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专题 02 预备知识二：集合间的基本关系
1、理解集合之间的包含与相等的含义；
2、能识别给定集合的子集，了解空集含义
3、能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换
1、子集、空集与Venn图
1.1子集的定义：
一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，我们就说这两个集合
有包含关系，称集合 为集合 的 子集，记作 （或 ），读作“ 包含于 ”（或“
包含 ”）。
1.2 Venn图：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为 图。则上述集合 和集合
的包含关系，可以用如下 图表示：
要点说明：
①子集的定义可以理解为：若任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B.这可以作为证明A⊆B的方法；
②规定：空集是任何集合的子集；
③任何一个集合是它本身的子集，记作A A；
④包含关系具有传递性，即若A B，且B C，则A C；
⑤集合 是集合 的子集不能理解为集合 是由集合 中的“部分元素”组成的，因为集合 可能
是空集，也可能是集合 ．
⑥注意符号“ ”与“ ”的区别：“ ”只用于集合与 集合之间，如{0} N，而不能写成{0} N；“
”只能用于元素与集合之间，如0 N，而不能写成0 N．
2、集合的相等
如果集合 是集合 的子集（ ），且集合 是集合 的子集（ ），此时，集合 与集合
中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 。
要点说明：
①若 且 ，则 ；反之，如果 ，则 且 。这就给出了我们证明两个
集合全等的方法，即预证 ，只需证 且 都成立即可；
②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关；
③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。
④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；
⑤集合中的关系与实数中的结论类比
实数 集合
包含两层含义： ，或 A B包含两层含义： ，或
若 ，且 ，则 若A B，且A B，则A＝B
若 ， ，则 若A B，B C，则A C
3、真子集
真子集（proper subset）：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合B的真
子集，记作 （或 ）.读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”.
要点说明：
理解真子集的定义要注意一下几点：
①空集是任何非空集合的真子集；
②对于集合A，B，C，如果 ， ，那么 ；
③若 ，则 与 有两种可能的关系：即 或 ；
4、空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；
要点说明：
空集的性质：
①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即A≠∅；
③空集是任何非空集合的真子集，即若∅⊆A，则 ，反之也成立。
④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集；
对点特训一：判断集合子集（真子集）个数
典型例题
例题1．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）集合 的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
例题2．（23-24高一上·山东·阶段练习）满足 的集合M的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
精练
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1．（2020·广东梅州·模拟预测）已知集合 ， ，则 的子集个数为
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）集合 的子集个数为 ．
对点特训二：求集合子集（真子集）
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合 的一个子集是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足
的集合 有（ ）
A． B． C． D．
精练
1．（23-24高三上·四川·期末）集合 的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合M满足 ⫋ ，则这样的集合M
可能为（ ）
A． B． C． D．
对点特训三：判断集合的包含关系
典型例题
例题1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． ⫋
C． ⫋ D．
例题2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 ， ，则正
确表示 与 的关系的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司精练
1．（2024·广东·一模）已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合 ，则有（ ）
A． B． C． D．
对点特训四：根据集合的包含关系求参数
典型例题
例题1．（2024·青海西宁·二模）设集合 ,若 ,则 （ ）
A． B． C．1 D．3
例题2．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合 ， ，若 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
精练
1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合 ， ，若 ，则实数 （ ）
A． B．0 C． D．1
2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合 ， ．若 ，则实数 的取值集合为
．
对点特训五：判断两个集合是否相等
典型例题
例题1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
例题2．（23-24高一上·上海·期中） 是有理数集，集合 ，在下列集合中：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司① ；② ；
③ ；④ ．
与集合 相等的集合序号是 .
精练
1．（23-24高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A． 整数 ， 整数集
B． ，
C． ，
D． ，
2．（多选）（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（ ）
A．
B．
C．
D．
对点特训六：根据两个集合相等求参数
典型例题
例题1．（2024·云南大理·模拟预测）已知 ，其中 ，则 （ ）
A．0 B． 或 C． D．
例题2．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合 ， ，且 ，则实数
．
精练
1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合 ，其中 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
2．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合 ，若 ，则c的值为 .
对点特训七：空集
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司典型例题
例题1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：① ；② ；③
；④ ；⑤ ；⑥ 其中不正确的是（ ）
A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④
例题2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合 是任何集合的子集，则a
的取值范围值是 .
精练
1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合 ，则实数a的值的集合为
．
一、单选题
1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合 ，则下列表述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·云南贵州·二模）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东广州·一模）设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合 和 关系
的是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司C． D．
5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合 ，则下列选项中正确的是
（ ）
A． ⫋ B． ⫌ C． D．
6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集 ，集合 ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·二模）已知集合 ， ，若 ，则满足集合 的个数为
（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
8．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若集合 有15个真子集，则实数m的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）下列集合中，与集合 相等的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）若集合 恰有两个子集，则 的值可能是
（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
三、填空题
11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合 ， ，且 ．则实数
的取值范围为 ．
12．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为
.
四、解答题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司13．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合
(1)若 是空集，求 的取值范围
(2)若 中只有一个元素，求 的值并把这个元素写出来
14．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）设集合 且满足① ;②若 ，则 .
(1) 能否为单元素集合，为什么?
(2)求出只含有两个元素的集合 ；
(3)满足题设条件的集合 共有几个?能否列出来?
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