文档内容
专题 03 等式与不等式、基本不等式及一元二次
不等式 9 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确
知识1 等式与 2025·北京 2022·新高考全国Ⅱ卷
不等式
（5年2考） 考点02利用不等式求值或取值范围
2022·上海
考点03 由基本不等式比较大小
2022·全国甲卷 2021·浙江
考点04 基本不等式求积的最大值
知识2 基本不
2021·新高考全国Ⅰ卷
等式
（5年5考） 考点05 基本不等式求和的最小值
1.对于不等式的性质，主要以应用
2025·上海 2024·北京2023·天津
的形式考查.
2023·新课标Ⅰ卷2022·新高考全国Ⅰ卷
2.关于基本不等式的考查，有两方
2022·全国甲卷2021·全国乙卷 2021·上海 2021·
面，一是具有一定综合性的独立
天津
考查；二是作为工具，在求最
考点06 解不含参数的一元二次不等式
值、范围问题中出现.
2024·上海 2023·新课标Ⅰ卷 2021·上海
2021·新高考全国Ⅱ卷
知识3 一元二
考点07 分式不等式
次不等式
2025·上海 2025·全国二卷 2021·上海
（5年4考）
考点08 一元二次不等式在某区间上的恒成立问
题
2025·天津
知识4 线性规 考点09 线性规划（拓展）
划（拓展，已 2024·全国甲卷 2023·全国甲卷 2023·全国乙卷
不做要求） 2022·浙江 2022·全国乙卷 2021·浙江
（5年4考） 2021·全国乙卷考点 01 由已知条件判断所给不等式是否正确
1．（2025·北京·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当 时， ，故A错误；
对于BD，取 ，此时 ，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得 ，故C正确.
故选：C.
2．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为 （ R），由 可变形为，
，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当
时， ，所以A错误，B正确；
由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所
以C正确；
因为 变形可得 ，设 ，所以，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D错误．
故选：BC．
考点 02 利用不等式求值或取值范围
3．（2022·上海·高考真题） ， ，则 的最小值是 .
【答案】 /
【分析】分析可得 ，利用不等式的基本性质可求得 的最小值.
【详解】设 ，则 ，解得 ，
所以， ，
因此， 的最小值是 .
故答案为： .
考点 03 由基本不等式比较大小
4．（2021·浙江·高考真题）已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，
大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得 ，从而可判断三个代数式不
可能均大于 ，再结合特例可得三式中大于 的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注
意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
5．（2022·全国甲卷·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式
可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
考点 04 基本不等式求积的最大值
6．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即
可得到答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
考点 05 基本不等式求和的最小值
7．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出 不符合题意， 符合题意．
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
8．（2021·上海·高考真题）已知函数 的最小值为 ，则 .
【答案】
【分析】配方得 ，结合基本不等式即可求解
【详解】 ，当且仅当 时等号满足，
故答案为：9
9．（2025·上海·高考真题）设 ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将 展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知 ，
当且仅当 ，即 时取得最小值.
故答案为：4
10．（2021·天津·高考真题）若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】 ，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
11．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ，
对于选项AB：可得 ，即 ，
根据函数 是增函数，所以 ，故B正确，A错误；
对于选项D：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故D错误；
对于选项C：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故C错误，
故选：B.
12．（2023·天津·高考真题）在 中， ， ，记 ，
用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合 为 的中点进行求解；空2：用 表示出 ，结合上一
空答案，于是 可由 表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；
空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .
13．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，
方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知 即可求解，方法四：根
据半角公式和两角差的正切公式化简后求解.
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成
，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）方法一：直接法
可得 ，
则 ，即 ，
注意到 ，于是 ，
展开可得 ，则 ，
又 ， .
方法二：二倍角公式处理+直接法
因为 ，
即 ，
而 ，所以 ；
方法三：导数同构法
根据 可知， ，
设 ， ，则 在 上单调递减， ，
故 ，结合 ，解得 .
方法四：恒等变换化简
，
结合正切函数的单调性， ，则 ，
结合 ，解得 .
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
14．（2022·全国甲卷·高考真题）已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ．
【答案】 /
【分析】设 ，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设 ，则在 中， ，
在 中， ，
所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 取最小值时， .
故答案为： .
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1， ），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
， ，
， ，令 ，则 ，
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
[方法四]：判别式法
设 ，则
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，记 ，
则
由方程有解得：
即 ，解得：
所以 ，此时
所以当 取最小值时， ，即 .
15．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，
记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）设 ，根据题意列出方程 ，化简即可；
（2）法一：设矩形的三个顶点 ，且 ，分别令， ，且 ，利用放缩法得 ，设函数
，利用导数求出其最小值，则得 的最小值，再排除边界值即可.
法二：设直线 的方程为 ，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得
，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.
法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.
【详解】（1）设 ,则 ，两边同平方化简得 ，
故 .
（2）法一：设矩形的三个顶点 在 上,且 ，易知矩形四条
边所在直线的斜率均存在，且不为0，
则 ,令 ，
同理令 ，且 ，则 ，
设矩形周长为 ,由对称性不妨设 ， ，
则 ，易知
则令 ,
令 ，解得 ，当 时， ，此时 单调递减，
当 ， ，此时 单调递增，
则 ，
故 ,即 .
当 时, ,且 ，即 时等号成立，矛盾，故 ,
得证.
法二：不妨设 在 上，且 ，
依题意可设 ，易知直线 ， 的斜率均存在且不为0，
则设 , 的斜率分别为 和 ，由对称性，不妨设 ，
直线 的方程为 ，
则联立 得 ，
，则
则 ，
同理 ，令 ，则 ，设 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，此时 单调递减，
当 ， ，此时 单调递增，
则 ，
，
但 ，此处取等条件为 ，与最终取等时
不一致，故 .
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动 个单位得抛物线 ,
矩形 变换为矩形 ,则问题等价于矩形 的周长大于 .
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .
由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则 ,从而
故
①当 时,②当 时,由于 ,从而 ,
从而 又 ,
故 ,由此
，
当且仅当 时等号成立，故 ，故矩形周长大于 .
.
【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得 ，同时为了简便
运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.
考点 06 解不含参数的一元二次不等式
16．（2024·上海·高考真题）已知 则不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】求出方程 的解后可求不等式的解集.
【详解】方程 的解为 或 ，
故不等式 的解集为 ，
故答案为： .
17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 ，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为 ，而 ，
所以 ．
故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以
．
故选：C．
18．（2021·上海·高考真题）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x|x ﹣1}，则（ ）
A．A⊆B B． C．A∩B＝ D．A∪B＝R
【答案】D
【分析】先求解集合 中不等式，计算 ，依次判断即可
【详解】由题意， 或
由
和 不存在包含关系，
故选：D
19．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若
．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数
列的有关公式并能灵活运用.
考点 07 分式不等式
20．（2025·上海·高考真题）不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】转化为一元二次不等式 ，解出即可.
【详解】原不等式转化为 ，解得 ，
则其解集为 .
故答案为： .
21．（2025·全国二卷·高考真题）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】 即为 即 ，故 ，
故解集为 ，
故选：C.
22．（2021·上海·高考真题）不等式 的解集为 .
【答案】
【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解．
【详解】 ．
故答案为： ．考点 08 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
23．（2025·天津·高考真题）若 ，对 ，均有 恒成立，则 的
最小值为
【答案】
【分析】先设 ，根据不等式的形式，为了消 可以取 ，得到 ，验证 时， 是
否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【详解】设 ，原题转化为求 的最小值，
原不等式可化为对任意的 ， ，
不妨代入 ，得 ，得 ，
当 时，原不等式可化为 ，
即 ，
观察可知，当 时， 对 一定成立，当且仅当 取等号，
此时， ，说明 时， 均可取到，满足题意，
故 的最小值为 .
故答案为：
考点 09 线性规划（拓展）（不做要求）
24．（2024·全国甲卷·高考真题）若 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出可行域后，利用 的几何意义计算即可得.
【详解】实数 满足 ，作出可行域如图：由 可得 ，
即 的几何意义为 的截距的 ，
则该直线截距取最大值时， 有最小值，
此时直线 过点 ，
联立 ，解得 ，即 ，
则 .
故选：D.
25．（2023·全国甲卷·高考真题）若x，y满足约束条件 ，设 的最大值为
．
【答案】15
【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.
【详解】作出可行域，如图，
由图可知，当目标函数 过点 时， 有最大值，
由 可得 ，即 ,
所以 .
故答案为：15
26．（2023·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为 .
【答案】8
【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：
，移项得 ，
联立有 ，解得 ，
设 ，显然平移直线 使其经过点 ，此时截距 最小，则 最大，
代入得 ，
故答案为：8.
27．（2022·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件 则 的最大值是（ ）
A．20 B．18 C．13 D．6
【答案】B
【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线 后可求最大值.
【详解】不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线 过 时 有最大值.
由 可得 ，故 ，故 ，
故选：B.
28．（2022·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件 则 的最大值是（ ）
A． B．4 C．8 D．12
【答案】C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数 为 ，
上下平移直线 ，可得当直线过点 时，直线截距最小，z最大，
所以 .
故选：C.
29．（2021·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为 ，求出过可行域点，且斜率为 的直线在 轴
上截距的最大值即可.
【详解】画出满足约束条件 的可行域，
如下图所示：目标函数 化为 ，
由 ，解得 ，设 ，
当直线 过 点时，
取得最小值为 .
故选：B.
30．（2021·全国乙卷·高考真题）若 满足约束条件 则 的最小值为（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为 ，数形结合即可得解.
【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由 可得点 ,
转换目标函数 为 ，上下平移直线 ，数形结合可得当直线过点 时, 取最小值，
此时 .
故选：C.
31．（2023·全国乙卷·高考真题）已知 .
(1)求不等式 的解集；
(2)在直角坐标系 中，求不等式组 所确定的平面区域的面积.
【答案】(1) ；
(2)8.
【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.
（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.
【详解】（1）依题意， ，
不等式 化为： 或 或 ，
解 ，得无解；解 ，得 ，解 ，得 ，因此
，
所以原不等式的解集为：
（2）作出不等式组 表示的平面区域，如图中阴影 ，
由 ，解得 ，由 , 解得 ，又 ，
所以 的面积 .
