专题03等式与不等式、基本不等式及一元二次不等式9种常见考法归类（全国通用）（解析版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2021-2025高考数学五年真题分类汇编

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2021-2025高考真题分类 等式与不等式、基本不等式及一元二次不等式
~ ~
2021-2025高考真题分类 等式与不等式、基本不等式及一元二次不等式1
一 由已知条件判断所给不等式是否正确 1
二 利用不等式求值或取值范围 1
三 由基本不等式比较大小 2
四 基本不等式求积的最大值 3
五 基本不等式求和的最小值 3
六 解不含参数的一元二次不等式 12
七 分式不等式 13
八 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 13
九 线性规划(拓展)(不做要求)14
~ ~
一 由已知条件判断所给不等式是否正确
1. (2025·北京·高考真题)已知a>0,b>0，则 ( )
1 1 1 1 1 2
A. a2+b2>2ab B. + ≥ C. a+b> ab D. + ≤
a b ab a b ab
【答案】C
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【解析】对于A,当a=b时，a2+b2=2ab，故A错误；
1 1 1 1 1 1
对于BD，取a= ,b= ，此时 + =2+4=6< =8= ，
2 4 a b 1 1 ab
×
2 4
1 1 2 2
+ =2+4=6> =4 2= ，故BD错误；
a b 1 1 ab
×
2 4
对于C，由基本不等式可得a+b≥2 ab> ab，故C正确.
故选：C.
2. (2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)若x，y满足x2+y2-xy=1，则 ( )
A. x+y≤1 B. x+y≥-2 C. x2+y2≤2 D. x2+y2≥1
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
a+b
【解析】因为ab≤
2

2 a2+b2
≤ (a,b∈R)，由x2+y2-xy=1可变形为，x+y
2
 2-1=3xy≤
x+y
3
2

2
，解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以
A错误，B正确；
由x2+y2-xy=1可变形为x2+y2 
x2+y2
-1=xy≤ ，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等
2
号，所以C正确；
y
因为x2+y2-xy=1变形可得x-
2

2 3 y 3
+ y2=1，设x- =cosθ, y=sinθ，所以x=cosθ+
4 2 2
1 2 5 2 1 1 1
sinθ,y= sinθ，因此x2+y2=cos2θ+ sin2θ+ sinθcosθ=1+ sin2θ- cos2θ+
3 3 3 3 3 3 3
数学试题 第 1 页 共 18 页4 2 π
= + sin2θ-
3 3 6

2
∈  ,2
 3

3 3
，所以当x= ,y=- 时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所
3 3
以D错误．
故选：BC．
二 利用不等式求值或取值范围
1. (2022·上海·高考真题)x-y≤0，x+y-1≥0，则z=x+2y的最小值是 .
3
【答案】 /1.5
2
3
【分析】分析可得x+2y= x+y
2

1
- x-y
2
 ，利用不等式的基本性质可求得z=x+2y的最小值.
【解析】设x+2y=mx+y  +nx-y  =m+n  x+m-n 
3
m=
y，则  m m + - n n = = 1 2 ，解得   2 1 ，
n=-
2
3
所以，z=x+2y= x+y
2

1
- x-y
2

3
≥ ，
2
3
因此，z=x+2y的最小值是 .
2
3
故答案为： .
2
三 由基本不等式比较大小
1. (2021·浙江·高考真题)已知α,β,γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα三个值中，
1
大于 的个数的最大值是 ( )
2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
3
【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤ ，从而可判断三个代数
2
1 1
式不可能均大于 ，再结合特例可得三式中大于 的个数的最大值.
2 2
sin2α+cos2β
【解析】法1：由基本不等式有sinαcosβ≤ ，
2
sin2β+cos2γ sin2γ+cos2α
同理sinβcosγ≤ ，sinγcosα≤ ，
2 2
3
故sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤ ，
2
1
故sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα不可能均大于 .
2
π π π
取α= ，∴β= ，γ= ，
6 3 4
1 1 6 1 6 1
则sinαcosβ= < ,sinβcosγ= > ,sinγcosα= > ，
4 2 4 2 4 2
1
故三式中大于 的个数的最大值为2，
2
故选：C.
法2：不妨设α<β<γ，则cosα>cosβ>cosγ,sinα<sinβ<sinγ，
由排列不等式可得：
sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤sinαcosγ+sinβcosβ+sinγcosα，
而sinαcosγ+sinβcosβ+sinγcosα=sinγ+α 
1 3
+ sin2β≤ ，
2 2
数学试题 第 2 页 共 18 页1
故sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα不可能均大于 .
2
π π π
取α= ，∴β= ，γ= ，
6 3 4
1 1 6 1 6 1
则sinαcosβ= < ,sinβcosγ= > ,sinγcosα= > ，
4 2 4 2 4 2
1
故三式中大于 的个数的最大值为2，
2
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注
意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
2. (2022·全国甲卷·高考真题)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则 ( )
A. a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 10>1，再利用基本不等式，换底公
9
式可得m>lg11，log 9>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
8
【解析】[方法一]：(指对数函数性质)
lg10 lg9+lg11
由9m=10可得m=log 10= >1，而lg9lg11< 9 lg9 2 
2 lg99
= 2 
2
<1=lg10 
lg10
2，所以 lg9
lg11
> ，即m>lg11，所以a=10m-11>10lg11-11=0.
lg10
lg8+lg10
又lg8lg10< 2 
2 lg80
= 2 
2
<lg9 
lg9 lg10
2，所以 > ，即log 9>m， lg8 lg9 8
所以b=8m-9<8log89-9=0.综上，a>0>b.
[方法二]：【最优解】(构造函数)
由9m=10，可得m=log 10∈(1,1.5)．
9
根据a,b的形式构造函数f(x)=xm-x-1(x>1) ，则f(x)=mxm-1-1，
1
令f(x)=0，解得x =m1-m ，由m=log 10∈(1,1.5) 知x ∈(0,1) .
0 9 0
f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a>b ，
又因为f(9)=9log910-10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=xm-x-1(x>1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，
是该题的最优解．
四 基本不等式求积的最大值
x2 y2
1. (2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)已知F 1 ，F 2 是椭圆C： 9 + 4 =1的两个焦点，点M在C上，则MF 1 
⋅MF 2  的最大值为 ( )
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到MF 1  +MF 2  =2a=6，借助基本不等式MF 1  ⋅MF 2  ≤
MF 1  +MF 2  
2
 2 即可得到答案．
数学试题 第 3 页 共 18 页【解析】由题，a2=9,b2=4，则MF 1  +MF 2  =2a=6，
所以MF 1  ⋅MF 2  ≤ MF 1  +MF 2   2  2 =9(当且仅当MF 1  =MF 2  =3时，等号成立)．
故选：C．
【点睛】
五 基本不等式求和的最小值
1. (2021·全国乙卷·高考真题)下列函数中最小值为4的是 ( )
A. y=x2+2x+4 B. y=sinx 
4
+
sinx 
4
C. y=2x+22-x D. y=lnx+
lnx
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得
出B,D不符合题意，C符合题意．
【解析】对于A，y=x2+2x+4=x+1  2+3≥3，当且仅当x=-1时取等号，所以其最小值为3，A不
符合题意；
对于B，因为0<sinx  ≤1，y=sinx 
4
+
sinx 
≥2 4=4，当且仅当sinx  =2时取等号，等号取不到，
所以其最小值不为4，B不符合题意；
4
对于C，因为函数定义域为R，而2x>0，y=2x+22-x=2x+ ≥2 4=4，当且仅当2x=2，即x=1时
2x
取等号，所以其最小值为4，C符合题意；
4
对于D，y=lnx+ ，函数定义域为0,1
lnx
 ∪1,+∞  ，而lnx∈R且lnx≠0，如当lnx=-1，y=-5，
D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
2. (2021·上海·高考真题)已知函数fx 
a
=3x+ a>0
3x+1
 的最小值为5，则a= .
【答案】9
【分析】配方得fx 
a
=3x+ a>0
3x+1

a
=3x+1+ -1，结合基本不等式即可求解
3x+1
【解析】fx 
a
=3x+ a>0 3x+1 
a
=3x+1+ -1≥2 a-1=5⇒a=9，当且仅当x=log 2时等 3x+1 3
号满足，
故答案为：9
1 1
3. (2025·上海·高考真题)设a,b>0,a+ =1，则b+ 的最小值为 ．
b a
【答案】4
1 1
【分析】灵活利用“1”将b+ =b+
a a

1
a+
b
 展开利用基本不等式计算即可.
1 1
【解析】易知b+ =b+
a a

1
a+
b

1 1
=ab+ +2≥2 ab⋅ +2=4，
ab ab
1
当且仅当ab=1，即a= ,b=2时取得最小值.
2
数学试题 第 4 页 共 18 页故答案为：4
1 a
4. (2021·天津·高考真题)若a>0,b>0，则 + +b的最小值为 ．
a b2
【答案】2 2
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【解析】∵a>0,b>0，
1 a 1 a 2 2
∴ + +b≥2 ⋅ +b= +b≥2 ⋅b=2 2，
a b2 a b2 b b
1 a 2
当且仅当 = 且 =b，即a=b= 2时等号成立，
a b2 b
1 a
所以 + +b的最小值为2 2.
a b2
故答案为：2 2.
5. (2024·北京·高考真题)已知x 1 ,y 1  ，x 2 ,y 2  是函数y=2x的图象上两个不同的点，则 ( )
y +y x +x y +y x +x
A. log 1 2 < 1 2 B. log 1 2 > 1 2
2 2 2 2 2 2
y +y y +y
C. log 1 2 <x +x D. log 1 2 >x +x
2 2 1 2 2 2 1 2
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【解析】由题意不妨设x <x ，因为函数y=2x是增函数，所以0<2x1<2x2，即0<y <y ，
1 2 1 2
对于选项AB：可得
2x1+2x2
> 2x1·2x2=2
x1+
2
x2，即 y
1
+y
2 >2
x1+
2
x2
>0，
2 2
根据函数y=log x是增函数，所以log
y
1
+y
2 >log 2
x1+
2
x2
=
x
1
+x
2 ，故B正确，A错误；
2 2 2 2 2
对于选项D：例如x =0,x =1，则y =1,y =2，
1 2 1 2
y +y 3
可得log 2 1 2 2 =log 22 ∈0,1 
y +y
，即log 1 2 <1=x +x ，故D错误； 2 2 1 2
1 1
对于选项C：例如x =-1,x =-2，则y = ,y = ，
1 2 1 2 2 4
y +y 3
可得log 2 1 2 2 =log 28 =log 2 3-3∈-2,-1 
y +y
，即log 1 2 >-3=x +x ，故C错误， 2 2 1 2
故选：B.
 1   1     
6. (2023·天津·高考真题)在△ABC中，BC=1，∠A=60°，AD= AB,CE= CD，记AB=a,AC=b，
2 2
    1   
用a,b表示AE= ；若BF= BC，则AE⋅AF的最大值为 ．
3
1  1  13
【答案】 a+ b
4 2 24
  
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用a,b表示出AF，结合上一空
   
答案，于是AE⋅AF可由a,b表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
  
   AE+ED=AD
【解析】空1：因为E为CD的中点，则ED+EC=0，可得

  ，
AE+EC=AC
  
两式相加，可得到2AE=AD+AC，
 1    1  1 
即2AE= a+b，则AE= a+ b；
2 4 2
数学试题 第 5 页 共 18 页  
 1     AF+FC=AC
空2：因为BF= BC，则2FB+FC=0，可得

   ，
3 AF+FB=AB
   
得到AF+FC+2AF+FB 
 
=AC+2AB，
    2  1 
即3AF=2a+b，即AF= a+ b.
3 3
  1  1 
于是AE⋅AF= a+ b
4 2

2  1 
⋅ a+ b
3 3

1    
= 2a2+5a⋅b+2b2
12
 .
记AB=x,AC=y，
  1    
则AE⋅AF= 2a2+5a⋅b+2b2
12

1
= 2x2+5xycos60°+2y2
12

1 5xy
= 2x2+ +2y2
12 2
 ，
在△ABC中，根据余弦定理：BC2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=1，
  1 5xy
于是AE⋅AF= 2xy+ +2
12 2

1 9xy
=  +2
12 2
 ，
由x2+y2-xy=1和基本不等式，x2+y2-xy=1≥2xy-xy=xy，
故xy≤1，当且仅当x=y=1取得等号，
 
13
则x=y=1时，AE⋅AF有最大值 .
24
1  1  13
故答案为： a+ b； .
4 2 24
cosA
7. (2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 =
1+sinA
sin2B
．
1+cos2B
2π
(1)若C= ，求B；
3
a2+b2
(2)求 的最小值．
c2
π
【答案】(1) ；
6
(2)4 2-5．
【分析】(1)方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法
π
三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知A+2B= 即可求解，方法四：根据半角
2
公式和两角差的正切公式化简后求解.
π π a2+b2
(2)由(1)知，C= +B，A= -2B，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成4cos2B+
2 2 c2
2
-5，然后利用基本不等式即可解出．
cos2B
【解析】(1)方法一：直接法
cosA sin2B
= 可得cosAcos2B+cosA=sin2B+sinAsin2B，
1+sinA 1+cos2B
则cosAcos2B-sinAsin2B+cosA=sin2B，即cos(A+2B)+cosA=sin2B，
π π
注意到A+B= ，于是cos +B
3 3

π
+cos -B
3
 =sin2B，
数学试题 第 6 页 共 18 页π 1
展开可得2cos cosB=2sinBcosB，则sinB= ，
3 2
π π
又0<B< ，B= .
3 6
方法二：二倍角公式处理+直接法
cosA sin2B 2sinBcosB sinB
因为 = = = ，
1+sinA 1+cos2B 2cos2B cosB
即sinB=cosAcosB-sinAsinB=cosA+B 
1
=-cosC= ，
2
π π
而0<B< ，所以B= ；
3 6
方法三：导数同构法
π
cos -2B
cosA sin2B cosA 2
根据 = 可知， =
1+sinA 1+cos2B 1+sinA

π
1+sin -2B
2

，
cosx π
设f(x)= 0<x<
1+sinx 2

-sinx(1+sinx)-cos2x 1
，f(x)= =- <0，
(1+sinx)2 1+sinx
π
则f(x)在0,
2

π
cos -2B
cosA 2
上单调递减， =
1+sinA

π
1+sin -2B
2

π
⇔f(A)=f -2B
2
 ，
π π π
故A+2B= ，结合A+B= ，解得B= .
2 3 6
方法四：恒等变换化简
A A
cos2 -sin2
cosA sin2B 2 2
= ⇔
1+sinA 1+cos2B A A
cos +sin
2 2

A A
cos -sin
2sinBcosB 2 2
= ⇔ =tanB
2 2cos2B A A
cos +sin
2 2
A
1-tan
2 π A
⇔ =tanB⇔tan -
A 4 2
1+tan
2
 =tanB，
π A π
结合正切函数的单调性， - =B，则A+2B= ，
4 2 2
π π
结合A+B= ，解得B= .
3 6
π π
(2)由(1)知，sinB=-cosC>0，所以 <C<π,0<B< ，
2 2
π
而sinB=-cosC=sinC-
2
 ，
π π π
所以C= +B，即有A= -2B，所以B∈0,
2 2 4

π 3π
,C∈ ,
2 4

a2+b2 sin2A+sin2B cos22B+1-cos2B
所以 = =
c2 sin2C cos2B
2cos2B-1
=
 2+1-cos2B 2
=4cos2B+ -5≥2 8-5=4 2-5．
cos2B cos2B
2 a2+b2
当且仅当cos2B= 时取等号，所以 的最小值为4 2-5．
2 c2
8. (2022·全国甲卷·高考真题)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当
AC
取得最小值时，BD= ．
AB
【答案】 3-1/-1+ 3
数学试题 第 7 页 共 18 页AC2
【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解.
AB2
【解析】[方法一]：余弦定理
设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD⋅ADcos∠ADB=m2+4+2m，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD⋅ADcos∠ADC=4m2+4-4m，
AC2 4m2+4-4m 4m2+4+2m
所以 = =
AB2 m2+4+2m
 -121+m  12
=4-
m2+4+2m
m+1 
3
+
m+1
12
≥4-
2 m+1 
=4-2 3，
3
⋅
m+1
3
当且仅当m+1= 即m= 3-1时，等号成立，
m+1
AC
所以当 取最小值时，m= 3-1.
AB
故答案为： 3-1.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C(2t,0)，A(1， 3)，B(-t,0)
AC2 2t-1
∴ =
AB2
 2+3
t+1 
4t2-4t+4 12
= =4-
2+3 t2+2t+4 t+1 
≥4-2 3
3 +
t+1
当且仅当t+1= 3,即BD= 3-1时等号成立。
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
c2=x2+4+2x


，∴2c2+b2=12+6x2，
b2=4+4x2-4x
c2=x2+4+2x


，∴2c2+b2=12+6x2，
b2=4+4x2-4x
AC
令 =t，则2c2+t2c2=12+6x2，
AB
12+6x2 12+6x2 2 ∴t2+2= = =6 1-
c2 x2+2x+4
x+1 

 3
+  x+1
 ≥6-2 3，
数学试题 第 8 页 共 18 页∴t2≥4-2 3，
3
当且仅当x+1= ，即x= 3-1时等号成立.
x+1
[方法四]：判别式法
设BD=x，则CD=2x
在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD⋅ADcos∠ADB=x2+4+2x，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD⋅ADcos∠ADC=4x2+4-4x，
AC2 4x2+4-4x 4x2+4-4x
所以 = ，记t= ，
AB2 x2+4+2x x2+4+2x
则4-t  x2-4+2t  x+4-4t  =0
由方程有解得：Δ=4+2t  2-44-t  4-4t  ≥0
即t2-8t+4≤0，解得：4-2 3≤t≤4+2 3
2+t
所以t =4-2 3，此时x= = 3-1
min 4-t
AC
所以当 取最小值时，x= 3-1，即BD= 3-1.
AB
1
9. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点0,
2
 的距离，记
动点P的轨迹为W．
(1)求W的方程；
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3 3．
1
【答案】(1)y=x2+
4
(2)见解析
1
【分析】(1)设P(x,y)，根据题意列出方程x2+y-
2

2
=y2，化简即可；
1
(2)法一：设矩形的三个顶点Aa,a2+
4

1
,Bb,b2+
4

1
,Cc,c2+
4
 ，且a<b<c，分别令k =a+
AB
1 1
b=m<0，k =b+c=n>0，且mn=-1，利用放缩法得 C≥n+
BC 2 n
 1+n2，设函数f(x)=
1
x+
x

2
1+x2  ，利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可.
1
法二：设直线AB的方程为y=k(x-a)+a2+ ，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法
4
得AB  +AD 
1+k2
≥
 3
，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.
k2
法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.
【解析】(1)设P(x,y),则y 
1
= x2+y-
2

2 1
，两边同平方化简得y=x2+ ，
4
1
故W:y=x2+ .
4
1
(2)法一：设矩形的三个顶点Aa,a2+
4

1
,Bb,b2+
4

1
,Cc,c2+
4
 在W上,
且a<b<c，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
1 1
b2+ -a2+
4 4
则k ⋅k =-1,a+b<0<b+c,令k =
AB BC AB

=a+b=m<0，
b-a
1
同理令k =b+c=n>0，且mn=-1，则m=- ，
BC n
数学试题 第 9 页 共 18 页1
设矩形周长为C,由对称性不妨设|m|≥|n|，k -k =c-a=n-m=n+ ，
BC AB n
1 1
则 C=|AB|+|BC|=(b-a) 1+m2+(c-b) 1+n2≥(c-a) 1+n2=n+
2 n
 1+n2，易知
1
n+
n
 1+n2>0
1
则令f(x)=x+
x

2
1+x2 
1
,x>0,f(x)=2x+
x

2 1
2x-
x
 ,
2
令f(x)=0，解得x= ，
2
2
当x∈0,
2
 时，f(x)<0，此时f(x)单调递减，
2 当x∈ ,1
2
 ，f(x)>0，此时f(x)单调递增，
2
则f(x) =f
min 2

27
= ，
4
1 27 3 3
故 C≥ = ,即C≥3 3.
2 4 2
2
当C=3 3时,n= ,m=- 2,且(b-a) 1+m2=(b-a) 1+n2，即m=n时等号成立，矛盾，故
2
C>3 3,
得证.
法二：不妨设A,B,D在W上，且BA⊥DA，
1
依题意可设Aa,a2+
4
 ，易知直线BA，DA的斜率均存在且不为0，
1
则设BA,DA的斜率分别为k和- ，由对称性，不妨设k
k
 ≤1，
1
直线AB的方程为y=k(x-a)+a2+ ，
4
1
y=x2+
 4
则联立 得x2-kx+ka-a2=0，
1
y=k(x-a)+a2+
4
Δ=k2-4ka-a2  =k-2a  2>0，则k≠2a
则|AB|= 1+k2|k-2a|，
1 1
同理|AD|= 1+  +2a
k2 k
 ，
1 1
∴|AB|+|AD|= 1+k2|k-2a|+ 1+  +2a
k2 k

≥ 1+k2 k-2a 
1
+ +2a
k
  
1
≥ 1+k2k+
k

1+k2
=
 3
k2
数学试题 第 10 页 共 18 页令k2=m，则m∈0,1 
(m+1)3 1
，设f(m)= =m2+3m+ +3，
m m
1 (2m-1)(m+1)2 1
则f(m)=2m+3- = ，令f(m)=0，解得m= ，
m2 m2 2
1
当m∈0,
2
 时，f(m)<0，此时f(m)单调递减，
1
当m∈ ,+∞
2
 ，f(m)>0，此时f(m)单调递增，
1
则f(m) =f
min 2

27
= ，
4
3 3
∴|AB|+|AD|≥ ，
2
1 1
但 1+k2|k-2a|+ 1+  +2a
k2 k

1
≥ 1+k2 |k-2a|+ +2a
k
   ，此处取等条件为k=1，与最终取
2
等时k= 不一致，故AB
2
 +AD 
3 3
> .
2
1
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动 个单位得抛物线W:y=x2,
4
矩形ABCD变换为矩形ABCD,则问题等价于矩形ABCD的周长大于3 3.
设 Bt 0 ,t2 0  ,At 1 ,t2 1  ,Ct 2 ,t2 2  , 根据对称性不妨设 t ≥0. 0
则 k AB =t 1 +t 0 ,k BC =t 2 +t 0 , 由于 AB⊥BC, 则 t 1 +t 0  t 2 +t 0  =-1.
由于 AB= 1+t 1 +t 0  2 t 1 -t 0,BC= 1+t 2 +t 0  2 t 2 -t 0, 且 t 0 介于 t 1 ,t 2 之间,
则 AB+BC= 1+t 1 +t 0  2 t 1 -t 0+ 1+t 2 +t 0  2 t 2 -t 0. 令 t 2 +t 0 =tanθ,
π
t +t =-cotθ,θ∈0,
1 0 2
 ,则t =tanθ-t ,t =-cotθ-t ,从而
2 0 1 0
AB+BC= 1+cot2θ2t 0 +cotθ  + 1+tan2θtanθ-2t 0 
1 1
故AB+BC=2t
0

sinθ
-
cosθ

sinθ cosθ 2t (cosθ-sinθ) sin3θ+cos3θ
+ + = 0 +
cos2θ sin2θ sinθcosθ sin2θcos2θ
π
①当θ∈0,
4
 时,
sin3θ+cos3θ sinθ cosθ 1 2
AB+BC≥ = + ≥2 =2 ≥2 2
sin2θcos2θ cos2θ sin2θ sinθcosθ sin2θ
π π
②当 θ∈ ,
4 2
 时,由于t <t <t ,从而-cotθ-t <t <tanθ-t ,
1 0 2 0 0 0
cotθ tanθ
从而- <t < 又t ≥0,
2 0 2 0
tanθ 2t (cosθ-sinθ) sin3θ+cos3θ
故0≤t
0
<
2
,由此AB+BC= 0
sinθcosθ
+
sin2θcos2θ
sinθ(cosθ-sinθ)(sinθcosθ) sin3θ+cos3θ 1 cosθ
> + = +
sin2θcos3θ sin2θcos2θ cosθ sin2θ
2 2
= =
sin2θsin2θ⋅2cos2θ 1-cos2θ  1-cos2θ  ⋅2cos2θ
2
≥
1-cos2θ  +1-cos2θ  +2cos2θ 
3

2
≥
3 2 
3

3 3
= ，
3 2
3
当且仅当cosθ= 时等号成立，故AB
3
 +BC 
3 3
> ，故矩形周长大于3 3.
2
数学试题 第 11 页 共 18 页.
1 1
【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得 C=|AB|+|BC|≥n+
2 n
 1+n2，同时为了
简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.
六 解不含参数的一元二次不等式
1. (2024·上海·高考真题)已知x∈R,则不等式x2-2x-3<0的解集为 ．
【答案】x|-1<x<3 
【分析】求出方程x2-2x-3=0的解后可求不等式的解集.
【解析】方程x2-2x-3=0的解为x=-1或x=3，
故不等式x2-2x-3<0的解集为x|-1<x<3  ，
故答案为：x|-1<x<3  .
2. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知集合M=-2,-1,0,1,2  ，N=xx2-x-6≥0  ，则M∩N= ( )
A. -2,-1,0,1  B. 0,1,2  C. -2  D. 2 
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【解析】方法一：因为N=xx2-x-6≥0  =-∞,-2  ∪3,+∞  ，而M=-2,-1,0,1,2  ，
所以M∩N=-2  ．
故选：C．
方法二：因为M=-2,-1,0,1,2  ，将-2,-1,0,1,2代入不等式x2-x-6≥0，只有-2使不等式成
立，所以M∩N=-2  ．
故选：C．
3. (2021·上海·高考真题)已知集合A={x|x2-x-2≥0}，B={x|x>-1}，则 ( )
A. A⊆B B. ∁ A⊆∁ B C. A∩B=ϕ D. A∪B=R
R R
【答案】D
【分析】先求解集合A中不等式，计算∁ A,∁ B，依次判断即可
R R
【解析】由题意，A={x|x2-x-2≥0}={x|(x-2)(x+1)≥0}={x|x≥2或x≤-1}
∴∁ A={x|-1<x<2}
R
由B={x|x>-1}∴∁ B={x|x≤-1}
R
∴A,B和∁ A,∁ B不存在包含关系，A∩B={x|x≥2},A∪B=R
R R
故选：D
4. (2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)记S 是公差不为0的等差数列a
n n
 的前n项和，若a =S ,a a =S ．
3 5 2 4 4
(1)求数列a
n
 的通项公式a ；
n
数学试题 第 12 页 共 18 页(2)求使S >a 成立的n的最小值．
n n
【答案】(1)a =2n-6；(2)7.
n
【分析】(1)由题意首先求得a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
3
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【解析】(1)由等差数列的性质可得：S =5a ，则：a =5a ,∴a =0，
5 3 3 3 3
设等差数列的公差为d，从而有：a 2 a 4 =a 3 -d  a 3 +d  =-d2，
S 4 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =a 3 -2d  +a 3 -d  +a 3 +a 3 +d  =-2d，
从而：-d2=-2d，由于公差不为零，故：d=2，
数列的通项公式为：a n =a 3 +n-3  d=2n-6.
(2)由数列的通项公式可得：a 1 =2-6=-4，则：S n =n×-4 
nn-1
+

×2=n2-5n， 2
则不等式S n >a n 即：n2-5n>2n-6，整理可得：n-1  n-6  >0，
解得：n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差
数列的有关公式并能灵活运用.
七 分式不等式
x-1
1. (2025·上海·高考真题)不等式 <0的解集为 ．
x-3
【答案】1,3 
【分析】转化为一元二次不等式x-1  x-3  <0，解出即可.
【解析】原不等式转化为x-1  x-3  <0，解得1<x<3，
则其解集为1,3  .
故答案为：1,3  .
x-4
2. (2025·全国二卷·高考真题)不等式 ≥2的解集是 ( )
x-1
A. {x∣-2≤x≤1} B. {x∣x≤-2} C. {x∣-2≤x<1} D. {x∣x>1}
【答案】C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
x-4 x+2 x+2
【解析】 ≥2即为 ≤0即
x-1 x-1
 x-1  ≤0 

，故-2≤x<1，
x-1≠0
故解集为-2,1  ，
故选：C.
2x+5
3. (2021·上海·高考真题)不等式 <1的解集为 .
x-2
【答案】(-7,2)
【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解．
2x+5 2x+5 x+7
【解析】 <1⇒ -1<0⇒ <0⇒(x+7)(x-2)<0⇒-7<x<2．
x-2 x-2 x-2
故答案为：(-7,2)．
八 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
1. (2025·天津·高考真题)若a,b∈R，对∀x∈[-2,2]，均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立，则2a+b
的最小值为
数学试题 第 13 页 共 18 页【答案】-4
1
【分析】先设t=2a+b，根据不等式的形式，为了消a可以取x=- ，得到t≥-4，验证t=-4时，a,b
2
是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【解析】设t=2a+b，原题转化为求t的最小值，
原不等式可化为对任意的-2≤x≤2，tx2+t-2a  x-a-1≤0，
1 1 1
不妨代入x=- ，得 t- t-2a
2 4 2
 -a-1≤0，得t≥-4，
当t=-4时，原不等式可化为-4x2+-4-2a  x-a-1≤0，
1
即- 2x+ a+1
2
  


2 1
+ a2≤0，
4
观察可知，当a=0时，-2x+1 
1
2≤0对-2≤x≤2一定成立，当且仅当x=- 取等号，
2
此时，a=0,b=-4，说明t=-4时，a,b均可取到，满足题意，
故t=2a+b的最小值为-4.
故答案为：-4
九 线性规划(拓展)(不做要求)
4x-3y-3≥0

1. (2024·全国甲卷·高考真题)若x,y满足约束条件x-2y-2≤0 ，则z=x-5y的最小值为 ( )
2x+6y-9≤0
1 5 7
A. B. 0 C. - D. -
2 2 2
【答案】D
【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.
4x-3y-3≥0

【解析】实数x,y满足x-2y-2≤0 ，作出可行域如图：
2x+6y-9≤0
1 1
由z=x-5y可得y= x- z，
5 5
1 1 1
即z的几何意义为y= x- z的截距的- ，
5 5 5
则该直线截距取最大值时，z有最小值，
1 1
此时直线y= x- z过点A，
5 5
3
联立  4x-3y-3=0 ，解得   x= 2 ，即A 3 ,1
2x+6y-9=0 2
y=1
 ，
3 7
则z = -5×1=- .
min 2 2
故选：D.
3x-2y≤3

2. (2023·全国甲卷·高考真题)若x，y满足约束条件-2x+3y≤3，设z=3x+2y的最大值为 ．
x+y≥1
【答案】15
【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.
【解析】作出可行域，如图，
数学试题 第 14 页 共 18 页3 z
由图可知，当目标函数y=- x+ 过点A时，z有最大值，
2 2
-2x+3y=3 x=3
由

可得

，即A(3,3),
3x-2y=3 y=3
所以z =3×3+2×3=15.
max
故答案为：15
x-3y≤-1

3. (2023·全国乙卷·高考真题)若x，y满足约束条件x+2y≤9 ，则z=2x-y的最大值为 .
3x+y≥7
【答案】8
【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.
【解析】作出可行域如下图所示：
z=2x-y，移项得y=2x-z，
x-3y=-1 x=5
联立有 ，解得 ，
 
x+2y=9 y=2
设A5,2  ，显然平移直线y=2x使其经过点A，此时截距-z最小，则z最大，
代入得z=8，
故答案为：8.
x-2≥0,

4. (2022·浙江·高考真题)若实数x，y满足约束条件2x+y-7≤0,则z=3x+4y的最大值是 ( )
x-y-2≤0,
A. 20 B. 18 C. 13 D. 6
【答案】B
【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.
【解析】不等式组对应的可行域如图所示：
数学试题 第 15 页 共 18 页当动直线3x+4y-z=0过A时z有最大值.
x=2 x=2
由  可得  ，故A2,3
2x+y-7=0 y=3
 ，
故z =3×2+4×3=18，
max
故选：B.
x+y≥2,

5. (2022·全国乙卷·高考真题)若x，y满足约束条件x+2y≤4 ,则z=2x-y的最大值是 ( )
y≥0,
A. -2 B. 4 C. 8 D. 12
【答案】C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
【解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数z=2x-y为y=2x-z，
上下平移直线y=2x-z，可得当直线过点4,0  时，直线截距最小，z最大，
所以z =2×4-0=8.
max
故选：C.
x+1≥0
 1
6. (2021·浙江·高考真题)若实数x，y满足约束条件x-y≤0 ，则z=x- y的最小值是 ( )
2
2x+3y-1≤0
3 1 1
A. -2 B. - C. - D.
2 2 10
【答案】B
【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为y=2x-2z，求出过可行域点，且斜率为2的直线在y轴
上截距的最大值即可.
数学试题 第 16 页 共 18 页x+1≥0

【解析】画出满足约束条件x-y≤0 的可行域，
2x+3y-1≤0
如下图所示：
1
目标函数z=x- y化为y=2x-2z，
2
x=-1 x=-1
由

，解得

，设A(-1,1)，
2x+3y-1=0 y=1
当直线y=2x-2z过A点时，
1 3
z=x- y取得最小值为- .
2 2
故选：B.
x+y≥4,

7. (2021·全国乙卷·高考真题)若x,y满足约束条件x-y≤2, 则z=3x+y的最小值为 ( )
y≤3,
A. 18 B. 10 C. 6 D. 4
【答案】C
【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为y=-3x+z，数形结合即可得解.
【解析】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
x+y=4
由  可得点A1,3
y=3
 ,
转换目标函数z=3x+y为y=-3x+z，
上下平移直线y=-3x+z，数形结合可得当直线过点A时,z取最小值，
此时z =3×1+3=6.
min
故选：C.
数学试题 第 17 页 共 18 页8. (2023·全国乙卷·高考真题)已知fx  =2x  +x-2  .
(1)求不等式fx  ≤6-x的解集；
f(x)≤y
(2)在直角坐标系xOy中，求不等式组

所确定的平面区域的面积.
x+y-6≤0
【答案】(1)[-2,2]；
(2)8.
【分析】(1)分段去绝对值符号求解不等式作答.
(2)作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.
3x-2, x>2

【解析】(1)依题意，f(x)= x+2, 0≤x≤2，


-3x+2, x<0
x>2 0≤x≤2 x<0
不等式f(x)≤6-x化为：

或

或

，
3x-2≤6-x x+2≤6-x -3x+2≤6-x
x>2 0≤x≤2 x<0
解

，得无解；解

，得0≤x≤2，解

，得-2≤x<0，因此-2
3x-2≤6-x x+2≤6-x -3x+2≤6-x
≤x≤2，
所以原不等式的解集为：[-2,2]
f(x)≤y
(2)作出不等式组

表示的平面区域，如图中阴影△ABC，
x+y-6≤0
y=-3x+2 y=x+2
由  ，解得A(-2,8)，由  , 解得C(2,4)，又B(0,2),D(0,6)，
x+y=6 x+y=6
1
所以△ABC的面积S = |BD|×x -x
△ABC 2 C A

1
= |6-2|×|2-(-2)|=8.
2
数学试题 第 18 页 共 18 页