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第二章 一元二次方程单元测试（A卷·夯实基础）
（时间：60分钟，满分：100分）
一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2021·全国九年级课时练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程满足的条件，即可对各选项进行判断，一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方
程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的
最高次数是2．
【详解】
解：Ａ、 ，属于分式方程，不合题意；
B、 ，属于二元二次方程，不合题意
C、 ，属于二元一次方程，不合题意
D、 ，属于一元二次方程，符合题意．
故答案为：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元
二次方程．
2．（2021·全国九年级单元测试）已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
【答案】B
【分析】
直接把x＝2代入已知方程即可得到关于m的方程，再解此方程即可．
【详解】解：把x＝2代入方程 ，得 ，
解得：m＝3，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解是
解答本题的关键．
3．（2021·全国九年级课时练习）用配方法解一元二次方程 的过程中，变形正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将常数项移到方程的右边后，把二次项系数化为1后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分
解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．（2021·全国九年级课时练习）有关方程 的解说法正确的是（ ）
A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】D
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴该方程无实数解．
故选：D
【点睛】
考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项
移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
5．（2020·福建厦门双十中学九年级期中）若关于 的一元二次方程 没有实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解关于m的不等式即可．
【详解】
解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，
解得m＞1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程
有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．（2020·民勤县第六中学九年级一模）关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程根的判别式，得出△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等
的实数根，代入公式求出即可．【详解】
∵关于x的方程x2+2x-k=0有两个相等的实数根，
∴△=b2+4ac=4+4k=0，
解得；k=-1，
故选D．
【点睛】
考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与根的判别式 有如下
关系： ①当 >0时，方程有两个不相等的实数根；②当 =0时，方程有两个相等的实数根；③当 <0时，
方程无实数根．
7．（2020·河北九年级月考）下列方程中适合用因式分解法解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据因式分解法即可得．
【详解】
观察四个选项可知，只有选项B适合用因式分解法解，
即 可因式分解为 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用因式分解法解方程，掌握因式分解法是解题关键．
8．（2020·全国八年级课时练习）一元二次方程x2－10x＋21＝0可以转化的两个一元一次方程正确的是
( )
A．x－3＝0，x＋7＝0 B．x＋3＝0，x＋7＝0
C．x－3＝0，x－7＝0 D．x＋3＝0，x－7＝0
【答案】C
【分析】
利用因式分解法直接求解.【详解】
∵（x+3）（x-7）=0，
∴x+3=0或x-7=0，
∴x=-3，x=7，
1 2
故选C．
【点睛】
考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法是解题的关键,其步骤是：（1）移项,将方程右边化为（0）；
（2）.再把左边运用因式分解法化为两个（一）次因式的积；（3）.分别令每个因式等于零,得到（一元一
次方程组）；（4）.分别解这两个（一元一次方程）,得到方程的解.
9．（2021·全国九年级课时练习）若一元二次方程 的两根是m，n，则下列说法正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据根与系数的关系可得出m+n=4，mn=-3，此题得解．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-4x-3=0的两根是m，n，
∴m+n=4，mn=-3．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于- 、两根之积等于 是解题的关键．
10．某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，设这两次提价的年平均增长率为x，那么下面
列出的方程正确的是（ ）
A．180（1+x）＝300 B．180（1+x）2＝300
C．180（1﹣x）＝300 D．180（1﹣x）2＝300
【答案】B
【分析】
本题可先用x表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意表示出第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x的方程．
【详解】
当商品第一次提价后，其售价为：180（1+x）；
当商品第二次提价后，其售价为：180（1+x）2．
∴180（1+x）2＝300．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次
提价后售价的方程，令其等于300即可．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2021·全国九年级课时练习）方程 的二次项是_____，一次项是____，常数项是___．
【答案】 1
【分析】
根据一元二次方程的一般形式即可解决．
【详解】
方程 的二次项是 ，一次项是 ，常数项是1；
故答案为： ， ， 1.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为 ，其中 ，且a，b，c是常数，其
中 是方程的二次项， 是方程的一次项， 称为方程的常数项；因此掌握方程的一般形式是本题的关
键.
12．（2020·河南周口市·）如果 是关于 的一元二次方程，那么 的值为________．
【答案】2
【分析】
根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得 的取值范围．
【详解】解： 是关于 的一元二次方程，
，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是： ， ， 是常数且 ，
特别要注意 的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．（2021·安徽合肥市五十中学新校八年级期中）一元二次方程 的解为__________．
【答案】x= 或x=2
【分析】
根据一元二次方程的解法解出答案即可．
【详解】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x= ,
故答案为:x= 或x=2．
【点睛】
本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论．
14．（2021·全国）一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 的形式，那么就有：（1）
当p＞0时，方程有两个不等的实数根：__________；（2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根
______________；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有 ，所以方程无实数根．
【答案】 ，
【详解】略
15．方程的 解是______.
【答案】 ，
【分析】
先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
【详解】
解： ，
，
，
即 或 ，
解得 ，
故填： .
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程，解决本题时需注意：用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可
能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根. 需通过移项，将方程右边
化为0.
16．（2021·湖南长沙市·九年级开学考试）如果关于 的一元二次方程 有实数根，那么 的
取值范围是___．
【答案】
【分析】
由一元二次方程根与系数的关键可得： 从而列不等式可得答案．
【详解】
解： 关于 的一元二次方程 有实数根，故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
17．（2021·浙江杭州·）根据疫情需要，某防疫物资制造厂原来每件产品的成本是100元，为提高的生产
效率改进了生产技术，连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是
________．
【答案】10%
【分析】
设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为 元，再经过一次下降后成本
变为 元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可．
【详解】
解：设平均每次降低成本的百分率为x，
根据题意得：
解得x=0.1或1.9（不合题意，舍去）
即x=10%
故答案为：
【点睛】
考查了一元二次方程的应用的知识，是一道典型的数量调整问题，数量上调或下调x%后就变为原来的
（1±x%）倍，调整2次就是 倍．
18．（2020·全国九年级课时练习）李华在淘宝网上开了一家羽毛球拍专卖店，平均每大可销售 个，每
个盈利 元，若每个降价 元，则每天可多销售 个.如果每天要盈利 元，每个应降价______元(要求
每个降价幅度不超过 元)
【答案】6
【分析】首先设每个羽毛球拍降价x元，那么就多卖出5x个，根据每天要盈利1700元，可列方程求解．
【详解】
解：设每个羽毛球拍降价x元，
由题意得：（40-x）（20+5x）=1700，
即x2-36x+180=0，
解之得：x=6或x=30，
因为 每个降价幅度不超过15元，
所以 x=6符合题意，
故答案是：6．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，关键是看到降价和销售量的关系，然后根据利润可列方程求解．
三、解答题（共5小题，满分46分）
19．（12分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣x﹣1=0；
（2）x2﹣2x=2x+1；
（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；
（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．
【答案】（1）x = ，x = （2）x =2+ ，x =2﹣ （3）x = ，x = （4）x =﹣
1 2 1 2 1 2 1
，x =4
2
【解析】
试题分析：(1)、利用公式法来进行求解，即 ，将a、b、c代入进行计算即可得出答案；
(2)、利用配方法进行求解，得出方程的解；(3)、首先将方程整理成一般式，然后利用公式法求出方程的解；
(4)、首先根据平方差公式将方程进行因式分解，然后求出方程的解．
试题解析：（1）x2﹣x﹣1=0； 这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5． x= = ，
所以：x = ，x = ．
1 2（2）移项，得x2﹣4x=1， 配方，得x2﹣4x+4=1+4， 即（x﹣2）2=5．
两边开平方，得x﹣2=± ， 即x=2± ， 所以x =2+ ，x =2﹣ ．
1 2
（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1， 整理，得2x2+2x﹣1=0， 这里a=2，b=2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=22﹣4×2×（﹣1）=12．
x= = = ，
即原方程的根为x = ，x = ．
1 2
（4）移项，得（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，
因式分解，得（x+3+1﹣2x）[x+3﹣（1﹣2x）]=0，
整理，得（3x+2）（﹣x+4）=0， 解得x =﹣ ，x =4．
1 2
点睛：本题主要考查的就是一元二次方程的解法，属于基础题型．解一元二次的主要方法有：直接开平方
法，因式分解法，配方法，公式法．在利用配方法解方程时，我们首先需要将二次项系数化为1，方程的
左边保留二次项和一次项，右边为常数项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后
再利用直接开平方法求出方程的解．
20．（6分）（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）关于x的方程 是一元二
次方程，m应满足什么条件？
【答案】
【分析】
先把方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数不为零可得答案．
【详解】
解： ，
结合题意得：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
21．（8分）（2020·全国八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个
实数根x ，x ．
1 2（1）求实数k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得x x ﹣x 2﹣x 2＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
1 2 1 2
【答案】（1）k≤ ；（2）存在实数k，k＝﹣3．
【分析】
（1）根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x +x ＝2k+1，x x ＝k2+2k，再把x x ﹣x 2﹣x 2＝﹣16变形为﹣（x +x ）
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2+3x •x ＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后利用（1）中的范围确定满足条件
1 2
的k的值．
【详解】
解：（1）根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤ ；
（2）根据题意得x +x ＝2k+1，x x ＝k2+2k，
1 2 1 2
∵x x ﹣x 2﹣x 2＝﹣16．
1 2 1 2
∴x x ﹣[（x +x ）2﹣2x x ]＝﹣16，
1 2 1 2 1 2
即﹣（x +x ）2+3x •x ＝﹣16，
1 2 1 2
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k ＝5（舍去），k ＝﹣3．
1 2
∴k＝﹣3．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系.
22．（10分）（2020·酒泉市第二中学九年级期中）某特产店销售核桃，进价为每千克40元，按每千克60
元出售，平均每天可售100千克，后经市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天销售可增加20千克，
若该专卖店销售该核桃要想平均每天获利2240元，且在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，
求每千克核桃应降价多少元？
【答案】6元
【分析】
设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
【详解】解：设每千克核桃应降价x元
（60－40－x）（100＋10x）＝2240
得
∵为尽可能让利于顾客，
∴x＝6
答：每千克核桃应降价6元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程
23．（10分）（2020·全国）某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为 万元/辆，经销
一段时间后发现：当该型号汽车售价定为 万元/辆时，平均每周售出 辆；售价每降低 万元，平均每周
多售出 辆.
（1）当售价为 万元/辆时，平均每周的销售利润为___________万元；
（2）若该店计划平均每周的销售利润是 万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
【答案】（1） （2） 万元
【分析】
（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售
出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数
量列式计算；
（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x的值，进而得到每辆
汽车的售价．
【详解】
（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：
×1＋8＝14，
则此时，平均每周的销售利润是：（22−15）×14＝98（万元）；
（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：
（25−x−15）（8＋2x）＝90，
解得x ＝1，x ＝5，
1 2
当x＝1时，销售数量为8＋2×1＝10（辆）；
当x＝5时，销售数量为8＋2×5＝18（辆），为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25−5＝20（万元），
答：每辆汽车的售价为20万元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键
描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数＝90万元是解决问题的关键．
