专题06直线的方程（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习_专题06直线的方程-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题06 直线的方程 一、单选题 2x y 2 1．（2019·四川省成都七中高二期中（理））直线 在x轴上的截距为（ ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】A 【解析】 2x y 2 y 0 x1 由直线 ，令 可得 . 2x y 2 1 所以直线 在x轴上的截距为 . 故选：A 1,0 2．（2019·浙江省杭州第二中学高二期中）经过点 ，且斜率为2的直线方程为（ ） 2x y20 2x y20 A． B． x2y20 2x y20 C． D． 【答案】B 【解析】 y02(x1)2x y20 由直线的点斜式方程得： . 故选：B.   3,3 0,4 3．（2019·江苏省扬州中学高一期中）若直线过点 和点 ，则该直线的方程为( ) 3 3 y  x4 y  x4 A． 3 B． 3 3 y  x2 C．y  3x6 D． 3 【答案】A 【解析】  3,3 0,4 （法一）因为直线过点 和点 ， 34 30 3  所以直线的方程为 y4 x0 ，整理得y  x4； 3 3 （法二）因为直线过点  3,3  和点 0,4 ，所以直线的斜率为 k  3 ， 3 3 y4 x y  x4 所以直线的方程为 3 ，整理得 3 ； 故选：A． A(1,4) x 4．（2019·泉州市泉港区第一中学高二月考）经过点 且在 轴上的截距为3的直线方程是 （ ）. x y30 x y3 0 x y30 x y30 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 A(1,4) 3,0 由题意知,所求直线经过点 ,点 ， 40 k  1 代入直线的斜率公式可得, 13 , y41x1 所以所求的直线方程为 , x y30 化简可得, . 故选:C 1,2 l 5．（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三期末（理））已知直线 过点 ，且在纵坐标轴上的截距为横 坐标轴上的截距的两倍，则直线l的方程为（ ） 2x y 0 2x y40 A． B． 2x y 0 x2y20 2x y 0 2x y40 C． 或 D． 或【答案】D 【解析】 l 根据题意，直线 分2种情况讨论： 1,2 y 2x 2x y 0 ①当直线过原点时，又由直线经过点 ，所求直线方程为 ，整理为 ， x y 1 2  1 1,2  1 ②当直线不过原点时，设直线l的方程为a 2a ，代入点 的坐标得a 2a ，解得a2，此 x y  1 时直线l的方程为2 4 ，整理为2x y40． l 2x y 0 2x y40 故直线 的方程为 或 . 故选：D． l:ax y20 x y a 6．（2019·浙江省杭州高级中学高二期末）已知直线 在 轴和 轴上的截距相等，则 的 值是（ ） A．1 B．-1 C．-2 D．2 【答案】A 【解析】 x y  1 2 2 2 由题意得，直线的截距式方程为 ，所以 2a1，故选A． a a ax+by+c=0 7．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）直线 同时要经过第一、第二、第四象限，则 a,b,c 应满足（ ） ab0,bc0 ab0,bc0 ab0,bc0 ab0,bc0 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】a c  0  0 因为直线过第一、第二、第四象限，故 b 且 b ，故ab0且bc0，故选A. a axbyc0  a2 b2 0  k  b0 点睛：直线方程的一般式为 ，我们可从中得到直线的斜率为 b c c   （当b0时，直线的斜率不存在），横截距为 a （a0时），纵截距为 b （b≠0时）. 4  8．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）下列直线中，斜率为 3 ，且经过第一象限的是（ ） 3x4y70 4x3y70 4x3y420 4x4y420 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 4  由直线的斜率为 3 ，故可排除A，D 7 7  , 又B中直线4x3y70在x,y轴的截距分别为 4 3 ，故不经过第一象限，排除B 故选：C A(1，2) 9．（2020·六盘山高级中学高三期末（文））过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线 方程为（ ） x y10 x y30 A． B． 2x y 0 0,4 2x y 0 x y10 C． 或 D． 或 【答案】D 【解析】 易知斜率不存在时不满足； 2 2k 10 设直线方程为y k(x1)2，则截距和为： k 解得k 1或k 2yx1 y 2x 故直线方程为： 和 故选：D 10．（2020·重庆市第十一中学校高三月考（文））下列说法正确的是( ) x y  1 A．截距相等的直线都可以用方程a a 表示 xmy20 mR x B．方程 （ ）能表示平行于 轴的直线 P(1,1)  y1tan(x1) C．经过点 ，倾斜角为 的直线方程为 P(x ,y ) P(x ,y ) (y  y )(xx )(x x )(y y )0 D．经过两点 1 1 1 ， 2 2 2 的直线方程 2 1 1 2 1 1 【答案】D 【解析】 x y  1 A. 当截距为零时不能用方程a a 表示，A错误； xmy20 mR x B B. 方程 （ ）不能表示平行于 轴的直线， 错误；  C. 倾斜角为 2 时不成立，C错误； P(x ,y ) P(x ,y ) (y  y )(xx )(x x )(y y )0 D D. 经过两点 1 1 1 ， 2 2 2 的直线方程 2 1 1 2 1 1 ，代入验证知 正 确； 故选：D. 二、多选题 11．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）下列说法不正确的是（ ） y y 1 k A． xx 不能表示过点M(x ,y )且斜率为k的直线方程； 1 1 1 x y  1 B．在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线方程为a b ；ykxb y b C．直线 与 轴的交点到原点的距离为 ； D．平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示. 【答案】BCD 【解析】 y y 1 k 由于 xx 定义域为x x ，故不过点M(x ,y )，故A选项正确； 1 1 1 1 x y  1 当a=b=0时，在x轴、y轴上的截距分别为0的直线不可用a b 表示，故B不正确； ykxb y (0,b) |b| 直线 与 轴的交点为 ，到原点的距离为 ，故C不正确； 平面内斜率不存在的直线不可用斜截式表示. 故选：BCD 12．（2020·广东省高一期末）下列说法中，正确的有（ ） A．直线y＝ax﹣3a+2 （a∈R）必过定点（3，2） B．直线y＝3x﹣2 在y轴上的截距为2  3 C．直线x y+1＝0 的倾斜角为30° D．点（5，﹣3）到直线x+2＝0的距离为7 【答案】ACD 【解析】 y ax32 3,2 对A,化简得直线 ,故定点为 .故A正确. y3x2 y 2 对B, 在 轴上的截距为 .故B错误. 3 3 tan ,0，180 对C,直线x 3y10的斜率为 3 ,故倾斜角满足 3 , 30 即 .故C正确. 5,3 527 x2 x x2 对D, 因为直线 垂直于 轴,故 到 的距离为 .故D正确. 故选：ACD.A1,2 l 13．（2019·山东省高二期中）若直线过点 ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 方程可 能为（ ） x y10 x y30 A． B． 2x y 0 x y10 C． D． 【答案】ABC 【解析】 20 k  2 当直线经过原点时，斜率为 10 ，所求的直线方程为y=2x，即2x y 0； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k， x y10 x y30 求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为 ，或 ； 2x y 0 x y10 x y30 综上知，所求的直线方程为 、 ，或 ． 故选：ABC． 三、填空题 14．（2018·浙江省巴彦淖尔中学高二期中）直线 的倾斜角为_______；在 轴上的截距为 _________. 【答案】 【解析】 由斜截式方程可知，直线 的斜率为1， 设倾斜角为 ，则 ， 由 可得 ； 令 ， 所以，直线 在 轴上的截距为 ， 故答案为 ， . (3,4) 15．（2020·江苏省扬州中学高一月考）经过点 且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________. 4x3y0 x y70 【答案】 或 【解析】 由题,若截距不为0, x y  1 设直线方程为a a , 3 4  1 因为点(3,4)在直线上,所以a a ,所以a7, x y  1 所以直线方程为7 7 ,即x y70. ykx 若截距为0,设直线方程为 , 4 k  因为点(3,4)在直线上,所以43k,所以 3 , 4 y  x 所以直线方程为 3 ,即4x3y0. x y70 4x3y0 故答案为: 或 16．（2018·山西省山西实验中学高二期中）经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（写出 一般式）___． 【答案】x+y-5=0 或2x-3y=0 【解析】 当直线经过原点时，设方程为y＝kx， 2  ∵直线经过点P（3，2），∴2＝3k，解之得k 3， 2  此时的直线方程为y 3x，即2x﹣3y＝0； 当直线不经过原点时，设方程为x+y+c＝0，将点P（3，2）代入，得3+2+c＝0，解之得c＝﹣5，此时的直线方程为x+y﹣5＝0． 综上所述，满足条件的直线方程为：2x﹣3y＝0或x+y﹣5＝0． 故答案为：x+y-5=0 或2x-3y=0． 17．（2019·江苏省扬州中学高一期中）已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且 满足a＝3b，则直线l的方程为________. 【答案】x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0 【解析】 若a＝3b＝0，则直线过原点(0，0)， 1 k  此时直线斜率 2，直线方程为x＋2y＝0. x y  1 若a＝3b≠0，设直线方程为a b ， x y  1 即3b b ， 1 b 由于点P(2，－1)在直线上，所以 3， 从而直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0. 故答案为：x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0. 四、解答题 A2,3 x 3y10 18．（2018·河北省高一期末（文））已知直线l经过点 ，并且其倾斜角等于直线 的倾斜角的2倍.求直线l的方程. 3x y32 3 0 【答案】 【解析】 1 因为直线x 3y10的斜率为 3 ， 所以其倾斜角为30°， 3 所以，所求直线的倾斜角为60°故所求直线的斜率为 ，A2,3 又所求直线经过点 ， y3 3(x2) 所以其方程为 ， 3x y32 3 0 即 ， 3x y32 3 0 故答案为： . (0,2) 60 19．（2018·金华市云富高级中学高一月考）已知直线l经过点 ，其倾斜角为 . (1)求直线l的方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积. 2 3 【答案】(1) y  3x2 (2) 3 【解析】 tan60 3 （1）因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率为 ， y  3x2 因为直线过点（0，-2），根据直线方程的斜截式或点斜式可知直线方程为 2 3 y 0,x （2）在直线方程中令x0,y 2，令 3 ， 1 2 3 2 3 S  2  . 根据三角形的面积公式可知 2 3 3 A(2,2) 1 20．（浙江省高二）求经过点 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是 的直线方程. x2y20 2x y+20 【答案】 或 【解析】 1 ab 1  2  设直线方程为 x y ，则 2 2 ，   1  1 a b  a ba2 a1   解得 b1 或 b2， x2y20 2x y+20 故所求的直线方程为： 或 . 21．（2019·吉林省长春外国语学校高二期中（文））求适合下列条件的直线方程： 1  （1）过点A(﹣1，﹣3)，斜率是直线y＝3x的斜率的 4 倍； P(3，2) （2）经过点 且在两坐标轴上的截距相等． 3x4y15＝0 2x﹣3y＝0 x y5＝0 【答案】（1） （2） 或 【解析】 1 3 k  3 (1)设所求直线的斜率为k，依题意 4 4． A(1,3) 又直线经过点 ， 3 y3 (x1) 因此所求直线方程为 4 ，即3x4y150． l x,y a (2)设直线 在 轴上的截距均为 ， a0 l (0，0) (3，2) 若 ，即 过点 和 ， 2 y  x ∴l的方程为 3 ，即2x3y 0． x y  1 若a0，则设l的方程为a a ， l (3，2) ∵ 过点 ， 3 2  1 ∴a a ，∴a5， l x y50 ∴ 的方程为 ， l 2x3y＝0 x y50 综上可知，直线 的方程为 或 ． l 22．（2019·嘉兴市第三中学高二月考）已知P（3，2），一直线 过点P， l l ①若直线 在两坐标轴上截距之和为12，求直线 的方程； l OAB l ②若直线 与x、y轴正半轴交于A、B两点，当 面积为12时求直线 的方程． 【答案】①2x+y-8=0或x+3y-9=0；②2x+3y-12=0 【解析】 2 （1）设直线l：y-2=k（x-3）,令x=0得y="2-3k," 令y=0得x=3-k ． 2 1  所以，（3-k ）+（2-3k）=12得k 3 或k＝﹣2． 故所求直线方程为2x+y-8=0或x+3y-9=0． 2  （2）∵直线l与x、y轴交于正半轴，∴﹣3k+2＞0， k 3＞0， 1 2 2   ∴2 （﹣3k+2）（ k 3）＝12，解得k 3． l 直线 的方程为2x+3y-12=0． P(2,1) 23．（2019·浙江省宁波市鄞州中学高一期中）过点 作直线l分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于 A，B两点. |OA||OB| （1）当 取最小值时，求出最小值及直线l的方程； |PA||PB| （2）当 取最小值时，求出最小值及直线l的方程.8 x2y40 x y30 【答案】(1)最小值为 ,直线l的方程为 ;(2)最小值为4,直线l的方程为 . 【解析】 x y  1(a0,b0) (1)根据题意可设直线l的方程为a b ,则A(a,0),B(0,b), P(2,1)  直线l过点 , 2 1   1(a0,b0) a b , 2 1 2 2 1  2  又a b ab (当且仅当 a b ,即a4,b2时取等号), 2 2 1 ab ,即 ab8 , |OA||OB|=ab x2y40 的最小值为8,此时直线l的方程为 ; 2 1  1 (2)由(1)可知a b , a b 0 a2 ,则a2, |PA||PB|= (a2)2 1 4(b1)2 a = (a2)2 1 4( 1)2 a2 4 = (a2)2 1 4 (a2)2 1 =2 (a2)2  2 (a2)21 (a2)2= 2 22 4(当且仅当 (a2)2 ,即a3时取等号). |PA||PB| x y30 的最小值为4,此时直线l的方程为 .