专题04函数概念与基本初等函数18种常见考法归类（全国通用）（学生版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2021-2025高考数学五年真题分类汇编

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2021-2025高考真题分类 函数概念与基本初等函数
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2021-2025高考真题分类 函数概念与基本初等函数1
一 求函数值 1
二 函数的定义域 1
三 函数的值域 1
四 函数解析式 1
五 函数的图象 1
六 判断或证明函数的单调性 4
七 根据函数的单调性求参数值 4
八 比较函数值的大小关系 4
九 根据函数的单调性解不等式 5
十 函数的最值 5
十一 函数奇偶性的定义与判断 6
十二 由奇偶性求参数 6
十三 函数奇偶性的应用 7
十四 函数的周期性 7
十五 函数的对称性 8
十六 指对数的运算 8
十七 对数的实际应用 9
十八 函数的零点 10
参考答案 11
~ ~
一 求函数值
1
1. (2023·北京·高考真题)已知函数f(x)=4x+log x，则f
2 2
 = ．
2. (2024·上海·高考真题)已知fx 
x,x>0

= ,则f3
1,x≤0
 = ．
x2-4,x>2
3. (2021·浙江·高考真题)已知a∈R，函数f(x)=
x-3 

 若f f 6
+a,x≤2,
   =3，则a= .
4. (2024·广东江苏·高考真题)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且当x<3时f(x)
=x，则下列结论中一定正确的是 ( )
A. f(10)>100 B. f(20)>1000 C. f(10)<1000 D. f(20)<10000
二 函数的定义域
1
1. (2022·北京·高考真题)函数f(x)= + 1-x的定义域是 ．
x
三 函数的值域
1. (2025·北京·高考真题)已知函数f(x)的定义域为D，则“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x ∈
0
D，使得 fx 0    >M”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
数学试题 第 1 页 共 46 页1
2. (2022·上海·高考真题)设函数f(x)满足f(x)=f
x+1
 ，定义域为D=[0,+∞)，值域为A，若集合{y∣y
=f(x),x∈[0,a]}可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 .
3. (2023·上海·高考真题)已知fx 
2x, x>0

= ，则fx
1, x≤0
 的值域是 ；
四 函数解析式
1. (2025·北京·高考真题)关于定义域为R的函数f(x)，给出下列四个结论：
①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f(x)使得fx  -f2x  =x恒成立；
③使得f(x)+f(-x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；
④使得f(x)-f(-x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 ．
五 函数的图象
1. (2025·天津·高考真题)已知函数y=fx  的图象如下，则fx  的解析式可能为 ( )
x x |x| |x|
A. f(x)= B. f(x)= C. f(x)= D. f(x)=
1-|x| |x|-1 1-x2 x2-1
x2-1
2. (2022·天津·高考真题)函数y=

的图象大致为 ( )
x
A. B.
C. D.
数学试题 第 2 页 共 46 页3. (2023·天津·高考真题)已知函数fx  的部分图象如下图所示，则fx  的解析式可能为 ( )
5ex-5e-x 5sinx 5ex+5e-x 5cosx
A. B. C. D.
x2+2 x2+1 x2+2 x2+1
4. (2024·全国甲卷·高考真题)函数fx  =-x2+ex-e-x  sinx在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 ( )
A. B.
C. D.
5. (2022·全国乙卷·高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是
( )
-x3+3x x3-x 2xcosx 2sinx
A. y= B. y= C. y= D. y=
x2+1 x2+1 x2+1 x2+1
6. (2022·全国甲卷·高考真题)函数y=3x-3-x 
π π
cosx在区间 - ,
 2 2
 的图象大致为 ( )
A. B.
数学试题 第 3 页 共 46 页C. D.
1
7. (2021·浙江·高考真题)已知函数f(x)=x2+ ,g(x)=sinx，则图象为如图的函数可能是 ( )
4
1 1
A. y=f(x)+g(x)- B. y=f(x)-g(x)-
4 4
g(x)
C. y=f(x)g(x) D. y=
f(x)
六 判断或证明函数的单调性
1. (2023·北京·高考真题)下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( )
1 1
A. f(x)=-lnx B. f(x)= C. f(x)=- D. f(x)=3|x-1|
2x x
2. (2021·全国甲卷·高考真题)下列函数中是增函数的为 ( )
A. fx  =-x B. fx 
2
=
3

x
C. fx  =x2 D. fx  = 3x
七 根据函数的单调性求参数值
-x2-2ax-a, x<0

1. (2024·广东江苏·高考真题)已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范围是
ex+ln(x+1), x≥0
( )
A. (-∞,0] B. [-1,0] C. [-1,1] D. [0,+∞)
2. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)设函数fx  =2xx-a  在区间0,1  上单调递减，则a的取值范围是 ( )
A. -∞,-2  B. -2,0  C. 0,2  D. 2,+∞ 
3. (2023·全国乙卷·高考真题)设a∈0,1  ，若函数fx  =ax+1+a  x在0,+∞  上单调递增，则a的取值
范围是 .
4. (2021·上海·高考真题)已知函数f(x)= |x+a|-a-x.
(1)若a=1，求函数的定义域；
(2)若a≠0，若f(ax)=a有2个不同实数根，求a的取值范围；
(3)是否存在实数a，使得函数f(x)在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围.
数学试题 第 4 页 共 46 页八 比较函数值的大小关系
1. (2023·全国甲卷·高考真题)已知函数fx 
2
=e-(x-1)2．记a=f
2

3
,b=f
2

6
,c=f
2
 ，则
( )
A. b>c>a B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b
2. (2024·北京·高考真题)已知x 1 ,y 1  ，x 2 ,y 2  是函数y=2x的图象上两个不同的点，则 ( )
y +y x +x y +y x +x
A. log 1 2 < 1 2 B. log 1 2 > 1 2
2 2 2 2 2 2
y +y y +y
C. log 1 2 <x +x D. log 1 2 >x +x
2 2 1 2 2 2 1 2
3. (2022·全国甲卷·高考真题)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则 ( )
A. a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a
4. (2025·全国一卷·高考真题)若实数x，y，z满足2+log x=3+log y=5+log z，则x，y，z的大小关系
2 3 5
不可能是 ( )
A. x>y>z B. x>z>y C. y>x>z D. y>z>x
5. (2024·天津·高考真题)设a=4.2-0.2，b=4.20.2，c=log 0.2，则a，b，c的大小关系为 ( )
4.2
A. a<b<c B. a<c<b C. c<b<a D. c<a<b
6. (2023·天津·高考真题)设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为 ( )
A. a<b<c B. b<a<c C. c<b<a D. c<a<b
1
7. (2022·天津·高考真题)设a=20.7，b=
3

0.7 1
，c=log ，则a,b,c的大小关系为 ( )
23
A. a<b<c B. c<a<b C. b<c<a D. c<b<a
1
8. (2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)设a=0.1e0.1,b= ，c=-ln0.9，则 ( )
9
A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<c<b
九 根据函数的单调性解不等式
1. (2024·上海·高考真题)若fx  =log x(a>0,a≠1)． a
(1)y=fx  过4,2  ，求f2x-2  <fx  的解集；
(2)存在x使得fx+1  、fax  、fx+2  成等差数列，求a的取值范围．
2. (2022·上海·高考真题)f(x)=log (a+x)+log (6-x)
3 3
(1)若将函数f(x)图像向下移m(m>0)后，图像经过3,0  ,5,0  ，求实数a，m的值.
(2)若a>-3且a≠0，求解不等式f(x)≤f(6-x).
数学试题 第 5 页 共 46 页十 函数的最值
1. (2025·天津·高考真题)若a,b∈R，对∀x∈[-2,2]，均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立，则2a+b
的最小值为
2. (2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为 ( )
1 1 1
A. B. C. D. 1
8 4 2
x+2,x<-a,

3. (2023·北京·高考真题)设a>0，函数f(x)= a2-x2,-a≤x≤a,，给出下列四个结论：
- x-1,x>a.
①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减；
②当a≥1时，f(x)存在最大值；
③设M x 1 ,fx 1    x 1 ≤a  ,N x 2 ,fx 2    x 2 >a  ，则|MN|>1；
④设P x 3 ,fx 3    x 3 <-a  ,Q x 4 ,fx 4    x 4 ≥-a 
1
．若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是0, 2  ．
其中所有正确结论的序号是 ．
十一 函数奇偶性的定义与判断
1. (2024·天津·高考真题)下列函数是偶函数的为 ( )
ex-x2 cosx-x2 ex-x sinx-x
A. y= B. y= C. y= D. y=
ex+x2 x2+1 ex+x x2+1
2. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知函数fx  的定义域为R，fxy  =y2fx  +x2fy  ，则( )．
A. f0  =0 B. f1  =0
C. fx  是偶函数 D. x=0为fx  的极小值点
1-x
3. (2021·全国乙卷·高考真题)设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是 ( )
1+x
A. fx-1  -1 B. fx-1  +1 C. fx+1  -1 D. fx+1  +1
4. (2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx  : ．
①fx 1 x 2  =fx 1  fx 2  ；②当x∈(0,+∞)时，f(x)>0；③f(x)是奇函数．
5. (2024·上海·高考真题)已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M=
x 0 x 0 ∈R,x∈-∞,x 0  ,f(x)<fx 0     ，在使得M=[-1,1]的所有f(x)中，下列成立的是 ( )
A. 存在f(x)是偶函数 B. 存在f(x)在x=2处取最大值
C. 存在f(x)是增函数 D. 存在f(x)在x=-1处取到极小值
十二 由奇偶性求参数
1. (2024·上海·高考真题)若函数fx  =x3+ax∈R  是奇函数，则实数a= .
2. (2023·全国甲卷·高考真题)若fx  =x-1 
π
2+ax+sinx+
2
 为偶函数，则a= ．
xex
3. (2023·全国乙卷·高考真题)已知f(x)= 是偶函数，则a= ( )
eax-1
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
数学试题 第 6 页 共 46 页4. (2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)若fx  =x+a 
2x-1
ln 为偶函数，则a=( )．
2x+1
1
A. -1 B. 0 C. D. 1
2
a2x-1, x<0

5. (2022·上海·高考真题)若函数f(x)= x+a, x>0，为奇函数，则参数a的值为 ．


0, x=0
6. (2022·全国乙卷·高考真题)若fx 
1
=lna+
1-x
 +b是奇函数，则a= ，b= ．
7. (2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)已知函数fx  =x3a⋅2x-2-x  是偶函数，则a= .
8. (2023·上海·高考真题)函数fx 
x2+3a+1
=
 x+c
a,c∈R
x+a

(1)当a=0时，是否存在实数c，使得fx  为奇函数；
(2)若函数fx  过点(1,3)，且函数f(x)图像与x轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
十三 函数奇偶性的应用
1. (2025·全国一卷·高考真题)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，
3
则f-
4
 = ( )
1 1 1 1
A. - B. - C. D.
2 4 4 2
2. (2025·全国二卷·高考真题)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx  =x2-3  ex+2，则
( )
A. f(0)=0 B. 当x<0时，fx  =-x2-3  e-x-2
C. f(x)≥2当且仅当x≥ 3 D. x=-1是f(x)的极大值点
3. (2021·全国甲卷·高考真题)设fx  是定义域为R的奇函数，且f1+x  =f-x 
1
.若f-
3

1
= ，则
3
5
f
3
 = ( )
5 1 1 5
A. - B. - C. D.
3 3 3 3
4. (2021·全国甲卷·高考真题)设函数fx  的定义域为R，fx+1  为奇函数，fx+2  为偶函数，当x∈
1,2  时，f(x)=ax2+b．若f0  +f3 
9
=6，则f
2
 = ( )
9 3 7 5
A. - B. - C. D.
4 2 4 2
5. (2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)=f(x)，若
3
f -2x
2
 ，g(2+x)均为偶函数，则 ( )
1
A. f(0)=0 B. g-
2
 =0 C. f(-1)=f(4) D. g(-1)=g(2)
数学试题 第 7 页 共 46 页十四 函数的周期性
1. (2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)
22
=1，则f(k)= ( )
k=1
A. -3 B. -2 C. 0 D. 1
2. (2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)已知函数fx  的定义域为R，fx+2  为偶函数，f2x+1  为奇函数，
则 ( )
1
A. f-
2
 =0 B. f-1  =0 C. f2  =0 D. f4  =0
十五 函数的对称性
1. (2022·全国乙卷·高考真题)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)
22
=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则 fk
k=1
  = ( )
A. -21 B. -22 C. -23 D. -24
2. (2021·上海·高考真题)已知函数y=f(x)的定义域为R，下列是f(x)无最大值的充分条件是 ( )
A. f(x)为偶函数且关于直线x=1对称 B. f(x)为偶函数且关于点(1,1)对称
C. f(x)为奇函数且关于直线x=1对称 D. f(x)为奇函数且关于点(1,1)对称
3. (2005·天津·高考真题)设fx  是定义在R上的奇函数，且y=fx 
1
的图象关于直线x= 对称，则f1
2

+f2  +f3  +f4  +f5  = ．
4. (2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则 ( )
A. 当a>1时，f(x)有三个零点
B. 当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C. 存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D. 存在a，使得点 1,f1    为曲线y=f(x)的对称中心
x
5. (2024·广东江苏·高考真题)已知函数f(x)=ln +ax+b(x-1)3
2-x
(1)若b=0，且f(x)≥0，求a的最小值；
(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；
(3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2，求b的取值范围．
1
6. (2023·全国乙卷·高考真题)已知函数f(x)= +a
x
 ln(1+x).
(1)当a=-1时，求曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程；
1
(2)是否存在a，b，使得曲线y=f
x
 关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若fx  在0,+∞  存在极值，求a的取值范围.
数学试题 第 8 页 共 46 页十六 指对数的运算
1
1. (2022·北京·高考真题)已知函数f(x)= ，则对任意实数x，有 ( )
1+2x
1
A. f(-x)+f(x)=0 B. f(-x)-f(x)=0 C. f(-x)+f(x)=1 D. f(-x)-f(x)=
3
1 1 5
2. (2024·全国甲卷·高考真题)已知a>1且 - =- ，则a= ．
log a log 4 2
8 a
3. (2022·天津·高考真题)化简2log 4 3+log 8 3  log 3 2+log 9 2  = ( )
5 5
A. 1 B. C. 2 D.
4 2
4. (2022·浙江·高考真题)已知2a=5,log 3=b，则4a-3b= ( )
8
25 5
A. 25 B. 5 C. D.
9 3
十七 对数的实际应用
1. (2025·北京·高考真题)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=
klog N(单位：h)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单
2
位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增
加 ( )
A. 2h B. 4h C. 20h D. 40h
S-1
2. (2024·北京·高考真题)生物丰富度指数 d= 是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流
lnN
中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类
数S没有变化，生物个体总数由N 变为N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 ( )
1 2
A. 3N =2N B. 2N =3N C. N2=N3 D. N3=N2
2 1 2 1 2 1 2 1
3. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
p
L p =20×lg p ，其中常数p 0p 0 >0
0
 是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声压级
声源 与声源的距离/m
/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50∼60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p ,p ,p ，则( )．
1 2 3
A. p ≥p B. p >10p C. p =100p D. p ≤100p
1 2 2 3 3 0 1 2
4. (2022·北京·高考真题)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰
技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其
中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是 ( )
数学试题 第 9 页 共 46 页A. 当T=220，P=1026时，二氧化碳处于液态
B. 当T=270，P=128时，二氧化碳处于气态
C. 当T=300，P=9987时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当T=360，P=729时，二氧化碳处于超临界状态
十八 函数的零点
π π
1. (2022·北京·高考真题)若函数f(x)=Asinx- 3cosx的一个零点为 ，则A= ；f
3 12
 =
．
π
2. (2024·广东江苏·高考真题)当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin3x-
6
 的交点个数为 ( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
3. (2025·天津·高考真题)函数f(x)=0.3x- x的零点所在区间是 ( )
A. (0,0.3) B. (0.3,0.5) C. (0.5,1) D. (1,2)
4. (2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cosx+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y
=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a= ( )
1
A. -1 B. C. 1 D. 2
2
5. (2024·天津·高考真题)设a∈R，函数fx  =2 x2-ax-ax-2  +1.若fx  恰有一个零点，则a的取值
范围为 ．
6. (2024·全国甲卷·高考真题)曲线y=x3-3x与y=-x-1  2+a在0,+∞  上有两个不同的交点，则a的
取值范围为 ．
7. (2023·天津·高考真题)设a∈R,函数fx  =ax2-2x-x2-ax+1  ,若fx  恰有两个零点，则a的取值
范围为 ．
8. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知函数fx  =cosωx-1(ω>0)在区间0,2π  有且仅有3个零点，则ω
的取值范围是 ．
9. (2022·天津·高考真题)设a∈R，对任意实数x，用fx  表示x  -2,x2-ax+3a-5中的较小者．若函
数fx  至少有3个零点，则a的取值范围为 .
数学试题 第 10 页 共 46 页10.(2021·北京·高考真题)已知函数f(x)=lgx  -kx-2，给出下列四个结论：
①若k=0，f(x)恰 有2个零点；
②存在负数k，使得f(x)恰有1个零点；
③存在负数k，使得f(x)恰有3个零点；
④存在正数k，使得f(x)恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
参考答案
1. 1
1
【分析】根据给定条件，把x= 代入，利用指数、对数运算计算作答.
2
1
【解析】函数f(x)=4x+log x，所以f
2 2

1 1
=42 +log =2-1=1.
22
故答案为：1
2. 3
【分析】利用分段函数的形式可求f3  .
【解析】因为fx 
x,x>0

= ,故f3
1,x≤0
 = 3，
故答案为： 3.
3. 2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.
【解析】f f 6    =f6-4  =f2  =2-3  +a=3，故a=2，
故答案为：2.
数学试题 第 11 页 共 46 页4. B
【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【解析】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，
又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2)，
则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，
f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，
f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，
f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377
f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，
f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用f(1)=1,f(2)=2，再利用题目所给的函数性质f(x)>f(x-1)
+f(x-2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
1. -∞,0  ∪0,1 
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【解析】解：因为fx  = 1 + 1-x，所以  1-x≥0 ，解得x≤1且x≠0，
x x≠0
故函数的定义域为-∞,0  ∪0,1  ；
故答案为：-∞,0  ∪0,1 
1. A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【解析】若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x 1 ∈D，使得fx 1  =M  +1，
取x 0 =x 1 ，则 fx 0    =M  +1>M，充分性成立；
取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x 1 ∈D，使得fx 1  =M  +1，
取x 0 =x 1 ，则 fx 0    =M  +1>M，但此时函数f(x)的值域为0,+∞  ，必要性不成立；
所以“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x 0 ∈D，使得 fx 0    >M”的充分不必要条件.
故选：A.
2.   5-1 ，+∞
 2
 ，
1 5-1 5-1 1 5-1 5-1
【分析】由x= 可得x= ，可判断当x≥ 时， ≤ ；当0≤x< 时，
x+1 2 2 x+1 2 2
1 5-1 5-1
> ；从而可得A={y|y=f(x)，x∈[0，a]}时，参数a的最小值为 ，从而求得．
x+1 2 2
1 5-1 - 5-1
【解析】令x= 得，x= 或x= (舍去)；
x+1 2 2
5-1 1 1 5-1 5-1
当x≥ 时， ≤ = ，故对任意x≥ ，
2 x+1 5-1 2 2
+1
2
都存在x ∈  0， 5-1
0  2
 1 ， =x ，故f(x)=f(x )，
x+1 0 0
故A={yy=f(x)，x∈  0， 5-1
 2
   5-1 1 1 5-1 ，而当0≤x< 时， > = ，
2 x+1 5-1 2
+1
2
数学试题 第 12 页 共 46 页5-1
故当A={y|y=f(x)，x∈[0，a]}时，参数a的最小值为 ，
2
故参数a的取值范围为  5-1 ，+∞
 2
 ，
故答案为：  5-1 ，+∞
 2
 ．
3. [1,+∞)
【分析】分段讨论fx  的范围即可.
【解析】当 x>0 时, 根据指数函数的图象与性质知f(x)=2x>1，
当 x≤0 时, f(x)=1.
综上: y=f(x) 的值域为 [1,+∞).
故答案为：[1,+∞).
1. ②③
【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.
【解析】对于①，若存在在R上的增函数fx  ，满足fx  +f2x  =-x，
则f0  +f2×0  =-0，即f0  =0，
故x>0时，f4x  >f2x  >fx  >0，故f(4x)+f(2x)>f(x)+f(2x)，
故-2x>-x即x<0，矛盾，故①错误；
对于②，取fx  =-x，该函数为R上的减函数且fx  -f2x  =x，
故该函数符合，故②正确；
对于③，取fx 
1
= cosx+mx,m∈R，
2
此时fx  +f-x  =cosx，由m∈R可得fx  有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在fx  ，使得fx  -f-x  =cosx，
令x=0，则0=cos0，但cos0=1，矛盾，
故满足fx  -f-x  =cosx的函数不存在，故④错误.
故答案为：②③
1. D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由x∈0,1  时函数值正负情况可得解.
【解析】由图可知函数为偶函数，而函数fx 
x
=
1-x 
和函数fx 
x
=
x 
为奇函数，故排除选项AB；
-1
又当x∈0,1  时1-x2>0,x2-1<0，此时fx 
x
=

>0,fx
1-x2

x
=

<0，
x2-1
由图可知当x∈0,1  时，fx  <0，故C不符合，D符合.
故选：D
2. A
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在-∞,0  上的函数值符号，结合排除法可得出合适的
选项.
【解析】函数y=fx 
x2-1
=

的定义域为xx≠0
x
 ，
且f-x 
-x
=
  2-1  x2-1
=-
-x

=-fx
x
 ，
函数fx  为奇函数，CD选项错误；
数学试题 第 13 页 共 46 页又当x<0时，fx 
x2-1
=

≤0，B选项错误.
x
故选：A.
3. D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,+∞)上的
函数符号排除选项，即得答案.
【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(-2)=f(2)<0，
5sin(-x) 5sinx
由 =- 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
(-x)2+1 x2+1
5(ex-e-x) 5(ex+e-x)
当x>0时 >0、 >0，即A、C中(0,+∞)上函数值为正，排除；
x2+2 x2+2
故选：D
4. B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入x=1可得f1  >0，可排除D.
【解析】f-x  =-x2+e-x-ex  sin-x  =-x2+ex-e-x  sinx=fx  ，
又函数定义域为-2.8,2.8  ，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又f1 
1
=-1+e-
e

1
sin1>-1+e-
e

π e 1 1 1
sin = -1- > - >0，
6 2 2e 4 2e
故可排除D.
故选：B.
5. A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【解析】设fx 
x3-x
= ，则f1
x2+1
 =0，故排除B;
设hx 
2xcosx π
= ，当x∈0,
x2+1 2
 时，0<cosx<1，
所以hx 
2xcosx 2x
= < ≤1，故排除C;
x2+1 x2+1
设gx 
2sinx
= ，则g3
x2+1

2sin3
= >0，故排除D.
10
故选：A.
6. A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【解析】令fx  =3x-3-x 
π π
cosx,x∈ - ,
 2 2
 ，
则f-x  =3-x-3x  cos-x  =-3x-3-x  cosx=-fx  ，
所以fx  为奇函数，排除BD；
π
又当x∈0,
2
 时，3x-3-x>0,cosx>0，所以fx  >0，排除C.
故选：A.
7. D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【解析】对于A，y=fx  +gx 
1
- =x2+sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
4
对于B，y=fx  -gx 
1
- =x2-sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
4
数学试题 第 14 页 共 46 页对于C，y=fx  gx 
1
=x2+
4

1
sinx，则y=2xsinx+x2+
4
 cosx，
π π 2 π2 1
当x= 时，y= × + +
4 2 2 16 4

2
× >0，与图象不符，排除C.
2
故选：D.
1. C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【解析】对于A，因为y=lnx在0,+∞  上单调递增，y=-x在0,+∞  上单调递减，
所以fx  =-lnx在0,+∞  上单调递减，故A错误；
对于B，因为y=2x在0,+∞ 
1
上单调递增，y= 在0,+∞
x
 上单调递减，
所以fx 
1
= 在0,+∞
2x
 上单调递减，故B错误；
1
对于C，因为y= 在0,+∞
x
 上单调递减，y=-x在0,+∞  上单调递减，
所以fx 
1
=- 在0,+∞
x
 上单调递增，故C正确；
1 对于D，因为f
2
 =3 2 1-1  1 =32 = 3，f1  =31-1  =30=1,f2  =32-1  =3，
显然fx  =3x-1  在0,+∞  上不单调，D错误.
故选：C.
2. D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【解析】对于A，fx  =-x为R上的减函数，不合题意，舍.
对于B，fx 
2
=
3

x
为R上的减函数，不合题意，舍.
对于C，fx  =x2在-∞,0  为减函数，不合题意，舍.
对于D，fx  = 3x为R上的增函数，符合题意，
故选：D.
1. B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【解析】因为fx  在R上单调递增，且x≥0时，fx  =ex+lnx+1  单调递增，
-2a
-
则需满足 2×-1 
 ≥0
 ，解得-1≤a≤0，
-a≤e0+ln1
即a的范围是[-1,0].
故选：B.
2. D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【解析】函数y=2x在R上单调递增，而函数fx  =2xx-a  在区间0,1  上单调递减，
a
则有函数y=x(x-a)=x-
2

2 a2
- 在区间0,1
4

a
上单调递减，因此 ≥1，解得a≥2，
2
所以a的取值范围是2,+∞  .
故选：D
 5-1 3.  ,1
 2

数学试题 第 15 页 共 46 页【分析】原问题等价于fx  =axlna+1+a  xln1+a  ≥0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，
1+a
可得
a

x lna
≥-
ln1+a 
，由右侧函数的单调性可得实数a的二次不等式，求解二次不等式后可确定
实数a的取值范围.
【解析】由函数的解析式可得fx  =axlna+1+a  xln1+a  ≥0在区间0,+∞  上恒成立，
则1+a  xln1+a 
1+a
≥-axlna，即
a

x lna
≥-
ln1+a 
在区间0,+∞  上恒成立，
1+a
故
a

0 lna
=1≥-
ln1+a 
，而a+1∈1,2  ，故ln1+a  >0，
lna+1
故
  ≥-lna aa+1
即

0<a<1
  ≥1 5-1

，故 ≤a<1，
0<a<1 2
结合题意可得实数a的取值范围是  5-1 ,1
 2
 .
故答案为：  5-1 ,1
 2
 .
1
4. (1)x∈(-∞,-2]∪[0,+∞)；(2)a∈0,
4

1
；(3)-∞,-
4
 .
【分析】(1)解绝对值不等式|x+1|-1≥0即可得答案；
(2)利用f(ax)=a有两个不同的实数根，转化为ax+a-a=ax+a  2有两个根，利用换元法可求实数a
的取值范围；
(3)分x≥-a与x<-a两类情况，结合复合函数的单调性可得使得函数f(x)在定义域内具有单调性的
a的取值范围.
【解析】解：(1)f(x)= |x+1|-1-x，∴|x+1|-1≥0，解得x∈(-∞,-2]∪[0,+∞)；
所以函数的定义域为x∈(-∞,-2]∪[0,+∞).
(2)由题知f(ax)= |ax+a|-a-ax=a有2个不同实数根，
所以 |ax+a|-a=ax+a≥0，ax+a-a=ax+a  2，
设ax+a=t≥0，∴ t-a=t有2个不同实数根，
∴整理得a=t-t2，t≥0有2个不同实数根，同时a≠0，
1
∴a∈0,
4
 ；
1
(3)当x≥-a，f(x)= |x+a|-a-x= x-x=- x-
2

2 1 1
+ ，在  ,+∞
4  4
 递减，
1 1
此时需满足-a≥ ，即a≤- 时，函数f(x)在[-a,+∞)上递减；
4 4
当x<-a，f(x)= |x+a|-a-x= -x-2a-x，在(-∞,-2a]上递减，
1
∵a≤- <0，
4
1
∴-2a>-a>0，即当a≤- 时，函数f(x)在(-∞,-a)上递减；
4
1
综上，当a≤- 时，函数f(x)在定义域R上连续，且单调递减.
4
1
所以a的取值范围是-∞,-
4

【点睛】本题第二问解题的关键在于利用换元法，将问题转化为a=t-t2，t≥0有2个不同实数根，进而
求解，第三问解题的关键在于分类讨论求解.
1. A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
数学试题 第 16 页 共 46 页【解析】令g(x)=-(x-1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，
6 3
因为 -1-1-
2 2

6+ 3 4
= - ，而( 6+ 3)2-42=9+6 2-16=6 2-7>0，
2 2
6 3
所以 -1-1-
2 2

6+ 3 4 6 3
= - >0，即 -1>1-
2 2 2 2
6
由二次函数性质知g
2

3
<g
2
 ，
6 2
因为 -1-1-
2 2

6+ 2 4
= - ，而( 6+ 2)2-42=8+4 3-16=4 3-8=4( 3-2)
2 2
<0，
6 2 6
即 -1<1- ，所以g
2 2 2

2
>g
2
 ，
2
综上，g
2

6
<g
2

3
<g
2
 ，
又y=ex为增函数，故a<c<b，即b>c>a.
故选：A.
2. B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【解析】由题意不妨设x <x ，因为函数y=2x是增函数，所以0<2x1<2x2，即0<y <y ，
1 2 1 2
对于选项AB：可得
2x1+2x2
> 2x1·2x2=2
x1+
2
x2，即 y
1
+y
2 >2
x1+
2
x2
>0，
2 2
根据函数y=log x是增函数，所以log
y
1
+y
2 >log 2
x1+
2
x2
=
x
1
+x
2 ，故B正确，A错误；
2 2 2 2 2
对于选项D：例如x =0,x =1，则y =1,y =2，
1 2 1 2
y +y 3
可得log 2 1 2 2 =log 22 ∈0,1 
y +y
，即log 1 2 <1=x +x ，故D错误； 2 2 1 2
1 1
对于选项C：例如x =-1,x =-2，则y = ,y = ，
1 2 1 2 2 4
y +y 3
可得log 2 1 2 2 =log 28 =log 2 3-3∈-2,-1 
y +y
，即log 1 2 >-3=x +x ，故C错误， 2 2 1 2
故选：B.
3. A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 10>1，再利用基本不等式，换底公式
9
可得m>lg11，log 9>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
8
【解析】[方法一]：(指对数函数性质)
lg10 lg9+lg11
由9m=10可得m=log 10= >1，而lg9lg11< 9 lg9 2 
2 lg99
= 2 
2
<1=lg10 
lg10
2，所以 lg9
lg11
> ，即m>lg11，所以a=10m-11>10lg11-11=0.
lg10
lg8+lg10
又lg8lg10< 2 
2 lg80
= 2 
2
<lg9 
lg9 lg10
2，所以 > ，即log 9>m， lg8 lg9 8
所以b=8m-9<8log89-9=0.综上，a>0>b.
[方法二]：【最优解】(构造函数)
由9m=10，可得m=log 10∈(1,1.5)．
9
根据a,b的形式构造函数f(x)=xm-x-1(x>1) ，则f(x)=mxm-1-1，
1
令f(x)=0，解得x =m1-m ，由m=log 10∈(1,1.5) 知x ∈(0,1) .
0 9 0
数学试题 第 17 页 共 46 页f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a>b ，
又因为f(9)=9log910-10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=xm-x-1(x>1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，
是该题的最优解．
4. B
【分析】法一：设2+log x=3+log y=5+log z=m，对m讨论赋值求出x,y,z，即可得出大小关系，
2 3 5
利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【解析】法一：设2+log x=3+log y=5+log z=m，所以
2 3 5
1 1
令m=2，则x=1,y=3-1= ,z=5-3= ，此时x>y>z，A有可能；
3 125
令m=5，则x=8,y=9,z=1，此时y>x>z，C有可能；
令m=8，则x=26=64,y=35=243,z=53=125，此时y>z>x，D有可能；
故选：B．
法二：设2+log x=3+log y=5+log z=m，所以，x=2m-2,y=3m-3,z=5m-5
2 3 5
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5的图
象与直线x=m的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x，
故选：B．
5. D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【解析】因为y=4.2x在R上递增，且-0.2<0<0.2，
所以0<4.2-0.2<4.20<4.20.2，
所以0<4.2-0.2<1<4.20.2，即0<a<1<b，
因为y=log x在(0,+∞)上递增，且0<0.2<1，
4.2
所以log 0.2<log 1=0，即c<0，
4.2 4.2
所以c<a<b，
故选：D
6. D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
数学试题 第 18 页 共 46 页【解析】由y=1.01x在R上递增，则a=1.010.5<b=1.010.6，
由y=x0.5在[0,+∞)上递增，则a=1.010.5>c=0.60.5.
所以b>a>c.
故选：D
7. D
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.
1
【解析】因为20.7>
3

0.7 1
>0=log 1>log ，故a>b>c.
2 23
故选：D.
8. C
【分析】构造函数f(x)=ln(1+x)-x，导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.
【解析】方法一：构造法
1 x
设f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)，因为f(x)= -1=- ，
1+x 1+x
当x∈(-1,0)时，f(x)>0，当x∈(0,+∞)时f(x)<0，
所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)单调递减，在(-1,0)上单调递增，
1
所以f
9

10 1 1 10
<f(0)=0，所以ln - <0，故 >ln =-ln0.9，即b>c，
9 9 9 9
1 所以f-
10
 <f(0)=0，所以ln 9 + 1 <0，故 9 <e- 1 1 0，所以 1 e1 1 0 < 1 ，
10 10 10 10 9
故a<b，
设g(x)=xex+ln(1-x)(0<x<1)，则g(x)=x+1 
1 x2-1
ex+ =
x-1
 ex+1
,
x-1
令h(x)=ex(x2-1)+1，h(x)=ex(x2+2x-1)，
当0<x< 2-1时，h(x)<0，函数h(x)=ex(x2-1)+1单调递减，
当 2-1<x<1时，h(x)>0，函数h(x)=ex(x2-1)+1单调递增，
又h(0)=0，
所以当0<x< 2-1时，h(x)<0，
所以当0<x< 2-1时，g(x)>0，函数g(x)=xex+ln(1-x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c
故选：C.
方法二：比较法
0.1
解：a=0.1e0.1 ，b= ，c=-ln(1-0.1) ，
1-0.1
① lna-lnb=0.1+ln(1-0.1) ，
令 f(x)=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],
1 -x
则 f'(x)=1- = <0 ，
1-x 1-x
故 f(x) 在 (0,0.1] 上单调递减，
可得 f(0.1)<f(0)=0 ，即 lna-lnb<0 ，所以 a<b ；
② a-c=0.1e0.1+ln(1-0.1) ，
令 g(x)=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1],
则 g'x 
1 1+x
=xex+ex- =
1-x
 1-x  ex-1
，
1-x
令 k(x)=(1+x)(1-x)ex-1 ，所以 k'(x)=(1-x2-2x)ex>0 ，
数学试题 第 19 页 共 46 页所以 k(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 k(x)>k(0)>0 ，即 g′(x)>0 ，
所以 g(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 g(0.1)>g(0)=0 ，即 a-c>0 ，所以 a>c.
故 c<a<b.
1. (1)x|1<x<2 
(2)a>1
【分析】(1)求出底数a，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；
(2)存在x使得fx+1  、fax  、fx+2 
1 3
成等差数列等价于a2=2 +
x 4

2 1
- 在0,+∞
8
 上有解，利
用换元法结合二次函数的性质可求a的取值范围．
【解析】(1)因为y=fx  的图象过4,2  ，故log 4=2，故a2=4即a=2(负的舍去)， a
而fx  =log 2 x在0,+∞  上为增函数，故f2x-2  <fx  ，
故0<2x-2<x即1<x<2，
故f2x-2  <fx  的解集为x|1<x<2  .
(2)因为存在x使得fx+1  、fax  、fx+2  成等差数列，
故2fax  =fx+1  +fx+2  有解，故2log aax  =log ax+1  +log ax+2  ，
因为a>0,a≠1，故x>0，故a2x2=x+1  x+2  在0,+∞  上有解，
x2+3x+2 3 2 1 3
由a2= =1+ + =2 +
x2 x x2 x 4

2 1
- 在0,+∞
8
 上有解，
1
令t= ∈0,+∞
x

3
，而y=2t+
4

2 1
- 在0,+∞
8
 上的值域为1,+∞  ，
故a2>1即a>1.
2. (1)a=-2,m=1
(2)答案见解析.
log (a+3)+log (6-3)-m=0
【分析】(1)由题知a>-6，再根据题意得 

3 3 ，解方程即可得答案；
log (a+5)+log (6-5)-m=0
3 3
2ax≥6a

(2)根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为-a<x<6 的解集，再分类讨论求解即可.
0<x<a+6
x+a>0 x>-a
【解析】(1)解：函数f(x)的定义域满足

，即

，
6-x>0 x<6
所以，要使函数的定义域非空，则-a<6，即a>-6.
若将函数f(x)图像向下移m(m>0)后得到的解析式为：
g(x)=f(x)-m=log 3 (a+x)+log 3 (6-x)-m，x∈-a,6  .
所以3,0  ,5,0 
log (a+3)+log (6-3)-m=0
在函数g(x)的图像上，即   3 3 ，
log (a+5)+log (6-5)-m=0
3 3
解得：a=-2,m=1，
所以，a=-2,m=1
(2)解：由题知a∈-3,0  ∪0,+∞  ，
f(x)=log 3 (a+x)+log 3 (6-x)=log 3 a+x  6-x    ,x∈-a,6 
f(6-x)=log 3 (a+6-x)+log 3 x=log 3 xa+6-x    ,x∈0,a+6 
因为函数y=log 3 x在0,+∞  上单调递增，
所以f(x)≤f(6-x)等价于a+x  6-x  ≤xa+6-x  ，展开整理得：2ax≥6a，
数学试题 第 20 页 共 46 页2ax≥6a

所以，不等式的解集为-a<x<6 的解，
0<x<a+6
所以，当a∈-3,0  时，不等式的解为-a<x≤3；
当a∈0,+∞  时，不等式的解为3≤x<6.
综上，当a∈-3,0  时，不等式的解为 x   -a<x≤3   ；当a∈0,+∞  时，不等式的解为 x   3≤x<6   .
1. -4
1
【分析】先设t=2a+b，根据不等式的形式，为了消a可以取x=- ，得到t≥-4，验证t=-4时，a,b是
2
否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【解析】设t=2a+b，原题转化为求t的最小值，
原不等式可化为对任意的-2≤x≤2，tx2+t-2a  x-a-1≤0，
1 1 1
不妨代入x=- ，得 t- t-2a
2 4 2
 -a-1≤0，得t≥-4，
当t=-4时，原不等式可化为-4x2+-4-2a  x-a-1≤0，
1
即- 2x+ a+1
2
  


2 1
+ a2≤0，
4
观察可知，当a=0时，-2x+1 
1
2≤0对-2≤x≤2一定成立，当且仅当x=- 取等号，
2
此时，a=0,b=-4，说明t=-4时，a,b均可取到，满足题意，
故t=2a+b的最小值为-4.
故答案为：-4
2. C
【分析】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为-b,+∞  ，分类讨论-a与-b,1-b的大小关系，结合符
号分析判断，即可得b=a+1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln(x+b)的符号，进而
可得x+a的符号，即可得b=a+1，代入可得最值.
【解析】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为-b,+∞  ，
令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b；
若-a≤-b，当x∈-b,1-b  时，可知x+a>0,lnx+b  <0，
此时f(x)<0，不合题意；
若-b<-a<1-b，当x∈-a,1-b  时，可知x+a>0,lnx+b  <0，
此时f(x)<0，不合题意；
若-a=1-b，当x∈-b,1-b  时，可知x+a<0,lnx+b  <0，此时f(x)>0；
当x∈1-b,+∞  时，可知x+a≥0,lnx+b  ≥0，此时f(x)≥0；
可知若-a=1-b，符合题意；
若-a>1-b，当x∈1-b,-a  时，可知x+a<0,lnx+b  >0，
此时f(x)<0，不合题意；
综上所述：-a=1-b，即b=a+1，
则a2+b2=a2+a+1 
1
2=2a+
2

2 1 1 1 1
+ ≥ ，当且仅当a=- ,b= 时，等号成立，
2 2 2 2
1
所以a2+b2的最小值为 ；
2
解法二：由题意可知：f(x)的定义域为-b,+∞  ，
令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b；
数学试题 第 21 页 共 46 页则当x∈-b,1-b  时，lnx+b  <0，故x+a≤0，所以1-b+a≤0；
x∈1-b,+∞  时，lnx+b  >0，故x+a≥0，所以1-b+a≥0；
故1-b+a=0，则a2+b2=a2+a+1 
1
2=2a+
2

2 1 1
+ ≥ ，
2 2
1 1
当且仅当a=- ,b= 时，等号成立，
2 2
1
所以a2+b2的最小值为 .
2
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求x+a=0、ln(x+b)=0的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨
论，结合符号性分析判断.
3. ②③
【分析】先分析fx 
1
的图像，再逐一分析各结论；对于①，取a= ，结合图像即可判断；对于②，分段讨
2
论fx  的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 
4
的范围；对于④，取a= ，结合图像可
5
知此时PQ  存在最小值，从而得以判断.
【解析】依题意，a>0，
当x<-a时，fx  =x+2，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当-a≤x≤a时，fx  = a2-x2，易知其图像是，圆心为0,0  ，半径为a的圆在x轴上方的图像(即半
圆)；
当x>a时，fx  =- x-1，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
1
对于①，取a= ，则fx
2
 的图像如下，
1
显然，当x∈(a-1,+∞)，即x∈- ,+∞
2
 时，fx 
1
在- ,0
2
 上单调递增，故①错误；
对于②，当a≥1时，
当x<-a时，fx  =x+2<-a+2≤1；
当-a≤x≤a时，fx  = a2-x2显然取得最大值a；
当x>a时，fx  =- x-1<- a-1≤-2，
综上：fx  取得最大值a，故②正确；
对于③，易知当-a≤x 1 ≤a时，在x 1 =a，x 2 >a且接近于x=a处，M x 1 ,fx 1    x 1 ≤a  ,
N x 2 ,fx 2    x 2 >a  的距离最小，
数学试题 第 22 页 共 46 页当x 1 =a时，y=fx 1  =0，当x 2 >a且接近于x=a处，y 2 =fx 2  <- a-1，
此时，MN  >y -y > a+1>1， 1 2
当x 1 <-a时，x 2 >a且接近于x=a处，M x 1 ,fx 1    x 1 ≤a  ,N x 2 ,fx 2    x 2 >a  的距离最小，
此时MN 
a+ a+1+2
≥

>1；故③正确；
2
4
对于④，取a= ，则fx
5
 的图像如下，
因为P x 3 ,fx 3    x 3 <-a  ,Q x 4 ,fx 4    x 4 ≥-a  ，
结合图像可知，要使PQ  取得最小值，则点P在fx 
4
=x+2x<-
5
 上，点Q在fx  =
16 4 4
-x2- ≤x≤
25 5 5
 ，
同时PQ  的最小值为点O到fx 
4
=x+2x<-
5
 的距离减去半圆的半径a，
此时，因为fx 
4
=y=x+2x<-
5
 的斜率为1，则k =-1，故直线OP的方程为y=-x，
OP
y=-x x=-1
联立  ，解得  ，则P-1,1
y=x+2 y=1
 ，
显然P-1,1  在fx 
4
=x+2x<-
5
 上，满足PQ  取得最小值，
4
即a= 也满足PQ
5

1
存在最小值，故a的取值范围不仅仅是0,
2
 ，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得fx  的图像，特别是当-a≤x≤a时，fx  = a2-x2的图
像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
1. B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【解析】对A，设fx 
ex-x2
= ，函数定义域为R，但f-1
ex+x2

e-1-1 1-e
= = ，f1
e-1+1 e+1

e-1
= ，则f-1
e+1
 ≠
f1  ，故A错误；
数学试题 第 23 页 共 46 页对B，设gx 
cosx-x2
= ，函数定义域为R，
x2+1
且g-x 
cos-x
=
 --x  2
-x 
cosx-x2
= =gx
2+1 x2+1
 ，则gx  为偶函数，故B正确；
对C，设hx 
ex-x
= ，h-1
ex+x

e-1+1 1+e
= = ,h1
e-1-1 1-e

e-1
= ，
e+1
h-1  ≠h1  ，则hx  不是偶函数，故C错误；
对D，设φx 
sinx-x
= ，函数定义域为R，
x2+1
因为φ-x 
sin-x
=
 --x 
-x 
-sinx+x
= =-φx
2+1 x2+1
 ，且φx  不恒为0，
则φx  不是偶函数，故D错误.
故选：B.
2. ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例f(x)=0即可排除选
项D.
x2lnx
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数f(x)=
 ,x≠0 
进行判断即可.

0,x=0
【解析】方法一：
因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，
对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.
对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.
对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，
令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，
又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，
对于D，不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.
方法二：
因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，
对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.
对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.
对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，
令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，
又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，
f(xy) f(x) f(y)
对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以x2y2，得到 = + ，
x2y2 x2 y2
f(x)
故可以设 =lnx
x2

x2lnx
(x≠0)，则f(x)=
 ,x≠0 
， 
0,x=0
当x>0肘，f(x)=x2lnx，则fx 
1
=2xlnx+x2⋅ =x(2lnx+1)，
x
令fx  <0，得0<x<e- 2 1 ；令fx  >0，得x>e- 2 1 ；
故f(x)在0,e- 2 1  上单调递减，在e- 2 1 ,+∞  上单调递增，
因为f(x)为偶函数，所以f(x)在-e- 2 1 ,0  上单调递增，在-∞,e- 2 1  上单调递减，
数学试题 第 24 页 共 46 页显然，此时x=0是f(x)的极大值点，故D错误.
故选：ABC.
3. B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
1-x 2
【解析】由题意可得f(x)= =-1+ ，
1+x 1+x
对于A，fx-1 
2
-1= -2不是奇函数；
x
对于B，fx-1 
2
+1= 是奇函数；
x
对于C，fx+1 
2
-1= -2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
x+2
对于D，fx+1 
2
+1= ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
x+2
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
4. fx  =x4(答案不唯一，fx  =x2nn∈N*  均满足)
【分析】根据幂函数的性质可得所求的fx  .
【解析】取fx  =x4，则fx 1 x 2  =x 1 x 2  4=x4 1 x4 2 =fx 1  fx 2  ，满足①，
fx  =4x3，x>0时有fx  >0，满足②，
fx  =4x3的定义域为R，
又f-x  =-4x3=-fx  ，故fx  是奇函数，满足③.
故答案为：fx  =x4(答案不唯一，fx  =x2nn∈N*  均满足)
5. B
【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合M
与已知条件矛盾；D选项由集合M的定义找到矛盾.
【解析】对于A选项：x<x 0 时，fx  <fx 0  ，
当x 0 =1时，x 0 ∈-1,1  ，任意的x∈-∞,1  ，fx  <f1  恒成立，
若fx  时偶函数，此时f1  =f-1  矛盾，故A选项错误；
对于B选项：若fx  函数图像如下：
数学试题 第 25 页 共 46 页当x<-1时，fx  =-2，-1≤x≤1时，fx  ∈-1,1  ，当x>1，fx  =1，
∴存在fx  在x=2处取最大值，故B选项正确；
对于C选项：在x<-1时，若函数fx  严格递增，则集合M的取值不会是-1,1  ，
而是全体定义域，故C选项错误；
对于D选项：若存在fx  在x=-1处取到极小值，则在x=-1在左侧存在x=n，fn  >f-1  ，与集合
M定义矛盾，故D选项错误.
故选：B
1. 0
【分析】根据奇函数的定义求解．
【解析】f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)恒成立，
所以-x3+a=-(x3+a)，解得a=0
故答案为：0．
2. 2
π
【分析】利用偶函数的性质得到f-
2

π
=f
2
 ，从而求得a=2，再检验即可得解.
【解析】因为y=fx  =x-1 
π
2+ax+sinx+
2
 =x-1  2+ax+cosx为偶函数，定义域为R，
π
所以f-
2

π
=f
2

π
，即- -1
2

2 π π
- a+cos-
2 2

π
= -1
2

2 π π
+ a+cos ，
2 2
π
则πa= +1
2

2 π
- -1
2

2
=2π，故a=2，
此时fx  =x-1  2+2x+cosx=x2+1+cosx，
所以f-x  =-x  2+1+cos-x  =x2+1+cosx=fx  ，
又定义域为R，故fx  为偶函数，
所以a=2.
故答案为：2.
3. D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【解析】因为fx 
xex
= 为偶函数，则fx
eax-1
 -f-x 
xex -x
= -
eax-1
 e-x x ex-ea-1
=
e-ax-1
  x 
=0，
eax-1
又因为x不恒为0，可得ex-ea-1  x=0，即ex=ea-1  x，
则x=a-1  x，即1=a-1，解得a=2.
故选：D.
4. B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.
1
【解析】因为f(x) 为偶函数，则 f(1)=f(-1)，∴(1+a)ln =(-1+a)ln3，解得a=0，
3
当a=0时，fx 
2x-1
=xln ，2x-1
2x+1
 2x+1 
1 1
>0，解得x> 或x<- ，
2 2
则其定义域为 xx 
1 1
 或x<-  2 2  ，关于原点对称.
f-x  =-x 
2-x
ln
 -1
2-x 
=-x
+1

2x+1
ln =-x
2x-1

2x-1
ln
2x+1

-1 2x-1
=xln =fx
2x+1
 ，
故此时fx  为偶函数.
故选：B.
数学试题 第 26 页 共 46 页5. 1
【分析】根据奇函数的定义可求参数的值.
【解析】当x<0时，fx  =a2x-1，
当x>0时，-x<0，故f-x  =-a2x-1，
而fx  =-f-x 
a2=1
=a2x+1=x+a，故  即a=1，
a=1
故答案为：1.
1
6. - ； ln2．
2
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若a=0，则f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称
∴a≠0
1 1
若奇函数的f(x)=lna+ +b有意义，则x≠1且a+ ≠0
1-x 1-x
1
∴x≠1且x≠1+ ，
a
∵函数f(x)为奇函数，定义域关于原点对称，
1 1
∴1+ =-1，解得a=- ，
a 2
1
由f(0)=0得，ln +b=0，
2
∴b=ln2，
1
故答案为：- ；ln2．
2
[方法二]：函数的奇偶性求参
1
f(x)=lna+ +b=ln
1-x

a-ax+1
+b=ln
1-x

ax-a-1

1-x
 +b
ax+a+1
f(-x)=ln
1+x
 +b
∵函数f(x)为奇函数
ax-a-1
∴f(x)+f(-x)=ln +ln
1-x

ax+a+1

1+x
 +2b=0
a2x2-(a+1)2
∴ln
x2-1
 +2b=0
a2 (a+1)2 1
∴ = ⇒2a+1=0⇒a=-
1 1 2
1
-2b=ln =-2ln2⇒b=ln2
4
1
∴a=- ,b=ln2
2
[方法三]：
因为函数fx 
1
=lna+
1-x
 +b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
1
由a+ ≠0可得，1-x
1-x
 a+1-ax 
a+1 1
≠0，所以x= =-1，解得：a=- ，即函数的定义域为
a 2
-∞,-1  ∪-1,1  ∪1,+∞  ，再由f0  =0可得，b=ln2．即fx 
1 1
=ln- +
2 1-x
 +ln2=
1+x
ln
1-x
 ，在定义域内满足f-x  =-fx  ，符合题意．
数学试题 第 27 页 共 46 页1
故答案为：- ；ln2．
2
7. 1
【分析】利用偶函数的定义可求参数a的值.
【解析】因为fx  =x3a⋅2x-2-x  ，故f-x  =-x3a⋅2-x-2x  ，
因为fx  为偶函数，故f-x  =fx  ，
时x3a⋅2x-2-x  =-x3a⋅2-x-2x  ，整理得到a-1  2x+2-x  =0，
故a=1，
故答案为：1
8. (1)不存在
1 1
(2)a> 且a≠
3 2
c
【分析】(1)将a=0代入得f(x)=x+1+ ，先考虑其定义域，再假设f(x)为奇函数，得到方程2+c=
x
c无解，从而得以判断；
x2+(3a+1)x+1
(2)先半点(1,3)代入f(x)求得c=1，从而得到f(x)= ，再利用二次函数的根的分布得
x+a
1
到关于a的不等式组，解之可得a> ，最后再考虑x=-a的情况，从而得到a的取值范围.
3
x2+x+c c
【解析】(1)当a=0时，f(x)= =x+1+ ，定义域为D=(-∞,0)∪(0,+∞)，
x x
假设y=f(x)为奇函数，则f(-1)=-f(1)，
而f(1)=2+c,f(-1)=-c，则2+c=c，此时无实数c满足条件，
所以不存在实数c，使得函数f(x)为奇函数；
1+(3a+1)+c
(2)y=f(x)图像经过点(1,3)，则代入得 =3，解得c=1，
1+a
x2+(3a+1)x+c x2+(3a+1)x+1
所以f(x)= = ，定义域为(-∞,-a)∪(-a,+∞)，
x+a x+a
令g(x)=x2+(3a+1)x+1，则g(x)的图像与x轴负半轴有两个交点，
-(3a+1)<0 3a+1>0 所以 ，即
 Δ>0 3a+1 
 1
 2-4>0
，解得a>
3
，
若x+a=0，即x=-a是方程x2+(3a+1)x+1=0的解，
则代入可得a2+(3a+1)×-a 
1
+1=0，解得a= 或a=-1.
2
1 1 1
由题意得a≠ ，所以实数a的取值范团a> 且a≠ .
2 3 2
1. A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,3]的范围中求解.
【解析】由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立，
3
于是f-
4

3
=f
4

11
=f
4

11 1
=5-2× =- .
4 2
故选：A
2. ABD
【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用f(x)=-f-x  代入求解即可；对C，举反例f(-1)>
2即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【解析】对A，因为f(x)定义在R上奇函数，则f(0)=0，故A正确；
数学试题 第 28 页 共 46 页对B，当x<0时，-x>0，则f(x)=-x2-3  e-x-2，故B正确；
对C，f(-1)=-1-3  e-2=2e-1  >2，故C错误；
对D，当x<0时，f(x)=3-x2  e-x-2，则f(x)=-3-x2  e-x-2xe-x=x2-2x-3  e-x，
令f(x)=0，解得x=-1或3(舍去)，
当x∈-∞,-1  时，f(x)>0，此时fx  单调递增，
当x∈-1,0  时，f(x)<0，此时fx  单调递减，
则x=-1是f(x)极大值点，故D正确；
故选：ABD.
3. C
5
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f
3
 的值.
5
【解析】由题意可得：f
3

2
=f1+
3

2
=f-
3

2
=-f
3
 ，
2
而f
3

1
=f1-
3

1
=f
3

1
=-f-
3

1
=- ，
3
5
故f
3

1
= .
3
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化
是解决本题的关键.
4. D
【分析】通过fx+1  是奇函数和fx+2  是偶函数条件，可以确定出函数解析式fx  =-2x2+2，进而利
用定义或周期性结论，即可得到答案．
【解析】[方法一]：
因为fx+1  是奇函数，所以f-x+1  =-fx+1  ①；
因为fx+2  是偶函数，所以fx+2  =f-x+2  ②．
令x=1，由①得：f0  =-f2  =-4a+b  ，由②得：f3  =f1  =a+b，
因为f0  +f3  =6，所以-4a+b  +a+b=6⇒a=-2，
令x=0，由①得：f1  =-f1  ⇒f1  =0⇒b=2，所以fx  =-2x2+2．
思路一：从定义入手．
9
f
2

5
=f +2
2

5
=f- +2
2

1
=f-
2

1
f-
2

3
=f- +1
2

3
=-f +1
2

5
=-f
2

5
-f
2

1
=-f +2
2

1
=-f- +2
2

3
=-f
2

9
所以f
2

3
=-f
2

5
= ．
2
[方法二]：
因为fx+1  是奇函数，所以f-x+1  =-fx+1  ①；
因为fx+2  是偶函数，所以fx+2  =f-x+2  ②．
令x=1，由①得：f0  =-f2  =-4a+b  ，由②得：f3  =f1  =a+b，
因为f0  +f3  =6，所以-4a+b  +a+b=6⇒a=-2，
令x=0，由①得：f1  =-f1  ⇒f1  =0⇒b=2，所以fx  =-2x2+2．
思路二：从周期性入手
数学试题 第 29 页 共 46 页由两个对称性可知，函数fx  的周期T=4．
9
所以f
2

1
=f
2

3
=-f
2

5
= ．
2
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计
算的效果．
5. BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
3
对于f(x)，因为f -2x
2

3
为偶函数，所以f -2x
2

3
=f +2x
2

3
即f -x
2

3
=f +x
2
 ①，所以
f3-x  =fx 
3
，所以f(x)关于x= 对称，则f(-1)=f(4)，故C正确；
2
对于g(x)，因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x)，g(4-x)=g(x)，所以g(x)关于x=2对称，由①
3
求导，和g(x)=f(x)，得 f -x
2
  


 3
= f +x
2
  


 3
⇔-f -x
2

3
=f +x
2

3
⇔-g -x
2
 =
3
g +x
2
 ，所以g3-x  +gx 
3
=0，所以g(x)关于 ,0
2

3
对称，因为其定义域为R，所以g
2
 =0，结
3
合g(x)关于x=2对称，从而周期T=4×2-
2

1
=2，所以g-
2

3
=g
2
 =0，g-1  =g1  =
-g2  ，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知g(x)周期为2，关于x=2对称，故可设gx  =cosπx  ，则fx 
1
= sinπx
π
 +c，显然A，D
错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
3
因为f -2x
2
 ，g(2+x)均为偶函数，
3
所以f -2x
2

3
=f +2x
2

3
即f -x
2

3
=f +x
2
 ，g(2+x)=g(2-x)，
所以f3-x  =fx  ，g(4-x)=g(x)，则f(-1)=f(4)，故C正确；
3
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x= ,x=2对称，
2
又g(x)=f(x)，且函数f(x)可导，
3
所以g
2
 =0,g3-x  =-gx  ，
所以g(4-x)=g(x)=-g3-x  ，所以g(x+2)=-g(x+1)=gx  ，
1
所以g-
2

3
=g
2
 =0，g-1  =g1  =-g2  ，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，
故A错误.
故选：BC.
数学试题 第 30 页 共 46 页【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通
性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
1. A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数fx  的一个周期为6，求出函数一个周期中的f1  ,f2  ,⋯,
f6  的值，即可解出．
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为fx+y  +fx-y  =fx  fy  ，令x=1,y=0可得，2f1  =f1  f0  ，所以f0  =2，令x=0可
得，fy  +f-y  =2fy  ，即fy  =f-y  ，所以函数fx  为偶函数，令y=1得，fx+1  +fx-1  =
fx  f1  =fx  ，即有fx+2  +fx  =fx+1  ，从而可知fx+2  =-fx-1  ，fx-1  =-fx-4  ，
故fx+2  =fx-4  ，即fx  =fx+6  ，所以函数fx  的一个周期为6．因为f2  =f1  -f0  =1
-2=-1，f3  =f2  -f1  =-1-1=-2，f4  =f-2  =f2  =-1，f5  =f-1  =f1  =1，f6 
=f0  =2，所以
一个周期内的f1  +f2  +⋯+f6  =0．由于22除以6余4，
22
所以 fk
k=1
  =f1  +f2  +f3  +f4  =1-1-2-1=-3．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由fx+y  +fx-y  =fx  fy  ，联想到余弦函数和差化积公式
cosx+y  +cosx-y  =2cosxcosy，可设fx  =acosωx，则由方法一中f0  =2,f1  =1知a=2,
1 π
acosω=1，解得cosω= ，取ω= ，
2 3
所以fx 
π
=2cos x，则
3
fx+y  +fx-y 
π π
=2cos x+ y
3 3

π π
+2cos x- y
3 3

π π
=4cos xcos y=fx
3 3
 fy  ，所以fx  =
π 2π
2cos x符合条件，因此f(x)的周期T= =6，f0
3 π
3
 =2,f1  =1，且f2  =-1,f3  =-2,f4  =
-1,f5  =1,f6  =2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，
由于22除以6余4，
22
所以 fk
k=1
  =f1  +f2  +f3  +f4  =1-1-2-1=-3．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
2. B
【分析】推导出函数fx  是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f1  =0，结合已知条件可得出结论.
【解析】因为函数fx+2  为偶函数，则f2+x  =f2-x  ，可得fx+3  =f1-x  ，
因为函数f2x+1  为奇函数，则f1-2x  =-f2x+1  ，所以，f1-x  =-fx+1  ，
所以，fx+3  =-fx+1  =fx-1  ，即fx  =fx+4  ，
故函数fx  是以4为周期的周期函数，
因为函数Fx  =f2x+1  为奇函数，则F0  =f1  =0，
故f-1  =-f1  =0，其它三个选项未知.
数学试题 第 31 页 共 46 页故选：B.
1. D
【分析】根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x-2)=-2，从而得到f3  +f5  +⋯+f21  =-10，f4 
+f6  +⋯+f22  =-10，然后根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g3  =6从而得到f1  的值即可
求解.
【解析】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g2-x  =gx+2  ，
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，
因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+7+f(x-2)  =5，即f(x)+f(x-2)=-2，
所以f3  +f5  +⋯+f21  =-2  ×5=-10，
f4  +f6  +⋯+f22  =-2  ×5=-10.
因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0  =1，所以f(2)=-2-f0  =-3.
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为f(x)+g(2-x)=5，
联立得，g2-x  +gx+4  =12，
所以y=g(x)的图像关于点3,6  中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g3  =6
因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1  =5-g3  =-1.
22
所以∑ f(k)=f1
k=1
 +f2  + f3  +f5  +⋯+f21    + f4  +f6  +⋯+f22    =-1-3-10-10=
-24.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
2. D
【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得fx+2  -f(x)=2，据此
可判断D的正误.
【解析】对于A，因为f(x)为偶函数，故f-x  =f(x)，
而f(x)的图像关于直线x=1对称，故f2-x  =f(x)，故f2-x  =f(-x)，
故fx  为周期函数且周期为2，
而fx  在0,2  必有最大值，故fx  必有最大值，故A错误.
对于B，而f(x)的图像关于点(1,1)对称，故f2-x  +f(x)=2，
故fx-2  +f(x)=2，故fx+2  +f(x)=2，故fx+2  =f(x-2)
故fx  为周期函数且周期为4，
而fx  在0,4  必有最大值，故fx  必有最大值，故B错误.
对于C，因为f(x)为奇函数，故f-x  =-f(x)，
而f(x)的图像关于直线x=1对称，故f2-x  =f(x)，故fx-2  =-f(x)，
所以fx+4  =f(x)故fx  为周期函数且周期为4，
而fx  在0,4  必有最大值，故fx  必有最大值，故C错误.
对于D，因为f(x)为奇函数，故f-x  =-f(x)，
而f(x)的图像关于点(1,1)对称，故f2-x  +f(x)=2，
数学试题 第 32 页 共 46 页故f(x)-fx-2  =2，设x=2n,n∈N*，
则f(2n)=f0  +2n，故fx  无最大值，
故选：D
3. 0
【分析】根据奇函数的性质可得出f0  的值，根据函数对称性可得出f1  的值，推导出函数fx  为周期
函数，确定该函数的周期，结合周期性可求得f1  +f2  +f3  +f4  +f5  的值.
【解析】因为函数fx  是定义在R上的奇函数，且y=fx 
1
的图象关于直线x= 对称，
2
则对任意的x∈R，f-x  =-fx  ，f1-x  =fx  ，则fx  =-fx-1  ，
所以，fx+2  =-fx+1  =fx  ，
所以，函数fx  是周期为2的周期函数，且f1  =f0  =0，
因此，f1  +f2  +f3  +f4  +f5  =3f0  +2f1  =0.
故答案为：0.
4. AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=0,x=a，根据零点存在定理和极值的符号判断出f(x)在(
-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设
存在这样的a,b，使得x=b为f(x)的对称轴，则f(x)=f(2b-x)为恒等式，据此计算判断；D选项，若存
在这样的a，使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心，则f(x)+f(2-x)=6-6a，据此进行计算判断，亦可利
用拐点结论直接求解.
【解析】A选项，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a)，由于a>1，
故x∈-∞,0  ∪a,+∞  时f(x)>0，故f(x)在-∞,0  ,a,+∞  上单调递增，
x∈(0,a)时，f(x)<0，f(x)单调递减，
则f(x)在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值，
由f(0)=1>0，f(a)=1-a3<0，则f(0)f(a)<0，
根据零点存在定理f(x)在(0,a)上有一个零点，
又f(-1)=-1-3a<0，f(2a)=4a3+1>0，则f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0，
则f(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，f(x)有三个零点，A选项正确；
B选项，f(x)=6x(x-a)，a<0时，x∈(a,0),f(x)<0，f(x)单调递减，
x∈(0,+∞)时f(x)>0，f(x)单调递增，
此时f(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的a,b，使得x=b为f(x)的对称轴，
即存在这样的a,b使得f(x)=f(2b-x)，
即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1，
根据二项式定理，等式右边(2b-x)3展开式含有x3的项为2C3(2b)0(-x)3=-2x3，
3
于是等式左右两边x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的a,b，使得x=b为f(x)的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
f(1)=3-3a，若存在这样的a，使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心，
则f(x)+f(2-x)=6-6a，事实上，
f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a，
数学试题 第 33 页 共 46 页于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a
12-6a=0

即12a-24=0 ，解得a=2，即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的对称中心，D选项正确.
18-12a=6-6a
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
f(x)=2x3-3ax2+1，f(x)=6x2-6ax，f(x)=12x-6a，
a a a
由f(x)=0⇔x= ，于是该三次函数的对称中心为 ,f
2 2 2
   ，
a
由题意(1,f(1))也是对称中心，故 =1⇔a=2，
2
即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：(1)f(x)的对称轴为x=b⇔f(x)=f(2b-x)；(2)f(x)关于(a,b)对称⇔f(x)+f(2a
-x)=2b；(3)任何三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称
b b
中心的横坐标是f(x)=0的解，即 - ,f-
3a 3a
   是三次函数的对称中心
5. (1)-2
(2)证明见解析
2
(3)b≥-
3
【分析】(1)求出fx  =2+a后根据f(x)≥0可求a的最小值；
min
(2)设Pm,n  为y=fx  图象上任意一点，可证Pm,n  关于1,a  的对称点为Q2-m,2a-n  也在
函数的图像上，从而可证对称性；
(3)根据题设可判断f1  =-2即a=-2，再根据f(x)>-2在1,2 
2
上恒成立可求得b≥- .
3
【解析】(1)b=0时，fx 
x
=ln +ax，其中x∈0,2
2-x
 ，
则fx 
1 1 2
= + +a=
x 2-x x2-x 
+a,x∈0,2  ，
因为x2-x 
2-x+x
≤
2

2
=1，当且仅当x=1时等号成立，
故fx  =2+a，而fx
min
 ≥0成立，故a+2≥0即a≥-2，
所以a的最小值为-2.，
(2)fx 
x
=ln +ax+bx-1
2-x
 3的定义域为0,2  ，
设Pm,n  为y=fx  图象上任意一点，
Pm,n  关于1,a  的对称点为Q2-m,2a-n  ，
因为Pm,n  在y=fx 
m
图象上，故n=ln +am+bm-1
2-m
 3，
而f2-m 
2-m
=ln +a2-m
m
 +b2-m-1 
m
3=- ln +am+bm-1
2-m
  3 

 +2a，
=-n+2a，
所以Q2-m,2a-n  也在y=fx  图象上，
由P的任意性可得y=fx  图象为中心对称图形，且对称中心为1,a  .
(3)因为fx  >-2当且仅当1<x<2，故x=1为fx  =-2的一个解，
所以f1  =-2即a=-2，
数学试题 第 34 页 共 46 页先考虑1<x<2时，fx  >-2恒成立.
此时fx 
x
>-2即为ln +21-x
2-x
 +bx-1  3>0在1,2  上恒成立，
设t=x-1∈0,1 
t+1
，则ln -2t+bt3>0在0,1
1-t
 上恒成立，
设gt 
t+1
=ln -2t+bt3,t∈0,1
1-t
 ，
则gt 
2 t2-3bt2+2+3b
= -2+3bt2=
1-t2

，
1-t2
当b≥0，-3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0，
故gt  >0恒成立，故gt  在0,1  上为增函数，
故gt  >g0  =0即fx  >-2在1,2  上恒成立.
2
当- ≤b<0时，-3bt2+2+3b≥2+3b≥0，
3
故gt  ≥0恒成立，故gt  在0,1  上为增函数，
故gt  >g0  =0即fx  >-2在1,2  上恒成立.
2 2
当b<- ，则当0<t< 1+ <1时，gt
3 3b
 <0
2
故在0, 1+
3b
 上gt  为减函数，故gt  <g0  =0，不合题意，舍；
综上，fx  >-2在1,2 
2
上恒成立时b≥- .
3
2
而当b≥- 时，
3
2
而b≥- 时，由上述过程可得gt
3
 在0,1  递增，故gt  >0的解为0,1  ，
即fx  >-2的解为1,2  .
2
综上，b≥- .
3
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对
一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的
范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
6. (1)ln2  x+y-ln2=0；
1 1
(2)存在a= ,b=- 满足题意，理由见解析.
2 2
1
(3)0,
2
 .
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后
求解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法
可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数gx  =ax2+x-x+1  lnx+1  ，然后对函数
1 1
求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0，a≥ 和0<a< 三中情况即可求得实数a
2 2
的取值范围.
【解析】(1)当a=-1时，fx 
1
= -1
x
 lnx+1  ，
则fx 
1
=- ×lnx+1
x2

1
+ -1
x

1
× ，
x+1
数学试题 第 35 页 共 46 页据此可得f1  =0,f1  =-ln2，
函数在 1,f1    处的切线方程为y-0=-ln2x-1  ，
即ln2  x+y-ln2=0.
(2)令gx 
1
=f
x
 =x+a 
1
ln +1
x
 ，
1 x+1
函数的定义域满足 +1= >0，即函数的定义域为-∞,-1
x x
 ∪0,+∞  ，
1 1
定义域关于直线x=- 对称，由题意可得b=- ，
2 2
1
由对称性可知g- +m
2

1
=g- -m
2

1
m>
2
 ，
3
取m= 可得g1
2
 =g-2  ，
即a+1  ln2=a-2 
1 1
ln ，则a+1=2-a，解得a= ，
2 2
1 1 1 1
经检验a= ,b=- 满足题意，故a= ,b=- .
2 2 2 2
1 1
即存在a= ,b=- 满足题意.
2 2
(3)由函数的解析式可得fx 
1
=-
x2
 lnx+1 
1
+ +a
x

1
，
x+1
由fx  在区间0,+∞  存在极值点，则fx  在区间0,+∞  上存在变号零点;
1
令-
x2
 lnx+1 
1
+ +a
x

1
=0，
x+1
则-x+1  lnx+1  +x+ax2  =0，
令gx  =ax2+x-x+1  lnx+1  ，
fx  在区间0,+∞  存在极值点，等价于gx  在区间0,+∞  上存在变号零点，
gx  =2ax-lnx+1  ,gx 
1
=2a-
x+1
当a≤0时，gx  <0，gx  在区间0,+∞  上单调递减，
此时gx  <g0  =0，gx  在区间0,+∞  上无零点，不合题意;
1 1
当a≥ ，2a≥1时，由于 <1，所以gx
2 x+1
 >0,gx  在区间0,+∞  上单调递增，
所以gx  >g0  =0，gx  在区间0,+∞  上单调递增，gx  >g0  =0，
所以gx  在区间0,+∞  上无零点，不符合题意；
1
当0<a< 时，由gx
2

1 1
=2a- =0可得x= -1，
x+1 2a
1
当x∈0, -1
2a
 时，gx  <0，gx  单调递减，
1
当x∈ -1,+∞
2a
 时，gx  >0，gx  单调递增，
故gx 
1
的最小值为g -1
2a
 =1-2a+ln2a，
令mx  =1-x+lnx0<x<1  ，则mx 
-x+1
= >0，
x
函数mx  在定义域内单调递增，mx  <m1  =0，
据此可得1-x+lnx<0恒成立，
1
则g -1
2a
 =1-2a+ln2a<0，
由一次函数与对数函数的性质可得，当x→+∞时，
数学试题 第 36 页 共 46 页gx  =2ax-lnx+1  →+∞，
且注意到g0  =0，
根据零点存在性定理可知:gx  在区间0,+∞  上存在唯一零点x . 0
当x∈0,x 0  时，gx  <0，gx  单调减，
当x∈x 0 ,+∞  时，gx  >0，gx  单调递增，
所以gx 0  <g0  =0.
令nx  =lnx- x，则nx 
1 1 2- x
= - = ，
x 2 x 2x
则函数nx  =lnx- x在0,4  上单调递增，在4,+∞  上单调递减，
所以nx  ≤n4  =ln4-2<0，所以lnx< x，
4
所以g
a2

4
= +1
a2

4
a +1
a2

4
-ln +1
a2

 1-a
 - -2a+1
4
 +1
 a2

4 > +1
a2
 4 4 +a-ln +1
a a2
   +a-1-2a+1


4 = +1
a2
 4 4 -ln +1
a a2
  

 4 > +1
a2
 4 4  - +1
a a2

4
> +1
a2

16 4
- -1
a2 a2 4
= +1
4 4 a2
+ +1
a a2

12
-1
a2
>0，
4 4
+ +1
a a2
所以函数gx  在区间0,+∞  上存在变号零点，符合题意.
1
综合上面可知:实数a得取值范围是0,
2
 .
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初
等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程
组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需
要进行验证.
1. C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【解析】f-x  +fx 
1 1 2x 1
= + = + =1，故A错误，C正确；
1+2-x 1+2x 1+2x 1+2x
f-x  -fx 
1 1 2x 1 2x-1 2
= - = - = =1- ，不是常数，故BD错误；
1+2-x 1+2x 1+2x 1+2x 2x+1 2x+1
故选：C．
2. 64
【分析】将log a,log 4利用换底公式转化成log a来表示即可求解.
8 a 2
1 1 3 1 5
【解析】由题 log a - log 4 = log a - 2 log 2 a=- 2 ，整理得log 2 a
8 a 2
 2-5log a-6=0， 2
⇒log a=-1或log a=6，又a>1，
2 2
所以log a=6=log 26，故a=26=64
2 2
故答案为：64.
3. C
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
数学试题 第 37 页 共 46 页1 1
【解析】原式=2× log 3+ log 3
2 2 3 2

1
log 2+ log 2
3 2 3

4 3
= log 3× log 2=2，
3 2 2 3
故选：C
4. C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
1 4a 2a
【解析】因为2a=5，b=log 3= log 3，即23b=3，所以4a-3b= =
8 3 2 43b
 2
23b 
52 25
= = ．
2 32 9
故选：C.
1. B
【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【解析】设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T,T ,T,
1 2 3
由题意，T=klog 106=6klog 10，
1 2 2
T 2 =klog 21.024×109  =klog 2210×106  =k10+6log 2 10  ，
T 3 =klog 24.096×109  =klog 2212×106  =k12+6log 2 10  ，
因为T 2 -T 1 =k10+6log 2 10  -6klog 10=10k=20，所以k=2， 2
所以T 3 -T 2 =k12+6log 2 10  -k10+6log 2 10  =2k=4，
所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
2. D
S-1 S-1
【分析】根据题意分析可得 =2.1, =3.15，消去S即可求解.
lnN lnN
1 2
S-1 S-1
【解析】由题意得 =2.1, =3.15，则2.1lnN =3.15lnN ，即2lnN =3lnN ，所以N3=N2.
lnN lnN 1 2 1 2 2 1
1 2
故选：D.
3. ACD
【分析】根据题意可知L p1 ∈60,90  ,L p2 ∈50,60  ,L =40，结合对数运算逐项分析判断. p3
【解析】由题意可知：L p1 ∈60,90  ,L p2 ∈50,60  ,L =40， p3
p p p
对于选项A：可得L -L =20×lg 1 -20×lg 2 =20×lg 1 ，
p1 p2 p p p
0 0 2
p p
因为L ≥L ，则L -L =20×lg 1 ≥0，即lg 1 ≥0，
p1 p2 p1 p2 p p
2 2
p
所以 1 ≥1且p ,p >0，可得p ≥p ，故A正确；
p 1 2 1 2
2
p p p
对于选项B：可得L -L =20×lg 2 -20×lg 3 =20×lg 2 ，
p2 p3 p p p
0 0 3
p p 1
因为L -L =L -40≥10，则20×lg 2 ≥10，即lg 2 ≥ ，
p2 p3 p2 p p 2
3 3
p
所以 2 ≥ 10且p ,p >0，可得p ≥ 10p ，
p 2 3 2 3
3
当且仅当L =50时，等号成立，故B错误；
p2
p p
对于选项C：因为L =20×lg 3 =40，即lg 3 =2，
p3 p p
0 0
p
可得 3 =100，即p =100p ，故C正确；
p 3 0
0
数学试题 第 38 页 共 46 页p
对于选项D：由选项A可知：L -L =20×lg 1 ，
p1 p2 p
2
p
且L -L ≤90-50=40，则20×lg 1 ≤40，
p1 p2 p
2
p p
即lg 1 ≤2，可得 1 ≤100，且p ,p >0，所以p ≤100p ，故D正确；
p p 1 2 1 2
2 2
故选：ACD.
4. D
【分析】根据T与lgP的关系图可得正确的选项.
【解析】当T=220，P=1026时，lgP>3，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当T=270，P=128时，2<lgP<3，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当T=300，P=9987时，lgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错
误.
当T=360，P=729时，因2<lgP<3, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
1. 1 - 2
π
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为f(x)=2sinx-
3

π
，代入自变量x= ，计算即可.
12
π
【解析】∵f
3

3 3
= A- =0，∴A=1
2 2
π
∴f(x)=sinx- 3cosx=2sinx-
3

π
f
12

π π
=2sin -
12 3

π
=-2sin =- 2
4
故答案为：1，- 2
2. C
【分析】画出两函数在0,2π  上的图象，根据图象即可求解
【解析】因为函数y=sinx的最小正周期为T=2π，
π
函数y=2sin3x-
6

2π
的最小正周期为T= ，
3
所以在x∈0,2π 
π
上函数y=2sin3x-
6
 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
3. B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：y=0.3x在R上单调递减，y= x在0,+∞  单调递增，
数学试题 第 39 页 共 46 页所以fx  =0.3x- x在定义域上单调递减，
显然f0  =1>0,f0.3  =0.30.3-0.30.5>0,f0.5  =0.30.5-0.50.5<0，
所以根据零点存在性定理可知fx  的零点位于0.3,0.5  .
故选：B
4. D
【分析】解法一：令Fx  =ax2+a-1,Gx  =cosx，分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，
结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令hx  =f(x)
-gx  ,x∈-1,1  ，可知hx  为偶函数，根据偶函数的对称性可知hx  的零点只能为0，即可得a=2，
并代入检验即可.
【解析】解法一：令f(x)=gx  ，即a(x+1)2-1=cosx+2ax，可得ax2+a-1=cosx，
令Fx  =ax2+a-1,Gx  =cosx，
原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，
注意到Fx  ,Gx  均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得F0  =G0  ，即a-1=1，解得a=2，
若a=2，令Fx  =Gx  ，可得2x2+1-cosx=0
因为x∈-1,1  ，则2x2≥0,1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，
可得2x2+1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，
则方程2x2+1-cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，
所以a=2符合题意；
综上所述：a=2.
解法二：令hx  =f(x)-gx  =ax2+a-1-cosx,x∈-1,1  ，
原题意等价于hx  有且仅有一个零点，
因为h-x  =a-x  2+a-1-cos-x  =ax2+a-1-cosx=hx  ，
则hx  为偶函数，
根据偶函数的对称性可知hx  的零点只能为0，
即h0  =a-2=0，解得a=2，
若a=2，则hx  =2x2+1-cosx,x∈-1,1  ，
又因为2x2≥0,1-cosx≥0当且仅当x=0时，等号成立，
可得hx  ≥0，当且仅当x=0时，等号成立，
即hx  有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意；
故选：D.
5. - 3,-1  ∪1, 3 
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数gx  =2 x2-ax与hx 
2
ax-3,x≥
 a
= ，则
2
1-ax,x<
a
两函数图象有唯一交点，分a=0、a>0与a<0进行讨论，当a>0时，计算函数定义域可得x≥a或x
≤0，计算可得a∈0,2  时，两函数在y轴左侧有一交点，则只需找到当a∈0,2  时，在y轴右侧无交点
的情况即可得；当a<0时，按同一方式讨论即可得.
【解析】令fx  =0，即2 x2-ax=ax-2  -1，
由题可得x2-ax≥0，
数学试题 第 40 页 共 46 页当a=0时，x∈R，有2 x2=-2 
1
-1=1，则x=± ，不符合要求，舍去；
2
当a>0时，则2 x2-ax=ax-2 
2
ax-3,x≥
 a
-1= ，
2
1-ax,x<
a
即函数gx  =2 x2-ax与函数hx 
2
ax-3,x≥
 a
= 有唯一交点，
2
1-ax,x<
a
由x2-ax≥0，可得x≥a或x≤0，
当x≤0时，则ax-2<0，则2 x2-ax=ax-2  -1=1-ax，
即4x2-4ax=1-ax  2，整理得4-a2  x2-2ax-1= 2+a   x+1  2-a   x-1  =0，
1
当a=2时，即4x+1=0，即x=- ，
4
当a∈0,2 
1 1
，x=- 或x= >0(正值舍去)，
2+a 2-a
当a∈2,+∞ 
1 1
时，x=- <0或x= <0，有两解，舍去，
2+a 2-a
即当a∈0,2  时，2 x2-ax-ax-2  +1=0在x≤0时有唯一解，
则当a∈0,2  时，2 x2-ax-ax-2  +1=0在x≥a时需无解，
当a∈0,2  ，且x≥a时，
由函数hx 
2
ax-3,x≥
 a 2
= 关于x= 对称，令hx
2 a
1-ax,x<
a

1 3
=0，可得x= 或x= ，
a a
且函数hx 
1 2
在 ,
a a

2 3
上单调递减，在 ,
a a
 上单调递增，
令gx 
a
x-
2
=y=2 x2-ax，即

2
y2
- =1，
a2 a2
4
故x≥a时，gx 
x
图象为双曲线
 2 y2 a
- =1右支的x轴上方部分向右平移 所得，
a2 a2 2
4
x
由
 2 y2 a
- =1的渐近线方程为y=± x=±2x，
a2 a2 a
4 2
即gx 
a
部分的渐近线方程为y=2x-
2
 ，其斜率为2，
又a∈0,2  ，即hx 
2
ax-3,x≥
 a 2
= 在x≥ 时的斜率a∈0,2
2 a
1-ax,x<
a
 ，
令gx  =2 x2-ax=0，可得x=a或x=0(舍去)，
且函数gx  在a,+∞  上单调递增，
1
 <a
a
故有 ，解得1<a< 3，故1<a< 3符合要求；
3
>a
a
当a<0时，则2 x2-ax=ax-2 
2
ax-3,x≤
 a
-1= ，
2
1-ax,x>
a
数学试题 第 41 页 共 46 页即函数gx  =2 x2-ax与函数hx 
2
ax-3,x≤
 a
= 有唯一交点，
2
1-ax,x>
a
由x2-ax≥0，可得x≥0或x≤a，
当x≥0时，则ax-2<0，则2 x2-ax=ax-2  -1=1-ax，
即4x2-4ax=1-ax  2，整理得4-a2  x2-2ax-1= 2+a   x+1  2-a   x-1  =0，
1
当a=-2时，即4x-1=0，即x= ，
4
当a∈-2,0 
1 1
，x=- <0(负值舍去)或x= 0，
2+a 2-a
当a∈-∞,2 
1 1
时，x=- >0或x= >0，有两解，舍去，
2+a 2-a
即当a∈-2,0  时，2 x2-ax-ax-2  +1=0在x≥0时有唯一解，
则当a∈-2,0  时，2 x2-ax-ax-2  +1=0在x≤a时需无解，
当a∈-2,0  ，且x≤a时，
由函数hx 
2
ax-3,x≤
 a 2
= 关于x= 对称，令hx
2 a
1-ax,x>
a

1 3
=0，可得x= 或x= ，
a a
且函数hx 
2 1
在 ,
a a

3 2
上单调递减，在 ,
a a
 上单调递增，
同理可得：x≤a时，gx 
x
图象为双曲线
 2 y2 a
- =1左支的x轴上方部分向左平移 所得，
a2 a2 2
4
gx 
a
部分的渐近线方程为y=-2x+
2
 ，其斜率为-2，
又a∈-2,0  ，即hx 
2
ax-3,x≥
 a 2
= 在x< 时的斜率a∈-2,0
2 a
1-ax,x<
a
 ，
令gx  =2 x2-ax=0，可得x=a或x=0(舍去)，
且函数gx  在-∞,a  上单调递减，
1
 >a
a
故有 ，解得- 3<a<-1，故- 3<a<-1符合要求；
3
<a
a
综上所述，a∈- 3,-1  ∪1, 3  .
故答案为：- 3,-1  ∪1, 3  .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数fx  的零点问题转化为函数gx  =2 x2-ax与函数hx 
2
ax-3,x≥
 a
= 的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
2
1-ax,x<
a
6. -2,1 
【分析】将函数转化为方程，令x3-3x=-x-1  2+a，分离参数a，构造新函数gx  =x3+x2-5x+1,
结合导数求得gx  单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【解析】令x3-3x=-x-1  2+a，即a=x3+x2-5x+1，令gx  =x3+x2-5x+1x>0  ,
则gx  =3x2+2x-5=3x+5  x-1  ，令gx  =0x>0  得x=1，
当x∈0,1  时，gx  <0，gx  单调递减，
数学试题 第 42 页 共 46 页当x∈1,+∞  时，gx  >0，gx  单调递增，g0  =1,g1  =-2，
因为曲线y=x3-3x与y=-x-1  2+a在0,+∞  上有两个不同的交点，
所以等价于y=a与gx  有两个交点，所以a∈-2,1  .
故答案为：-2,1 
7. -∞,0  ∪0,1  ∪1,+∞ 
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围．
【解析】(1)当x2-ax+1≥0时，fx  =0⇔a-1  x2+a-2  x-1=0，
即 a-1   x-1  x+1  =0，
若a=1时，x=-1，此时x2-ax+1≥0成立；
1
若a≠1时，x= 或x=-1，
a-1
若方程有一根为x=-1，则1+a+1≥0，即a≥-2且a≠1；
1 1
若方程有一根为x= ，则
a-1 a-1

2 1
-a× +1≥0，解得：a≤2且a≠1；
a-1
1
若x= =-1时，a=0，此时1+a+1≥0成立．
a-1
(2)当x2-ax+1<0时，fx  =0⇔a+1  x2-a+2  x+1=0，
即 a+1   x-1  x-1  =0，
若a=-1时，x=1，显然x2-ax+1<0不成立；
1
若a≠-1时，x=1或x= ，
a+1
若方程有一根为x=1，则1-a+1<0，即a>2；
1 1
若方程有一根为x= ，则
a+1 a+1

2 1
-a× +1<0，解得：a<-2；
a+1
1
若x= =1时，a=0，显然x2-ax+1<0不成立；
a+1
综上，
1 1
当a<-2时，零点为 ， ；
a+1 a-1
1
当-2≤a<0时，零点为 ，-1；
a-1
当a=0时，只有一个零点-1；
1
当0<a<1时，零点为 ，-1；
a-1
当a=1时，只有一个零点-1；
1
当1<a≤2时，零点为 ，-1；
a-1
当a>2时，零点为1,-1．
所以，当函数有两个零点时，a≠0且a≠1．
数学试题 第 43 页 共 46 页故答案为：-∞,0  ∪0,1  ∪1,+∞  ．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，
然后根据范围讨论根(或零点)的个数，从而解出．
8. [2,3)
【分析】令f(x)=0，得cosωx=1有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【解析】因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)=cosωx-1(ω>0)，则cosωx=1有3个根，
令t=ωx，则cost=1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]，
结合余弦函数y=cost的图像性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3，
故答案为：[2,3).
9. a≥10
【分析】设gx  =x2-ax+3a-5，hx  =x  -2，分析可知函数gx  至少有一个零点，可得出Δ≥0，求
出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可
求得实数a的取值范围.
【解析】设gx  =x2-ax+3a-5，hx  =x  -2，由x  -2=0可得x=±2.
要使得函数fx  至少有3个零点，则函数gx  至少有一个零点，则Δ=a2-12a+20≥0，
解得a≤2或a≥10.
①当a=2时，gx  =x2-2x+1，作出函数gx  、hx  的图象如下图所示：
此时函数fx  只有两个零点，不合乎题意；
②当a<2时，设函数gx  的两个零点分别为x 1 、x 2x 1 <x 2  ，
要使得函数fx  至少有3个零点，则x ≤-2， 2
a
<-2
所以， 2
g-2 

 ，解得a∈∅；
=4+5a-5≥0
③当a=10时，gx  =x2-10x+25，作出函数gx  、hx  的图象如下图所示：
数学试题 第 44 页 共 46 页由图可知，函数fx  的零点个数为3，合乎题意；
④当a>10时，设函数gx  的两个零点分别为x 3 、x 4x 3 <x 4  ，
要使得函数fx  至少有3个零点，则x ≥2， 3
a
>2
可得 2
g2 

 ，解得a>4，此时a>10.
=4+a-5≥0
综上所述，实数a的取值范围是10,+∞  .
故答案为：10,+∞  .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
10.①②④
【分析】由fx  =0可得出lgx  =kx+2，考查直线y=kx+2与曲线gx  =lgx  的左、右支分别相切的
情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【解析】对于①，当k=0时，由fx  =lgx 
1
-2=0，可得x= 或x=100，①正确；
100
对于②，考查直线y=kx+2与曲线y=-lgx0<x<1  相切于点Pt,-lgt  ，
e
kt+2=-lgt t=
1   100
对函数y=-lgx求导得y=- ，由题意可得 1 ，解得 ，
xln10 k=- 100
tln10 k=- lge
e
100
所以，存在k=- lge<0，使得fx
e
 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线y=kx+2过点1,0  时，k+2=0，解得k=-2，
100
所以，当- lge<k<-2时，直线y=kx+2与曲线y=-lgx0<x<1
e
 有两个交点，
若函数fx  有三个零点，则直线y=kx+2与曲线y=-lgx0<x<1  有两个交点，
直线y=kx+2与曲线y=lgxx>1 
100
- lge<k<-2
有一个交点，所以， e ，此不等式无解，
k+2>0
因此，不存在k<0，使得函数fx  有三个零点，③错误；
对于④，考查直线y=kx+2与曲线y=lgxx>1  相切于点Pt,lgt  ，
kt+2=lgt t=100e
1  
对函数y=lgx求导得y= ，由题意可得 1 ，解得 lge ，
xln10 k= k=
tln10 100e
lge
所以，当0<k< 时，函数fx
100e
 有三个零点，④正确.
数学试题 第 45 页 共 46 页故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
(1)转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
(2)列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
(3)得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
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