文档内容
第三章 重点突破训练：图形平移与旋转类型题举例
典例体系 （本专题 4 1 题 4 7 页）
考点1：利用图形的平移解决问题
典例：（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，已知在每个小正方形的网格图形中， 的顶点都
在格点上， 为格点．
（1）先将 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，请在图中画出平移后 ，（点 ，
， 所对应的顶点分别是 ， ， ）
（2）求出 的面积；
（3）连结 ， ，直接说出 与 的关系（不需要理由）．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）AD=BE且AD∥BE
【详解】
解：（1）如图，△DEF即为所作；（2）S = =8；
DEF
△
（3）如图，由平移可知：
AD=BE且AD∥BE．
方法或规律点拨
本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图
形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移
后的图形．
巩固练习
1．（2021·浙江温州市·七年级期末）将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形
和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为
（ ）
A．16 B．24 C．30 D．40
【答案】D
【详解】
设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为
2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，
由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，
解得：x+y=4，
如图，
∵图2中长方形的周长为48，
∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，
∴AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，
故选：D．
．
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，将 沿 方向平移 得到 ，若
的周长为 ，则四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：根据题意，将周长为10cm的△ABC沿AC向右平移1cm得到△DEF，
∴BE=1cm，AF=AC+CF=AC+1cm，EF=BC；
又∵AB+AC+BC=10cm，
∴四边形ABEF的周长=BE+AB+AF+EF=1+AB+AC+1+BC=12cm．
故选：C．
3．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，将△ABC向右平移8个单位长度得到△DEF，且点B，E，C，
F在同一条直线上，若EC＝4，则BC的长度是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【详解】
解：∵△DEF是由△ABC向右平移8个单位长度得到，
∴BC=EF，CF=8，
∴BC=EF=EC+CF=4+8=12．故选：B．
4．（2021·上海宝山区·七年级期末）如图， 经过平移后得到 ，下列说法：
①
②
③
④ 和 的面积相等
⑤四边形 和四边形 的面枳相等，其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【详解】
解： 经过平移后得到 ，
∴ ，故①正确；
，故②正确；
，故③正确；
和 的面积相等，故④正确；
四边形 和四边形 都是平行四边形，且 ，即两个平行四边形的底相等，但高
不一定相等，
∴四边形 和四边形 的面枳不一定相等，故⑤不正确；
综上：正确的有4个
故选A．
5．（2020·上海松江区·七年级期末）如图， 沿射线 方向平移到 （点E在线段 上），
如果 ， ，那么平移距离为（ ）
A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm
【答案】A
【详解】
解：根据平移的性质，易得平移的距离=BE=8-5=3cm，
故选：A．
6．（2020·山东泰安市·泰山外国语学校八年级月考）如图，将周长为8的 沿BC方向平移1个单位
得到 ，则四边形ABFD的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【详解】
解：∵将周长为8的 沿BC方向平移1个单位得到 ，
∴AD=CF=1，AC=DF，AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BC+CF+DF=AB+BC+AC+2AD=8+2=10．
故选：B．
7．（2020·河南洛阳市·七年级期末）如图所示， 沿 平移后得到 ，则 移动的距
离是（ ）
A．线段 的长 B．线段 的长 C．线段 的长 D．线段 的长
【答案】C
【详解】∵△ABC沿BC平移后得到△A′B′C′，
∴△ABC移动的距离是BB′．
故选：C．
8．（2020·东营市实验中学七年级月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将 沿AB方向平移
得到 ， ， ，下列结论：① ；② ；③ ：
④ ；⑤阴影部分的面积为 ．其中正确的是（ ）A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【答案】D
【详解】解：因为将 沿AB方向平移 得到 ，
所以 ， ，DF∥AC，故①②正确；
所以 ，故④正确；
而BD与CH不一定相等，故③不正确；
因为 ， ，
所以BH=2cm，
又因为BE=2cm，
所以阴影部分的面积=S －S = S －S =S = ，故⑤正确；
ABC DBH DEF DBH 梯形BEFH
△ △ △ △
综上，正确的结论是①②④⑤．
故选：D．
9．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）一块长为 ，宽为 的长方形地板中间有一条裂缝
（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移 （如图乙），则产生的裂缝的面积可列式为_______
．
【答案】bx
【详解】解：如图乙，
产生的裂缝的面积=S -ab=（a+x）b-ab=bx（cm2）．
矩形ABCD
故答案为：bx．
10．（2021·上海浦东新区·七年级期末）如图，已知直角三角形 ， ， 厘米，
厘米， 厘米，将 沿 方向平移1.5厘米，线段 在平移过程中所形成图形的面
积为__________平方厘米．【答案】6
【详解】
解：如图：线段 在平移过程中所形成图形为平行四边形且底CE=1.5cm，高DF=AB=4cm，
所以线段 在平移过程中所形成图形的面积为CE·DF=1.5×4=6cm2．
故答案为6．
12．（2020·上海宝山区·七年级期末）如图，已知 中， 、 、 ，将
沿直线BC向右平移得到 ，点A、B、C的对应点分别是 、 、 ，连接 ．如果四边形
的周长为19，那么四边形 的面积与 的面积的比值是________．
【答案】
【详解】
解：过点A作BC上的高
由平移的性质可得 = ，且 ，
∴四边形 为梯形∵四边形 的周长为19，
∴ ＋ ＋ ＋AB=19
∴ ＋5＋6＋ ＋4=19
∴2 =4
∴ =2
∴ =2
∴ =BC＋ =8
∴四边形 的面积与 的面积的比为
故答案为： ．
13．（2019·四川德阳市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线
BC的方向平移2个单位后，得到 ，连接 ，则 的周长为________．
【答案】12
【详解】
平移两个单位得到的 ，
， ，
， ，
， ，
，
又 ，
，
是等边三角形，
的周长为 ．
故答案为：12．
14．（2020·濮阳市第一中学九年级月考）如图，将Rt ABC沿CB的方向平移BE距离后得到Rt DEF，
已知AG=2，BE=4，DE=8，则阴影部分的面积是______．
△ △【答案】28
【详解】
Rt ABC沿CB的方向平移BE距离后得到Rt DEF，
△ △
故答案为：28．
15．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，
则红地毯至少要______米．
【答案】
【详解】
解：根据平移不改变线段的长度，可得地毯的长=台阶的长+台阶的高， 则红地毯至少要13+5=18米．
故答案为： ．
16．（2019·甘肃庆阳市·七年级期中）如图，把直角梯形 沿 方向平移到梯形 ，
， ， ，则阴影部分的面积是___
【答案】130cm2．
【详解】
解：∵直角梯形EFGH是由直角梯形ABCD平移得到的，
∴梯形EFGH≌梯形ABCD，
∴GH=CD，BC=FG，
∵梯形EFMD是两个梯形的公共部分，
∴S -S =S -S ，
梯形ABCD 梯形EFMD 梯形EFGH 梯形EFMD
∴S =S = （DM+GH）•GM= （28-4+28）×5=130（cm2）．
阴影 梯形MGHD故答案是130cm2．
17．（2020·山西大同市·七年级月考）如图，长方形 的周长为 ，则图中虚线部分总长为
____________．
【答案】15
【详解】
解：根据题意，
虚线部分的总长为： ．
故答案为：15．
18．（2020·重庆市万州第三中学八年级期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三
角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为__
【答案】48.
【详解】解:由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S ＝S （AB+OE）•BE ×（10+6）×6＝48．
四边形ODFC 梯形ABEO
故答案为48．
考点2：三角形的旋转问题
典例：（2020·深圳市龙岗区龙岗街道新梓学校初一期中）已知Rt OAB和Rt OCD的直角顶点O重合，
∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．
△ △
（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC BD（填“>”，“<”或
“=”）AC与BD的位置关系是AC BD（填“∥”或“⊥”）；
（2）将Rt OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；
（3）现将Rt OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关
△
系，并给出证明．
△【答案】（1）=；⊥ （2）见解析 （3）AC=BD且AC⊥BD；证明见解析
【解析】解：（1）∵OA=OB，OC=OD
∴OA-OC=OB-OD，
∴AC=BD．
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴AO⊥BO，
∵C、D分别在OA、OB上，
∴AC⊥BD；
（2）在△OCA和△ODB中，
，
∴△OCA≌△ODB，
∴AC=BD；
（3）AC=BD，AC⊥BD．
理由：
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△OCA和△ODB中，
，
∴△OCA≌△ODB，
∴AC=BD，∠BDO=∠ACO，
∵∠ACO+∠CFO=90°，∠CFO=∠DFE，
∴∠BDO+∠DFE=90°，
∴∠DEF=180°-90°=90°，∴AC⊥BD．
方法或规律点拨
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判
定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相
等）是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·洪泽外国语中学初一月考）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，
将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠CAE＝
15°时，BC∥DE．则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为_____．
【答案】60°或105°或135°
【解析】
解：对△ABC沿A点进行旋转，分情况进行讨论
（1）当 ， ， ，即 ；
（2）当 ， ，所以 ， ，即 ；（3）当 ， ， ，即
综上所述， 或 或 ；
故答案为： ， ， ．
2．（2020·揭阳产业转移工业园月城中学初二月考）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
(1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1)，求证：M为AN的中点．
(2)将图1中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图2)，求证：△CAN为等腰直角三角
形．
(3)在（2）条件下，已知AD=1，CE= ，求AN的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）AN=
【解析】解：(1)∵点M为DE的中点，
∴DM=ME．
∵AD∥EN，
∴∠ADM=∠NEM，
又∵∠DMA=∠EMN，
∴△DMA≌△EMN，
∴AM=MN，即M为AN的中点．(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA=EN，
又∵DA=AB，
∴AB=NE，
∵∠ABC=∠NEC=135°，BC=CE，
∴△ABC≌△NEC，
∴AC=CN，∠ACB=∠NCE，
∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°，
∴∠BCN+∠ACB=90°，
∴∠ACN=90°，
∴△CAN为等腰直角三角形．
(3)由(2)知，NE=AD=1，
在等腰直角三角形BAD中，AD=1，
∴AB=AD=1，
在等腰直角三角形BCE中,CE= ，
∴BE=2，
∴AE=AB+BE=3
由(2)知,∠AEN=90°，
在Rt AEN中,AE=3,NE=1,根据勾股定理得, AN= .
△
3．（2020·北京初二期中）如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD=AE，
AD与CE交于点F．
（1）求∠DFC的度数；
（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．
①补全图形（图2中完成）；
②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．【答案】（1）60°；（2）①见解析，②CQ= ，见解析
【解析】
（1）∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,
∠BAC=∠B=∠ACB=60°,
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）,
∴∠BAD=∠ACE,
∵∠BAD+∠DAC=60°,
∴∠DFC=∠ACE+∠DAC=60°；
（2）补图
CQ= ，
∵CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，
∴CE=CP，∠ECP=120°，又∠DFC=60°，
∴AD∥CP，
∴∠ADC=∠DCP，
∵△ABD≌△CAE，
∴CE=AD，
∴AD=CP，
在△ADQ和△PCQ中
∴△ADQ≌△PCQ（AAS），
∴CQ=DQ= ，
∵AB=BC，BD=AE，
∴BE=CD，
∴CQ= ．
4．（2020·湖北省初三月考）在△ABC与△CDE中，∠ACB ∠CDE 90°，AC BC，CD ED，连接
AE，BE，F为AE的中点，连接DF，△CDE绕着点C旋转．
(1)如图1，当点D落在AC上时，DF与BE的数量关系是： ；
(2)如图2，当△CDE旋转到该位置时，DF与BE是否仍具有(1)中的数量关系，如果具有，请给予证明；如
果没有，请说明理由；
(3)如图3，当点E落在线段CB延长线上时，若CD AC 2，求DF的长．
【答案】(1)DF= BE；(2)见解析；(3) ；
【解析】(1) ∵∠ACB=∠CDE=90°，AC=BC，CD =ED，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴△ACE≌△BCE，
∴AE=BE，因为DF是直角△ADE的中线，∴DF= AE
∴DF= BE
(2)如图，将△CDE沿着CD翻折，得到△DCM≌△DCE，连接AM，
由△CDE为等腰直角三角形易知△CME为等腰直角三角形，
在△ACM和△BCE中，
AC=BC，∠ACM=∠BCE ，CM=CE，
∴△ACM≌△BCE，
∴AM=BE
∵F为AE的中点，D为ME的中点
∴DF为△AME的中位线，
∴DF= ，
∴DF= BE．
(3)将△EDC沿DC翻折得到△DCM
CD=DE=2，由勾股定理可知CE=
BE=CE—CB=
由前面的结论可知：DF= BE
∴DF= ．
5．（2019·山东省初三期末）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，
OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：
①旋转角的度数 ；线段OD的长为 ．
②求∠BDC的度数；（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺
时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．
【答案】（1）① ，4；② ；（2） ，证明见解析．
【解析】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
∵ 旋转至 ，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形
∴ ， ，
故答案为：60°；4
②在 中， ， ， ，
∵
∴
∴ 为直角三角形， ，
∴
（2） 时， ，
理由如下：
∵ 绕点 顺时针旋转后得到 ，
∴ ， ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴
∵当 时， 为直角三角形， ，
∴ ，即∴当 满足 时， ．
6．（2020·河南省初三二模）已知 是等边三角形， 于点 ，点 是直线 上的动点，
将 绕点 顺时针方向旋转60°得到 ，连接 ， ， ．
（1）问题发现：如图1，当点 在线段 上时，且 ，则 的度数是_________；
（2）结论证明：如图2，当点 在线段 的延长线上时，请判断 和 的数量关系，并证明
你的结论；
（3）拓展延伸：若点 在直线 上运动，若存在一个位置，使得 是等腰直角三角形，请直接写
出此时 的度数．
【答案】（1）55°；（2） ，见解析；（3）15°或75°
【解析】（1）55°，理由：
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵将 绕点 顺时针方向旋转60°得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
在△ADC和△BDA中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
（2）结论： ，理由如下：
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵将 绕点 顺时针方向旋转60°得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
在△ADC和△BDA中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）EBC 15或75°分两种情况：
①点E在点A的下方时，如图：∵ACF 是等腰直角三角形，
∴AC CF ，
由（2）得ABE≌CBF
，
∴CF AE，
∴AC AE AB，
18030
∴ABE 75，
2
∴EBC ABEABC 756015；
②点E在和点A的上方时，如图：
同理可得EBC ABEABC 75．
7．（2020·陕西省初二期末）问题提出：
（1）如图1，在 ABC中，AB AC BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD BC，
BAC 90，DBC 30，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90得到 ACD，连接BD
（如图2），可求出ADB的度数为______．
问题探究：
（2）如图3，在（1）的条件下，若BAC ，DBC ，且 120 ，DBC ABC ，
①求ADB的度数．
②过点A作直线AE BD，交直线BD于点E，BC 7,AD 2．请求出线段BE 的长．【答案】（1）30°；（2）①30；②7 3
【解析】解：（1）根据题意，∵AB AC BC，BAC 90，
∴ABC是等腰直角三角形，
∴ABC ACB 45，
∵DBC 30，
∴ABD15，
由旋转的性质，则△ABD≌ACD，
∴ADBADC ，ABDACD15，BC CD，
∴BCD 60，
∴BCD是等边三角形，
∴BDC 60，BDCD
∵AB AC ，AD AD，
∴ABD≌ACD，
∴ADB ADC 30，
∴ADB ADC 30；
（2）① DBC ABC，
60 120．
如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACD'，连接BD'．
AB AC，
ABC ACB，
BAC ，
1 1
ABC 180 90 ，
2 21
ABDABCDBC 90 ，
2
1 1
DCB ACD ACB 90 90 180 ()．
2 2
120,
DCB 60．
BD BC,BDCD ，
BC CD,
DBC为等边三角形，
DB DC，
ADB≌ ADC，
ADB ADC ，
1
ADB BDC 30 ，
2
ADB 30．
②如图2，由①知，ADB 30，
在Rt△ADE中，ADB 30,AD2，
DE 3．
BCD是等边三角形，
BD BC 7，
BD BD 7，
BE BDDE 7 3．
考点3 ：平面直角坐标系中图形旋转
典例：（2020·黑龙江省初一期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，A（0，a），B（b，0），
已知a、b满足方程组 ．（1）求A、B两点的坐标；
（2）点C从O出发，以每秒2个单位长度的速度沿y轴正半轴的方向运动，设点C的运动时间为t秒，连
接BC，△ABC的面积为S，用含t的式子S表示（并直接写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，当C点在OA上，S＝30时，点E在CB的延长线上，连接AE，将线段
AE绕点A逆时针旋转90°至线段AD，点D恰好在x轴的正半轴上，将线段BA绕点A逆时针旋转90°至线
段FA，当点F在直线BC上时，求t值和点D的坐标．
【答案】（1）A（0，12），B（﹣6，0）；（2）S＝ ；（3）t＝1，D（14，0）．
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
∴A（0，12），B（﹣6，0）；
（2）当点C在线段OA上时，即0≤t＜6，CA＝12﹣2t，
∵BO⊥OA，
∴S＝ CA•OB＝ （12﹣2t）×6＝﹣6t+36；
当点C在OA的延长线上时，t＞6，CA＝2t﹣6，
∵BO⊥OA，
∴S＝ CA•OB＝ （2t﹣12）×6＝6t﹣36，
即S＝ ；
（3）如图，∵点C在线段OA上，S＝30，
∴﹣6t+36＝30，
∴t＝1，
∴C（0，2），过点F作FG⊥y轴于G，过点E作EH⊥y轴于H，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
由旋转知，∠BAF＝90°，
∴∠FAG+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠GFA，
由旋转知，AB＝AF，∠AOB＝∠FGA，
∴△ABO≌△FAG（AAS），
∴FG＝AO，AO＝BO＝6，
∵∠AHE＝90°，
∴∠HEA+∠EAH＝90°，
由旋转知，AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴∠EAH+∠DAO＝90°，
∴∠HEA＝∠DAO，
∵∠AOD＝∠EHA，
∴△AEH≌△DAO（AAS），
∴EH＝AO＝12，AH＝DO，
∴EH＝FG＝AO＝12，
∵∠FGC＝∠EHC＝90°，∠ECH＝∠GCF，
∴△GCF≌△HCE（AAS），
∴GC＝CH，
∵GC＝OA﹣OC﹣AG＝12﹣2﹣6＝4，
∴CH＝CG＝4，
∴OD＝AH＝10+4＝14，
∴D（14，0）．
方法或规律点拨
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解方程组的方法，三角形的面积公式，全等三角形的判
定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
巩固练习1．（2020·黑龙江省朝鲜族学校中考真题）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2
)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
【答案】D
【解析】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，
则 ，OA= ，
∴∠AOE=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOB是等边三角形，
当A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，
此时旋转角为60°，
∵∠BOC=60°，∠COF=30°，
∴∠C′OF=60°-30°=30°，
∵OC′=OA=4，
∴OF= ，
C′F= ，
∴C′（ ），
当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，
∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，
∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°
又∵OA=OC′′，
∴此时C′′点A重合，C C′′ ，综上，点C的对应点的坐标为 或 ，
故答案为：D．
2．（2020·河南省初三一模）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 把 绕点 顺时
针旋转 后得到 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当x＝0时， ＝4，则B点坐标为（0，4）；
当y＝0时，− x＋4＝0，解得x＝3，则A点坐标为（3，0），
则OA＝3，OB＝4，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到 ，
∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝3，CD＝OB＝4，
即AC⊥x轴，CD∥x轴，
∴点D坐标为（7，3）．
故选：D．
3．（2020·辽宁省初二期中）如图，等边△OAB的顶点O为坐标原点，AB∥x轴，OA=2，将等边△OAB
绕原点O顺时针旋转105º至△OCD的位置，则点D的坐标为（ ）A．(2，-2) B．( ， ) C．( ， ) D．( ， )
【答案】D
【解析】解：如图，过点D向x轴作垂线，垂足为E，
∵△OAB是等边三角形，旋转角是105°，
∴∠AOB=∠B=∠COD =60°，∠AOC=105°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=105°-60°=45°，
又∵AB∥x轴，
∴∠BOE=∠B=60°（两直线平行，内错角相等），
∴∠COE=∠BOE-∠BOC=60°-45°=15°，
∴∠EOD=∠DOC-∠COE=60°-15°=45°，
∴△EOD是等腰直角三角形，
∴
∵OD=OA=2，
∴ （勾股定理），
∴
∵D点在第四象限，
∴D点的坐标为：( ， )
故选D；
4．（2020·天津初三二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 经过点A，作AB⊥x轴于点
B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°，得到△CBD，若点B的坐标为（4，0），则点C的坐标为_____．
【答案】（﹣2， ）
【解析】作CH⊥x轴于H点，如图，当x=4时，y= x=4 ，则A（4，4 ），
∴AB=4 ．
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°，得到△CBD，
∴BC=BA=4 ，∠ABC=60°，
∴∠CBH=30°，
在Rt CBH中，CH= BC=2 ，BH= =6，
△
∴OH=BH﹣OB=6﹣4=2，
∴C点坐标为（﹣2， ）
故答案为：（﹣2， ）．
考点4：旋转中的最值问题
典例：（2020·射阳县实验初级中学初三其他）已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，点E在AB的
延长线上，将DE绕D点顺时针旋转120°得到DF，设 =t．
（1）如图1，若点F恰好落在AC边上，求证：t=1；
（2）如图2，在（1）的条件下，若∠DFC＝45°，连接AD，求证：BE+CF＝AD；
（3）如图3，若BE＝CD，连CF，当CF取最小值时，直接写出t的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【解析】解：（1）证明：如图1中，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠DBM＝∠C＝60°，
∵∠AMD＝∠AND＝90°，
∴∠MDN＝360°-∠AMD-∠AND-∠A=120°，
∵将DE绕D点顺时针旋转120°得到DF，
∴∠EDF＝120°，DE＝DF，
∴∠MDN＝∠EDF＝120°，
∴∠EDM＝∠FDN，
∵∠DME＝∠DNF＝90°，DE＝DF，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DM＝DN，
∵∠DBM＝∠C＝60°，∠DMB＝∠DNC＝90°，
∴△DMB≌△DNC（AAS），
∴DB＝DC，
∴t=1．
（2）证明：如图2中，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．
∵△DMB≌△DNC，
∴CN＝BM，
∵△DME≌△DNF，∴EM＝FN，
∴BE+CF＝BE+CN+FN＝BE+BM+EM＝2EM＝2FN，
∵∠DFN＝45°，∠DNF＝90°，
∴DN＝FN，
∵BD＝CD，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠DAN＝ ∠BAC＝30°，
∴AD＝2DN＝2FN＝BE+CF．
（3）解：如图3中，连接AF，AD，延长CB到M，使得BM＝BE，作AN⊥BC于N．
∵∠ABC＝∠MBE＝60°，BM＝BE，
∴△BEM是等边三角形，
∴∠M＝∠ACD＝60°，EM＝BE＝CD，
∴DM＝BC＝AC，
∴△MDE≌△CAD（SAS），
∴DE＝DA＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠EDF＝120°，
∴2∠DAE+2∠DAF＝240°，
∴∠DAE+∠DAF＝120°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠FAC＝∠ACB＝60°，
∴AF∥BC，
根据垂线段最短可知，当CF⊥AF时，CF的值最小，
∵AN⊥BC，CF⊥BC，
∴AN＝CF，BN＝CN，
∵DA＝DF，∠AND＝∠FCD＝90°，
∴Rt AND≌△FCD（HL），
∴DN＝DC，
△∴BD＝3CD，
∴t= ＝3．
方法或规律点拨
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短、旋转的性质等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
巩固练习
1．（2020·江苏省初三二模）如图， 是两个直角三角板，其中
， ，若 将直角三角板 绕点 旋转
一周，则 的最大值为_______________________．
【答案】
【解析】解：如图，在CA取一点J，使得CJ=CB，连接DJ．
在Rt ACB中，AB=2，∠CAB=30°，∠ACB=90°，
△
∴CB=CJ= AB=1，AC= BC= ，
∵∠ECD=∠BCJ=90°，
∴∠DCJ=∠ECB，
∵CD=CE，CJ=CB，
∴△DCJ≌△ECB（SAS），
∴DJ=BE，
∴|AD-BE|=|AD-DJ|，
∵|AD-DJ|≤AJ，∴|AD-BE|≤ ，
∴|AD-BE|的最大值为 ．
故答案为： ．
2．（2020·内蒙古自治区初三三模）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得
到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是
△
___．
【答案】6.
【解析】如图，连接PC，
在Rt ABC中，∵∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝8，
△
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝8，
∴A′P＝PB′，
∴
∵CM＝BM＝2，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤6，
∴PM的最大值为6（此时P、C、M共线）．
3．（2020·江苏省初三其他）如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，
AB= ，BD=2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，直线AD、CE相交于点P．
（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；
（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；
（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．【答案】（1）AD=CE，理由详见解析；（2） ； （3） 或
【解析】解：（1）AD＝CE，
理由：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE，
∴AD＝CE；
（2）如图2，
过点B作BH⊥AD于H，在Rt BHD中，BD＞BH，
△
∴当点D，H重合时，BD＝BH，
∴BH≤BD，
∴当BD⊥AD时，点B到直线AD的距离最大，
∴∠EDP＝90°﹣∠BDE＝30°，
同（1）的方法得，△ABD≌△CBE，
∴∠BEC＝∠BDA＝90°，EC＝AD，
在Rt ABD中，BD＝2，AB＝2 ，
根据勾△股定理得，AD＝ ＝2，
∴CE＝2，
∵∠BEC＝90°，∠BED＝60°，
∴∠DEP＝90°﹣60°＝30°＝∠EDP，∴DP＝EP，
如图2﹣1，过点P作PQ⊥DE于Q，
∴EQ＝ DE＝1，
在Rt EQP中，∠PEQ＝30°，
△
∴EP＝ ＝ ＝ ，
∴PC＝ ；
（3）①当点D在AE上时，如图3，
∴∠ADB＝180°﹣∠BDE＝120°，
∴∠BDE＝60°，
过点B作BF⊥AE于F，
在Rt BDF中，∠DBF＝30°，BD＝2，
∴DF△＝1，BF＝ ，
在Rt ABF中，根据勾股定理得，AF＝ ＝ ，
△
AD＝AF﹣DF＝ ﹣1，
∴CE＝AD＝ ﹣1；
②当点D在AE的延长线上时，如图4，同①的方法得，AF＝ ，DF＝1，
∴AD＝AF+DF＝ +1，
∴CE＝AD＝ +1，
即满足条件的CE的长为 +1和 ﹣1．
4．（2020·山东省中考真题）如图1，在 ABC中，A90,AB AC 2 1，点D，E分别在边
AB,AC上，且AD AE 1，连接DE．现将 ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为
0 360
，如图2，连接CE,BD,CD．
（1）当0180时，求证：CE BD；
（2）如图3，当90时，延长CE交 于点 ，求证： 垂直平分 ；
（3）在旋转过程中，求 的面积的最大值，并写出此时旋转角 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 的面积的最大值为 ，旋转角 的度
数为
【解析】（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90 ，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中， ，
∴△ACE ABD(SAS)，
△∴CE=BD；
（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ，
在△ACE和△ABD中， ，
∴△ACE ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
△
∵∠ACE+∠AEC=90 ，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90 ，
∴∠EFB=90 ，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC= ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ，
∴BC= AB = ，CD= AC+ AD= ，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3） 中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时 的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时， 的面积取得最大值，如图：
∵∵AB=AC= ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ，DG⊥BC于G，
∴AG= BC= ，∠GAB=45 ，
∴DG=AG+AD= ，∠DAB=180 -45 =135 ，
∴ 的面积的最大值为： ，
旋转角 ．5．（2020·河南省初三）阅读理解
（1）如图1，在 中， ， ， ， 为 边上的点，且 ，
若 ， ，求 的长．
思考如下：注意到条件中有 ， ，不妨把 绕点 顺时针旋转 ，得到
，连接 ，易证 ，从而将线段 ， ， 集中在了 中，因为
的度数是________； ， 所以 的长为 ；
类比探究
（2）如图2，在 中， ， ， ， 为 边上的点，且 ，
， ，求 的长；
拓展应用
（3）如图3， 是正方形 内一点， ， 是 边上一点，且 ，若
，请直接写出当 取最小值时 的长．
【答案】（1） ； ；（2） ；（3）
【解析】（1）∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠ABC=∠ACB=30°
把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
∴△ABF≌△ACE
∴∠ABF=∠ACE=30°
∴∠FBD=60°；
连接 ，
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°
∵∠BAF=∠CAE，
∴∠BAF+∠BAD=60°，即∠DAF=60°
∴∠DAF=∠DAE，
又AF=AE，AD=AD，
∴△DAF≌△DAE，
∴DF=DE
∵BD=1，BF=CE=2，且∠FBD=60°
∴∠BFD=30°，
∴∠BDF=90°，
∴
∴DE=
故答案为：60； ；
（2）∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
如图2 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 连接则 .
又
.
如图2，过点 作 交 的延长线于点 .
在 中，
在 中，
.
（3）如图3，将 绕点 顺时针旋转 ，得到
取 的中点 连接 .因为 ，
所以 取最小值时，点 在 上
由 类比，得 .
设 的长为
则 .
所以 ，
解得
∴ .
6．（2020·寿光市实验中学初三其他）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按
逆时针方向旋转，得到△ABC ．
1 1
（1）如图1，当点C 在线段CA的延长线上时，求∠CC A 的度数；
1 1 1
（2）如图2，连接AA ，CC ．若△ABA 的面积为4，求△CBC 的面积；
1 1 1 1
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，
点P的对应点是点P，求线段EP 长度的最大值与最小值．
1 1
【答案】（1）∠CC A=90°．
1 1
（2）S = ．
CBC1
△
（3）最小值为：EP = ﹣2．
1
最大值为：EP = 7．
1
【解析】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠AC B=∠ACB=45°，BC=BC ，
1 1 1
∴∠CC B=∠C CB=45°．
1 1
∴∠CC A=∠CC B+∠AC B=45°+45°=90°．
1 1 1 1 1
（2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△ABC ，
1 1
∴BA=BA，BC=BC ，∠ABC=∠ABC ．
1 1 1 1∴ ，∠ABC+∠ABC =∠ABC +∠ABC
1 1 1 1
∴∠ABA =∠CBC ．
1 1
∴△ABA ∽△CBC
1 1
∴ ．
∵S =4，∴S = ．
ABA1 CBC1
△ △
（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上．
在Rt BCD中，BD=BC×sin45°= ．
△
①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 在线段AB上时，EP 最
1 1
小．最小值为：EP =BP ﹣BE=BD﹣BE= ﹣2．
1 1
②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 在线段AB的延长线上时，
1
EP 最大．最大值为：EP =BC+BE=5+2=7．
1 17．（2020·山东省初三三模）已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC（包含边界）平面内一点，连接
CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点P．
（1）观察填空：当点D在图1所示的位置时，填空：
①与△ACD全等的三角形是______．
②∠APB的度数为______．
（2）猜想证明：在图1中，猜想线段PD，PE，PC之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
（3）拓展应用：如图2，当△ABC边长为4，AD=2时，请直接写出线段CE的最大值．
【答案】（1）①△BCE；②60°；（2）PD+PE=PC，证明见解析；（3）CE的最大值为6．
【解析】（1）①如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，
∵将线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，∴CE=CD，∠DCE=60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠DCE═60°，
∵∠ACD+∠DCB=60°，∠BCE+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
故答案为：△BCE．
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠EBC=∠DAC，
∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°，
∴∠PBC+∠BAD=60°，
∴∠APB=180°-∠ABC+∠PBC+∠BAP=180°-60°-60°=60°；
故答案为：60°．
（2）结论：PD+PE=PC．
理由：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠CAD+∠BAD=60°，∠BAD+∠DBC=60°，
∴∠BAD+∠ABD=∠BDP=60°，
∵∠APB=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴DP=BP，
∴PD+PE=BE，
∵△ADC≌△BEC，
∴AD=BE，
∵在△ABD与△CBP中
，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴AD=PC，
∴PD+PE=PC；
（3）如图2中，∵AC=4，AD=2，
∴D点在线段AC上，CD长度最小；D点在CA的延长线上，CD的长度最大，
∴4-2≤CD≤4+2，
∴2≤CD≤6．
∴CD的最大值为6，
由（1）可知△ACD≌△BCE，EC=CD，
∴EC的最大值为6．
8．（2020·黑龙江省初三期末）如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且
∠BAC=∠DAE=120°．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中
点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=6，请分别求出△PMN周长的最小
值与最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）△PMN是等边三角形．理由见解析；（3）△PMN周长的最小值为3，
最大值为15．
【解析】解：（1）因为∠BAC=∠DAE=120°，
所以∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，
所以△ABD≌△ADE；
（2）△PMN是等边三角形．
理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，∴PM= CE，PM∥CE，
∵点N，M分别是BC，DE的中点，
∴PN= BD，PN∥BD，
同（1）的方法可得BD=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，
∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC
=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=120°，∴∠ACB+∠ABC=60°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形．
（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN= BD，
∴PM最大时，△PMN周长最大，
∴点D在AB上时，BD最小，PM最小，
∴BD=AB-AD=2，△PMN周长的最小值为3；
点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，
