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◎◎◎◎◎◎章末复习◎◎◎◎◎◎
1. 知识系统整合
2. 规律方法收藏
1．比较数(式)的大小
依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.
适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．
2．利用基本不等式证明不等式
(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．
(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已
知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得
所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．
3．利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．
即：①x，y都是正数．
②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．
③x与y必须能够相等(等号能够取到)．
(2)构造定值条件的常用技巧
①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．
4．解一元二次不等式的步骤
当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的
一般步骤如下：
(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；
(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；
(3)由图象写出不等式的解集．
特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格
不等关系及Δ＝0时的特殊情况．
(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时
图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解．
5．一元二次不等式的实际应用
不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、
最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解
题的一般步骤是：
(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题．
(2)简化假设：精选问题中的关键变量．
(3)列出关系式：建立变量间的不等关系式．
(4)求解：运用数学知识解相应不等式．(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给
出问题的答案．
3 学科思想培优
一、常数代换法
1 4
【典例1】已知正数x，y满足x+y＝1，则 + 的最小值为（ ）
x 1+ y
14 9
A．5 B． C． D．2
3 2
【答案】C
【解析】∵x+y＝1，所以，x+（1+y）＝2，
1 4 1 4 4x 1+ y √ 4x 1+ y
则2( + )=[x+(1+ y)]( + )= + +5≥2❑ ⋅ +5=9，
x 1+ y x 1+ y 1+ y x 1+ y x
1 4 9
所以， + ≥ ，
x 1+ y 2
2
当且仅当 { 4x = 1+ y ) ，即当 {x= 3 ) 时，等号成立，
1+ y x
1
x+ y=1 y=
3
1 4 9
因此， + 的最小值为 ，故选：C．
x 1+ y 2
二、消元法
y2
【典例2】设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z＝0，则 的最小值是 ．
xz
【答案】3
x+3z
【解析】∵x﹣2y+3z＝0，∴y= ，
2
y2 x2+9z2+6xz 6xz+6xz
∴ = ≥ =3，当且仅当x＝3z时取“＝”．
xz 4xz 4xz故答案为3．
三、配凑法
1．从和或积为定值的角度入手配凑
某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出
这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合
律等常规运算和技巧．
【典例3】设x>0，y>0，x2＋ ＝1，求 的最大值．
【解析】∵x>0，y>0，x2与 的和为定值，
∴ ＝ ＝ ，当且仅当 ，
即 时取等号，即 的最大值为 .
【典例4】已知x，y，z为正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，求(x＋y)(y＋z)的最小值．
【解析】由条件得x＋y＋z＝ ，则(x＋y)(y＋z)＝xy＋xz＋y2＋yz＝y(x＋y＋z)＋xz＝y·
＋xz＝ ＋xz≥2，当且仅当 ＝xz，即xz＝1时取等号，故(x＋y)(y＋z)的最小值
为2.
【典例5】设a ，a ，a ，…，a 均为正实数，求证： ≥a ＋a
1 2 3 n 1 2
＋a ＋…＋a .
3 n
【解析】为了约去 中的分母，可考虑配上一项 a ，于是有 ＋a ≥2a ， ＋
k＋1 2 1
a ≥2a ，… ＋a ≥2a ， ＋a ≥2a ，当且仅当a ＝a ＝…＝a 时取等号．以
3 2 n n－1 1 n 1 2 n
上不等式相加，化简，可得原不等式成立．2．从取等号的条件入手配凑
在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配
凑．
【典例6】设a，b，c＞0，a＋b＋c＝1，求 的最大值．
【解析】 ， .
以上三式相加，并利用 a＋b＋c＝1，得 ( )≤6，故
的最大值为3 .
四、判别式法在“三个二次”问题中的应用
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二
次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”
问题中的重要性．
1．求变量的取值范围
【典例7】不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值
范围．
【解析】(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立．
①若m2－2m－3＝0，则m＝－1或m＝3.
当m＝－1时，不符合题意；当m＝3时，符合题意．
②若m2－2m－3≠0，设y＝(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立．
则m2－2m－3<0，Δ＝b2－4ac＝5m2－14m－3<0，
解得－ 0恒成立．
【解析】不等式可变形为y2＋2xy＋2x2－4x＋5>0，将不等式左边看作关于y的二次函
数，令z＝y2＋2xy＋2x2－4x＋5，则关于y的一元二次方程y2＋2xy＋2x2－4x＋5＝0的
根的判别式Δ＝4x2－4(2x2－4x＋5)＝－4(x－2)2－4<0，即Δ<0.则对于二次函数z＝y2＋
2xy＋2x2－4x＋5，其图象开口向上，且在x轴上方，所以z>0恒成立，即2x2＋2xy＋y2
－4x＋5>0恒成立．
五、含变量的不等式恒成立问题
【典例10】对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x
的取值范围．
【解析】原不等式可化为x2＋px－4x－p＋3＞0，
令y＝x2＋px－4x－p＋3
＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．
题设得 解得x＞3或x＜－1.
故x的取值范围是x<－1或x>3.
