专题04函数概念与基本初等函数18种常见考法归类（全国通用）（学生版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2021-2025高考数学五年真题分类汇编

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2021-2025高考真题分类 函数概念与基本初等函数 ~ ~ 2021-2025高考真题分类 函数概念与基本初等函数1 一 求函数值 1 二 函数的定义域 1 三 函数的值域 1 四 函数解析式 1 五 函数的图象 1 六 判断或证明函数的单调性 4 七 根据函数的单调性求参数值 4 八 比较函数值的大小关系 4 九 根据函数的单调性解不等式 5 十 函数的最值 5 十一 函数奇偶性的定义与判断 6 十二 由奇偶性求参数 6 十三 函数奇偶性的应用 7 十四 函数的周期性 7 十五 函数的对称性 8 十六 指对数的运算 8 十七 对数的实际应用 9 十八 函数的零点 10 参考答案 11 ~ ~ 一 求函数值 1 1. (2023·北京·高考真题)已知函数f(x)=4x+log x，则f 2 2  = ． 2. (2024·上海·高考真题)已知fx  x,x>0  = ,则f3 1,x≤0  = ． x2-4,x>2 3. (2021·浙江·高考真题)已知a∈R，函数f(x)= x-3    若f f 6 +a,x≤2,    =3，则a= . 4. (2024·广东江苏·高考真题)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且当x<3时f(x) =x，则下列结论中一定正确的是 ( ) A. f(10)>100 B. f(20)>1000 C. f(10)<1000 D. f(20)<10000 二 函数的定义域 1 1. (2022·北京·高考真题)函数f(x)= + 1-x的定义域是 ． x 三 函数的值域 1. (2025·北京·高考真题)已知函数f(x)的定义域为D，则“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x ∈ 0 D，使得 fx 0    >M”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 数学试题 第 1 页 共 46 页1 2. (2022·上海·高考真题)设函数f(x)满足f(x)=f x+1  ，定义域为D=[0,+∞)，值域为A，若集合{y∣y =f(x),x∈[0,a]}可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 . 3. (2023·上海·高考真题)已知fx  2x, x>0  = ，则fx 1, x≤0  的值域是 ； 四 函数解析式 1. (2025·北京·高考真题)关于定义域为R的函数f(x)，给出下列四个结论： ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数f(x)使得fx  -f2x  =x恒成立； ③使得f(x)+f(-x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个； ④使得f(x)-f(-x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 五 函数的图象 1. (2025·天津·高考真题)已知函数y=fx  的图象如下，则fx  的解析式可能为 ( ) x x |x| |x| A. f(x)= B. f(x)= C. f(x)= D. f(x)= 1-|x| |x|-1 1-x2 x2-1 x2-1 2. (2022·天津·高考真题)函数y=  的图象大致为 ( ) x A. B. C. D. 数学试题 第 2 页 共 46 页3. (2023·天津·高考真题)已知函数fx  的部分图象如下图所示，则fx  的解析式可能为 ( ) 5ex-5e-x 5sinx 5ex+5e-x 5cosx A. B. C. D. x2+2 x2+1 x2+2 x2+1 4. (2024·全国甲卷·高考真题)函数fx  =-x2+ex-e-x  sinx在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 5. (2022·全国乙卷·高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是 ( ) -x3+3x x3-x 2xcosx 2sinx A. y= B. y= C. y= D. y= x2+1 x2+1 x2+1 x2+1 6. (2022·全国甲卷·高考真题)函数y=3x-3-x  π π cosx在区间 - ,  2 2  的图象大致为 ( ) A. B. 数学试题 第 3 页 共 46 页C. D. 1 7. (2021·浙江·高考真题)已知函数f(x)=x2+ ,g(x)=sinx，则图象为如图的函数可能是 ( ) 4 1 1 A. y=f(x)+g(x)- B. y=f(x)-g(x)- 4 4 g(x) C. y=f(x)g(x) D. y= f(x) 六 判断或证明函数的单调性 1. (2023·北京·高考真题)下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( ) 1 1 A. f(x)=-lnx B. f(x)= C. f(x)=- D. f(x)=3|x-1| 2x x 2. (2021·全国甲卷·高考真题)下列函数中是增函数的为 ( ) A. fx  =-x B. fx  2 = 3  x C. fx  =x2 D. fx  = 3x 七 根据函数的单调性求参数值 -x2-2ax-a, x<0  1. (2024·广东江苏·高考真题)已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范围是 ex+ln(x+1), x≥0 ( ) A. (-∞,0] B. [-1,0] C. [-1,1] D. [0,+∞) 2. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)设函数fx  =2xx-a  在区间0,1  上单调递减，则a的取值范围是 ( ) A. -∞,-2  B. -2,0  C. 0,2  D. 2,+∞  3. (2023·全国乙卷·高考真题)设a∈0,1  ，若函数fx  =ax+1+a  x在0,+∞  上单调递增，则a的取值 范围是 . 4. (2021·上海·高考真题)已知函数f(x)= |x+a|-a-x. (1)若a=1，求函数的定义域； (2)若a≠0，若f(ax)=a有2个不同实数根，求a的取值范围； (3)是否存在实数a，使得函数f(x)在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围. 数学试题 第 4 页 共 46 页八 比较函数值的大小关系 1. (2023·全国甲卷·高考真题)已知函数fx  2 =e-(x-1)2．记a=f 2  3 ,b=f 2  6 ,c=f 2  ，则 ( ) A. b>c>a B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b 2. (2024·北京·高考真题)已知x 1 ,y 1  ，x 2 ,y 2  是函数y=2x的图象上两个不同的点，则 ( ) y +y x +x y +y x +x A. log 1 2 < 1 2 B. log 1 2 > 1 2 2 2 2 2 2 2 y +y y +y C. log 1 2 x +x 2 2 1 2 2 2 1 2 3. (2022·全国甲卷·高考真题)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则 ( ) A. a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a 4. (2025·全国一卷·高考真题)若实数x，y，z满足2+log x=3+log y=5+log z，则x，y，z的大小关系 2 3 5 不可能是 ( ) A. x>y>z B. x>z>y C. y>x>z D. y>z>x 5. (2024·天津·高考真题)设a=4.2-0.2，b=4.20.2，c=log 0.2，则a，b，c的大小关系为 ( ) 4.2 A. a0,a≠1)． a (1)y=fx  过4,2  ，求f2x-2  0)后，图像经过3,0  ,5,0  ，求实数a，m的值. (2)若a>-3且a≠0，求解不等式f(x)≤f(6-x). 数学试题 第 5 页 共 46 页十 函数的最值 1. (2025·天津·高考真题)若a,b∈R，对∀x∈[-2,2]，均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立，则2a+b 的最小值为 2. (2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为 ( ) 1 1 1 A. B. C. D. 1 8 4 2 x+2,x<-a,  3. (2023·北京·高考真题)设a>0，函数f(x)= a2-x2,-a≤x≤a,，给出下列四个结论： - x-1,x>a. ①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减； ②当a≥1时，f(x)存在最大值； ③设M x 1 ,fx 1    x 1 ≤a  ,N x 2 ,fx 2    x 2 >a  ，则|MN|>1； ④设P x 3 ,fx 3    x 3 <-a  ,Q x 4 ,fx 4    x 4 ≥-a  1 ．若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是0, 2  ． 其中所有正确结论的序号是 ． 十一 函数奇偶性的定义与判断 1. (2024·天津·高考真题)下列函数是偶函数的为 ( ) ex-x2 cosx-x2 ex-x sinx-x A. y= B. y= C. y= D. y= ex+x2 x2+1 ex+x x2+1 2. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知函数fx  的定义域为R，fxy  =y2fx  +x2fy  ，则( )． A. f0  =0 B. f1  =0 C. fx  是偶函数 D. x=0为fx  的极小值点 1-x 3. (2021·全国乙卷·高考真题)设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是 ( ) 1+x A. fx-1  -1 B. fx-1  +1 C. fx+1  -1 D. fx+1  +1 4. (2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx  : ． ①fx 1 x 2  =fx 1  fx 2  ；②当x∈(0,+∞)时，f(x)>0；③f(x)是奇函数． 5. (2024·上海·高考真题)已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M= x 0 x 0 ∈R,x∈-∞,x 0  ,f(x)0，为奇函数，则参数a的值为 ．   0, x=0 6. (2022·全国乙卷·高考真题)若fx  1 =lna+ 1-x  +b是奇函数，则a= ，b= ． 7. (2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)已知函数fx  =x3a⋅2x-2-x  是偶函数，则a= . 8. (2023·上海·高考真题)函数fx  x2+3a+1 =  x+c a,c∈R x+a  (1)当a=0时，是否存在实数c，使得fx  为奇函数； (2)若函数fx  过点(1,3)，且函数f(x)图像与x轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 十三 函数奇偶性的应用 1. (2025·全国一卷·高考真题)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x， 3 则f- 4  = ( ) 1 1 1 1 A. - B. - C. D. 2 4 4 2 2. (2025·全国二卷·高考真题)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx  =x2-3  ex+2，则 ( ) A. f(0)=0 B. 当x<0时，fx  =-x2-3  e-x-2 C. f(x)≥2当且仅当x≥ 3 D. x=-1是f(x)的极大值点 3. (2021·全国甲卷·高考真题)设fx  是定义域为R的奇函数，且f1+x  =f-x  1 .若f- 3  1 = ，则 3 5 f 3  = ( ) 5 1 1 5 A. - B. - C. D. 3 3 3 3 4. (2021·全国甲卷·高考真题)设函数fx  的定义域为R，fx+1  为奇函数，fx+2  为偶函数，当x∈ 1,2  时，f(x)=ax2+b．若f0  +f3  9 =6，则f 2  = ( ) 9 3 7 5 A. - B. - C. D. 4 2 4 2 5. (2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)=f(x)，若 3 f -2x 2  ，g(2+x)均为偶函数，则 ( ) 1 A. f(0)=0 B. g- 2  =0 C. f(-1)=f(4) D. g(-1)=g(2) 数学试题 第 7 页 共 46 页十四 函数的周期性 1. (2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1) 22 =1，则f(k)= ( ) k=1 A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 2. (2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)已知函数fx  的定义域为R，fx+2  为偶函数，f2x+1  为奇函数， 则 ( ) 1 A. f- 2  =0 B. f-1  =0 C. f2  =0 D. f4  =0 十五 函数的对称性 1. (2022·全国乙卷·高考真题)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4) 22 =7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则 fk k=1   = ( ) A. -21 B. -22 C. -23 D. -24 2. (2021·上海·高考真题)已知函数y=f(x)的定义域为R，下列是f(x)无最大值的充分条件是 ( ) A. f(x)为偶函数且关于直线x=1对称 B. f(x)为偶函数且关于点(1,1)对称 C. f(x)为奇函数且关于直线x=1对称 D. f(x)为奇函数且关于点(1,1)对称 3. (2005·天津·高考真题)设fx  是定义在R上的奇函数，且y=fx  1 的图象关于直线x= 对称，则f1 2  +f2  +f3  +f4  +f5  = ． 4. (2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则 ( ) A. 当a>1时，f(x)有三个零点 B. 当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C. 存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D. 存在a，使得点 1,f1    为曲线y=f(x)的对称中心 x 5. (2024·广东江苏·高考真题)已知函数f(x)=ln +ax+b(x-1)3 2-x (1)若b=0，且f(x)≥0，求a的最小值； (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形； (3)若f(x)>-2当且仅当11且 - =- ，则a= ． log a log 4 2 8 a 3. (2022·天津·高考真题)化简2log 4 3+log 8 3  log 3 2+log 9 2  = ( ) 5 5 A. 1 B. C. 2 D. 4 2 4. (2022·浙江·高考真题)已知2a=5,log 3=b，则4a-3b= ( ) 8 25 5 A. 25 B. 5 C. D. 9 3 十七 对数的实际应用 1. (2025·北京·高考真题)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T= klog N(单位：h)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单 2 位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增 加 ( ) A. 2h B. 4h C. 20h D. 40h S-1 2. (2024·北京·高考真题)生物丰富度指数 d= 是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流 lnN 中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类 数S没有变化，生物个体总数由N 变为N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 ( ) 1 2 A. 3N =2N B. 2N =3N C. N2=N3 D. N3=N2 2 1 2 1 2 1 2 1 3. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 p L p =20×lg p ，其中常数p 0p 0 >0 0  是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声压级 声源 与声源的距离/m /dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50∼60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p ,p ,p ，则( )． 1 2 3 A. p ≥p B. p >10p C. p =100p D. p ≤100p 1 2 2 3 3 0 1 2 4. (2022·北京·高考真题)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰 技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其 中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是 ( ) 数学试题 第 9 页 共 46 页A. 当T=220，P=1026时，二氧化碳处于液态 B. 当T=270，P=128时，二氧化碳处于气态 C. 当T=300，P=9987时，二氧化碳处于超临界状态 D. 当T=360，P=729时，二氧化碳处于超临界状态 十八 函数的零点 π π 1. (2022·北京·高考真题)若函数f(x)=Asinx- 3cosx的一个零点为 ，则A= ；f 3 12  = ． π 2. (2024·广东江苏·高考真题)当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin3x- 6  的交点个数为 ( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3. (2025·天津·高考真题)函数f(x)=0.3x- x的零点所在区间是 ( ) A. (0,0.3) B. (0.3,0.5) C. (0.5,1) D. (1,2) 4. (2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cosx+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y =f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a= ( ) 1 A. -1 B. C. 1 D. 2 2 5. (2024·天津·高考真题)设a∈R，函数fx  =2 x2-ax-ax-2  +1.若fx  恰有一个零点，则a的取值 范围为 ． 6. (2024·全国甲卷·高考真题)曲线y=x3-3x与y=-x-1  2+a在0,+∞  上有两个不同的交点，则a的 取值范围为 ． 7. (2023·天津·高考真题)设a∈R,函数fx  =ax2-2x-x2-ax+1  ,若fx  恰有两个零点，则a的取值 范围为 ． 8. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知函数fx  =cosωx-1(ω>0)在区间0,2π  有且仅有3个零点，则ω 的取值范围是 ． 9. (2022·天津·高考真题)设a∈R，对任意实数x，用fx  表示x  -2,x2-ax+3a-5中的较小者．若函 数fx  至少有3个零点，则a的取值范围为 . 数学试题 第 10 页 共 46 页10.(2021·北京·高考真题)已知函数f(x)=lgx  -kx-2，给出下列四个结论： ①若k=0，f(x)恰 有2个零点； ②存在负数k，使得f(x)恰有1个零点； ③存在负数k，使得f(x)恰有3个零点； ④存在正数k，使得f(x)恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 参考答案 1. 1 1 【分析】根据给定条件，把x= 代入，利用指数、对数运算计算作答. 2 1 【解析】函数f(x)=4x+log x，所以f 2 2  1 1 =42 +log =2-1=1. 22 故答案为：1 2. 3 【分析】利用分段函数的形式可求f3  . 【解析】因为fx  x,x>0  = ,故f3 1,x≤0  = 3， 故答案为： 3. 3. 2 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值. 【解析】f f 6    =f6-4  =f2  =2-3  +a=3，故a=2， 故答案为：2. 数学试题 第 11 页 共 46 页4. B 【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【解析】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2， 又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5， f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21， f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89， f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377 f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987， f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用f(1)=1,f(2)=2，再利用题目所给的函数性质f(x)>f(x-1) +f(x-2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 1. -∞,0  ∪0,1  【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【解析】解：因为fx  = 1 + 1-x，所以  1-x≥0 ，解得x≤1且x≠0， x x≠0 故函数的定义域为-∞,0  ∪0,1  ； 故答案为：-∞,0  ∪0,1  1. A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【解析】若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x 1 ∈D，使得fx 1  =M  +1， 取x 0 =x 1 ，则 fx 0    =M  +1>M，充分性成立； 取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x 1 ∈D，使得fx 1  =M  +1， 取x 0 =x 1 ，则 fx 0    =M  +1>M，但此时函数f(x)的值域为0,+∞  ，必要性不成立； 所以“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x 0 ∈D，使得 fx 0    >M”的充分不必要条件. 故选：A. 2.   5-1 ，+∞  2  ， 1 5-1 5-1 1 5-1 5-1 【分析】由x= 可得x= ，可判断当x≥ 时， ≤ ；当0≤x< 时， x+1 2 2 x+1 2 2 1 5-1 5-1 > ；从而可得A={y|y=f(x)，x∈[0，a]}时，参数a的最小值为 ，从而求得． x+1 2 2 1 5-1 - 5-1 【解析】令x= 得，x= 或x= (舍去)； x+1 2 2 5-1 1 1 5-1 5-1 当x≥ 时， ≤ = ，故对任意x≥ ， 2 x+1 5-1 2 2 +1 2 都存在x ∈  0， 5-1 0  2  1 ， =x ，故f(x)=f(x )， x+1 0 0 故A={yy=f(x)，x∈  0， 5-1  2    5-1 1 1 5-1 ，而当0≤x< 时， > = ， 2 x+1 5-1 2 +1 2 数学试题 第 12 页 共 46 页5-1 故当A={y|y=f(x)，x∈[0，a]}时，参数a的最小值为 ， 2 故参数a的取值范围为  5-1 ，+∞  2  ， 故答案为：  5-1 ，+∞  2  ． 3. [1,+∞) 【分析】分段讨论fx  的范围即可. 【解析】当 x>0 时, 根据指数函数的图象与性质知f(x)=2x>1， 当 x≤0 时, f(x)=1. 综上: y=f(x) 的值域为 [1,+∞). 故答案为：[1,+∞). 1. ②③ 【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误. 【解析】对于①，若存在在R上的增函数fx  ，满足fx  +f2x  =-x， 则f0  +f2×0  =-0，即f0  =0， 故x>0时，f4x  >f2x  >fx  >0，故f(4x)+f(2x)>f(x)+f(2x)， 故-2x>-x即x<0，矛盾，故①错误； 对于②，取fx  =-x，该函数为R上的减函数且fx  -f2x  =x， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取fx  1 = cosx+mx,m∈R， 2 此时fx  +f-x  =cosx，由m∈R可得fx  有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在fx  ，使得fx  -f-x  =cosx， 令x=0，则0=cos0，但cos0=1，矛盾， 故满足fx  -f-x  =cosx的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 1. D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由x∈0,1  时函数值正负情况可得解. 【解析】由图可知函数为偶函数，而函数fx  x = 1-x  和函数fx  x = x  为奇函数，故排除选项AB； -1 又当x∈0,1  时1-x2>0,x2-1<0，此时fx  x =  >0,fx 1-x2  x =  <0， x2-1 由图可知当x∈0,1  时，fx  <0，故C不符合，D符合. 故选：D 2. A 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在-∞,0  上的函数值符号，结合排除法可得出合适的 选项. 【解析】函数y=fx  x2-1 =  的定义域为xx≠0 x  ， 且f-x  -x =   2-1  x2-1 =- -x  =-fx x  ， 函数fx  为奇函数，CD选项错误； 数学试题 第 13 页 共 46 页又当x<0时，fx  x2-1 =  ≤0，B选项错误. x 故选：A. 3. D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,+∞)上的 函数符号排除选项，即得答案. 【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(-2)=f(2)<0， 5sin(-x) 5sinx 由 =- 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； (-x)2+1 x2+1 5(ex-e-x) 5(ex+e-x) 当x>0时 >0、 >0，即A、C中(0,+∞)上函数值为正，排除； x2+2 x2+2 故选：D 4. B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入x=1可得f1  >0，可排除D. 【解析】f-x  =-x2+e-x-ex  sin-x  =-x2+ex-e-x  sinx=fx  ， 又函数定义域为-2.8,2.8  ，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又f1  1 =-1+e- e  1 sin1>-1+e- e  π e 1 1 1 sin = -1- > - >0， 6 2 2e 4 2e 故可排除D. 故选：B. 5. A 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【解析】设fx  x3-x = ，则f1 x2+1  =0，故排除B; 设hx  2xcosx π = ，当x∈0, x2+1 2  时，00，故排除D. 10 故选：A. 6. A 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【解析】令fx  =3x-3-x  π π cosx,x∈ - ,  2 2  ， 则f-x  =3-x-3x  cos-x  =-3x-3-x  cosx=-fx  ， 所以fx  为奇函数，排除BD； π 又当x∈0, 2  时，3x-3-x>0,cosx>0，所以fx  >0，排除C. 故选：A. 7. D 【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【解析】对于A，y=fx  +gx  1 - =x2+sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 4 对于B，y=fx  -gx  1 - =x2-sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 4 数学试题 第 14 页 共 46 页对于C，y=fx  gx  1 =x2+ 4  1 sinx，则y=2xsinx+x2+ 4  cosx， π π 2 π2 1 当x= 时，y= × + + 4 2 2 16 4  2 × >0，与图象不符，排除C. 2 故选：D. 1. C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【解析】对于A，因为y=lnx在0,+∞  上单调递增，y=-x在0,+∞  上单调递减， 所以fx  =-lnx在0,+∞  上单调递减，故A错误； 对于B，因为y=2x在0,+∞  1 上单调递增，y= 在0,+∞ x  上单调递减， 所以fx  1 = 在0,+∞ 2x  上单调递减，故B错误； 1 对于C，因为y= 在0,+∞ x  上单调递减，y=-x在0,+∞  上单调递减， 所以fx  1 =- 在0,+∞ x  上单调递增，故C正确； 1 对于D，因为f 2  =3 2 1-1  1 =32 = 3，f1  =31-1  =30=1,f2  =32-1  =3， 显然fx  =3x-1  在0,+∞  上不单调，D错误. 故选：C. 2. D 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【解析】对于A，fx  =-x为R上的减函数，不合题意，舍. 对于B，fx  2 = 3  x 为R上的减函数，不合题意，舍. 对于C，fx  =x2在-∞,0  为减函数，不合题意，舍. 对于D，fx  = 3x为R上的增函数，符合题意， 故选：D. 1. B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【解析】因为fx  在R上单调递增，且x≥0时，fx  =ex+lnx+1  单调递增， -2a - 则需满足 2×-1   ≥0  ，解得-1≤a≤0， -a≤e0+ln1 即a的范围是[-1,0]. 故选：B. 2. D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【解析】函数y=2x在R上单调递增，而函数fx  =2xx-a  在区间0,1  上单调递减， a 则有函数y=x(x-a)=x- 2  2 a2 - 在区间0,1 4  a 上单调递减，因此 ≥1，解得a≥2， 2 所以a的取值范围是2,+∞  . 故选：D  5-1 3.  ,1  2  数学试题 第 15 页 共 46 页【分析】原问题等价于fx  =axlna+1+a  xln1+a  ≥0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形， 1+a 可得 a  x lna ≥- ln1+a  ，由右侧函数的单调性可得实数a的二次不等式，求解二次不等式后可确定 实数a的取值范围. 【解析】由函数的解析式可得fx  =axlna+1+a  xln1+a  ≥0在区间0,+∞  上恒成立， 则1+a  xln1+a  1+a ≥-axlna，即 a  x lna ≥- ln1+a  在区间0,+∞  上恒成立， 1+a 故 a  0 lna =1≥- ln1+a  ，而a+1∈1,2  ，故ln1+a  >0， lna+1 故   ≥-lna aa+1 即  0-a>0，即当a≤- 时，函数f(x)在(-∞,-a)上递减； 4 1 综上，当a≤- 时，函数f(x)在定义域R上连续，且单调递减. 4 1 所以a的取值范围是-∞,- 4  【点睛】本题第二问解题的关键在于利用换元法，将问题转化为a=t-t2，t≥0有2个不同实数根，进而 求解，第三问解题的关键在于分类讨论求解. 1. A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 数学试题 第 16 页 共 46 页【解析】令g(x)=-(x-1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1， 6 3 因为 -1-1- 2 2  6+ 3 4 = - ，而( 6+ 3)2-42=9+6 2-16=6 2-7>0， 2 2 6 3 所以 -1-1- 2 2  6+ 3 4 6 3 = - >0，即 -1>1- 2 2 2 2 6 由二次函数性质知g 2  3 g 2  ， 2 综上，g 2  6 c>a. 故选：A. 2. B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【解析】由题意不妨设x 2x1·2x2=2 x1+ 2 x2，即 y 1 +y 2 >2 x1+ 2 x2 >0， 2 2 根据函数y=log x是增函数，所以log y 1 +y 2 >log 2 x1+ 2 x2 = x 1 +x 2 ，故B正确，A错误； 2 2 2 2 2 对于选项D：例如x =0,x =1，则y =1,y =2， 1 2 1 2 y +y 3 可得log 2 1 2 2 =log 22 ∈0,1  y +y ，即log 1 2 <1=x +x ，故D错误； 2 2 1 2 1 1 对于选项C：例如x =-1,x =-2，则y = ,y = ， 1 2 1 2 2 4 y +y 3 可得log 2 1 2 2 =log 28 =log 2 3-3∈-2,-1  y +y ，即log 1 2 >-3=x +x ，故C错误， 2 2 1 2 故选：B. 3. A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 10>1，再利用基本不等式，换底公式 9 可得m>lg11，log 9>m，然后由指数函数的单调性即可解出． 8 【解析】[方法一]：(指对数函数性质) lg10 lg9+lg11 由9m=10可得m=log 10= >1，而lg9lg11< 9 lg9 2  2 lg99 = 2  2 <1=lg10  lg10 2，所以 lg9 lg11 > ，即m>lg11，所以a=10m-11>10lg11-11=0. lg10 lg8+lg10 又lg8lg10< 2  2 lg80 = 2  2 <lg9  lg9 lg10 2，所以 > ，即log 9>m， lg8 lg9 8 所以b=8m-9<8log89-9=0.综上，a>0>b. [方法二]：【最优解】(构造函数) 由9m=10，可得m=log 10∈(1,1.5)． 9 根据a,b的形式构造函数f(x)=xm-x-1(x>1) ，则f(x)=mxm-1-1， 1 令f(x)=0，解得x =m1-m ，由m=log 10∈(1,1.5) 知x ∈(0,1) . 0 9 0 数学试题 第 17 页 共 46 页f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a>b ， 又因为f(9)=9log910-10=0 ，所以a>0>b . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=xm-x-1(x>1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了， 是该题的最优解． 4. B 【分析】法一：设2+log x=3+log y=5+log z=m，对m讨论赋值求出x,y,z，即可得出大小关系， 2 3 5 利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【解析】法一：设2+log x=3+log y=5+log z=m，所以 2 3 5 1 1 令m=2，则x=1,y=3-1= ,z=5-3= ，此时x>y>z，A有可能； 3 125 令m=5，则x=8,y=9,z=1，此时y>x>z，C有可能； 令m=8，则x=26=64,y=35=243,z=53=125，此时y>z>x，D有可能； 故选：B． 法二：设2+log x=3+log y=5+log z=m，所以，x=2m-2,y=3m-3,z=5m-5 2 3 5 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5的图 象与直线x=m的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x， 故选：B． 5. D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【解析】因为y=4.2x在R上递增，且-0.2<0<0.2， 所以0<4.2-0.2<4.20<4.20.2， 所以0<4.2-0.2<1<4.20.2，即0c=0.60.5. 所以b>a>c. 故选：D 7. D 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系. 1 【解析】因为20.7> 3  0.7 1 >0=log 1>log ，故a>b>c. 2 23 故选：D. 8. C 【分析】构造函数f(x)=ln(1+x)-x，导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小. 【解析】方法一：构造法 1 x 设f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)，因为f(x)= -1=- ， 1+x 1+x 当x∈(-1,0)时，f(x)>0，当x∈(0,+∞)时f(x)<0， 所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)单调递减，在(-1,0)上单调递增， 1 所以f 9  10 1 1 10 ln =-ln0.9，即b>c， 9 9 9 9 1 所以f- 10  0，函数h(x)=ex(x2-1)+1单调递增， 又h(0)=0， 所以当00，函数g(x)=xex+ln(1-x)单调递增， 所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c 故选：C. 方法二：比较法 0.1 解：a=0.1e0.1 ，b= ，c=-ln(1-0.1) ， 1-0.1 ① lna-lnb=0.1+ln(1-0.1) ， 令 f(x)=x+ln(1-x),x∈(0,0.1], 1 -x 则 f'(x)=1- = <0 ， 1-x 1-x 故 f(x) 在 (0,0.1] 上单调递减， 可得 f(0.1)0 ， 数学试题 第 19 页 共 46 页所以 k(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 k(x)>k(0)>0 ，即 g′(x)>0 ， 所以 g(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 g(0.1)>g(0)=0 ，即 a-c>0 ，所以 a>c. 故 c1 【分析】(1)求出底数a，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； (2)存在x使得fx+1  、fax  、fx+2  1 3 成等差数列等价于a2=2 + x 4  2 1 - 在0,+∞ 8  上有解，利 用换元法结合二次函数的性质可求a的取值范围． 【解析】(1)因为y=fx  的图象过4,2  ，故log 4=2，故a2=4即a=2(负的舍去)， a 而fx  =log 2 x在0,+∞  上为增函数，故f2x-2  0,a≠1，故x>0，故a2x2=x+1  x+2  在0,+∞  上有解， x2+3x+2 3 2 1 3 由a2= =1+ + =2 + x2 x x2 x 4  2 1 - 在0,+∞ 8  上有解， 1 令t= ∈0,+∞ x  3 ，而y=2t+ 4  2 1 - 在0,+∞ 8  上的值域为1,+∞  ， 故a2>1即a>1. 2. (1)a=-2,m=1 (2)答案见解析. log (a+3)+log (6-3)-m=0 【分析】(1)由题知a>-6，再根据题意得   3 3 ，解方程即可得答案； log (a+5)+log (6-5)-m=0 3 3 2ax≥6a  (2)根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为-a0 x>-a 【解析】(1)解：函数f(x)的定义域满足  ，即  ， 6-x>0 x<6 所以，要使函数的定义域非空，则-a<6，即a>-6. 若将函数f(x)图像向下移m(m>0)后得到的解析式为： g(x)=f(x)-m=log 3 (a+x)+log 3 (6-x)-m，x∈-a,6  . 所以3,0  ,5,0  log (a+3)+log (6-3)-m=0 在函数g(x)的图像上，即   3 3 ， log (a+5)+log (6-5)-m=0 3 3 解得：a=-2,m=1， 所以，a=-2,m=1 (2)解：由题知a∈-3,0  ∪0,+∞  ， f(x)=log 3 (a+x)+log 3 (6-x)=log 3 a+x  6-x    ,x∈-a,6  f(6-x)=log 3 (a+6-x)+log 3 x=log 3 xa+6-x    ,x∈0,a+6  因为函数y=log 3 x在0,+∞  上单调递增， 所以f(x)≤f(6-x)等价于a+x  6-x  ≤xa+6-x  ，展开整理得：2ax≥6a， 数学试题 第 20 页 共 46 页2ax≥6a  所以，不等式的解集为-a0,lnx+b  <0， 此时f(x)<0，不合题意； 若-b<-a<1-b，当x∈-a,1-b  时，可知x+a>0,lnx+b  <0， 此时f(x)<0，不合题意； 若-a=1-b，当x∈-b,1-b  时，可知x+a<0,lnx+b  <0，此时f(x)>0； 当x∈1-b,+∞  时，可知x+a≥0,lnx+b  ≥0，此时f(x)≥0； 可知若-a=1-b，符合题意； 若-a>1-b，当x∈1-b,-a  时，可知x+a<0,lnx+b  >0， 此时f(x)<0，不合题意； 综上所述：-a=1-b，即b=a+1， 则a2+b2=a2+a+1  1 2=2a+ 2  2 1 1 1 1 + ≥ ，当且仅当a=- ,b= 时，等号成立， 2 2 2 2 1 所以a2+b2的最小值为 ； 2 解法二：由题意可知：f(x)的定义域为-b,+∞  ， 令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b； 数学试题 第 21 页 共 46 页则当x∈-b,1-b  时，lnx+b  <0，故x+a≤0，所以1-b+a≤0； x∈1-b,+∞  时，lnx+b  >0，故x+a≥0，所以1-b+a≥0； 故1-b+a=0，则a2+b2=a2+a+1  1 2=2a+ 2  2 1 1 + ≥ ， 2 2 1 1 当且仅当a=- ,b= 时，等号成立， 2 2 1 所以a2+b2的最小值为 . 2 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求x+a=0、ln(x+b)=0的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨 论，结合符号性分析判断. 3. ②③ 【分析】先分析fx  1 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取a= ，结合图像即可判断；对于②，分段讨 2 论fx  的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN  4 的范围；对于④，取a= ，结合图像可 5 知此时PQ  存在最小值，从而得以判断. 【解析】依题意，a>0， 当x<-a时，fx  =x+2，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当-a≤x≤a时，fx  = a2-x2，易知其图像是，圆心为0,0  ，半径为a的圆在x轴上方的图像(即半 圆)； 当x>a时，fx  =- x-1，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 1 对于①，取a= ，则fx 2  的图像如下， 1 显然，当x∈(a-1,+∞)，即x∈- ,+∞ 2  时，fx  1 在- ,0 2  上单调递增，故①错误； 对于②，当a≥1时， 当x<-a时，fx  =x+2<-a+2≤1； 当-a≤x≤a时，fx  = a2-x2显然取得最大值a； 当x>a时，fx  =- x-1<- a-1≤-2， 综上：fx  取得最大值a，故②正确； 对于③，易知当-a≤x 1 ≤a时，在x 1 =a，x 2 >a且接近于x=a处，M x 1 ,fx 1    x 1 ≤a  , N x 2 ,fx 2    x 2 >a  的距离最小， 数学试题 第 22 页 共 46 页当x 1 =a时，y=fx 1  =0，当x 2 >a且接近于x=a处，y 2 =fx 2  <- a-1， 此时，MN  >y -y > a+1>1， 1 2 当x 1 <-a时，x 2 >a且接近于x=a处，M x 1 ,fx 1    x 1 ≤a  ,N x 2 ,fx 2    x 2 >a  的距离最小， 此时MN  a+ a+1+2 ≥  >1；故③正确； 2 4 对于④，取a= ，则fx 5  的图像如下， 因为P x 3 ,fx 3    x 3 <-a  ,Q x 4 ,fx 4    x 4 ≥-a  ， 结合图像可知，要使PQ  取得最小值，则点P在fx  4 =x+2x<- 5  上，点Q在fx  = 16 4 4 -x2- ≤x≤ 25 5 5  ， 同时PQ  的最小值为点O到fx  4 =x+2x<- 5  的距离减去半圆的半径a， 此时，因为fx  4 =y=x+2x<- 5  的斜率为1，则k =-1，故直线OP的方程为y=-x， OP y=-x x=-1 联立  ，解得  ，则P-1,1 y=x+2 y=1  ， 显然P-1,1  在fx  4 =x+2x<- 5  上，满足PQ  取得最小值， 4 即a= 也满足PQ 5  1 存在最小值，故a的取值范围不仅仅是0, 2  ，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得fx  的图像，特别是当-a≤x≤a时，fx  = a2-x2的图 像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 1. B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【解析】对A，设fx  ex-x2 = ，函数定义域为R，但f-1 ex+x2  e-1-1 1-e = = ，f1 e-1+1 e+1  e-1 = ，则f-1 e+1  ≠ f1  ，故A错误； 数学试题 第 23 页 共 46 页对B，设gx  cosx-x2 = ，函数定义域为R， x2+1 且g-x  cos-x =  --x  2 -x  cosx-x2 = =gx 2+1 x2+1  ，则gx  为偶函数，故B正确； 对C，设hx  ex-x = ，h-1 ex+x  e-1+1 1+e = = ,h1 e-1-1 1-e  e-1 = ， e+1 h-1  ≠h1  ，则hx  不是偶函数，故C错误； 对D，设φx  sinx-x = ，函数定义域为R， x2+1 因为φ-x  sin-x =  --x  -x  -sinx+x = =-φx 2+1 x2+1  ，且φx  不恒为0， 则φx  不是偶函数，故D错误. 故选：B. 2. ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例f(x)=0即可排除选 项D. x2lnx 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数f(x)=  ,x≠0  进行判断即可.  0,x=0 【解析】方法一： 因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)， 对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确. 对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确. 对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0， 令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)， 又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确， 对于D，不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误. 方法二： 因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)， 对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确. 对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确. 对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0， 令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)， 又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确， f(xy) f(x) f(y) 对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以x2y2，得到 = + ， x2y2 x2 y2 f(x) 故可以设 =lnx x2  x2lnx (x≠0)，则f(x)=  ,x≠0  ，  0,x=0 当x>0肘，f(x)=x2lnx，则fx  1 =2xlnx+x2⋅ =x(2lnx+1)， x 令fx  <0，得00，得x>e- 2 1 ； 故f(x)在0,e- 2 1  上单调递减，在e- 2 1 ,+∞  上单调递增， 因为f(x)为偶函数，所以f(x)在-e- 2 1 ,0  上单调递增，在-∞,e- 2 1  上单调递减， 数学试题 第 24 页 共 46 页显然，此时x=0是f(x)的极大值点，故D错误. 故选：ABC. 3. B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 1-x 2 【解析】由题意可得f(x)= =-1+ ， 1+x 1+x 对于A，fx-1  2 -1= -2不是奇函数； x 对于B，fx-1  2 +1= 是奇函数； x 对于C，fx+1  2 -1= -2，定义域不关于原点对称，不是奇函数； x+2 对于D，fx+1  2 +1= ，定义域不关于原点对称，不是奇函数. x+2 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 4. fx  =x4(答案不唯一，fx  =x2nn∈N*  均满足) 【分析】根据幂函数的性质可得所求的fx  . 【解析】取fx  =x4，则fx 1 x 2  =x 1 x 2  4=x4 1 x4 2 =fx 1  fx 2  ，满足①， fx  =4x3，x>0时有fx  >0，满足②， fx  =4x3的定义域为R， 又f-x  =-4x3=-fx  ，故fx  是奇函数，满足③. 故答案为：fx  =x4(答案不唯一，fx  =x2nn∈N*  均满足) 5. B 【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合M 与已知条件矛盾；D选项由集合M的定义找到矛盾. 【解析】对于A选项：x1，fx  =1， ∴存在fx  在x=2处取最大值，故B选项正确； 对于C选项：在x<-1时，若函数fx  严格递增，则集合M的取值不会是-1,1  ， 而是全体定义域，故C选项错误； 对于D选项：若存在fx  在x=-1处取到极小值，则在x=-1在左侧存在x=n，fn  >f-1  ，与集合 M定义矛盾，故D选项错误. 故选：B 1. 0 【分析】根据奇函数的定义求解． 【解析】f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)恒成立， 所以-x3+a=-(x3+a)，解得a=0 故答案为：0． 2. 2 π 【分析】利用偶函数的性质得到f- 2  π =f 2  ，从而求得a=2，再检验即可得解. 【解析】因为y=fx  =x-1  π 2+ax+sinx+ 2  =x-1  2+ax+cosx为偶函数，定义域为R， π 所以f- 2  π =f 2  π ，即- -1 2  2 π π - a+cos- 2 2  π = -1 2  2 π π + a+cos ， 2 2 π 则πa= +1 2  2 π - -1 2  2 =2π，故a=2， 此时fx  =x-1  2+2x+cosx=x2+1+cosx， 所以f-x  =-x  2+1+cos-x  =x2+1+cosx=fx  ， 又定义域为R，故fx  为偶函数， 所以a=2. 故答案为：2. 3. D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【解析】因为fx  xex = 为偶函数，则fx eax-1  -f-x  xex -x = - eax-1  e-x x ex-ea-1 = e-ax-1   x  =0， eax-1 又因为x不恒为0，可得ex-ea-1  x=0，即ex=ea-1  x， 则x=a-1  x，即1=a-1，解得a=2. 故选：D. 4. B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可. 1 【解析】因为f(x) 为偶函数，则 f(1)=f(-1)，∴(1+a)ln =(-1+a)ln3，解得a=0， 3 当a=0时，fx  2x-1 =xln ，2x-1 2x+1  2x+1  1 1 >0，解得x> 或x<- ， 2 2 则其定义域为 xx  1 1  或x<-  2 2  ，关于原点对称. f-x  =-x  2-x ln  -1 2-x  =-x +1  2x+1 ln =-x 2x-1  2x-1 ln 2x+1  -1 2x-1 =xln =fx 2x+1  ， 故此时fx  为偶函数. 故选：B. 数学试题 第 26 页 共 46 页5. 1 【分析】根据奇函数的定义可求参数的值. 【解析】当x<0时，fx  =a2x-1， 当x>0时，-x<0，故f-x  =-a2x-1， 而fx  =-f-x  a2=1 =a2x+1=x+a，故  即a=1， a=1 故答案为：1. 1 6. - ； ln2． 2 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若a=0，则f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称 ∴a≠0 1 1 若奇函数的f(x)=lna+ +b有意义，则x≠1且a+ ≠0 1-x 1-x 1 ∴x≠1且x≠1+ ， a ∵函数f(x)为奇函数，定义域关于原点对称， 1 1 ∴1+ =-1，解得a=- ， a 2 1 由f(0)=0得，ln +b=0， 2 ∴b=ln2， 1 故答案为：- ；ln2． 2 [方法二]：函数的奇偶性求参 1 f(x)=lna+ +b=ln 1-x  a-ax+1 +b=ln 1-x  ax-a-1  1-x  +b ax+a+1 f(-x)=ln 1+x  +b ∵函数f(x)为奇函数 ax-a-1 ∴f(x)+f(-x)=ln +ln 1-x  ax+a+1  1+x  +2b=0 a2x2-(a+1)2 ∴ln x2-1  +2b=0 a2 (a+1)2 1 ∴ = ⇒2a+1=0⇒a=- 1 1 2 1 -2b=ln =-2ln2⇒b=ln2 4 1 ∴a=- ,b=ln2 2 [方法三]： 因为函数fx  1 =lna+ 1-x  +b为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 1 由a+ ≠0可得，1-x 1-x  a+1-ax  a+1 1 ≠0，所以x= =-1，解得：a=- ，即函数的定义域为 a 2 -∞,-1  ∪-1,1  ∪1,+∞  ，再由f0  =0可得，b=ln2．即fx  1 1 =ln- + 2 1-x  +ln2= 1+x ln 1-x  ，在定义域内满足f-x  =-fx  ，符合题意． 数学试题 第 27 页 共 46 页1 故答案为：- ；ln2． 2 7. 1 【分析】利用偶函数的定义可求参数a的值. 【解析】因为fx  =x3a⋅2x-2-x  ，故f-x  =-x3a⋅2-x-2x  ， 因为fx  为偶函数，故f-x  =fx  ， 时x3a⋅2x-2-x  =-x3a⋅2-x-2x  ，整理得到a-1  2x+2-x  =0， 故a=1， 故答案为：1 8. (1)不存在 1 1 (2)a> 且a≠ 3 2 c 【分析】(1)将a=0代入得f(x)=x+1+ ，先考虑其定义域，再假设f(x)为奇函数，得到方程2+c= x c无解，从而得以判断； x2+(3a+1)x+1 (2)先半点(1,3)代入f(x)求得c=1，从而得到f(x)= ，再利用二次函数的根的分布得 x+a 1 到关于a的不等式组，解之可得a> ，最后再考虑x=-a的情况，从而得到a的取值范围. 3 x2+x+c c 【解析】(1)当a=0时，f(x)= =x+1+ ，定义域为D=(-∞,0)∪(0,+∞)， x x 假设y=f(x)为奇函数，则f(-1)=-f(1)， 而f(1)=2+c,f(-1)=-c，则2+c=c，此时无实数c满足条件， 所以不存在实数c，使得函数f(x)为奇函数； 1+(3a+1)+c (2)y=f(x)图像经过点(1,3)，则代入得 =3，解得c=1， 1+a x2+(3a+1)x+c x2+(3a+1)x+1 所以f(x)= = ，定义域为(-∞,-a)∪(-a,+∞)， x+a x+a 令g(x)=x2+(3a+1)x+1，则g(x)的图像与x轴负半轴有两个交点， -(3a+1)<0 3a+1>0 所以 ，即  Δ>0 3a+1   1  2-4>0 ，解得a> 3 ， 若x+a=0，即x=-a是方程x2+(3a+1)x+1=0的解， 则代入可得a2+(3a+1)×-a  1 +1=0，解得a= 或a=-1. 2 1 1 1 由题意得a≠ ，所以实数a的取值范团a> 且a≠ . 2 3 2 1. A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,3]的范围中求解. 【解析】由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立， 3 于是f- 4  3 =f 4  11 =f 4  11 1 =5-2× =- . 4 2 故选：A 2. ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用f(x)=-f-x  代入求解即可；对C，举反例f(-1)> 2即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【解析】对A，因为f(x)定义在R上奇函数，则f(0)=0，故A正确； 数学试题 第 28 页 共 46 页对B，当x<0时，-x>0，则f(x)=-x2-3  e-x-2，故B正确； 对C，f(-1)=-1-3  e-2=2e-1  >2，故C错误； 对D，当x<0时，f(x)=3-x2  e-x-2，则f(x)=-3-x2  e-x-2xe-x=x2-2x-3  e-x， 令f(x)=0，解得x=-1或3(舍去)， 当x∈-∞,-1  时，f(x)>0，此时fx  单调递增， 当x∈-1,0  时，f(x)<0，此时fx  单调递减， 则x=-1是f(x)极大值点，故D正确； 故选：ABD. 3. C 5 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f 3  的值. 5 【解析】由题意可得：f 3  2 =f1+ 3  2 =f- 3  2 =-f 3  ， 2 而f 3  1 =f1- 3  1 =f 3  1 =-f- 3  1 =- ， 3 5 故f 3  1 = . 3 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化 是解决本题的关键. 4. D 【分析】通过fx+1  是奇函数和fx+2  是偶函数条件，可以确定出函数解析式fx  =-2x2+2，进而利 用定义或周期性结论，即可得到答案． 【解析】[方法一]： 因为fx+1  是奇函数，所以f-x+1  =-fx+1  ①； 因为fx+2  是偶函数，所以fx+2  =f-x+2  ②． 令x=1，由①得：f0  =-f2  =-4a+b  ，由②得：f3  =f1  =a+b， 因为f0  +f3  =6，所以-4a+b  +a+b=6⇒a=-2， 令x=0，由①得：f1  =-f1  ⇒f1  =0⇒b=2，所以fx  =-2x2+2． 思路一：从定义入手． 9 f 2  5 =f +2 2  5 =f- +2 2  1 =f- 2  1 f- 2  3 =f- +1 2  3 =-f +1 2  5 =-f 2  5 -f 2  1 =-f +2 2  1 =-f- +2 2  3 =-f 2  9 所以f 2  3 =-f 2  5 = ． 2 [方法二]： 因为fx+1  是奇函数，所以f-x+1  =-fx+1  ①； 因为fx+2  是偶函数，所以fx+2  =f-x+2  ②． 令x=1，由①得：f0  =-f2  =-4a+b  ，由②得：f3  =f1  =a+b， 因为f0  +f3  =6，所以-4a+b  +a+b=6⇒a=-2， 令x=0，由①得：f1  =-f1  ⇒f1  =0⇒b=2，所以fx  =-2x2+2． 思路二：从周期性入手 数学试题 第 29 页 共 46 页由两个对称性可知，函数fx  的周期T=4． 9 所以f 2  1 =f 2  3 =-f 2  5 = ． 2 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计 算的效果． 5. BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项 判断即可得解. 【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 3 对于f(x)，因为f -2x 2  3 为偶函数，所以f -2x 2  3 =f +2x 2  3 即f -x 2  3 =f +x 2  ①，所以 f3-x  =fx  3 ，所以f(x)关于x= 对称，则f(-1)=f(4)，故C正确； 2 对于g(x)，因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x)，g(4-x)=g(x)，所以g(x)关于x=2对称，由① 3 求导，和g(x)=f(x)，得 f -x 2       3 = f +x 2       3 ⇔-f -x 2  3 =f +x 2  3 ⇔-g -x 2  = 3 g +x 2  ，所以g3-x  +gx  3 =0，所以g(x)关于 ,0 2  3 对称，因为其定义域为R，所以g 2  =0，结 3 合g(x)关于x=2对称，从而周期T=4×2- 2  1 =2，所以g- 2  3 =g 2  =0，g-1  =g1  = -g2  ，故B正确，D错误； 若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值， 故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知g(x)周期为2，关于x=2对称，故可设gx  =cosπx  ，则fx  1 = sinπx π  +c，显然A，D 错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 3 因为f -2x 2  ，g(2+x)均为偶函数， 3 所以f -2x 2  3 =f +2x 2  3 即f -x 2  3 =f +x 2  ，g(2+x)=g(2-x)， 所以f3-x  =fx  ，g(4-x)=g(x)，则f(-1)=f(4)，故C正确； 3 函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x= ,x=2对称， 2 又g(x)=f(x)，且函数f(x)可导， 3 所以g 2  =0,g3-x  =-gx  ， 所以g(4-x)=g(x)=-g3-x  ，所以g(x+2)=-g(x+1)=gx  ， 1 所以g- 2  3 =g 2  =0，g-1  =g1  =-g2  ，故B正确，D错误； 若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值， 故A错误. 故选：BC. 数学试题 第 30 页 共 46 页【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通 性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 1. A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数fx  的一个周期为6，求出函数一个周期中的f1  ,f2  ,⋯, f6  的值，即可解出． 【解析】[方法一]：赋值加性质 因为fx+y  +fx-y  =fx  fy  ，令x=1,y=0可得，2f1  =f1  f0  ，所以f0  =2，令x=0可 得，fy  +f-y  =2fy  ，即fy  =f-y  ，所以函数fx  为偶函数，令y=1得，fx+1  +fx-1  = fx  f1  =fx  ，即有fx+2  +fx  =fx+1  ，从而可知fx+2  =-fx-1  ，fx-1  =-fx-4  ， 故fx+2  =fx-4  ，即fx  =fx+6  ，所以函数fx  的一个周期为6．因为f2  =f1  -f0  =1 -2=-1，f3  =f2  -f1  =-1-1=-2，f4  =f-2  =f2  =-1，f5  =f-1  =f1  =1，f6  =f0  =2，所以 一个周期内的f1  +f2  +⋯+f6  =0．由于22除以6余4， 22 所以 fk k=1   =f1  +f2  +f3  +f4  =1-1-2-1=-3．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由fx+y  +fx-y  =fx  fy  ，联想到余弦函数和差化积公式 cosx+y  +cosx-y  =2cosxcosy，可设fx  =acosωx，则由方法一中f0  =2,f1  =1知a=2, 1 π acosω=1，解得cosω= ，取ω= ， 2 3 所以fx  π =2cos x，则 3 fx+y  +fx-y  π π =2cos x+ y 3 3  π π +2cos x- y 3 3  π π =4cos xcos y=fx 3 3  fy  ，所以fx  = π 2π 2cos x符合条件，因此f(x)的周期T= =6，f0 3 π 3  =2,f1  =1，且f2  =-1,f3  =-2,f4  = -1,f5  =1,f6  =2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0， 由于22除以6余4， 22 所以 fk k=1   =f1  +f2  +f3  +f4  =1-1-2-1=-3．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题， 简单明了，是该题的最优解. 2. B 【分析】推导出函数fx  是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f1  =0，结合已知条件可得出结论. 【解析】因为函数fx+2  为偶函数，则f2+x  =f2-x  ，可得fx+3  =f1-x  ， 因为函数f2x+1  为奇函数，则f1-2x  =-f2x+1  ，所以，f1-x  =-fx+1  ， 所以，fx+3  =-fx+1  =fx-1  ，即fx  =fx+4  ， 故函数fx  是以4为周期的周期函数， 因为函数Fx  =f2x+1  为奇函数，则F0  =f1  =0， 故f-1  =-f1  =0，其它三个选项未知. 数学试题 第 31 页 共 46 页故选：B. 1. D 【分析】根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x-2)=-2，从而得到f3  +f5  +⋯+f21  =-10，f4  +f6  +⋯+f22  =-10，然后根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g3  =6从而得到f1  的值即可 求解. 【解析】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称， 所以g2-x  =gx+2  ， 因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)， 因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5， 代入得f(x)+7+f(x-2)  =5，即f(x)+f(x-2)=-2， 所以f3  +f5  +⋯+f21  =-2  ×5=-10， f4  +f6  +⋯+f22  =-2  ×5=-10. 因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0  =1，所以f(2)=-2-f0  =-3. 因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为f(x)+g(2-x)=5， 联立得，g2-x  +gx+4  =12， 所以y=g(x)的图像关于点3,6  中心对称，因为函数g(x)的定义域为R， 所以g3  =6 因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1  =5-g3  =-1. 22 所以∑ f(k)=f1 k=1  +f2  + f3  +f5  +⋯+f21    + f4  +f6  +⋯+f22    =-1-3-10-10= -24. 故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后 得到所需的一些数值或关系式从而解题. 2. D 【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得fx+2  -f(x)=2，据此 可判断D的正误. 【解析】对于A，因为f(x)为偶函数，故f-x  =f(x)， 而f(x)的图像关于直线x=1对称，故f2-x  =f(x)，故f2-x  =f(-x)， 故fx  为周期函数且周期为2， 而fx  在0,2  必有最大值，故fx  必有最大值，故A错误. 对于B，而f(x)的图像关于点(1,1)对称，故f2-x  +f(x)=2， 故fx-2  +f(x)=2，故fx+2  +f(x)=2，故fx+2  =f(x-2) 故fx  为周期函数且周期为4， 而fx  在0,4  必有最大值，故fx  必有最大值，故B错误. 对于C，因为f(x)为奇函数，故f-x  =-f(x)， 而f(x)的图像关于直线x=1对称，故f2-x  =f(x)，故fx-2  =-f(x)， 所以fx+4  =f(x)故fx  为周期函数且周期为4， 而fx  在0,4  必有最大值，故fx  必有最大值，故C错误. 对于D，因为f(x)为奇函数，故f-x  =-f(x)， 而f(x)的图像关于点(1,1)对称，故f2-x  +f(x)=2， 数学试题 第 32 页 共 46 页故f(x)-fx-2  =2，设x=2n,n∈N*， 则f(2n)=f0  +2n，故fx  无最大值， 故选：D 3. 0 【分析】根据奇函数的性质可得出f0  的值，根据函数对称性可得出f1  的值，推导出函数fx  为周期 函数，确定该函数的周期，结合周期性可求得f1  +f2  +f3  +f4  +f5  的值. 【解析】因为函数fx  是定义在R上的奇函数，且y=fx  1 的图象关于直线x= 对称， 2 则对任意的x∈R，f-x  =-fx  ，f1-x  =fx  ，则fx  =-fx-1  ， 所以，fx+2  =-fx+1  =fx  ， 所以，函数fx  是周期为2的周期函数，且f1  =f0  =0， 因此，f1  +f2  +f3  +f4  +f5  =3f0  +2f1  =0. 故答案为：0. 4. AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=0,x=a，根据零点存在定理和极值的符号判断出f(x)在( -1,0),(0,a),(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设 存在这样的a,b，使得x=b为f(x)的对称轴，则f(x)=f(2b-x)为恒等式，据此计算判断；D选项，若存 在这样的a，使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心，则f(x)+f(2-x)=6-6a，据此进行计算判断，亦可利 用拐点结论直接求解. 【解析】A选项，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a)，由于a>1， 故x∈-∞,0  ∪a,+∞  时f(x)>0，故f(x)在-∞,0  ,a,+∞  上单调递增， x∈(0,a)时，f(x)<0，f(x)单调递减， 则f(x)在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值， 由f(0)=1>0，f(a)=1-a3<0，则f(0)f(a)<0， 根据零点存在定理f(x)在(0,a)上有一个零点， 又f(-1)=-1-3a<0，f(2a)=4a3+1>0，则f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0， 则f(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，f(x)有三个零点，A选项正确； B选项，f(x)=6x(x-a)，a<0时，x∈(a,0),f(x)<0，f(x)单调递减， x∈(0,+∞)时f(x)>0，f(x)单调递增， 此时f(x)在x=0处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的a,b，使得x=b为f(x)的对称轴， 即存在这样的a,b使得f(x)=f(2b-x)， 即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1， 根据二项式定理，等式右边(2b-x)3展开式含有x3的项为2C3(2b)0(-x)3=-2x3， 3 于是等式左右两边x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的a,b，使得x=b为f(x)的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 f(1)=3-3a，若存在这样的a，使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心， 则f(x)+f(2-x)=6-6a，事实上， f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a， 数学试题 第 33 页 共 46 页于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a 12-6a=0  即12a-24=0 ，解得a=2，即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的对称中心，D选项正确. 18-12a=6-6a 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， f(x)=2x3-3ax2+1，f(x)=6x2-6ax，f(x)=12x-6a， a a a 由f(x)=0⇔x= ，于是该三次函数的对称中心为 ,f 2 2 2    ， a 由题意(1,f(1))也是对称中心，故 =1⇔a=2， 2 即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：(1)f(x)的对称轴为x=b⇔f(x)=f(2b-x)；(2)f(x)关于(a,b)对称⇔f(x)+f(2a -x)=2b；(3)任何三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称 b b 中心的横坐标是f(x)=0的解，即 - ,f- 3a 3a    是三次函数的对称中心 5. (1)-2 (2)证明见解析 2 (3)b≥- 3 【分析】(1)求出fx  =2+a后根据f(x)≥0可求a的最小值； min (2)设Pm,n  为y=fx  图象上任意一点，可证Pm,n  关于1,a  的对称点为Q2-m,2a-n  也在 函数的图像上，从而可证对称性； (3)根据题设可判断f1  =-2即a=-2，再根据f(x)>-2在1,2  2 上恒成立可求得b≥- . 3 【解析】(1)b=0时，fx  x =ln +ax，其中x∈0,2 2-x  ， 则fx  1 1 2 = + +a= x 2-x x2-x  +a,x∈0,2  ， 因为x2-x  2-x+x ≤ 2  2 =1，当且仅当x=1时等号成立， 故fx  =2+a，而fx min  ≥0成立，故a+2≥0即a≥-2， 所以a的最小值为-2.， (2)fx  x =ln +ax+bx-1 2-x  3的定义域为0,2  ， 设Pm,n  为y=fx  图象上任意一点， Pm,n  关于1,a  的对称点为Q2-m,2a-n  ， 因为Pm,n  在y=fx  m 图象上，故n=ln +am+bm-1 2-m  3， 而f2-m  2-m =ln +a2-m m  +b2-m-1  m 3=- ln +am+bm-1 2-m   3    +2a， =-n+2a， 所以Q2-m,2a-n  也在y=fx  图象上， 由P的任意性可得y=fx  图象为中心对称图形，且对称中心为1,a  . (3)因为fx  >-2当且仅当1-2恒成立. 此时fx  x >-2即为ln +21-x 2-x  +bx-1  3>0在1,2  上恒成立， 设t=x-1∈0,1  t+1 ，则ln -2t+bt3>0在0,1 1-t  上恒成立， 设gt  t+1 =ln -2t+bt3,t∈0,1 1-t  ， 则gt  2 t2-3bt2+2+3b = -2+3bt2= 1-t2  ， 1-t2 当b≥0，-3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0， 故gt  >0恒成立，故gt  在0,1  上为增函数， 故gt  >g0  =0即fx  >-2在1,2  上恒成立. 2 当- ≤b<0时，-3bt2+2+3b≥2+3b≥0， 3 故gt  ≥0恒成立，故gt  在0,1  上为增函数， 故gt  >g0  =0即fx  >-2在1,2  上恒成立. 2 2 当b<- ，则当0-2在1,2  2 上恒成立时b≥- . 3 2 而当b≥- 时， 3 2 而b≥- 时，由上述过程可得gt 3  在0,1  递增，故gt  >0的解为0,1  ， 即fx  >-2的解为1,2  . 2 综上，b≥- . 3 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对 一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的 范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 6. (1)ln2  x+y-ln2=0； 1 1 (2)存在a= ,b=- 满足题意，理由见解析. 2 2 1 (3)0, 2  . 【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后 求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法 可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数gx  =ax2+x-x+1  lnx+1  ，然后对函数 1 1 求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0，a≥ 和00，即函数的定义域为-∞,-1 x x  ∪0,+∞  ， 1 1 定义域关于直线x=- 对称，由题意可得b=- ， 2 2 1 由对称性可知g- +m 2  1 =g- -m 2  1 m> 2  ， 3 取m= 可得g1 2  =g-2  ， 即a+1  ln2=a-2  1 1 ln ，则a+1=2-a，解得a= ， 2 2 1 1 1 1 经检验a= ,b=- 满足题意，故a= ,b=- . 2 2 2 2 1 1 即存在a= ,b=- 满足题意. 2 2 (3)由函数的解析式可得fx  1 =- x2  lnx+1  1 + +a x  1 ， x+1 由fx  在区间0,+∞  存在极值点，则fx  在区间0,+∞  上存在变号零点; 1 令- x2  lnx+1  1 + +a x  1 =0， x+1 则-x+1  lnx+1  +x+ax2  =0， 令gx  =ax2+x-x+1  lnx+1  ， fx  在区间0,+∞  存在极值点，等价于gx  在区间0,+∞  上存在变号零点， gx  =2ax-lnx+1  ,gx  1 =2a- x+1 当a≤0时，gx  <0，gx  在区间0,+∞  上单调递减， 此时gx  0,gx  在区间0,+∞  上单调递增， 所以gx  >g0  =0，gx  在区间0,+∞  上单调递增，gx  >g0  =0， 所以gx  在区间0,+∞  上无零点，不符合题意； 1 当00，gx  单调递增， 故gx  1 的最小值为g -1 2a  =1-2a+ln2a， 令mx  =1-x+lnx00， x 函数mx  在定义域内单调递增，mx  0，gx  单调递增， 所以gx 0   +1 a2  4 4 +a-ln +1 a a2    +a-1-2a+1   4 = +1 a2  4 4 -ln +1 a a2      4 > +1 a2  4 4  - +1 a a2  4 > +1 a2  16 4 - -1 a2 a2 4 = +1 4 4 a2 + +1 a a2  12 -1 a2 >0， 4 4 + +1 a a2 所以函数gx  在区间0,+∞  上存在变号零点，符合题意. 1 综合上面可知:实数a得取值范围是0, 2  . 【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初 等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. (2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程 组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需 要进行验证. 1. C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【解析】f-x  +fx  1 1 2x 1 = + = + =1，故A错误，C正确； 1+2-x 1+2x 1+2x 1+2x f-x  -fx  1 1 2x 1 2x-1 2 = - = - = =1- ，不是常数，故BD错误； 1+2-x 1+2x 1+2x 1+2x 2x+1 2x+1 故选：C． 2. 64 【分析】将log a,log 4利用换底公式转化成log a来表示即可求解. 8 a 2 1 1 3 1 5 【解析】由题 log a - log 4 = log a - 2 log 2 a=- 2 ，整理得log 2 a 8 a 2  2-5log a-6=0， 2 ⇒log a=-1或log a=6，又a>1， 2 2 所以log a=6=log 26，故a=26=64 2 2 故答案为：64. 3. C 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 数学试题 第 37 页 共 46 页1 1 【解析】原式=2× log 3+ log 3 2 2 3 2  1 log 2+ log 2 3 2 3  4 3 = log 3× log 2=2， 3 2 2 3 故选：C 4. C 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 1 4a 2a 【解析】因为2a=5，b=log 3= log 3，即23b=3，所以4a-3b= = 8 3 2 43b  2 23b  52 25 = = ． 2 32 9 故选：C. 1. B 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【解析】设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T,T ,T, 1 2 3 由题意，T=klog 106=6klog 10， 1 2 2 T 2 =klog 21.024×109  =klog 2210×106  =k10+6log 2 10  ， T 3 =klog 24.096×109  =klog 2212×106  =k12+6log 2 10  ， 因为T 2 -T 1 =k10+6log 2 10  -6klog 10=10k=20，所以k=2， 2 所以T 3 -T 2 =k12+6log 2 10  -k10+6log 2 10  =2k=4， 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 2. D S-1 S-1 【分析】根据题意分析可得 =2.1, =3.15，消去S即可求解. lnN lnN 1 2 S-1 S-1 【解析】由题意得 =2.1, =3.15，则2.1lnN =3.15lnN ，即2lnN =3lnN ，所以N3=N2. lnN lnN 1 2 1 2 2 1 1 2 故选：D. 3. ACD 【分析】根据题意可知L p1 ∈60,90  ,L p2 ∈50,60  ,L =40，结合对数运算逐项分析判断. p3 【解析】由题意可知：L p1 ∈60,90  ,L p2 ∈50,60  ,L =40， p3 p p p 对于选项A：可得L -L =20×lg 1 -20×lg 2 =20×lg 1 ， p1 p2 p p p 0 0 2 p p 因为L ≥L ，则L -L =20×lg 1 ≥0，即lg 1 ≥0， p1 p2 p1 p2 p p 2 2 p 所以 1 ≥1且p ,p >0，可得p ≥p ，故A正确； p 1 2 1 2 2 p p p 对于选项B：可得L -L =20×lg 2 -20×lg 3 =20×lg 2 ， p2 p3 p p p 0 0 3 p p 1 因为L -L =L -40≥10，则20×lg 2 ≥10，即lg 2 ≥ ， p2 p3 p2 p p 2 3 3 p 所以 2 ≥ 10且p ,p >0，可得p ≥ 10p ， p 2 3 2 3 3 当且仅当L =50时，等号成立，故B错误； p2 p p 对于选项C：因为L =20×lg 3 =40，即lg 3 =2， p3 p p 0 0 p 可得 3 =100，即p =100p ，故C正确； p 3 0 0 数学试题 第 38 页 共 46 页p 对于选项D：由选项A可知：L -L =20×lg 1 ， p1 p2 p 2 p 且L -L ≤90-50=40，则20×lg 1 ≤40， p1 p2 p 2 p p 即lg 1 ≤2，可得 1 ≤100，且p ,p >0，所以p ≤100p ，故D正确； p p 1 2 1 2 2 2 故选：ACD. 4. D 【分析】根据T与lgP的关系图可得正确的选项. 【解析】当T=220，P=1026时，lgP>3，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当T=270，P=128时，20,f0.3  =0.30.3-0.30.5>0,f0.5  =0.30.5-0.50.5<0， 所以根据零点存在性定理可知fx  的零点位于0.3,0.5  . 故选：B 4. D 【分析】解法一：令Fx  =ax2+a-1,Gx  =cosx，分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点， 结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令hx  =f(x) -gx  ,x∈-1,1  ，可知hx  为偶函数，根据偶函数的对称性可知hx  的零点只能为0，即可得a=2， 并代入检验即可. 【解析】解法一：令f(x)=gx  ，即a(x+1)2-1=cosx+2ax，可得ax2+a-1=cosx， 令Fx  =ax2+a-1,Gx  =cosx， 原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点， 注意到Fx  ,Gx  均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得F0  =G0  ，即a-1=1，解得a=2， 若a=2，令Fx  =Gx  ，可得2x2+1-cosx=0 因为x∈-1,1  ，则2x2≥0,1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立， 可得2x2+1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立， 则方程2x2+1-cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点， 所以a=2符合题意； 综上所述：a=2. 解法二：令hx  =f(x)-gx  =ax2+a-1-cosx,x∈-1,1  ， 原题意等价于hx  有且仅有一个零点， 因为h-x  =a-x  2+a-1-cos-x  =ax2+a-1-cosx=hx  ， 则hx  为偶函数， 根据偶函数的对称性可知hx  的零点只能为0， 即h0  =a-2=0，解得a=2， 若a=2，则hx  =2x2+1-cosx,x∈-1,1  ， 又因为2x2≥0,1-cosx≥0当且仅当x=0时，等号成立， 可得hx  ≥0，当且仅当x=0时，等号成立， 即hx  有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意； 故选：D. 5. - 3,-1  ∪1, 3  【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数gx  =2 x2-ax与hx  2 ax-3,x≥  a = ，则 2 1-ax,x< a 两函数图象有唯一交点，分a=0、a>0与a<0进行讨论，当a>0时，计算函数定义域可得x≥a或x ≤0，计算可得a∈0,2  时，两函数在y轴左侧有一交点，则只需找到当a∈0,2  时，在y轴右侧无交点 的情况即可得；当a<0时，按同一方式讨论即可得. 【解析】令fx  =0，即2 x2-ax=ax-2  -1， 由题可得x2-ax≥0， 数学试题 第 40 页 共 46 页当a=0时，x∈R，有2 x2=-2  1 -1=1，则x=± ，不符合要求，舍去； 2 当a>0时，则2 x2-ax=ax-2  2 ax-3,x≥  a -1= ， 2 1-ax,x< a 即函数gx  =2 x2-ax与函数hx  2 ax-3,x≥  a = 有唯一交点， 2 1-ax,x< a 由x2-ax≥0，可得x≥a或x≤0， 当x≤0时，则ax-2<0，则2 x2-ax=ax-2  -1=1-ax， 即4x2-4ax=1-ax  2，整理得4-a2  x2-2ax-1= 2+a   x+1  2-a   x-1  =0， 1 当a=2时，即4x+1=0，即x=- ， 4 当a∈0,2  1 1 ，x=- 或x= >0(正值舍去)， 2+a 2-a 当a∈2,+∞  1 1 时，x=- <0或x= <0，有两解，舍去， 2+a 2-a 即当a∈0,2  时，2 x2-ax-ax-2  +1=0在x≤0时有唯一解， 则当a∈0,2  时，2 x2-ax-ax-2  +1=0在x≥a时需无解， 当a∈0,2  ，且x≥a时， 由函数hx  2 ax-3,x≥  a 2 = 关于x= 对称，令hx 2 a 1-ax,x< a  1 3 =0，可得x= 或x= ， a a 且函数hx  1 2 在 , a a  2 3 上单调递减，在 , a a  上单调递增， 令gx  a x- 2 =y=2 x2-ax，即  2 y2 - =1， a2 a2 4 故x≥a时，gx  x 图象为双曲线  2 y2 a - =1右支的x轴上方部分向右平移 所得， a2 a2 2 4 x 由  2 y2 a - =1的渐近线方程为y=± x=±2x， a2 a2 a 4 2 即gx  a 部分的渐近线方程为y=2x- 2  ，其斜率为2， 又a∈0,2  ，即hx  2 ax-3,x≥  a 2 = 在x≥ 时的斜率a∈0,2 2 a 1-ax,x< a  ， 令gx  =2 x2-ax=0，可得x=a或x=0(舍去)， 且函数gx  在a,+∞  上单调递增， 1  a a 当a<0时，则2 x2-ax=ax-2  2 ax-3,x≤  a -1= ， 2 1-ax,x> a 数学试题 第 41 页 共 46 页即函数gx  =2 x2-ax与函数hx  2 ax-3,x≤  a = 有唯一交点， 2 1-ax,x> a 由x2-ax≥0，可得x≥0或x≤a， 当x≥0时，则ax-2<0，则2 x2-ax=ax-2  -1=1-ax， 即4x2-4ax=1-ax  2，整理得4-a2  x2-2ax-1= 2+a   x+1  2-a   x-1  =0， 1 当a=-2时，即4x-1=0，即x= ， 4 当a∈-2,0  1 1 ，x=- <0(负值舍去)或x= 0， 2+a 2-a 当a∈-∞,2  1 1 时，x=- >0或x= >0，有两解，舍去， 2+a 2-a 即当a∈-2,0  时，2 x2-ax-ax-2  +1=0在x≥0时有唯一解， 则当a∈-2,0  时，2 x2-ax-ax-2  +1=0在x≤a时需无解， 当a∈-2,0  ，且x≤a时， 由函数hx  2 ax-3,x≤  a 2 = 关于x= 对称，令hx 2 a 1-ax,x> a  1 3 =0，可得x= 或x= ， a a 且函数hx  2 1 在 , a a  3 2 上单调递减，在 , a a  上单调递增， 同理可得：x≤a时，gx  x 图象为双曲线  2 y2 a - =1左支的x轴上方部分向左平移 所得， a2 a2 2 4 gx  a 部分的渐近线方程为y=-2x+ 2  ，其斜率为-2， 又a∈-2,0  ，即hx  2 ax-3,x≥  a 2 = 在x< 时的斜率a∈-2,0 2 a 1-ax,x< a  ， 令gx  =2 x2-ax=0，可得x=a或x=0(舍去)， 且函数gx  在-∞,a  上单调递减， 1  >a a 故有 ，解得- 30  , 则gx  =3x2+2x-5=3x+5  x-1  ，令gx  =0x>0  得x=1， 当x∈0,1  时，gx  <0，gx  单调递减， 数学试题 第 42 页 共 46 页当x∈1,+∞  时，gx  >0，gx  单调递增，g0  =1,g1  =-2， 因为曲线y=x3-3x与y=-x-1  2+a在0,+∞  上有两个不同的交点， 所以等价于y=a与gx  有两个交点，所以a∈-2,1  . 故答案为：-2,1  7. -∞,0  ∪0,1  ∪1,+∞  【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围． 【解析】(1)当x2-ax+1≥0时，fx  =0⇔a-1  x2+a-2  x-1=0， 即 a-1   x-1  x+1  =0， 若a=1时，x=-1，此时x2-ax+1≥0成立； 1 若a≠1时，x= 或x=-1， a-1 若方程有一根为x=-1，则1+a+1≥0，即a≥-2且a≠1； 1 1 若方程有一根为x= ，则 a-1 a-1  2 1 -a× +1≥0，解得：a≤2且a≠1； a-1 1 若x= =-1时，a=0，此时1+a+1≥0成立． a-1 (2)当x2-ax+1<0时，fx  =0⇔a+1  x2-a+2  x+1=0， 即 a+1   x-1  x-1  =0， 若a=-1时，x=1，显然x2-ax+1<0不成立； 1 若a≠-1时，x=1或x= ， a+1 若方程有一根为x=1，则1-a+1<0，即a>2； 1 1 若方程有一根为x= ，则 a+1 a+1  2 1 -a× +1<0，解得：a<-2； a+1 1 若x= =1时，a=0，显然x2-ax+1<0不成立； a+1 综上， 1 1 当a<-2时，零点为 ， ； a+1 a-1 1 当-2≤a<0时，零点为 ，-1； a-1 当a=0时，只有一个零点-1； 1 当02时，零点为1,-1． 所以，当函数有两个零点时，a≠0且a≠1． 数学试题 第 43 页 共 46 页故答案为：-∞,0  ∪0,1  ∪1,+∞  ． 【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围， 然后根据范围讨论根(或零点)的个数，从而解出． 8. [2,3) 【分析】令f(x)=0，得cosωx=1有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【解析】因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)=cosωx-1(ω>0)，则cosωx=1有3个根， 令t=ωx，则cost=1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]， 结合余弦函数y=cost的图像性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3， 故答案为：[2,3). 9. a≥10 【分析】设gx  =x2-ax+3a-5，hx  =x  -2，分析可知函数gx  至少有一个零点，可得出Δ≥0，求 出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可 求得实数a的取值范围. 【解析】设gx  =x2-ax+3a-5，hx  =x  -2，由x  -2=0可得x=±2. 要使得函数fx  至少有3个零点，则函数gx  至少有一个零点，则Δ=a2-12a+20≥0， 解得a≤2或a≥10. ①当a=2时，gx  =x2-2x+1，作出函数gx  、hx  的图象如下图所示： 此时函数fx  只有两个零点，不合乎题意； ②当a<2时，设函数gx  的两个零点分别为x 1 、x 2x 1 10时，设函数gx  的两个零点分别为x 3 、x 4x 3 2 可得 2 g2    ，解得a>4，此时a>10. =4+a-5≥0 综上所述，实数a的取值范围是10,+∞  . 故答案为：10,+∞  . 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象， 利用数形结合的方法求解. 10.①②④ 【分析】由fx  =0可得出lgx  =kx+2，考查直线y=kx+2与曲线gx  =lgx  的左、右支分别相切的 情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【解析】对于①，当k=0时，由fx  =lgx  1 -2=0，可得x= 或x=100，①正确； 100 对于②，考查直线y=kx+2与曲线y=-lgx01  100 - lge0 因此，不存在k<0，使得函数fx  有三个零点，③错误； 对于④，考查直线y=kx+2与曲线y=lgxx>1  相切于点Pt,lgt  ， kt+2=lgt t=100e 1   对函数y=lgx求导得y= ，由题意可得 1 ，解得 lge ， xln10 k= k= tln10 100e lge 所以，当0