2教师引导学生转动
模型(钉在一起的两张长方形纸条,用纸条模拟直线),由直观形象的演示过渡到抽象的直线表示,从而导入新
课的学习,教师同时板书课题.
[设计意图] 数学来源于生活,引导学生从身边熟悉的图形出发,既复习了上一课时的知识点——两条
直线的位置关系,又体会到生活中大量存在特殊的相交线——互相垂直的直线,在比较中发现新知,加深了
学生对垂直的感性认识,感受垂直“无处不在”;利用动态演示激发学生的学习热情,调动学生的参与意识,
为下一部分的探究实践做好充分的准备和铺垫.探究活动1 垂直的定义
思路一
【活动内容】
在我们的身边随处可见“直线”的形象,其中有一些直线之间还具有特殊的位置关系,请同学们观察下
面三幅图片,你能找出其中相交的直线吗?它们有什么特殊的位置关系?说说看.
[处理方式] 引导学生发现其中相交的直线所成的夹角是90°.如何验证它们的夹角是90°呢?直接在屏
幕上演示用三角尺或量角器验证直角的过程.
(几何画板)演示自制教具,要求学生观察当一根木条绕着另一根木条旋转时的变化情况,并用数学语言
进行描述:两条直线相交成四个角,当一个角等于90°时两直线的特殊位置关系是什么.
【知识归纳】 两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直,其中一条直线
叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.
教师板书:如果用a,b表示两条互相垂直的直线,可以记作a⊥b,垂足为O.
如果用AB,CD表示两条互相垂直的直线,可以记作AB⊥CD,其中点O是垂足.
强调:(1)在垂直的定义中要强调只有一个角是直角就可以了,不必说四个角都是直角,因为其他三个直
角都可推出来.
(2)互相垂直是对两条直线而言的.因此,说到垂直,一定是指两条直线的位置关系.
(3)定义具有双重性,既是垂直的判定定理,也是垂直的性质定理,在具体应用时要注意书写格式.
【即时训练】
1.找出下图中互相垂直的线段.
2.你能说说我们身边存在的垂直线段吗?
[设计意图] 从身边熟悉的图形出发,在比较中发现新知,加深学生对垂直的直观的感性认识,培养学生
从感性到理性的认知方式.并通过练习即时巩固新知.
思路二
[过渡语] 两条直线之间的位置关系有两种:相交和平行,观察下面的图片(多媒体出示),你能找出其中
相交的线吗?它们有什么特殊的位置关系?与同伴交流.[处理方式] 学生观察图片,进行小组讨论,教师选取学生代表到屏幕前指出说明.
[设计意图] 数学来源于生活,引导学生从身边熟悉的图形出发,既复习了上一课时的知识点——两条
直线的位置关系,又体会到生活中大量存在特殊的相交线——互相垂直的直线,在比较中发现新知,加深了
学生对垂直的感性认识,感受垂直“无处不在”,使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美,在美的享
受中进入新知识的殿堂.通过亲身经历提炼有关数学信息的过程,可以让学生在直观有趣的问题情境中抽象
出有价值的数学模型,然后利用现代化教学手段加强直观教学,激发学生的学习热情,调动学生的参与意识.
【知识归纳】 两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直,其中的一条
直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.通常用“⊥”表示两直线垂直.
师(边画图边板书):如图(1)所示,直线AB与直线CD垂直,记作AB⊥CD;如图(2)所示,直线l与直线m垂
直,记作l⊥m.其中,点O是垂足.
师:你能在生活中找到互相垂直的线段吗?(学生各抒己见,列举生活中互相垂直的线段)
探究活动2 垂线的画法
【活动内容1】
1.你能利用三角尺画出两条互相垂直的直线吗?
2.如何判断你所画的两条直线互相垂直?
3.你能用一张长方形的纸折出两条折痕,使它们垂直吗?
4.你能分别过直线上一点和直线外一点分别画已知直线的垂线吗?
[处理方式] 学生动手画图、操作、互相交流结果,教师巡视,帮助有困难的学生,并引导学生总结出利
用三角尺过直线外一点画直线的垂线的方法.
引导归纳出:利用三角尺过直线外一点画直线的垂线的方法分为三步:
(1)把三角尺的一条直角边与已知直线重合.
(2)让三角尺的另一直角边过已知点.
(3)沿着已知点所在的直角边画出直线.
[设计意图] 学生分组讨论、交流和合作,并动手操作画图,训练学生以严谨的科学态度研究问题、解
决问题,并为培养学生的创新意识提供了机会.一方面加强学生动手操作的能力,同时也培养了学生的合作
精神;另一方面,让学生经历知识形成的过程,更能深刻理解垂直、垂线的概念.
【活动内容2】
如果只有直尺,你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗?说出你的画法和理由.方格纸上每一条横
线和竖线都是互相垂直的,我们可以利用格线来画出两条互相垂直的直线.对于不与格线重合的直线怎么用
直尺(不带刻度)画直线l的垂线?(如图(1)所示)
[处理方式] 师生合作:(1)把直线l在方格纸中的部分看成边长为3×2的长方形的对角线(如图(2)所示).
(2)经过A点在方格纸中寻找边长为2×3的长方形(如图(3)所示),过A点画该长方形的对角线a(说明:将方格
纸中小正方形的边长看成1,长方形两个相对顶点连成的线段叫做长方形的对角线),直线a就是所要画的直
线l的垂线.
[设计意图] 借助不同的工具、不同的方法来解决,让学生的思维得到充分发散,引导学生透过现象看
本质.课改理念之一就是改变学生被动的学习方式,让学生积极主动地投身于“做数学”中.本环节的设置,
将问题更加生动形象地呈现在学生面前,让学生在经历思考、实践、猜想、动手验证等过程,不仅加深对
“垂直”的理解,而且感受到“做数学”的乐趣,从而享受学习的过程.探究活动3 垂线段和点与直线的距离
【活动内容1】
如图(1)所示,点A在直线l上,过点A画直线l的垂线,你能画出多少条?如图(2)所示,如果点A在直线l外
呢?动手画一画,与同伴交流.
结论:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【活动内容2】
如图(1)所示,点P是直线l外一点,PO⊥l,点O是垂足.点A,B,C在直线l上,比较线段PO,PA,PB,PC的长
短,你发现了什么?
结论:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.如图(2)所示,过点A作l的垂线,垂足为
B,线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
【活动内容3】
体育课上老师是怎样测量跳远成绩的?能说出其中的道理吗?与同伴交流.
[处理方式] 在学生充分实践的基础上,让学生深入思考垂直的性质,最好能让学生自己得出有关垂直
的两条性质,这是本课时的难点,首先通过让学生画“点和直线的位置关系”,让学生在直观中抽象出“点在
直线上和点在直线外”这一数学模型,这是分散难点的有效途径,让学生在看似“盲目”的探究中发现问题
的本质,增加继续探究的勇气.问题的设置是由易到难、由直观画图到理性思考的过程.
探究活动4 垂线的应用
[过渡语] 刚才我们研究了垂直的定义、垂线的画法以及垂线的相关性质,你能利用它们解决下列问
题吗?老师相信你们一定是最棒的!
如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O,∠EOD=40°,则∠BOC= .
〔解析〕 因为OE⊥AB,所以∠EOB=90°,又因为∠EOD=40°,所以∠DOB=90°- 40°=50°,所以
∠BOC=180°- ∠DOB=180°- 50°=130°.故填130°.(补充)如图所示,一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的两所学校.
(1)汽车行驶时,会对公路两旁的学校造成一定的噪音影响.当汽车行驶到何处时,分别对两个学校影响
最大?在图中标出来.
(2)当汽车由A向B行驶时,在哪一段上对两个学校影响越来越大?在哪一段上对两个学校影响越来越
小?
(3)在哪一段上对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大?(用文字表达)
[处理方式] 学生在画图操作的过程中,教师来回巡视,及时发现学生的问题图形,在解决问题时把这些
错图或不规范的图实物投影到黑板上,根据学生的课堂表现随时调整独立思考和合作交流的学习过程.例题
让学生独立思考,独立写出推理过程,教师巡视,适时点拨.学生完成后及时点评,借助多媒体展示学生出现的
问题并进行矫正.因为没有系统的学习推理过程,只要学生解释合理即可.教师给出规范的推理过程,让学生
体会数学符号语言的简洁和魅力.再通过补充练习进行巩固.
[知识拓展]
1.垂直是相交线的特殊情况,两条线段垂直、两条射线垂直都是指它们所在的直线互相垂直.
2.画一条线段的垂线时,就是画它所在的直线的垂线.
3.点到直线的距离是指垂线段的长度,若点在直线上,我们认为点到直线的距离为零.
1.垂直定义:两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直.其中的一条直线
叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
2.平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3.直线外一点与已知直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
4.点到直线的距离:点到垂足之间垂线段的长度.
1.如图所示,污水处理厂A要把处理过的水引入排水沟PQ,应如何铺设,才能使排水管道最短,请你画出
铺设管道的路线.并请你思考为什么这样画.
解:根据垂线段最短的性质,过A点作PQ的垂线,垂足为B,线段AB即为所求.
2.如图所示,请利用三角板、直尺、铅笔、剪刀等工具将四边形纸板ABCD剪成一个长方形纸板.
解:分别过A,D作BC的垂线AE,DF,垂足分别为E,F,过D作DF的垂线DG,交AE于G,沿AE,DF,DG剪
开,四边形EFDG即为所求.(方法不唯一).第2课时
探究活动1 垂直的定义
探究活动2 垂线的画法
探究活动3 垂线段和点与直线的距离
探究活动4 垂线的应用
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第43页习题2.2知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第43页习题2.2问题解决第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·济南中考)如图所示,OA⊥OB,∠1=35°,则∠2的度数是 ( )
A.35° B.45° C.55° D.70°
2.如图所示,∠BAC=90°,AD⊥BC,则下列的结论中正确的有 ( )
①点B到AC的垂线段是线段AB;②线段AC是点C到AB的垂线段;③线段AD是点D到BC的垂线段;④
线段BD是点B到AD的垂线段.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示,点A,B,C在一条直线上,已知∠1=53°,∠2=37°,则CD与CE的位置关系是 .
【能力提升】
4.老师在黑板上任意画了两条直线AB,CD相交于点O,还作了∠BOC的平分线OE和CD的垂线OF(如图所
示),量得∠BOD∶∠BOE=2∶3,小颖同学马上就知道∠AOF等于 .
5.如图所示,OA⊥OB,OB平分∠MON,若∠AON=120°,求∠AOM的度数.【拓展探究】
6.如图所示,直线AB,CD相交于O点,OM⊥AB于O.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD;
(2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD.
【答案与解析】
1.C(解析:因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,即∠2+∠1=90°,因为∠1=35°,所以∠2=55°.故选C.)
2.C(解析:①②④说法正确;③说法错误,线段AD是点A到BC的垂线段.故选C.)
3.互相垂直(解析:因为∠1=53°,∠2=37°,所以∠1+∠2=90°,因为点A,B,C在一条直线上,所以
∠1+∠DCE+∠2=180°,所以∠DCE=90°,所以CD与CE互相垂直.故填互相垂直.)
4.45°(解析:因为OE平分∠BOC,所以∠BOC=2∠BOE,因为∠BOD∶∠BOE=2∶3,所以设∠BOD=2x,则
∠BOE=3x,∠BOC=6x,因为∠COD=180°,所以2x+6x=180°,所以x=22.5°,所以2x=45°,所以∠DOB=45°,所以
∠AOC=∠BOD=45°,因为OF⊥CD,所以∠AOF=90°- ∠AOC=45°.故填45°.)
5.解:因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,因为∠AON=120°,所以∠BON=120°- 90°=30°,因为OB平分∠MON,所以
∠MOB=∠NOB=30°,所以∠AOM=90°- 30°=60°.
6.解:(1)因为OM⊥AB,所以∠1+∠AOC=90°.又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°,所以∠NOD=180°-
(∠2+∠AOC)=180°- 90°=90°. (2)由已知∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°,所以∠AOC=90°- 30°=60°,
由对顶角相等得∠BOD=60°,故∠MOD=90°+∠BOD=150°.
本课时用生活中的图片引导学生获得新知,让学生感到“数学源于生活,又高于生活”.通过让学生演
示模型、动手画图等活动,使他们经历知识形成的过程,激发了学习兴趣,并加深了对知识的理解.
部分学生在新知探究过程中存在困难,教师要加大关注力度.
让学生动手画垂线时,充分发挥学生的主观能动性,先让学生画图,引导学生总结垂线的性质,再让学生
举出生活中类似的例子以便加深对知识的理解.
随堂练习(教材第43页)
1.解:如图所示.2.解:图(1)中OA⊥OC,OB⊥OD.图(2)中
BC⊥AC,AC⊥EC,AC⊥BE,DC⊥BC,DC⊥EC,DC⊥BE,DA⊥BC,DA⊥CE,DA⊥BE.
习题2.2(教材第43页)
知识技能
2.解:互相平行的街道:东直门外大街与建国门外大街;东二环与东三环、东四环.互相垂直的街道:东二环与
建国门外大街,东三环与建国门外大街,东四环与建国门外大街;东直门外大街与东二环,东直门外大街与东
三环,东直门外大街与东四环.
问题解决
3.解:如图所示,理由如下:在D点处开沟.因为垂线段最短.
如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB,OF平分∠AOD,∠COE=28°.求∠AOC和
∠DOF的度数.
〔解析〕 由已知可求出∠BOC=90°+28°=118°,再根据补角定义可求出∠AOC的度数;根据对顶角相等
可求出∠AOD=∠BOC=118°,再由OF平分∠AOD,可求出∠DOF的度数.
解:因为OE⊥AB,所以∠BOE=90°,
所以∠BOC=∠BOE+∠COE=90°+28°=118°,
所以∠AOC=180°- ∠BOC=180°- 118°=62°.
因为∠AOD=∠BOC,所以∠AOD=118°,
因为OF平分∠AOD,
1 1
所以∠DOF= ∠AOD= ×118°=59°.
2 2
2 探索直线平行的条件1.经历观察、操作、想象、推理、交流等过程,进一步培养空间观念、推理能力和表达能力.
2.通过探索直线平行的条件的过程,掌握直线平行的条件,并能解决一些问题.
3.会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
1.通过转动木条,直观认识同位角相等,两直线平行,并用其解决问题.
2.通过问题情境进一步探索两直线平行的条件,得到内错角相等或同旁内角互补,两直线平行.
利用已有条件探索两直线平行的条件,对学生进行事物间相互联系、相互区别的辩证唯物主义教育.
【重点】 两直线平行的条件.
【难点】 正确识别同位角、内错角、同旁内角.
第 课时
1.能正确识别同位角,并能利用“同位角相等,两直线平行”解决一些实际问题.
2.会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
1.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,进一步发展
空间观念、推理能力和有条理表达的能力.
2.经历探索直线平行的条件的过程,掌握直线平行的条件,并能解决一些问题.
使学生在积极参与探索、交流的数学活动中,体验数学与实际生活的密切联系,激发学生的求知欲,感受
与他人合作的重要性.
【重点】 掌握“同位角相等,两直线平行”,并能用其解决一些问题.
【难点】 在较复杂的图形中识别同位角.
【教师准备】 多媒体课件、直尺、三角尺、三根钉在一起的活动木条.【学生准备】 每个同学准备一张不规则的白纸、三根钉在一起的活动木条(木条可用纸条代替).预
习教材P44~45.
导入一:
【活动内容1】
观察“两条直线的位置关系”的图片.
[处理方式] 学生观察图片,提炼出数学图形,然后小组合作交流来说明两条直线的位置关系.
【活动内容2】
在日常生活中,人们经常用到平行线.如图,装修工人正在向墙上钉木条.如果木条b与墙壁边缘垂直,那
么木条a与墙壁边缘所成的角为多少度时,才能使木条a与木条b平行?
你知道其中的理由吗?
如果木条b不与墙壁边缘垂直呢?
[处理方式] 小组之间交流讨论,然后试着回答,最后教师纠正并提出问题“两条直线平行需要什么条
件”让学生继续思考.
[设计意图] 通过活动1让学生感受两条直线的位置关系,活动2能够激发学生探索两条直线平行所需
条件的欲望,为接下来学生积极思考、努力探索打下了良好的基础.
导入二:
[过渡语] 在同一平面内,两条直线的位置关系有两种,分别是相交和平行.
师:如图所示,我们已经学习了两条直线相交所构成的四个角的关系,你能说出来吗?
生:∠1与∠2是对顶角,且∠1=∠2;∠3与∠4也是对顶角,且∠3=∠4.∠1与∠3互为补角,即∠1+∠3=180°;∠1
与∠4,∠2与∠3,∠2与∠4都是互为补角.
【问题】 如图所示,直线a与直线b的位置关系是什么?什么叫两条直线平行?
(直线a与直线b平行.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线)
[处理方式] 学生回答问题,教师强调关键词“同一平面内”“不相交”.
[设计意图] 回顾平面内两条直线的位置关系以及“两线四角”的关系,为本节课的“三线八角”及
两直线平行条件的探索做好铺垫,从已有的知识出发,逐渐过渡到新知识的学习,梯度小,便于学生接受.【活动内容】
每幅图中的直线a与直线b平行吗?你能验证吗?
生:直线a与直线b不平行,图(1)中直线a,b看起来越往下越窄,图(2)中直线a,b中间略凹,图(3)中直线a,b
中间略凸,延长下去会相交,不平行.
生:我看直线a与直线b平行.
师:我们不能这样争论,你们能说出各自的理由吗?你能想办法验证吗?
生:用平行线的意义,把直线a与直线b延长后再观察.
师:①去掉背景线后观察;②将直线a与直线b延长,再观察.
生:原来它们是平行的.
师:三组直线看上去似乎不平行,其实它们分别都是平行的,这是由于背景造成的视觉误差,所以仅凭观
察来判断直线的平行关系是不够的,“眼见不一定为实”,用平行线的定义去验证比较麻烦,也不一定可靠,
因此我们需要进一步寻求证据和判别方法,本节课老师将和同学们一起来探索直线平行的条件.
[设计意图] 从学生的直观感觉,引起视觉与知识的冲突,对“眼见为实”产生怀疑,既激发学生进一步
探求知识的兴趣和热情,又为理性分析和解决问题埋下伏笔;遵循学生的认知规律,自然引入知识,学生很容
易沿着探索知识的过程进行探索和发现.
探究活动1 探索两直线平行的条件
思路一
(1)猜想.
【活动内容】 如图所示,让木条b与黑板边缘垂直,怎样再粘一根木条a,使木条a与木条b平行?
[处理方式] 教师在黑板上粘贴一根木条b,使之与黑板边缘垂直,让学生到黑板上再粘贴一根木条,使
木条a与木条b平行,观察木条a与黑板边缘的关系.
追问:如果木条b不与黑板边缘垂直,怎样使木条a与木条b平行呢?
[设计意图] 在黑板粘木条的意图就是调动学生注意力,激发起好奇心和求知欲.要求学生现场操作,就
是把实际问题直接搬到教室,达到了事半功倍的效果,学生也很自然地进入学习状态.设计木条与边缘垂直
这一特殊情况,让学生通过生活经验来解决;教师紧接着提出:如果木条b不与黑板边缘垂直呢?实现了由特
殊到一般的过渡,点击重点,自然转入通过探索角的关系研究直线平行,将学生的思维引向深入.
(2)实验.
【活动内容】
学生拿出课前制作的学具.三根木条相交成∠1,∠2,固定木条b,c,转动木条a.
教师课件出示探索问题:
1.在木条a的转动过程中,观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系,你发现木条a与木条b的位置关系
发生了什么变化?
2.木条a何时与木条b平行?[处理方式] 学生通过动手操作,进行组内讨论,然后让学生展示自己的发现:∠1与∠2的大小关系为三
种:∠2小于∠1;∠2等于∠1;∠2大于∠1.在这三种情况下,木条a与木条b的位置关系为:∠2<∠1时,a与b相交;
∠2=∠1时,a与b平行;∠2>∠1时,a与b相交.
【追问】 如果改变∠1的大小,按照上面的方式再做一做.∠1与∠2的大小满足什么关系时,木条a与
木条b平行?
[设计意图] 设置了转动木条的活动,让学生亲自动手操作,目的是让学生通过观察,直观认识到:只有
∠1=∠2时,木条a与木条b才平行的结论.通过让学生实验、小组讨论、交流互动,从而培养学生勤动手动脑、
归纳的能力.这样设计是让学生参与了探索发现知识的全过程,不仅培养了学生的探究能力,还为下面探究
同位角的特征做好铺垫.之后教师提出:改变∠1的大小,按照上面的方式再做一做.体现了由特殊到一般的过
渡,也进一步验证了刚才的发现.
(3)归纳.
如图所示,两条直线AB,CD被第三条直线l所截,构成八个角.∠1与∠2这两个角分别在直线CD,AB的上
方,并且都在直线l的右侧,具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角.∠3与∠4也是同位角.
【问题】 找出图中其他的同位角.这些同位角在位置上有什么共同特征?小组交流一下.
[处理方式] 学生互相交流,得出:∠5与∠6是同位角,这两个角在直线l的右侧,又分别在直线CD,AB的
下方;∠7与∠8是同位角,这两个角分别在直线CD,AB的下方,并且在直线l的左侧.辨别同位角时要注意位置
上的“同”字,在第三条直线的同旁,另两条直线的同方向.通过转动木条发现两直线平行的条件,最后让学
生总结这一规律.
教师课件出示下面内容:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简称为:同位角相等,两直线平行.
用几何语言表示:如图所示,因为∠1=∠2,所以a∥b.
(两直线平行,我们用“∥”表示.例如,直线a与直线b平行,记作a∥b)
[设计意图] 带领学生直观地认识同位角,这样处理能使知识自然纳入学生的学习需求.在处理了“(1)
猜测,(2)实验”这两个环节后,归纳得出“同位角相等,两直线平行”的结论也就水到渠成了.这样由浅入深,
充分地让学生经历了解决问题的过程,较好地突出了重点.
思路二
[过渡语] 观察引例,完成以下内容.
【活动内容1】
解决课前导入一问题,如果木条b不与墙壁边缘垂直,那么木条a与墙壁边缘所成的角是多少度时,才能
使木条a与木条b平行?
【活动内容2】利用纸条和图钉自己制作学具,如图所示,三张纸条相交成∠1,∠2,固定纸条b,c,转动纸条a,在操作的过
程中让学生观察∠2的变化以及它与∠1的关系,你发现纸条a与纸条b的位置关系发生了什么变化?纸条a
何时与纸条b平行?改变图中∠1的大小再试一试,与同学交流你的发现.
引导学生发现:当图中的∠2满足与∠1相等时,纸条a与纸条b平行.
【活动内容3】
通过操作和观察我们发现∠2=∠1时,纸条a与纸条b平行.我们把∠2与∠1这种位置关系的角称为同位
角.请同学们思考什么是同位角,它有哪些特点?(教师可自制一段微课进行教学)
【活动内容4】
练一练:下列各图中,∠1和∠2为同位角的是 ( )
【活动内容5】
根据我们上面的讨论和操作,你能发现,当同位角有什么大小关系时,纸条a与纸条b平行?
【活动内容6】
练一练:如图所示,∠1=∠C,∠2=∠C,请找出图中互相平行的直线,并说明理由.
[处理方式] 1.通过问题的提出,让学生在理解问题的基础上,实际操作课前准备好的学具,通过与小组
内成员的合作、交流、探究得知:在转动纸条a的过程中,看到∠1与∠2的大小关系为三种情况:大于、等于、
小于;纸条a与纸条b的位置关系有两种情况:相交与平行;当∠1=∠2时,纸条a与纸条b平行.从而初步发现
“同位角相等,两直线平行”这样一个数学事实.2.引导学生将转动纸条的实际问题抽象为数学问题,画出“三线八角”的基本图形,并引导学生直观地
认识同位角的概念:如图所示,直线AB,CD与直线l相交(或者说两条直线AB,CD被第三条直线l所截),构成
八个角.∠1与∠2这两个角分别在直线CD,AB的上方,并且都在直线l的右侧,具有∠1与∠2这样位置关系的
角称为同位角.辨别同位角时要注意位置上的两个“同”字,在第三条直线的同旁,被截两直线的同方向.从
图中可知:∠1与∠2是同位角.所以可以这样说:同位角相等,两直线平行.
3.通过探索得到直线平行的条件:同位角相等.即平行线的判定:
同位角相等,两直线平行.
用几何语言表示:如图所示,因为∠1=∠2,所以a∥b(同位角相等,两直线平行).
4.对于活动6,教师要给出规范解答.
解:AB∥CD,AC∥BD,
理由如下:
因为∠1=∠C(已知),
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行),
因为∠2=∠C(已知),
所以AC∥BD(同位角相等,两直线平行).
[设计意图] 本环节共经历了三个过程.首先利用课本的实例,学生根据自己的生活经验得到:木条a也
与墙壁边缘垂直时,才能使木条a与木条b平行.在此基础上提出新问题:如果木条b不与墙壁边缘垂直,那么
木条a与墙壁边缘所成的角是多少度时,才能使木条a与木条b平行?进而将实际问题由特殊转化为一般,然
后通过“转动纸条”的活动,让学生亲自动手操作,目的是让学生通过观察、想象,直观认识到“同位角相等,
两直线平行”的结论.最后,再次引导学生将转动纸条的实际问题抽象为数学问题,画出“三线八角”的基
本图形,并直观地认识同位角的概念,使概念的学习成为解决问题的需要,而没有孤立地处理这部分内容,这
样处理能使知识自然纳入学生的学习需求,符合可接受性原则.进而探索得出“同位角相等,两直线平行”
的结论也就水到渠成了.这样由浅入深,充分地让学生经历了解决问题的过程,较好地突出了重点,突破了难
点.
探究活动2 同位角相等两直线平行的应用
1.链接.
【活动内容】
如何借助三角尺画平行线?按如下方法画出两条平行线,请说明其中的道理.
[处理方式] 教师引导学生回顾小学所学“推三角尺画平行线”的方法,然后教师课件展示右图,学生
进行小组交流,总结具体做法:先画一条直线,用一个三角尺的一边与这条直线重合,然后把另一个三角尺紧
靠第一个三角尺,推动第一个三角尺,这样再画一条直线.这叫“一落、二靠、三推、四画”,共四步.要求学
生进一步说明为什么这样推三角尺就能画出平行线,和同伴交流一下.
[设计意图] 本环节先复习小学所学“推三角尺画平行线”的方法,然后让学生用新知识解释道理,体
现了知识的连贯性.说理时教师鼓励学生用自己的语言说明,并逐步渗透用数学语言进行说理的能力.学生能够利用“同位角相等,两直线平行”的结论来解释“平移三角尺画平行线”方法的合理性,培养了学生利
用知识解决问题的能力.
2.提升.
【活动内容1】
你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗?能画几条?动手画一画.
[处理方式] 学生先画图,然后让学生叙述做法:用三角尺的一直角边和已知直线AB重合,接着用另一
个三角尺紧靠第一个三角尺,然后沿第二个三角尺平推第一个三角尺一直到点P,最后,过点P沿三角尺的边
缘画出直线.所画的直线就与AB平行.进而教师引导学生得出:这样的直线只能作出一条.最后总结:经过直
线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
【活动内容2】
如图所示,分别过点C,D画直线AB的平行线EF,GH,直线EF与直线GH有怎样的位置关系?动手画一
画.
[处理方式] 学生动手用推三角尺的方法画图,然后观察思考总结.根据图形回答它们之间的关系,即
EF∥AB,GH∥AB,则EF∥GH,得出平行于同一直线的两条直线互相平行.
教师课件出示下面内容:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
用几何语言表示:如果b∥a,c∥a,那么b∥c.
[设计意图] 如何过直线外一点画已知直线的平行线,是本节课学生要重点掌握的内容.让学生自己动
手画图,是为了使学生在实践中发现结论.通过画已知直线的平行线,在积累感性认识的基础上,逐步上升为
理性认识,符合学生的认识规律,对于结论的总结和概括,可以训练学生的语言表达能力、合作交流能力.
探究活动3 平行条件在实际问题中的应用
1.旗杆问题.
如图所示,你现在能解释两旗杆为什么是平行的吗?
2.木条问题.
如图(1)所示,让木条b与黑板边缘垂直,再粘一根木条a,使木条a与黑板边缘垂直,则木条a与木条b平
行,如图(2)所示,如果木条b不与黑板边缘垂直,怎样使木条a与木条b平行呢?
[处理方式] 在第一个问题中,学生利用“两条直线平行”的条件,把路或地面看成直线c,两根旗杆可
以看成垂直于地面的两条线段a与b.由垂直的定义可知∠1=∠2=90°,又因为∠1与∠2是同位角,所以a∥b.在
第二个问题中,粘木条时保证∠1=∠2,就能保证b∥a.因为同位角相等,两直线平行.
[设计意图] 本环节,教师引导学生解释黑板粘木条的道理,解决一开始留下来的问题.使本节课从结构
上前呼后应,达到有始有终,真正体现数学来源于生活又服务于生活的宗旨.用所学知识解释和解决生活中
的问题,进一步激发学生的探究兴趣.本环节对于整节课教学目标的实现也起着非常重要的作用.第一,使学
生对知识的理解与应用螺旋上升,达到较高要求;第二,帮助学生形成从实际问题中抽象出数学问题,得出结
论,再用来解决实际问题的学习经验.
[知识拓展] 平行线的基本性质有两个:(1)经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.(2)平行
于同一条直线的两条直线互相平行.性质(1)体现了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯
一性”.性质(2)体现了平行具有传递性.1.同位角的定义.
2.判定两直线平行的条件:同位角相等,两直线平行.
3.平行性质:(1)经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.(2)平行于同一条直线的两条直线互
相平行.
1.如图所示,若∠1=42°,则∠2= 时,l∥l.
1 2
解析:如图所示,∠3=180°- ∠1=138°,若l∥l,则∠2=∠3=138°.故填138°.
1 2
2.如图所示,回答问题.
(1)若∠B=∠FDC,则 ∥ ,理由是 ;
(2)若∠C=∠EDB,则 ∥ ,理由是 .
解析:准确识别同位角,运用两直线平行的判定条件解题.
答案:(1)AB DF 同位角相等,两直线平行 (2)AC DE 同位角相等,两直线平行
第1课时
探究活动1 探索两直线平行的条件
探究活动2 同位角相等两直线平行的应用
探究活动3 平行条件在实际问题中的应用
一、教材作业
【必做题】
教材第46页习题2.3知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第46页习题2.3数学理解第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在所标注的角中,同位角是 ( )
A.∠1和∠2 B.∠1和∠3
C.∠3和∠4 D.∠2和∠32.在同一平面内,与已知直线l平行的直线有 条,过直线l外一点M与已知直线l平行的直线有
条.
3.如图所示:
(1)如果已知∠1=∠E,那么可判定AC∥ ,理由是 ;
(2)如果已知∠B=∠3,那么可判定 ∥ ,理由是 .
4.四条直线a,b,c,d互不重合,如果a∥b,b∥c,c∥d,那直线a,d的位置关系为 .
【能力提升】
5.如图所示,∠1=∠2=55°,∠3等于多少度?直线AB,CD平行吗?说明你的理由.
【拓展探究】
6.如图所示,已知直线AB,CD被直线EF所截,如果∠BMN=∠DNF,∠1=∠2,那么MQ∥NP,试说明理由.
【答案与解析】
1.B(解析:由同位角的定义可知∠1和∠3是同位角.故选B.)
2.无数 一
3.(1)DE 同位角相等,两直线平行 (2)AB CD 同位角相等,两直线平行
4.a∥d(解析:由平行于同一直线的两条直线互相平行可得结论.)
5.解:因为∠2和∠3是对顶角,所以∠2=∠3,因为∠1=∠2=55°,所以∠1=∠3,所以∠3=55°,AB∥CD.
6.解:因为∠BMN=∠DNF,∠1=∠2,所以∠BMN+∠1=∠DNF+∠2,即∠QMN=∠PNF,所以MQ∥NP.本节课提供给学生充分进行数学活动和合作探究的机会,让学生在独立操作、思考的基础上进行合作
研究,通过展示与交流,培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力,让学生在主动、积极的氛围中,经历知识
的产生、发展和形成的过程,培养学生的操作、观察、探究、合作、归纳的能力.
教师课堂的应变能力还需提高;同位角的识别需设计适当的练习.
教学过程中应给学生足够的时间,对学生的小组活动做出正确有利的评价.
随堂练习(教材第46页)
1.解:AB∥CD,EF∥GH.
2.解:AB∥CD.理由如下:如图所示,因为∠1=∠2=55°,∠1=∠3(对顶角相等),所以∠2=∠3,所以AB∥CD(同位角相
等,两直线平行).
3.解:c与b相交.因为a∥b,c与a相交,所以c与b相交.
习题2.3(教材第46页)
知识技能
1.解:a∥b,m∥n.
2.解:答案不唯一,可水平作一组平行线,也可以垂直作一组平行线,也可以斜着画一组平行线.
数学理解
3.解:先任作一折痕,再将折痕两端对折,得到新的折痕,将新折痕两端再对折,第三条折痕与第一条折痕互相
平行.(答案不唯一)
4.解:将工具的中间靠紧木棒,沿横着的两根木条即可画出平行线,调整时量出同位角,同位角相等,两直线平
行.(答案不唯一)
5.解:A,B,C三点共线.
如图所示的是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图,画图的原理是 .〔解析〕 由已知可得∠DCF=∠BAF,所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).故填同位角相等,两直线
平行.
第 课时
1.会识别由“三线八角”构成的内错角和同旁内角.
2.能利用内错角相等和同旁内角互补判定两直线平行.
1.经历探索直线平行条件的过程,掌握利用内错角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论,并能解决
一些问题.
2.经历观察、操作、想象、验证、交流等活动,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,进一步发展
空间想象能力、推理能力和有条理表达的能力.
使学生在积极参与探索、交流的数学活动中,体验数学与实际生活的密切联系,激发学生的求知欲,感受
与他人合作的重要性.
【重点】 会识别内错角、同旁内角;能用内错角相等、同旁内角互补判别两直线平行.
【难点】 在稍为复杂的图形中识别内错角和同旁内角.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 同组准备三块相同的含有30°角的三角尺.
导入一:
【活动内容1】
问题1
(课件出示)如图所示,直线a和直线b被直线c所截,出现八个角,你能指出图中所有的同位角吗?问题2
两条直线被第三条直线所截,当所成的同位角满足怎样的关系时,两直线平行?
演示:旋转直线a,直至直线a与直线b平行,如右图,学生观察角的变化后得出结论
[处理方式] 点名学生回答∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8是同位角.问题2由学生总结后,教师进
行补充说明.
当∠1=∠5时,a∥b;当∠2=∠6时,a∥b;
当∠3=∠7时,a∥b;当∠4=∠8时,a∥b.
即:当两条直线被第三条直线所截,如果所得到的一组同位角相等,那么这两条直线平行.
【活动内容2】
问题情境:(出示投影片)小明有一块小画板,他想知道它的上、下边缘是否平行,于是他在两个边缘之间
画了一条线段AB,如图所示,小明身边只有一个量角器,他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、
下边缘是否平行,你知道他是怎样做的吗?
【问题】 图中标注的∠1,∠2,∠3,∠4中有同位角吗?这些角具备怎样的关系时,才能知道上、下边缘是
平行的?
[处理方式] 引导学生测量出∠1,∠2,∠3,∠4的大小,观察相互间的数量关系,探索除同位角外,还可以利
用哪些角之间的关系判断直线是否平行.
[设计意图] 本环节先设计回顾同位角的相关知识,为后续揭示内错角、同旁内角做好准备;活动内容
2通过这个情境引发学生认知冲突:不能用同位角的数量关系直接判断直线是否平行时,怎么办?从而很自然
地引入课题,而且也渗透了解决问题的多种方法.提高学生的思维能力和思维品质,形成良好的学习习惯.
导入二:
师:上节课学习了“探索直线平行的条件”第1课时,哪位同学回答一下,如何说明两条直线平行呢?
生:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
师:学习之后,小明就想验证一下自己做的一块小木板的对边是否平行(如图所示).当他在两个边缘之间
画了一条线段AB之后却发现,没有同位角了,这可把他难住了,同学们想不想帮助小明解决这个问题?
生:想.
师:学习完这节课的内容之后我们就能解决了,今天我们继续来学习“探索直线平行的条件”的第2课
时.
[设计意图] 通过问题情境让学生知道上节课所学的“探索直线平行的条件”不能够解决生活中的所
有有关两直线平行的题目,引出学生的好奇心,为本节课的学习做好铺垫.
探究活动1 探究内错角相等两直线平行
思路一
【活动内容1】图中的∠4和∠5有什么特征?你能从图中再找到这种位置关系的角吗?
[处理方式] 引导学生独立分析得出:图中的∠3和∠6,∠4和∠5,分别在两条直线的内部,还在第三条直线
的异侧.
总结:我们把具有这样位置的两个角称为内错角,具体来说,两条直线被第三条直线所截,例如∠4和∠5,
它们在直线a与直线b的内部,而且分别位于直线c的异侧,把具有∠4和∠5这样位置关系的角称为内错角.
同样∠3和∠6也是内错角.
分析:(结合图形说明)内错角的“内”“错”的含义.“内”是在两条直线的内部,“错”是在第三条截
线的异侧.形成内错角的图形特征很像字母“Z”(或反置).
【活动内容2】
内错角满足怎样的关系时,两直线平行呢?
[处理方式] (课件演示)旋转上图中直线a,观察∠3和∠6,∠4和∠5的变化,直至∠4=∠5或∠3=∠6时,得出
下图,此时直线a与直线b平行.得出结论:内错角相等,两直线平行.
【问题】 你能用所学的知识解释说明为什么内错角相等,两直线平行是正确的吗?(因为∠4与∠1是
对顶角,所以∠4=∠1,当∠4=∠5时,实际上∠1=∠5,由同位角相等两直线平行可以得出结论)
总结:内错角相等,两直线平行.
【课件展示】 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行.
简称为:内错角相等,两直线平行.
用几何语言表述为:如图所示,因为∠1=∠2,所以a∥b.
【即时练习】
填空:如图所示,∠1和∠4是直线 与直线 被直线 所截的 角,如果
∠1=∠4,那么 ∥ ;理由是 .
∠2和∠3是直线 与直线 被直线 所截的 角,如果∠2=∠3,那么
∥ ,理由是 .
思路二
[过渡语] 图中∠6与∠2,∠1与∠5等这些角叫做同位角,那么∠3与∠6,∠4与∠5这样位置关系的角又叫
什么呢?【活动内容1】
内错角定义.
[处理方式] (1)教师提出问题,学生先自学,然后小组内交流.教师巡视并适时点拨指导,然后由学生展示
自己的发现.
(2)师生共同总结:图中∠3与∠6,∠4与∠5这样位置关系的角,在两条被截直线的内部,在截线的两侧,位置
是交错的,这样的角叫做内错角.教师解释内错角的“内”“错”的含义:“内”是在两条直线的内部,
“错”是在第三条截线的异侧.形成内错角的图形特征很像字母“Z”(或反置).
【活动内容2】
内错角相等,两直线平行.
如图所示,直线a,b被直线c所截,∠2=∠3.直线a与直线b平行吗?试说明理由.
学生说明:因为∠3=∠2(已知),∠1=∠3(对顶角相等),
所以∠1=∠2(等量代换).
所以直线a∥b(同位角相等,两直线平行).
得到结论:两条直线被第三条直线所截,内错角相等,两直线平行.
探究活动2 探究同旁内角互补两直线平行
【问题】 如图所示,图中有同位角,也有内错角,那么图中的∠3和∠5是内错角吗?它们在位置上又有
怎样的关系?
[处理方式] 找学生代表用自己的语言描述:它们不是内错角,虽然∠3和∠5在直线a与直线b的内部,
但不在第三条直线c的异侧,而在第三条直线c的同侧,所以不是内错角.引导学生给这组角命名(根据自己的
理解,随意命名).最终得出同旁内角的名字.
分析:(结合图形说明)构成同旁内角的图形特征很像字母“U”(侧放或倒置).
【问题】 ∠4和∠6是同旁内角吗?为什么?
(是,它们夹在直线a与直线b的内部,在截线c的同侧)
【问题】 同旁内角满足怎样的关系时,两直线平行?为什么?
[处理方式] 学生小组讨论,发现从图上看是一个锐角,一个钝角,猜想可能是互补的,最后通过理论验证
得出结论:互补.因为∠3与∠1是互补的,如果∠3和∠5也互补,那么根据同角的补角相等,有∠1=∠5,所以可以
得出两直线平行.总结:同旁内角互补,两直线平行.
【课件展示】 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行.
简称为:同旁内角互补,两直线平行.
用几何语言表述为:如图所示,∠1+∠2=180°,所以a∥b.
[设计意图] 通过对内错角、同旁内角的观察,直观感受内错角和同旁内角在位置上的关系,便于学生
识别,让学生探索内错角、同旁内角满足怎样的关系时,可以判定两直线平行,通过简单的推理和转化达到掌
握知识的目的,不仅训练学生的思维能力,而且也提升了学生的语言表达能力及合作交流能力.
探究活动3 判定两直线平行条件的应用
1.观察右图并填空:
(1)∠1与 是同位角;
(2)∠5与 是同旁内角;
(3)∠2与 是内错角;
(4)∠3与∠1是 角;
(5)∠4与∠5是 角;
(6)∠2与∠5是 角.
2.当图中的各角分别满足下列条件时,你能指出哪两条直线平行吗?说明理由.
(1)∠1=∠4;
(2)∠2=∠4;
(3)∠1+∠3=180°.
3.如图所示.
(1)若∠A=∠3,则 ∥ ;
(2)若∠2=∠E,则 ∥ ;
(3)若∠ +∠ =180°,则 ∥ ;
(4)若 ,则BD∥CE.理由是 .
4.摆一摆,说一说:
如图所示,三个相同的三角尺拼接成一个图形,请找出一组平行线,并说明理由.(同组的同学用三角尺摆图,根据所摆的图形进行说明,注意语言叙述方式,用不同的方法来判断两直线
平行)
[设计意图] 循序渐进逐步设计,体现练习的层次性;由结论的唯一性,到结论的开放性,训练了学生的思
维能力,特别对于开放的题目,让学生充分发表意见,对各种结论进行说理探索,既训练了学生思维的深刻度,
又提高了学生的语言表达能力,使不同类的学生都得到充分的发展.对于较为复杂的图形,可以引导学生将
复杂的图形简单化,具体明确哪两条直线被第三条直线所截,同位角、内错角、同旁内角具备怎样的关系,再
判断两条直线是否平行.特别是第4题,是很好的开放式思维训练的题目,通过学生摆一摆,说一说,互相交流,
互相补充达到训练的目的.
[知识拓展] 到目前为止有五种方法判断两条直线平行:(1)定义法(不常用);(2)平行于同一直线的两条
直线平行;(3)同位角相等,两直线平行;(4)内错角相等,两直线平行;(5)同旁内角互补,两直线平行.
1.内错角.
2.同旁内角.
3.用内错角和同旁内角判定两直线平行的方法:
内错角相等,两直线平行;
同旁内角互补,两直线平行.
1.如图所示,如果∠1=∠2,那么 ∥ ( ).
如果∠2=∠3,那么 ∥ ( ).
答案:c d 内错角相等,两直线平行 a b 同位角相等,两直线平行
2.如图所示,直线a,b都与直线c相交,则能判定a∥b的条件是 .
解析:根据同位角相等,两直线平行,可填∠1=∠5或∠2=∠6或∠3=∠7或∠4=∠8;根据内错角相等,两直线平
行,可填∠3=∠5或∠4=∠6;根据同旁内角互补,两直线平行,可填∠3+∠6=180°或∠4+∠5=180°.故可填∠1=∠5.
3.如图所示.如果∠B=∠DCE,那么 ∥ ,理由是 ;
如果∠D=∠DCE,那么 ∥ ,理由是 ;
如果∠A+∠D=180°,那么 ∥ ,理由是 .
答案:AB CD 同位角相等,两直线平行 AD BE 内错角相等,两直线平行 AB CD 同旁内角互
补,两直线平行
第2课时
探究活动1 探究内错角相等两直线平行
探究活动2 探究同旁内角互补两直线平行
探究活动3 判定两直线平行条件的应用
一、教材作业
【必做题】
教材第49页习题2.4知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第49页习题2.4数学理解第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·福州中考)下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是 ( )
2.如图所示,下列条件中不能判断直线a平行于直线b的是 ( )
A.∠3=∠5B.∠2=∠6
C.∠1=∠2D.∠4+∠6=180°
3.如图所示,直线DE,BC被直线AB所截,∠1与∠2是 角,∠1与∠3是 角,∠1与∠4是
角.【能力提升】
4.如图所示,∠3和∠4是直线 和 被直线 所截的 角;∠1和∠3是直线
和 被直线 所截的 角.若∠1=∠2,则 ∥ ( ).若
∠1=45°,∠3=135°(已知),则AB∥DE( ).
5.如图所示.
(1)因为∠1=∠C(已知),所以ED∥ ( ).
(2)因为∠2=∠BED(已知),所以DF∥ ( ).
(3)因为∠3=∠B(已知),所以 ∥ ( ).
(4)因为∠2+∠AFD=180°(已知),所以 ∥ ( ).
【拓展探究】
6.如图所示,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,∠1+∠2=90°,那么直线AB,CD的位置关系如何?为什么?
【答案与解析】
1.B(解析:选项A中的∠1和∠2是同旁内角;选项B中的∠1和∠2是内错角;选项C中的∠1和∠2是内错角,但
不能判定AB与CD平行;选项D中的∠1和∠2是同旁内角.)
2.C(解析:∠1和∠2不是直线a,b被直线所截形成的同位角.)
3.内错 同旁内 同位
4.AC BC DE 内错 AB DE BC 同旁内 AB DE 同位角相等,两直线平行 同旁内角互补,两直
线平行
5.(1)AC 同位角相等,两直线平行 (2)AB 内错角相等,两直线平行 (3)DF AB 同位角相等,两直线平
行 (4)DE AC 同旁内角互补,两直线平行
6.解:直线AB,CD互相平行.理由如下:因为BE平分∠ABD(已知),所以∠ABD=2∠1.因为DE平分∠BDC(已知),
所以∠BDC=2∠2.所以∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2).因为∠1+∠2=90°,所以∠ABD+∠BDC=180°.所以
AB∥CD.提供给学生充分进行数学活动和探索的机会,让学生在独立思考的基础上进行合作探究、对话与互动,
通过展示与交流,培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力.让学生在主动、积极的氛围中,经历知识的产
生、发展和形成的过程,培养学生的操作、观察、探究、合作、归纳的能力.
课堂的应变能力还需提高,留给学生思考的时间较少,对学生语言的引导和训练不够到位,今后教学中,
要充分考虑到这一点.让学生在课堂上有更多的自主学习时间,让学生在实践活动中锻炼成长.
在分析的环节,注意兼顾到学生的差异,使不同层次的学生都能够得到充分的发展,那么课堂的效果会更
好.
随堂练习(教材第48页)
1.(1)∠4 (2)∠3 (3)∠1
2.解:(1)a∥b.因为∠1=∠4,同位角相等,两直线平行. (2)m∥l.因为∠2=∠4,内错角相等,两直线平行. (3)n∥l.因
为∠1+∠3=180°,同旁内角互补,两直线平行.
习题2.4(教材第49页)
知识技能
1.解:平行.理由:内错角相等,两直线平行.
2.解:AB∥CD.理由:因为∠DAB+∠CDA=180°,所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).AD∥BC.理由:因为
∠1=∠ABC,所以AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
数学理解
3.提示:都平行.三组看上去似乎不平行,其实是平行的,这是由于背景造成的视觉误差.
4.提示:同位角相等,两直线平行;或内错角相等,两直线平行;或同旁内角互补,两直线平行.
如图所示,回答问题.
(1)如果∠2=∠3,那么 ∥ ,理由是 ;
(2)如果∠3=∠4,那么 ∥ ,理由是 ;
(3)如果∠1与∠4满足条件 ,那么m∥n,理由是 ;
(4)如果∠1+∠2=180°,那么 ∥ ,理由是 .〔答案〕 (1)m n 同位角相等,两直线平行 (2)a b 内错角相等,两直线平行 (3)∠1+∠4=180°
同旁内角互补,两直线平行 (4)a b 同旁内角互补,两直线平行
[解题策略] 解答此类要判定两直线平行的题,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.
3 平行线的性质
1.经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步培养空间观念、推理能力和表达能力.
2.通过探索平行线的性质,掌握平行线的性质,并能解决一些问题.
通过测量、剪纸来探索平行线的性质,并能用平行线的一些性质解决一些问题.
通过对平行线的性质与判定两条直线平行的条件与结论的对比,渗透事物间的相互联系、相互区别的
辩证唯物主义价值观.
【重点】 平行线的性质.
【难点】 如何选用平行线的性质解题.
第 课时
1.经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步培养空间观念、推理能力和表达能力.
2.通过探索平行线的性质,掌握平行线的性质.
通过测量、剪纸等活动探索平行线的性质,并用规范的语言概括出来.通过对平行线的性质与判定两条直线平行的条件与结论的对比,渗透事物间的相互联系、相互区别的
辩证唯物主义价值观.
【重点】 平行线的性质.
【难点】 平行线性质的应用.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P50~51.
导入一:
[过渡语] 前面我们已学过同位角、内错角、同旁内角的概念及两直线平行的条件,你知道了哪些判
断两条直线平行的方法?
知识回顾.
【问题】 观察图形,回答下面问题:
(1)因为∠1=∠5(已知),
所以a∥b( ).
(2)因为∠4=∠ (已知),
所以a∥b(内错角相等,两直线平行).
(3)因为∠4+∠ =180°(已知),
所以a∥b( ).
[处理方式] 学生观察、思考,自行完成解答.教师引入新课.
[设计意图] 平行线的性质与判定直线平行的条件是互逆的,对初学者来说易将它们混淆,因此,复习判
定直线平行的条件为后面学习性质做好准备.
导入二:
[过渡语] 同学们,生活中有哪些平行的直线?它们都有什么作用?
情境引入(多媒体出示).
(1)小亮不小心把家里的梯形玻璃块打碎了,还剩下梯形上底的一部分(如图所示).已经量得
∠A=102°,∠C=106°,想一想,梯形另外两个角各是多少度?
提问:梯形中的四条边中哪两个边所在的直线是平行的?两直线平行,对于解决此问题有何帮助?这就需
要我们先探究出两直线平行的性质.(板书:平行线的性质)(2)如图所示,要设计一个弯形管道ABCD,使管道AB∥CD,∠ABC=120°,那么如何设计∠BCD的度数呢?
也就是说,如果给你两条平行直线,你能够得到什么?这就是我们本课时要学的平行线的性质.
[设计意图] 用学生感兴趣的实际问题(设疑)创设情境,导入新课,既激发了学生学习新知识的积极性和
主动性,又让学生感知到数学知识来源于实际生活,又服务于生活.
[过渡语] 同学们,还记得如何判定两条直线平行吗?你能利用研究两条直线平行的方法,分析一下,两
条直线平行有何特征吗?
探究活动1 探索平行线的性质
[过渡语] 下面我们来看一组平行线,思考问题.
思路一
问题1
请每位同学任意画直线a∥b,再任意画一条直线c与a,b相交(如图所示),用量角器量得图中八个角的度
数,并填表:
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
[处理方式] 学生动手操作:画图、测量、填表.
问题2
请同学们根据测量结果回答下列问题:
(1)同位角∠1和∠5,它们有什么关系?
(2)图中还有其他同位角吗?它们的大小有什么关系?请展示你的发现.
(3)换另一组平行线试试,你能得到相同的结论吗?
(4)由此,你能得出什么结论?
[处理方式] 学生根据测量结果思考,回答问题,并用自己的语言归纳平行线的性质.教师引导用几何语
言表达并板书.
[归纳总结] 性质1:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.
简称为:两直线平行,同位角相等.
用几何语言表示:因为a∥b,所以∠1=∠5.
问题3
你是否还有其他方法能得到∠1和∠5相等?
[处理方式] 学生思考,动手操作,教师巡视并适当加以引导,归纳探索平行线的性质的多种方法.
问题4
(1)图中有几对内错角?它们的大小有什么关系?为什么?
(2)图中有几对同旁内角?它们的大小有什么关系?为什么?
[处理方式] 学生思考、猜想、测量,得到答案,教师巡视,适当加以引导,与学生共同归纳探索平行线的
性质,并引导学生用几何语言表述性质.
[归纳总结] 性质2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简称为:两直线平行,内错角相等.
用几何语言表示:因为a∥b,所以∠4=∠5.
性质3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简称为:两直线平行,同旁内角互补.
用几何语言表示:因为a∥b,所以∠3+∠5=180°.
[设计意图] 通过测量、猜想、验证,让学生首先在动手探索的过程中感知平行线的性质,然后再在性
质1的基础上验证性质2,3的正确性,从而使学生对知识的认识从感性上升到理性.通过探索、交流等实践
活动,使学生增强对图形的直观体验和性质的理解,培养了学生的动手画图能力、操作能力和推理能力.
思路二
实践出真知.
【活动内容】
先画出直线a∥b,并且被第三条直线c所截,任选一对同位角,用适当的方法,看看这一对同位角有什么关
系,通过各个小组的相互交流,归纳出平行线的性质.
【汇报交流】 展示各个小组的实验过程及结果.
小组1:我们用度量的方法,通过度量可知,如果直线a∥b,那么∠1=∠2.
小组2:我们用裁剪拼接法,通过裁剪对比,可知如果直线a∥b,那么∠1=∠2.
师生提炼:我们可以总结出平行线的一个性质:
两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简称为:两直线平行,同位角相等.
生:我发现两直线平行,同位角相等与上节课所学的同位角相等,两直线平行是互逆的关系.
师:对,上节课所学的是直线平行的条件,今天我们探究的是平行线的性质.类似于同位角的情况,是否也
有下面的两种情况:(1)两直线平行,内错角相等?(2)两直线平行,同旁内角互补?
小组3:我们也是通过测量、裁剪、对比、拼接的方法,同样得出上面的两种情况是正确的.
生:我认为可以通过“两直线平行,同位角相等”这个性质进行推理得到这两个结论.
如图所示,因为a∥b,所以∠1=∠4(两直线平行,同位角相等),
又因为∠1=∠2(对顶角相等),
所以∠2=∠4(等量代换),
即两直线平行,内错角相等.
因为a∥b,所以∠1=∠4(两直线平行,同位角相等),
因为∠1+∠3=180°(平角的定义),
所以∠4+∠3=180°(等量代换),
即两直线平行,同旁内角互补.
师:同学们太棒了!通过积极的探索我们得到了平行线的性质(多媒体出示):
1.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.
简称为:两直线平行,同位角相等.
2.两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.
简称为:两直线平行,内错角相等.
3.两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简称为:两直线平行,同旁内角互补.师:哪位同学可以用数学语言描述?
生:利用数学语言叙述平行线的这三条性质:
1.如图,如果直线a∥b,那么∠1=∠5;∠2=∠6;∠3=∠7;∠4=∠8.
2.如图,如果直线a∥b,那么∠4=∠5;∠3=∠6.
3.如图,如果直线a∥b,那么∠3+∠5=180°;∠4+∠6=180°.
[设计意图] 先让学生动手实践,发挥学生的主体性,再通过小组间的交流合作,由学生自己感悟出平行
线的性质,充分说明学生是学习的主人.
探究活动2 平行线的判定与平行线的性质的异同
[过渡语] 平行线的判定与平行线的性质不同,平行线的判定是用来说明两条直线为什么是平行的,而
平行线的性质是说明同位角、内错角、同旁内角之间的大小关系的.切记只有在两直线平行的条件下才有
同位角、内错角相等,同旁内角互补,并不是所有的同位角、内错角都相等,同旁内角都互补.注意平行线的
性质不要和平行线的判定混淆,通过下列表格,注意二者有何区别和联系.
教师课件出示:
平行线的特征 直线平行的条件
两直线平行,同位角相等 同位角相等,两直线平行
两直线平行,内错角相等 内错角相等,两直线平行
两直线平行,同旁内角互补 同旁内角互补,两直线平行
同位角相等
{
两直线平行 内错角相等
同旁内角互补
探究活动3 平行线的性质与判定的应用
【活动内容】
如图所示,一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射,此时∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)∠1与∠3的大小有什么关系?∠2与∠4呢?
(2)反射光线BC与EF也平行吗?
[处理方式] 学生观察、思考,并用自己的语言叙述推理过程.教师巡视,帮助有困难的学生,再利用多媒
体展示推理过程.
解:(1)因为AB∥DE,
所以∠1=∠3(两直线平行,同位角相等),
因为∠1=∠2,∠3=∠4,∠1=∠3,
所以∠2=∠4(等量代换).
(2)因为∠2=∠4,
所以BC∥EF(同位角相等,两直线平行).
[设计意图] 本题提供了运用平行线的性质解释光的反射现象,激发了学生的学习兴趣,同时培养了学
生的推理能力和表达能力,能运用平行线的性质和平行线的判定解决实际问题,为后面学习证明打下基础.
要启发学生用推理的方法,进一步发展空间观念.
[知识拓展] 两条直线被第三条直线所截,必然存在同位角、内错角、同旁内角,但同位角、内错角不
一定相等,同旁内角不一定互补,只有当两条直线平行时才成立.因此一定要注意条件“两直线平行”,否则
“同位角、内错角相等,同旁内角互补”的结论不成立.1.平行线的性质
(1)两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.
简称为:两直线平行,同位角相等.
(2)两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.
简称为:两直线平行,内错角相等.
(3)两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简称为:两直线平行,同旁内角互补.
2.平行线的性质应用
1.如图所示,已知a∥b,∠1=50°,求∠2,∠3,∠4的度数.
解:因为a∥b,
所以∠2=∠1=50°,∠3=∠1=50°,∠1+∠4=180°,
所以∠4=130°.
2.如图所示,已知∠3=∠4,∠1=47°,求∠2的度数.
解:因为∠3=∠4,
所以a∥b(同位角相等,两直线平行),
所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
又因为∠1=47°,所以∠2=47°.
3.如图所示,一辆汽车经过一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同,也就是拐弯前后的两条路互相平行.
第一次拐的角∠B等于142°,第二次拐的角∠C是多少度?
解:因为AB∥CD,所以∠B=∠C,
又因为∠B=142°,所以∠C=142°.
4.如图所示,已知AB∥CD,BC∥DE,求∠B+∠D的度数.
解:因为AB∥CD,所以∠B=∠C,
又因为BC∥DE,
所以∠C+∠D=180°,所以∠B+∠D=180°.
第1课时
探究活动1 探索平行线的性质
探究活动2 平行线的判定与平行线的性质的异同
探究活动3 平行线的性质与判定的应用
一、教材作业
【必做题】
教材第51页习题2.5知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第51页习题2.5问题解决第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·重庆中考)如图所示,直线AB∥CD,直线EF分别与直线AB,CD相交于点G,H.若∠1=135°,则∠2的度
数为 ( )
A.65° B.55° C.45° D.35°
2.(2015·泸州中考)如图所示,AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠C=40°,则∠D的度数为 ( )
A.90° B.100° C.110° D.120°
3.如图所示,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠1=55°,则∠2的度数为 ( )
A.35° B.45° C.55° D.125°
4.一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进,那么两次拐弯的角度是 (
)
A.第一次右拐40°,第二次左拐140°
B.第一次左拐40°,第二次右拐40°
C.第一次左拐40°,第二次左拐140°
D.第一次右拐40°,第二次右拐40°
【能力提升】
5.如图所示,B,C,D在一条直线上,∠A=75°,∠1=53°,∠2=75°,求∠B的度数.6.如图所示,已知∠1=∠2,则图中互相平行的线段有哪些?
【拓展探究】
7.如图所示,AB∥CD,CE平分∠BCD,∠DCE=18°,求∠B的度数?
【答案与解析】
1.C(解析:因为AB∥CD,∠1=135°,所以∠2=180°- 135°=45°.故选C.)
2.B(解析:因为AB∥CD,∠C=40°,所以∠ABC=40°,因为BC平分∠ABD,所以∠ABD=80°,所以∠D=100°.故选B.)
3.A(解析:如图所示,根据两直线平行,同位角相等,得∠3=∠1=55°.又AB⊥BC,所以∠2=180°- 90°- 55°=35°.故选
A.)
4.B(解析:由画图可知,按选项A,C,D拐弯后的直线和原直线不平行.故选B.)
5.解:因为∠A=75°,∠2=75°,所以AB∥CE,所以∠B=∠1=53°.
6.解:因为∠1=∠2,所以AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
7.解:因为CE平分∠BCD,∠DCE=18°,所以∠BCD=2∠DCE=2×18°=36°,因为AB∥CD,所以∠B=∠BCD=36°.
本课时着重突出了平行线性质的探究过程.通过学生自主测量、猜想、验证,让学生在充分活动的基础
上,自己发现结论,并用自己的语言来归纳,这样可以增强学生的学习兴趣和自信心.
在教学中,有意识、有计划地设计了教学活动,充分挖掘知识内涵,引导学生体会平行线的性质与两直线
平行的条件之间的联系与区别,使学生体会数学知识间的密切联系.
由于课堂练习时间受限,指导和点拨的不够充足,导致学生的推理过程不够规范,讨论与合作的机会不够
充分.
(1)对两直线不平行时同位角、内错角、同旁内角之间关系的探究有助于学生加深对平行线性质的理
解,有助于区分平行线的性质与两直线平行的条件,再教时这方面有必要加强.(2)在学生的自主探索、合作交流的过程中,应该留给学生充足的时间,不要由老师的包办代替了学生的
思考.
(3)本课时设计的内容较为丰富,在实际使用时,可根据教学班的实际情况进行选取.
随堂练习(教材第51页)
解:如图所示,与∠1相等的角有∠2,∠3,∠4,∠5,∠6,∠7,∠8.与∠1互补的角有∠9,∠10,∠11,∠12,∠13,∠14,∠15,∠16.
习题2.5(教材第51页)
知识技能
1.提示:∠D=45°,∠C=45°,∠B=135°.
2.提示:∠A=120°,∠E=120°,它们相等.
问题解决
3.提示:南偏东48°.
有如下语句:
①一个锐角可以与一个钝角互补;
②一个角的补角一定大于这个角;
③如果两个角互余且相等,那么这两个角都等于45°;
④内错角相等.
其中正确的是 ( )
A.①②③ B.②④
C.③④ D.只有③
〔解析〕 150°角的补角等于30°,可见②不正确,从而排除A与B.两条直线平行时,被第三条直线所截
形成的内错角相等,不平行时,被第三条直线所截形成的内错角不相等,所以④是错误的,从而排除C.故选D.
第 课时
1.熟练应用平行线的性质和判定解决问题.
2.逐渐理解几何推理的要领,分清推理中“因为”“所以”表达的意义,从而初步学会简单的几何推理.
培养观察、推理、交流等思维方式,充分体现学生的主体地位,进一步发展学生的空间理念、推理能力
和表达能力,培养探索意识和合作交流意识.积极参与探索、交流、推理、归纳等数学活动,进一步体会数学的严密性,提高自己的逻辑思维能力.
【重点】 判定直线平行的条件和平行线性质的综合应用.
【难点】 熟练地应用判定直线平行的条件和平行线的性质解决相关问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P52~53.
导入一:
[过渡语] 同学们,我们已经学习了平行线的判定和性质,下面就请同学们利用平行线的性质和判定来
解决一些问题.
你听说过“坐地日行八万里”吗?这句话告诉我们地球的周长大约是8万里.可人们是怎么知道这个数
据的呢?
大约在公元前200年,聪明的古希腊人埃拉托色尼仅仅用一些数学知识,就测得了地球一周的总长.其中
就用到了平行线的性质:两直线平行,内错角相等.本课时我们主要应用平行线的性质和判定来解决问题.
[设计意图] 本环节是借用课本第53页的“读一读”的内容,目的是使学生体会数学在实际生活中的
广泛应用,吸引学生的注意力,激发学生学习数学的兴趣.
导入二:
[过渡语] 同学们,生活中有哪些平行的直线?它们都有什么作用?结合前几节课的学习,思考以下问题.
问题1
平行线的性质有哪几条?
问题2
判定直线平行的条件有哪几个?你现在一共有几个判定直线平行的方法?
问题3
在应用二者时应注意什么问题?
[处理方式] 有了上节课的基础,相信绝大多数学生能够较清晰地表述,但问题2的第二个问题需要学
生加以总结,把“平行于同一条直线的两直线平行”这一个判定方法加进来,一些同学会想不到,教师注意加
以引导.
[设计意图] 之前学生已经学习了这三个问题,再次复习提问的目的是让学生回顾总结已有的知识,从
而为本课时进行几何推理做好铺垫.
探究活动 平行线性质与判定的综合应用[过渡语] 下面我们一起探究一下,如何利用平行线的性质解决一些问题.一起来完成例1的几个问题
吧.(多媒体展示例题)
根据右图回答下列问题.
(1)若∠1=∠2,则可以判定哪两条直线平行?根据是什么?
(2)若∠2=∠M,则可以判定哪两条直线平行?根据是什么?
(3)若∠2+∠3=180°,则可以判定哪两条直线平行?根据是什么?
[处理方式] 由于图形较复杂,有些同学就容易被困扰.教师可以适时地对学生进行启发,从分析角的关
系入手,以便从复杂图形中剥离出基本图形.尝试解决第(1)问.
师板书解题过程:
解:(1)∠1与∠2是内错角,若∠1=∠2,
则根据“内错角相等,两直线平行”,
可得BF∥CE.
(2)∠2与∠M是同位角,若∠2=∠M,
则根据“同位角相等,两直线平行”,
可得AM∥BF.
(3)∠2与∠3是同旁内角,若∠2+∠3=180°,
则根据“同旁内角互补,两直线平行”,
可得AC∥MD.
[设计意图] 目的在于引导学生逐步学会用推理的方法来说明理由,渗透运用学过的定义、定理、公
理进行推理的意识.
[过渡语] 经过前面例题的学习,我相信大家一定可以轻松地完成下面的问题,一起来尝试一下吧!(多媒
体展示例题)
如图所示,AB∥CD,如果∠1=∠2,那么EF与AB平行吗?说说你的理由.
[处理方式] 仔细读题,观察图形,尝试解答.教师巡视检查,指出学生解题过程中出现的问题.
规范解题过程:
解:因为∠1=∠2,
根据“内错角相等,两直线平行”,
所以EF∥CD.
又因为AB∥CD,
根据“平行于同一条直线的两直线平行”,
所以EF∥AB.
注意:学生易出现的问题:
(1)“内错角相等,两直线平行”写成“两直线平行,内错角相等”.
(2)只写结果不写原因.
师强调:
(1)平行线的性质与判定的区别;
(2)推理过程要弄清因果关系.[设计意图] 通过学生的观察、分析、讨论,此时学生已能够进行推理,教师不必包办代替,要充分调动
学生的主动性和积极性,进而培养学生分析问题的能力,在学生有成就感的同时也激励了学生的学习兴趣.
如图所示,已知直线a∥b,直线c∥d,∠1=107°,求∠2,∠3的度数.
[处理方式] 由于初次接触较严格的推理论证,学生需要的时间会较长,而且在书面表达方面还有些欠
缺,因此教师一定要注意给学生留有充分的思考空间,并可通过多媒体课件展示规范解答.
解:因为a∥b,
根据“两直线平行,内错角相等”,
所以∠2=∠1=107°.
因为c∥d,
根据“两直线平行,同旁内角互补”,
所以∠1+∠3=180°,
所以∠3=180°- ∠1=180°- 107°=73°.
[设计意图] 本环节的主要目的依旧是培养学生推理的能力.在给学生充足时间进行思考的基础上,教
师再利用课件展示规范解答,强调推理的严谨性.这样设计,既避免了多媒体展示取代学生的思考的弊端,又
规范了学生的推理步骤.
[知识拓展] 两条直线平行的条件是由角的“数量关系”推得直线的“位置关系”,而平行线的性质
则是由直线的“位置关系”推得角的“数量关系”.口诀:已知平行用性质,要得平行用条件.
1.如何区分“根据”是“直线平行的条件”还是“平行线的性质”.
2.会运用直线平行的条件和平行线的性质解决一些问题.
3.会运用直线平行的条件和平行线的性质,进行有条理的分析、表达.
4.会写推理过程,注意推导理由.
1.如图所示,AB∥CD,AF分别交AB,CD于A,C,CE平分∠DCF,∠1=100°,则∠2= .
解析:因为AB∥CD,所以∠DCF=∠1,又因为CE平分∠DCF,∠1=100°,所以∠2=50°.故填50°.
2.如图所示,AB⊥EF,CD⊥EF,垂足分别为B,D,∠1=∠F=45°,那么与∠FCD相等的角有 个,它们
分别是 .解析:因为CD⊥EF,所以∠CDF=90°,又因为∠F=45°,所以∠FCD=45°,因为AB⊥EF,CD⊥EF,所以
AB∥CD,所以∠FCD=∠A,因为∠1=∠F,所以GB∥AF,∠1=∠FCD,所以∠ABG=∠A=∠FCD,故和∠FCD相等的角
有4个,分别是∠F,∠A,∠ABG,∠GBE.
答案:4 ∠F,∠A,∠ABG,∠GBE
3.如图所示,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2= .
解析:因为AB∥CD,所以∠1+∠FEB=180°,∠BEG=∠2,又因为∠1=72°,所以∠FEB=108°,因为EG平分∠BEF,
所以∠FEG=∠BEG=54°,所以∠2=54°.故填54°.
4.如图所示,BA∥DE,∠B=150°,∠D=130°,则∠BCD的度数是 .
解析:如图所示,过点C作CF∥AB,因为BA∥DE,所以CF∥DE,所以∠B+∠FCB=180°,∠D+∠DCF=180°,又
因为∠B=150°,∠D=130°,所以∠FCB=30°,∠DCF=50°,所以∠BCD=80°.故填80°.
第2课时
平行线性质与判定的综合应用
例1
例2
例3
一、教材作业
【必做题】
教材第54页习题2.6知识技能第1,2,3题.
【选做题】
教材第54页习题2.6数学理解第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,由AC∥ED,可知相等的角有 ( )
A.7对 B.6对 C.5对 D.4对2.如图所示,B在A的 ( )
A.南偏东30°方向 B.南偏东60°方向
C.北偏西30°方向 D.北偏西60°方向
3.如图所示,如果AB∥CD,那么角α,β,γ之间的关系式为 ( )
A.α+β+γ=360° B.α- β+γ=180°
C.α+β+γ=180° D.α+β- γ=180°
4.(2015·广东中考)如图所示,直线a∥b,∠1=75°,∠2=35°,则∠3的度数是 ( )
A.75° B.55° C.40° D.35°
【能力提升】
5.(2015·聊城中考)直线a,b,c,d的位置如图所示,如果∠1=58°,∠2=58°,∠3=70°,那么∠4等于 ( )
A.58° B.70° C.110° D.116°
6.如图所示,点B在直线AC上,点E在直线DF上,且∠1=∠2,∠C=∠D,试说明∠A=∠F.
【拓展研究】
7.如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠C的关系.【答案与解析】
1.A(解析:因为AC∥ED,所以∠BED=∠BAC,∠FAC=∠FED,∠EDF=∠1,∠FDE=∠2,∠C=∠BDE,又∠1=∠2,∠3=∠4,
所以共7对.故选A.)
2.B
3.D(解析:如图所示,过点E作EF∥AB,因为AB∥CD,所以EF∥CD,所以α+∠1=180°,∠2=γ,所以
β=∠1+∠2=180°- α+γ,所以α+β- γ=180°.故选D.)
4.C(解析:如图所示,因为a∥b,∠1=75°,所以∠5=180°- ∠1=105°,所以∠4=105°,因为∠2+∠3+∠4=180°,∠2=35°,所
以∠3=180°- 35°- 105°=40°.)
5.C(解析:如图所示,因为∠1=∠2=58°,所以a∥b,所以∠3+∠5=180°,即∠5=180°- ∠3=180°- 70°=110°,所以
∠4=∠5=110°.故选C.)
6.解:如图所示,因为∠2和∠3是对顶角,所以∠2=∠3,因为∠1=∠2,所以∠1=∠3,所以BD∥CE,所以∠C=∠4,因为
∠C=∠D,所以∠4=∠D,所以BC∥DF,所以∠A=∠F.
7.解:如图所示,∠AED=∠C.理由:因为∠1+∠2=180°,∠1+∠4=180°,所以∠2=∠4,所以EF∥AB,所以∠3=∠5,因为
∠3=∠B,所以∠B=∠5,所以DE∥BC,所以∠AED=∠C.鼓励学生以自己的方式去表述例题的解答步骤,然后示范课本中的解答格式,对比后,发现课本中的解答
格式既清晰又简洁,自然能接受这种书写格式.练习的环节中让学生充分展示,相互交流,让学生体验到了成
功的快乐和收获的乐趣.
因为学生初次接触正规的推理,还有部分学生不能理解它的意义,哪个做前提哪个做结论还不能充分理
解,导致出现错误.以后应加强这方面的训练.
应该更多地选用学生所熟悉的实际材料,活跃学生的思维,让学生想说、敢说,也因此才能更好地调动课
堂气氛,让学生主动参与探究.由于在课堂中更多地注重规范学生推理过程的书写格式,导致学生练习的时
间减少了,不能更好地巩固所学.
随堂练习(教材第53页)
1.解:如图所示,因为∠1=105°,∠1+∠3=180°,所以∠3=180°- ∠1=180°- 105°=75°,因为∠2=75°,所以∠2=∠3=75°,
所以a∥b(同位角相等,两直线平行).
2.解:因为AE∥CD,∠1=37°,所以∠2=∠1=37°(两直线平行,内错角相等),因为∠D=54°,所以∠BAE=∠D=54°(两直
线平行,同位角相等).
习题2.6(教材第54页)
知识技能
1.解:AB∥CD,AE∥CF.理由如下:因为∠2=120°,∠3=60°,所以∠3+∠2=180°,所以AB∥CD,所
以∠BOF=∠3=60°,又因为∠1=60°,所以∠BOF=∠1,所以AE∥CF.
2.解:AB∥CD.理由如下:因为AC平分∠DAB,所以∠1=∠CAB,又因为∠1=∠2,所以∠2=∠CAB,所以AB∥CD.
3.解:因为AB∥CD,所以∠C=∠B=50°.
4.解:因为AC∥ED,所以∠BED=∠A=64°,又因为AB∥FD,所以∠EDF=∠BED=64°.
数学理解
5.解:平行.理由如下:因为∠ABC=115°,∠BCD=65°,所以∠ABC+∠BCD=115°+65°=180°,所以AB∥CD(同旁内角
互补,两直线平行).
问题解决
6.提示:沿北偏东65°方向修建.如图所示,已知AB∥CD,∠1=∠2,则∠BEF与∠EFC相等吗?为什么?
〔解析〕 若先假设∠BEF与∠EFC相等,就可以得到EB∥FC,延长BE交CD的反向延长线于点G,则
∠2=∠G,由∠1=∠2,得∠1=∠G,故AB∥CD,与已知吻合,所以∠BEF=∠EFC.
解:∠BEF=∠EFC.
理由如下:如图所示,延长BE交CD的反向延长线于点G.
因为AB∥CD,
所以∠1=∠G.
因为∠1=∠2,所以∠2=∠G,所以BE∥FC.
所以∠BEF=∠EFC.
[解题策略] 由结论入手推导出已知条件,反之即为解题过程.
4 用尺规作角
1.会用尺规作一个角等于已知角.
2.体会文字语言与图形语言的转换.
经历用尺规作一个角等于已知角的过程,了解作图语言.
感受图形世界的奇妙,激起学习数学的兴趣,发展空间观念.
【重点】 用尺规作一个角等于已知角.
【难点】 作角的和、差、倍.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P55~56.导入一:
【活动内容】
大家喜欢打桌球吗?打球时,球的反射角总是等于入射角,如图所示,用白球击打红球,你能画出红球在第
一次反弹后的运动路线吗?
[处理方式] 教师适当引导,学生讨论得出结论:作一个角等于入射角,引入本节课将要研究的内容.
[设计意图] 通过创设教学情境,调动学生的学习兴趣,激发学生的思维,使学生在注意力集中的前提下
顺利过渡到本节知识上来,同时让学生体会数学来源于生活.
导入二:
问题1
作一条线段等于已知线段.
已知:线段AB,如图所示.
求作:线段A'B',使A'B'=AB.
[处理方式] 学生口述作图过程,教师课件演示画图过程,为下一步学习做铺垫.
问题2
如图所示,要在长方形木板上截一个平行四边形,使它的一组对边在长方形木板的边缘上,另一组对边中
的一条边为AB.
(1)请过点C画出与AB平行的另一边.
(2)如果只有一个圆规和一把没有刻度的直尺,你能解决这个问题吗?
[处理方式] 引导学生分析,此题为过直线外一点作已知直线的平行线.学生说出步骤,教师课件演示作
图过程.教师继续追问:还可以用什么方法作出AB的平行线?引导学生考虑到要过点C作AB的平行线,可以
通过作一个角等于∠BAC得到.进而导入新课:利用尺规作一个角等于已知角.
[设计意图] 在问题(1)中,画图工具不限,方法也不限,只要正确画出并能用自己的语言说明画图的依据
即可,一方面是巩固平行线判定的条件,另一方面也为第(2)问的思考做铺垫.在问题(2)的讨论中,引发了学生
的认知冲突,从而自然导入了新课.
探究活动1 用尺规作一个角等于已知角
【活动内容】已知:∠ABC(如右图).
求作:∠A'B'C',使∠A'B'C'=∠ABC.
作法与示范:
作法 示范
(1)作射线B'C'
(2)以点B为圆心,
以任意长为半径画
弧,交BC于点D,交
AB于点E
(3)以点B'为圆心,
以BD长为半径画
弧,交B'C'于点D'
(4)以点D'为圆心,
以DE长为半径画
弧,交前面的弧于点
E'
(5)过点E'作射线
B'A',∠A'B'C'就是所
求作的角
[处理方式] 作一个角等于已知角的作图过程比较复杂,教学时,可循序渐进进行,可分三步:首先教师可
以自己口述或播放视频让学生看懂步骤,然后教师口述步骤,学生作图,最后学生自己回顾作图步骤进行独立
作图.对于作法,只要求学生能看懂即可,不要求学生写作法,但是要规范学生的作图语言.
[设计意图] 教师演示尺规作角,不仅是作图方法的示范,而且渗透了两种数学语言的转换:文字语言与
图形语言的转换.让学生体会这两种语言的转换.
【归纳总结】
1.作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧”,先画一条射线,再作三次弧.其中前两次弧半径相同,而
第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离为半径.
2.尺规作图的基本步骤:(1)已知;(2)求作;(3)作法.
探究活动2 利用尺规作已知直线的平行线
【活动内容】
请你用所学过的作角的方法来解决情境导入提出的问题:如何只用一个圆规和一把没有刻度的直尺来
过点C作AB的平行线呢?(如图所示)
[处理方式] 教师引导学生根据题意分析得出:可以用尺规过点C作一个角使它等于已知角∠BAC就可
以了,让学生在练习本上独立完成作图过程,然后小组反馈交流,教师适当点评,达成共识.不要求学生写作法,
只需学生用数学语言口述作法即可,但保留作图痕迹.
[设计意图] 通过这一道练习既解决了情境导入提出的问题,又让学生在解决实际问题中进一步巩固
了作一个角等于已知角的方法步骤.
探究活动3 利用尺规作角的和与差
【活动内容】如图所示,已知∠1,∠2(∠1>∠2),利用尺规作图,比较它们的大小.
〔解析〕 以一个角(如∠1)的顶点为顶点,以该角的一边为始边,作另一个角(如∠2),使两个角的另一边
在同侧,若两角的终边重合,则∠2=∠1;若∠2的终边落在∠1的外部,则∠2>∠1;若∠2的终边落在∠1的内部,则
∠2<∠1.
[处理方式] 一名学生板演,其他学生独立在练习本上画图,教师巡视批阅,根据巡视中发现的问题进行
有针对性的讲解.
示范作图:
如图所示,可知∠2<∠1.
【即时训练】
1.已知:∠1,∠2(如图(1)所示),求作:∠AOB,使得∠AOB=∠1- ∠2.
解:如图(2)所示.
2.已知:∠α,∠β(如图(1)所示),求作:∠AOB,使得∠AOB=∠α+∠β.
解:如图(2)所示.
[处理方式] 教师先引导学生分析问题,作一个角等于已知的两个角的和,可以类比尺规作线段的和,应
该先作一个角等于其中一个角,然后以作好的角的一边为一边,在它的外部作一个角等于另一个角即可.一
个学生可以到黑板给大家做示范,其他的同学认真看他作图的方法步骤是否正确、规范,由学生点评并纠正.
最后学生自己独立完成作图过程,不要求写作法.
[设计意图] 虽然在教材中没有出现有关角的和、差的作图例题,但是在课后习题及随堂练习当中出
现了有关作角的和的问题和作角的2倍的问题,所以学生在此掌握作角的和、差也是十分有必要的.对作角
的和、差、倍的训练,适应学生的认知水平,同时活化了教材,对本节知识也是一种拓展延伸和补充.
1.作一个角等于已知角的步骤.
2.怎样过直线外一点作已知直线的平行线.
3.作已知角的和、差、倍.
1.下列作图属于尺规作图的是 ( )
A.用量角器画出∠AOB等于已知角α
B.用三角尺作已知直线的垂线C.用刻度尺画线段AB=2 cm
D.用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB,使其等于已知角α
解析:尺规作图指的是运用没有刻度的直尺和圆规作图.故选D.
2.如图所示,以点B为顶点,射线BC为一边,作∠EBC,使得∠EBC=∠A,这时EB与AD一定平行吗?为什么?
解:EB与AD不一定平行,有两种情况,如图所示.
4 用尺规作角
探究活动1 用尺规作一个角等于已知角
探究活动2 利用尺规作已知直线的平行线
探究活动3 利用尺规作角的和与差
一、教材作业
【必做题】
教材第57页习题2.7知识技能第1题.
【选做题】
教材第57页习题2.7问题解决第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列尺规作图的语句错误的是 ( )
A.作∠AOB,使∠AOB=3∠α
B.以点O为圆心作弧
C.以点A为圆心,线段a的长为半径作弧
D.作∠ABC,使∠ABC=∠α+∠β
2.画一个钝角∠AOB,然后以O为顶点,以OA为一边,在∠AOB的内部画一条射线OC,使∠AOC=90°,正确的图
形是 ( )
3.根据图形填空.
(1)如图(1)所示,连接 两点.
(2)如图(2)所示,延长线段AB到点 ,使BC= .
(3)如图(3)所示,在 AM上截取 = .
(4)如图(4)所示,以点O为 ,以EF长为 画弧,交OA,OB分别于点 ,点 .【能力提升】
4.一束光线AO斜射到平面镜MN上,如图所示.请你在图中画出反射光线.(简述作图过程)
【拓展探究】
5.如图所示,已知∠1,∠2,画出一个角,使它等于3∠1- ∠2.(不写作法,保留痕迹)
【答案与解析】
1.B(解析:作弧一定要指明圆心和半径.)
2.D
3.(1)A,B (2)C AB (3)射线 AB CD (4)圆心 半径 C D
4.解:先过入射点垂直平面镜作出法线,再根据反射角等于入射角在法线的右侧画出反射光线.如图所示,OB
即为所求.
5.解:如图所示,∠AOB就是所要求作的角.
在本节课的教学中,创设了恰当的问题情境,唤起学生的求知欲望和探求意识,教学环节设计符合学生的
认知规律,让学生主动探究,使学生在动手操作中获取作一个角等于已知角的方法.对学生的能力估计不足,个别学生的作图操作能力跟不上.
教学中除了要关注本节课的教学目标,同时还应注意本节课在学生整个学习当中的长远目标.刚刚开始
学习尺规作图,语言的到位,作图的规范,对于学生今后的学习是至关重要的.
随堂练习(教材第56页)
1.解:①如图所示,任意作一条射线O'A'.②以O为圆心,以任意长为半径作弧,交∠AOB边OA,OB于C,D两点.
③以O'为圆心,以OC长为半径作弧,交射线O'A'于点C'.④以C'为圆心,以CD长为半径作弧,交原弧于点
D'.⑤再以D'为圆心,以CD长为半径作弧,交原弧于点B'.⑥连接O'B'并延长,∠A'O'B'即为所求.
2.解:①如图所示,以A为圆心,以任意长为半径作弧,交∠BAC的两边于E,G两点.②以C为圆心,以AE长为半
径作弧,交AC的延长线于点F.③以F为圆心,以GE长为半径作弧,交原弧于点H.④连接CH并延长,交木板
边于D,CD即为所求.
习题2.7(教材第57页)
知识技能
1.解:(1)如图(1)所示,∠ABD即为所求. (2)如图(2)所示,∠AOB即为所求.
复习题(教材第58页)
知识技能
2.解:42°.理由如下:两直线平行,内错角相等.
3.提示:EB与AD不一定平行.
4.提示:两幅图中,直线a与直线b都平行.
5.提示:(1)∠1=90°. (2)∠1=144°. (3)∠1=60°.
6.提示:95°.互为补角的两个角的和是180°.
数学理解
7.解:如果∠B与∠C互补,那么线段AB与线段DC平行.∠A与∠B互补,可以保证AD∥BC.8.提示:(1)∠1=∠3=∠2,∠1+∠4=180°,∠2+∠4=180°,∠4+∠3=180°,∠5+∠6=180°. (2)∠1=∠5或∠3=∠5或∠4=∠6.
问题解决
9.提示:∠C=140°.
10.提示:∠ABC=40°.
11.提示:∠1=60°.
联系拓广
14.解:如图所示,图(1)为原图,上面画的虚线是剪切线,图(2)为剪拼后的图形.
1.课本中只是提出了如何用尺规来作一个角等于已知角,但是对于教材的适当补充和拓展是十分必要
的,教材只是为教师提供了最基本的教学素材,教师完全可以根据学生的实际情况进行适当的调整,要学会创
造性使用教材,对于本节课有关角的和、差、倍的补充,既是对学生知识的补充,也是对学生活动经验进一步
积累的一种提高.
2.本节课学生动手操作和语言表达的机会非常多,如果教师只是一味地教给学生作图的过程,按照要求
说作法,就剥夺了学生学习的主体地位,同时学生只是一味地被动接受,学习兴趣也不浓厚.而通过学生之间
的交流合作,为学生提供展示自己聪明才智的机会,并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题、解决问
题的独到见解,以及思维的误区和不严密的地方,以便指导教学,更加具有针对性,同时也能大大提高课堂的
效率.
3.在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其
他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交
流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性.
1.掌握对顶角、余角、补角的定义及性质,并熟练利用其解决问题.
2.掌握平行线、垂线的性质及作图方法.
3.掌握平行线的性质与判定.
4.会用尺规作一个角等于已知角.1.通过运用类比、归纳、转化等思想,进一步发展逻辑推理能力.并综合运用数学知识和方法解决简单
的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.
2.经历解决综合题目的过程,进一步发展学生的数学应用意识,提高应用几何意识及方法解决问题的能
力,进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理的思考及语言表达能力.
1.在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力,感受数学与现实生活的密切联系,增强学生
的数学应用意识.
2.培养学生敢于发表自己的想法,勇于探究、质疑及合作交流的精神.
【重点】 平行线的性质与判定的应用.
【难点】 综合运用所学知识解决问题,领悟几何思想.
专题一 有关基本图形的问题
【专题分析】
掌握对顶角、补角、余角、同位角、内错角、同旁内角的概念及性质,并会用其解决问题.
如图所示,直线AB,CD,EF都经过点O,图中共有几对对顶角?
〔解析〕 数基本图形不能重复,不能遗漏.我们知道两条直线相交有两对对顶角,图中有3组两条直线
相交,故对顶角有2×3=6(对).
解:共有6对对顶角.
[解题策略] 数图形个数及书写时,应注意顺序性,这样不易重复和遗漏.【针对训练1】 如图所示,∠1与∠2是 ( )
A.对顶角
B.同位角
C.内错角
D.同旁内角
〔解析〕 根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义判断∠1和∠2是同位角.故选B.
如图所示,AB∥CD,P为AB,CD之间的一点,已知∠1=32°,∠2=25°,求∠BPC的度数.
〔解析〕 此图不是我们所学的“三线八角”的基本图形,需添加一些线(辅助线)把它们转化成我们
熟悉的基本图形.
解:如图所示,过点P作射线PN∥AB.
因为AB∥CD(已知),
所以PN∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行),
所以∠4=∠2=25°(两直线平行,内错角相等).
因为PN∥AB(已作),
所以∠3=∠1=32°(两直线平行,内错角相等).
所以∠BPC=∠3+∠4=32°+25°=57°.
【针对训练2】 如图所示,已知AB∥CD,BC∥DE.试说明∠B=∠D.
〔解析〕 条件为直线平行,故可根据平行线的性质进行说明.
解:因为AB∥CD(已知),
所以∠B=∠C(两直线平行,内错角相等).
因为BC∥DE(已知),
所以∠C=∠D(两直线平行,内错角相等).
所以∠B=∠D(等量代换).
[解题策略] 此题重点考查了平行线的性质的应用.【针对训练3】 如图所示,在三角形ABC中,CD⊥AB于D,FG⊥AB于G,ED∥BC.试说明∠1=∠2.
解:因为CD⊥AB,FG⊥AB(已知),
所以∠CDB=∠FGB=90°(垂直定义),
所以CD∥FG(同位角相等,两直线平行),
所以∠2=∠3(两直线平行,同位角相等).
因为DE∥BC(已知),
所以∠1=∠3(两直线平行,内错角相等),
所以∠1=∠2(等量代换).
[解题策略] 多次运用平行线的性质说明∠1,∠2,∠3的关系.
专题二 基本图形的计算与推理
【专题分析】
基本图形的计算与推理涉及的题型有:(1)有关角的计算;(2)有关角相等的判定;(3)判定平行问题;(4)判定
垂直问题;(5)判定共线问题.
如图所示,已知∠4=70°,∠3=110°,∠1=46°,求∠2的度数.
〔解析〕 由∠3+∠4=180°,知AB∥CD,故∠2=180°- ∠1.
解:因为∠4=70°,∠3=110°,
所以∠4+∠3=180°,
所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),
所以∠2=180°- ∠1=180°- 46°=134°(两直线平行,同旁内角互补).
[解题策略] 此题考查由同旁内角互补判定两直线平行,由两直线平行可得同旁内角互补,从而计算相
关的角.
【针对训练4】 如图所示,AB∥CD,BE∥DF.试说明∠1=∠2.
解:因为AB∥CD(已知),
所以∠1+∠3=∠2+∠4(两直线平行,内错角相等).
因为BE∥DF(已知),
所以∠3=∠4(两直线平行,内错角相等),
所以∠1=∠2(等式性质).
[解题策略] 判定角相等的方法有:(1)同角(等角)的余角相等;(2)同角(等角)的补角相等;(3)对顶角相等;
(4)角平分线定义;(5)两直线平行,同位角相等;(6)两直线平行,内错角相等.【针对训练5】 如图所示,DF∥AC,∠1=∠2.试说明DE∥AB.
〔解析〕 要说明DE∥AB,可说明∠1=∠A,而由DF∥AC,可得∠2=∠A.又因为∠1=∠2,故有∠1=∠A,从而得
出结论.
解:因为DF∥AC(已知),
所以∠2=∠A(两直线平行,同位角相等).
因为∠1=∠2(已知),
所以∠1=∠A(等量代换),
所以DE∥AB(同位角相等,两直线平行).
[解题策略] 判定直线平行的方法有:(1)平行于同一条直线的两条直线平行;(2)垂直于同一条直线的两
条直线平行;(3)同位角相等,两直线平行;(4)内错角相等,两直线平行;(5)同旁内角互补,两直线平行.
如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.试说明E,O,F三点在一条直
线上.
〔解析〕 要说明E,O,F三点共线,只需说明∠EOF=180°.
解:因为AB,CD相交于点O,
所以∠AOC=∠BOD.
因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOD,
1 1
所以∠1= ∠AOC,∠2= ∠BOD,
2 2
所以∠1=∠2.
因为∠1+∠EOD=∠COD=180°,
所以∠2+∠EOD=180°,即∠EOF为平角,
所以E,O,F三点共线.
【针对训练6】 如图所示,∠1=∠2,CD∥EF.试说明EF⊥AB.
〔解析〕 要说明EF⊥AB,可说明∠2=90°,而由CD∥EF,可得∠1+∠2=180°,又∠1=∠2,所以有
∠1=∠2=90°,从而得出结论.解:因为CD∥EF(已知),
所以∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又因为∠1=∠2(已知),
所以∠1=∠2=90°,
所以EF⊥AB(垂直定义).
[解题策略] 判定垂直的方法有:(1)说明两条相交线的一个交角为90°;(2)说明互为邻补角的两个角相
等;(3)垂直于平行线中的一条,也必垂直于另一条.
专题三 转化思想
【专题分析】
在计算过程中,我们总是想办法将未知的转化为已知的.
如图所示,直线AB,CD相交于点O,OD平分∠AOE,且∠COA∶∠AOD=7∶2,求∠BOE的度数.
〔解析〕 欲求∠BOE,可先求∠AOE,而∠AOE=2∠AOD,所以只需求∠AOD即可,由已知条件可求得
∠AOD.
解:因为∠COA+∠AOD=180°,∠COA∶∠AOD=7∶2,
2
所以∠AOD= ×180°=40°.
9
因为OD平分∠AOE,
所以∠AOE=2∠AOD=2×40°=80°,
所以∠BOE=180°- ∠AOE=180°- 80°=100°.
[解题策略] 互为邻补角的两个角的和为180°、对顶角相等是在有关求角的大小的问题中常用的两
个等量关系,要注意发现图形中的这两种角,它们常隐藏在直线条件的背后.
【针对训练7】 已知DB∥FG∥EC,A是FG上一点,∠ABD=60°,∠ACE=36°,AP平分∠BAC,求:
(1)∠BAC的大小;
(2)∠PAG的大小.
〔解析〕 (1)利用“两直线平行,内错角相等”得到两对角相等,相加即可求出所求的角;(2)由AP为角
平分线,利用角平分线定义求出∠PAC的度数,由∠PAC- ∠CAG即可求∠PAG的度数.
解:(1)因为DB∥FG∥EC,
所以∠BAG=∠ABD=60°,∠CAG=∠ACE=36°,
所以∠BAC=∠BAG+∠CAG=96°.
(2)因为AP为∠BAC的平分线,所以∠BAP=∠CAP=48°,
所以∠PAG=∠CAP- ∠GAC=12°.
[解题策略] 此题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.
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一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图所示,直线AB,CD相交于点E,DF∥AB.若∠AEC=100°,则∠D等于 ( )
A.70° B.80° C.90° D.100°
2.下列说法不正确的是 ( )
A.若两个相等的角有一组边平行,则另一组边也平行
B.两条直线相交,所成的两组对顶角的平分线互相垂直
C.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直
D.经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
3.如图所示,直线a,b都和直线c相交,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4+∠7=180°;④∠5+∠8=180°.其中
能判定a∥b的有 ( )
A.①③ B.②④
C.①③④ D.①②③④
4.下列说法不正确的是 ( )
A.如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行
B.两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
C.两条直线被第三条直线所截,如果同位角互补,那么这两条直线平行
D.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
5.下列说法中正确的是 ( )
A.相等的两个角是对顶角
B.一条直线有且只有一条垂线
C.直线外一点与这条直线上的各点所连接的线段中,垂线段最短
D.一个角一定不等于它的余角
6.如图所示,直线l∥l,∠1=120°,则∠2的度数为 ( )
1 2
A.60° B.80° C.100° D.120°7.如图所示,已知直线a,b被直线c所截,且a∥b,∠1=65°,那么∠2等于 ( )
A.145° B.65° C.55° D.35°
8.如图所示,AB∥CD,EF分别交AB,CD于M,N,NG平分∠DNF,∠1=60°,则∠2等于 ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
9.下列说法中正确的有 ( )
①同位角相等;
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
③平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
④三条直线两两相交总有三个交点;
⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图所示,下列推理正确的是 ( )
A.因为∠1=∠4,所以BC∥AD
B.因为∠2=∠3,所以AB∥CD
C.因为AD∥BC,所以∠BCD+∠ADC=180°
D.因为∠1+∠2+∠C=180°,所以BC∥AD
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.如图所示,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,∠1=47°,则∠2的大小是 .
12.如图所示,∠1和∠2是直线 , 被第三条直线 所截得的 角.13.如图所示,AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°,则∠3= .
14.如图所示,∠1=56°,∠2=124°,∠3=85°,则∠4= .
15.从钝角∠AOB的顶点引射线OP⊥OA,若∠BOP∶∠AOP=2∶3,则∠AOB= .
16.如图所示,AD∥BC,BD平分∠ABC,若∠A=110°,则∠D= .
17.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,∠1与∠2 ,∠2与∠3是 ,∠2与∠4 ,∠1
与∠3 .(填“互为余角”“互为补角”或“对顶角”)
18.如图所示,AD∥BC,∠D=100°,∠BAC=70°,CA平分∠BCD,则∠ABC= .
三、解答题(共58分)
19.(10分)如图所示,OA∥O'A',OB∥O'B'.
(1)试说明∠AOB=∠A'O'B';
(2)反向延长OA到C,试说明∠COB+∠A'O'B'=180°.20.(9分)如图所示,直线AB,CD,EF相交于O点,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=28°,求∠AOG的度数.
21.(9分)如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.试说明AD∥BC.
22.(9分)按要求作图(不写作法,但要保留作图痕迹).
已知点P,Q分别在∠AOB的边OA,OB上.
①作直线PQ.
②过点P作OB的垂线.
③过点Q作OA的平行线.
23.(9分)如图所示,已知AD⊥BC,EF⊥BC,∠3=∠C,那么∠1=∠2.谈谈你的理由.
24.(12分)已知AB∥CD,试解决下列问题:
(1)如图(1)所示,∠1+∠2等于多少度?请说明理由;
(2)如图(2)所示,∠1+∠2+∠3等于多少度?请说明理由;
(3)如图(3)所示,∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度?为什么?
(4)如图(4)所示,试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n等于多少度.【答案与解析】
1.B(解析:因为∠AEC+∠AED=180°,∠AEC=100°,所以∠AED=80°.因为AB∥DF,所以∠D=∠AED=80°.故选B.)
2.A(解析:A中有不平行的情况.)
3.D(解析:根据平行线的判定即可得到答案.)
4.C(解析:A.平行的传递性.B.平行线的判定.C.同位角相等,两直线才平行.D.平行线的判定.)
5.C(解析:可以举反例说明.)
6.D(解析:根据对顶角相等及平行线的性质可以得出.)
7.B(解析:两直线平行,内错角相等.)
1
8.C(解析:先求∠END,再求∠FND,∠2= ∠FND=60°.)
2
9.B(解析:①没说两直线平行,②如果这点在该直线上就作不出平行线,④如果三线共点就只有1个交点.)
10.C(解析:两直线平行,同旁内角互补.)
11.133°(解析:因为∠1=∠AEF,∠1=47°,所以∠AEF=47°.因为AB∥CD,所以∠AEF+∠2=180°,所以∠2=180°-
∠AEF=133°.)
12.AC BD AB 同位
13.60°
14.95°(解析:根据∠1+∠2=180°得∠1的对顶角+∠2=180°,进而得到平行线,则∠3+∠4=180°,所以∠4=180°-
85°=95°.)
15.150°(解析:∠AOP=90°,∠BOP=60°.)
16.35°
17.互为余角 对顶角 互为补角 互为余角
1
18.70°(解析:∠BCD=180°- ∠D=80°,∠ACB=
2
∠BCD=40°,∠DAC=∠ACB=40°,∠BAD=∠DAC+∠BAC=110°,∠ABC=180°- ∠BAD=70°.)
19.解:(1)因为OA∥O'A'(已知),所以∠AOB=∠1(两直线平行,同位角相等).又因为OB∥O'B'(已知),所以
∠1=∠A'O'B'(两直线平行,同位角相等),所以∠AOB=∠A'O'B'(等量代换). (2)因为AO∥A'O'(已知),所以
∠COB+∠OMO'=180°(两直线平行,同旁内角互补).又因为OB∥O'B'(已知),所以∠OMO'=∠A'O'B'(两直线平行,
内错角相等),所以∠COB+∠A'O'B'=180°(等量代换).
20.解:因为AB⊥CD,所以∠AOF=90°- ∠FOD=90°- 28°=62°,所以∠AOE=180°- ∠AOF=118°.因为OG平分
1
∠AOE,所以∠AOG= ∠AOE=59°.
2
21.解:因为∠5=∠6(已知),所以AB∥CE(内错角相等,两直线平行),所以∠4+∠2+∠5=180°(两直线平行,同旁内角
互补).因为∠3=∠4,∠1=∠2(已知),所以∠3+∠1+∠5=180°(等量代换),所以AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
22.解:如图所示.23.解:因为AD⊥BC(已知),EF⊥BC(已知),所以∠ADC=∠EFC=90°(垂直定义),所以AD∥EF(同位角相等,两直
线平行),所以∠1=∠DAC(两直线平行,同位角相等).又因为∠3=∠C(已知),所以AC∥GD(同位角相等,两直线平
行),所以∠2=∠DAC(两直线平行,内错角相等),所以∠1=∠2(等量代换).
24.解:(1)因为AB∥CD,所以∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补). (2)如图(1)所示,过点E作EF平行于
AB,因为AB∥CD,所以CD∥EF,所以∠1+∠AEF=180°,∠FEC+∠3=180°,所以∠1+∠2+∠3=360°. (3)如图(2)所示,
过点E,F分别作EG,FH平行于AB,因为AB∥CD,所以AB∥EG∥FH∥CD,所以
∠1+∠AEG=180°,∠GEF+∠EFH=180°,∠HFC+∠4=180°,所以∠1+∠2+∠3+∠4=540°. (4)根据上述规律,显然作
(n- 2)条辅助线,运用(n- 1)次两条直线平行,同旁内角互补,即可得到∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=180°(n- 1).
