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专题 01 预备知识一：集合的概念
1、通过具体的实例，能根据集合中元素的确定性、互异性和无序性判断某些元素的全体是否能组成集合，
发展数学抽象素养.
2、知道元素与集合之间的关系，会用符号“ ”“ ”表示元素与集合的关系，能用常用数集的符号表
示有关集合.
3、会根据具体问题的条件，用列举法表示给定的集合；能概括给定数学对象的一般特征，并用描述法表
示集合，提高语言转换和抽象概括能力，增强用集合表示数学对象的意识，发展数学抽象素养.
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母 …表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母 …表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这
个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互
异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
3．元素与集合的关系
(1)属于：如果 是集合 的元素，就说 属于集合 ，记作 ．
(2)不属于：如果 不是集合 的元素，就说 不属于集合 ，记作 ．
4．常用的数集及其记法
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
数学符合
或
5．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司6．描述法
(1)定义：一般地，设 表示一个集合，把集合 中所有具有共同特征 的元素 所组成的集合表示为
，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖
线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
对点特训一：集合的基本概念
典型例题
例题1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（ ）
A．某校比较出名的教师 B．方程 的根
C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形
【答案】A
【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可.
【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合；
B： ，方程根确定，可构成集合；
C：不小于3的自然数可表示为 ，可构成集合；
D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合.
故选：A
例题2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；
③方程 的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【分析】判断元素是否具有确定性，判断出答案.
【详解】①联合国常任理事国有5个国家，满足确定性，可以构成集合；
②坪高全体游泳健将，元素不具有确定性，不能构成集合；
③方程 的实数根，具有确定性，能构成集合；
④全国著名的歌手，元素不具有确定性，不能构成集合.
故选：A
精练
1．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）下列元素的全体不能组成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流
C．方程 的实数解 D．周长为 的三角形
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】根据集合中的元素的三要素即可判断各个选项的正误.
【详解】中国古代四大发明可以构成一个集合，故A正确；
地球上的小河流不满足集合元素的确定性，
即没有标准说多小的河流算小河流，故B错误；
方程 的实数解是 ，可以构成一个集合，故C正确；
周长为 的所有三角形可以构成一个集合，故D正确；
故选：B.
2．（23-24高一上·云南保山·阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．著名的数学家 B．很大的数
C．聪明的学生 D． 年保山市参加高考的学生
【答案】D
【分析】根据集合的定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，对于“著名”没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，A错误；
对于B，对于“很大”没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，B错误；
对于C，对于“聪明”没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，C错误；
对于D， 年保山市参加高考的学生具有确定性，能构成集合，D正确.
故选：D.
对点特训二： 判断元素与集合的关系
典型例题
例题1．（2024高一上·全国·专题练习）用符号“ ”或“ ”填空：
（1）若 ，则-1 A；
（2）若 ，则3 B；
（3）若 ，则8 C，9.1 C.
（4） ；
（5） ；
（6）2017 .
（7） ， ， ， ．
【答案】
【分析】结合自然数集，整数集，有理数集，实数集的元素特征，根据集合与元素的关系的定义判断即可.
【详解】（1） ，故 ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2） ，故 ；
（3） ，故 ；
（4） ， ；
（5）
（6）因为2017不能被表示为 的形式，所以 ；
（7）
例题2．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知由实数组成的集合 ， ，又满足：若 ，则
.
(1) 能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
(2) 中含元素个数一定是 个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.
【答案】(1)A不可能是单元素集合，理由见解析；
(2)A中所含元素个数一定是 ，证明见解析．
【分析】（1）由x与 都在集合A中，结合集合A只含有一个元素，得 ，再判断方程有无实数
根，若有解则存在，若无解则不存在；
（2）A中所含元素个数一定是 个．由 ，则 ，得到 ，然后推导
出 互不相等即可证明A中所含元素个数一定是 个．
【详解】（1）假设A中仅含一个元素，不妨设为a，则 ，有 ，
又A中只有一个元素， ，即 ，
但此方程 ，即方程无实数根，
∴不存在这样的实数a，故A不可能是单元素集合．
（2） 中所含元素个数一定是 个．
证明： ，则 ， ，而 ，
且 ， 当 时， ，
，方程 无解， ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ，方程 无解， ；
当 时， ， ，方程 无解， ，
中所含元素个数一定是 个．
精练
1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）给出下列关系：① ；② ；③ ；④ ．其中
正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据常见数集的含义即可求解.
【详解】由于 ； ； ； ，
故①错误；②正确；③错误；④错误，
故选：A．
2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合 中的元素 满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
【答案】A
【分析】由元素和集合的关系判断.
【详解】由 解得 ，
因为 ， ，
故 ，且 ，
故选：A
对点特训三：利用集合中元素的互异性求参数
典型例题
例题1．（多选）（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）若 ，则实数 的可能取
值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】ABD
【分析】分 ， ， ，求出实数 ，利用元素的互异性检验，得到答案.
【详解】①若 ，即 时，此时集合中的元素为 ，满足题意；
②若 ，即 时， ，不满足集合中元素的互异性；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司③若 ，即 ，
当 时，此时集合中的元素为 ， ，满足题意；
当 时，此时集合中的元素为 ，满足题意.
故选：ABD.
例题2．（23-24高一·江苏·课后作业）已知集合 中有三个元素： ， ， ，集合 中也有三
个元素：0，1， ．
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值．
【答案】(1) 的值为0或
(2) 的值为
【分析】（1）若 ，则 或 ，再结合集合中元素的互异性，能求出 的值．
（2）当 取0，1， 时，都有 ，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数 的值．
【详解】（1）集合 中有三个元素： ， ， ， ，
或 ，
解得 或 ，
当 时， ， ， ，成立；
当 时， ， ， ，成立．
的值为0或 ．
（2）集合 中也有三个元素：0，1， ， ，
当 取0，1， 时，都有 ，
集合中的元素都有互异性， ， ，
．
实数 的值为 ．
精练
1．（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合 ，且 ，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
【答案】B
【分析】根据集合的元素不重复可解得 .
【详解】因为 ，所以 或 ，解得 ，或 或 ，
当 时， ，又集合中不能有相同的元素，所以
故选：B
2．（23-24高一·全国·课后作业）由 ，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值
可以是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】逐个选项代入判断是否满足集合的互异性即可.
【详解】对A，当 时， ， ，不满足题意；
对B，当 时， ，不满足题意；
对C，当 时， ， ，满足题意；
对D，当 时， ，不满足题意；
故选：C
对点特训四：用列举法表示集合
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组 的解构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集.
【详解】由 ，解得 ，
所以方程组 的解构成的集合是 .
故选：D
例题2．（23-24高二下·辽宁阜新·期末）集合 用列举法表示为 .
【答案】
【分析】依题意逐个验证即可.
【详解】 时 ， 时 ， 时 ， 时 ， 时
， 时 ，不合题意，
故满足题意的有 ，
故答案为： .
精练
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高一上·北京·期中）已知集合 ， ,则 （用列举法
表示）.
【答案】
【分析】根据集合 的元素特征直接列举出即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故答案为：
2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知集合 ，且 ，则M等于 （用列
举法）
【答案】
【分析】根据列举法列举所以情况即可求.
【详解】由于 ，所以 是6的正因数，
当 时， ，符合，
当 时， ，符合，
当 时， ，符合，
当 时， ，符合，
综上可得 ，
故答案为：
对点特训五： 用描述法表示集合
典型例题
例题1．（2024高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：
(1)不等式 的解组成的集合 ；
(2)被 除余 的正整数的集合 ；
(3) ；
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(4)
【分析】
（1）先确定集合 中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件 即可解答.
（2）先确定集合 中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件 即可解答.
（3）先确定集合 中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件 即可解答.
（4）先确定集合 中的代表元素是点 ；再确定集合中代表元素满足的条件 即可解答.
【详解】（1）
因为不等式 的解组成的集合为 ，
则集合 中的元素是数.
设代表元素为x，
则x满足 ，
所以 ，即 ．
（2）
设被3除余2的数为x，
则 ．
又因为元素为正整数，
故 ．
所以被3除余2的正整数的集合
（3）
设偶数为x，
则 ．
但元素是2，4，6，8，10，
所以 ．
所以 ．
（4）
因为平面直角坐标系中第二象限内的点 的横坐标为负，纵坐标为正，即 ，
故第二象限内的点的集合为 ．
例题2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)大于1且不大于17的质数组成的集合 ；
(2)所有奇数组成的集合 ；
(3)平面直角坐标系中，抛物线 上的点组成的集合 ；
(4) ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解.
（2）由奇数的概念以及描述法即可求解.
（3）由描述法即可求解.
（4）用列举法即可求解.
【详解】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合 .
（2）所有奇数组成的集合 .
（3）平面直角坐标系中，抛物线 上的点组成的集合 .
（4） .
精练
1．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)奇数的集合；
(2)正偶数的集合；
(3) ；
(4)不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)
(3) ；
(4)
【分析】（1）（2）根据描述法写出；
（3）根据描述法及列举法求解；
（4）解一元一次不等式，利用描述法表示即可.
【详解】（1）奇数的集合用描述法表示为：
（2）正偶数的集合用描述法表示为：
（3） ．
（4）由 解得 ，所以不等式的解集为 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于 小于12.8的整数的全体；
(3)所有能被3整除的数的集合；
(4)方程 的解集；
(5)不等式 的解集；
(6)抛物线 上的点组成的集合．
【答案】(1) 月，3月，5月，7月，8月，10月，12月
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）利用列举法表示集合；
（2）利用列举法表示集合；
（3）利用描述法表示集合；
（4）利用列举法表示集合；
（5）利用描述法表示集合；
（6）利用描述法表示点集合.
【详解】（1） 月，3月，5月，7月，8月，10月，12月 ．
（2） ．
（3）
（4） .
（5） .
（6） .
对点特训六：集合中的含参问题
角度1：已知集合相等求参数
典型例题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题1．（2024·江西·模拟预测）已知实数集合 ，若 ， 则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据 得到 ， 或 ， ，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到
， ，最后计算即可.
【详解】当 ， 时， ， 或 任意， （舍去）；
当 ， 时， ， ，不成立，
所以 ， ， .
故选：A.
例题2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知 ， ，若集合 ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出 ， 的值.
【详解】∵ ，显然 ，
所以 ，∴ .
根据集合中元素的互异性得 ，∴ .
∴
故答案为：
同类题型归类练
1．（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知集合 ，其中 ，则实数
.
【答案】
【分析】由题意可得 或 ，求出 ，进而求出 ，结合集合的互异性和 ，即可得出
答案.
【详解】①当 时，解得 ，
当 时， 与集合元素的互异性矛盾，所以舍去；
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司得到 与 矛盾，所以舍去；
②当 时，解得 ，
当 时， ，
得到 与 矛盾，所以舍去；
当 时， ，
得到 ，符合题意，所以 .
故答案为： .
2．（23-24高一上·河南郑州·期中）含有三个实数的集合既可表示为 ，也可表示为 ，
则 的值为 ．
【答案】0
【分析】根据集合相等和元素的互异性，即可求解 得值，得到答案.
【详解】由题意 ，可得 ，
根据集合相等和元素的互异性，可得 且 ，解得 ，
此时集合
所以 .
故答案为 .
角度2：已知集合元素个数求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合 只有一个元素，则实数 的值为
（ ）
A．1或0 B．0 C．1 D．1或2
【答案】A
【分析】讨论 ，当 时，方程是一次方程，当 时，二次方程只有一个解， ，即可求.
【详解】若集合 只有一个元素，则方程 只有一个解，
当 时，方程可化为 ，满足题意，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 时，方程 只有一个解，则 ，解得 ，
所以 或 .
故选： .
例题2．（2022高一上·全国·专题练习）已知集合 ．
(1)若A是空集，求 的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求 的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)当 时，集合 ，当 时，集合 ；
(3)
【分析】（1）利用 是空集，则 即可求出 的取值范围；
（2）对 分情况讨论，分别求出符合题意的 的值，及集合 即可；
（3）分 中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．
【详解】（1）解： 是空集，
且 ，
，解得 ，
所以 的取值范围为： ；
（2）：①当 时，集合 ，
②当 时， ，
，解得 ，此时集合 ，
综上所述，当 时，集合 ，当 时，集合 ；
（3） 中至少有一个元素，则当 中只有一个元素时， 或 ；
当 中有2个元素时，则 且 ，即 ，解得 且 ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司综上可得， 时 中至少有一个元素，即 .
精练
1．（2024高一上·全国·专题练习）若集合 中有两个元素，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得.
【详解】依题意，方程 有两个不等的实根，则 且 ，解得 且
，
所以实数m的取值范围为 且 .
故选：C
2．（21-22高一上·西藏林芝·期末）集合 中只有一个元素，则实数 的值是
.
【答案】
【分析】根据已知条件可得出 ，即可解得实数 的值.
【详解】因为集合 中只有一个元素，
则 ，解得 .
故答案为： .
3．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 ，其中 .
(1)若集合 中有且仅有一个元素，求实数 组成的集合 .
(2)若集合 中至多有一个元素，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）分类讨论当 、 时方程根的个数，即可求解；
（2）由（1）可得 或 ，再讨论当 时的情况即可.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）若 ，方程化为 ，此时方程有且仅有一个根 ；
若 ，则当且仅当方程的判别式 ，即 时，
方程有两个相等的实根 ，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴所求集合 ；
（2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，
①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时 或 ，
②A中一个元素也没有，即 ，此时 ，且 ，解得 ，
综合①②知 的取值范围为 或 .
一、单选题
1．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合 ， ，则B中元素的最小
值为（ ）
A． B． C． D．32
【答案】A
【分析】根据题意，由集合的概念，代入计算即可得到结果.
【详解】由题意可得， ，
所以B中元素的最小值为 .
故选：A
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则下列表示正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令 分别为选项中不同值，求出 的值进行判定.
【详解】当 时， ，所以 ，故A正确；
当 时， ，所以 ，故B错误；
当 或 时， ，所以 ，故C错误；
当 时， ，所以 ，故D错误.
故选：A
3．（2022高一上·全国·专题练习）设集合 ， ， ，则 中元素的
个数为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
根据给定条件计算出所有 的值，再借助集合中元素的性质即可作答.
【详解】
， 时， 的值依次为 ，有4个不同值，即 ，因此 中有4个元素．
故选：B．
4．（2022高一上·全国·专题练习）下列命题中正确的（ ）
① 与 表示同一个集合；
②由 组成的集合可表示为 或 ；
③方程 的所有解的集合可表示为 ；
④集合 可以用列举法表示．
A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上语句都不对
【答案】C
【分析】根据集合的定义和表示方法分别进行判断．
【详解】
①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；
②符合集合中元素的无序性，正确；
③不符合集合中元素的互异性，错误；
④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示，错．
故选：C
5．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合
，又 则（ ）
A． B．
C． D． 任一个
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案.
【详解】集合 的元素是所有的偶数、集合 的元素是所有的奇数，
奇数+偶数=奇数，所以 ， ，
如 ，但 .所以B选项正确.
故选：B
6．（22-23高一上·全国·期中）已知集合 ，则 的元素个数是
（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A．16 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】分别在集合 中取 ，由此可求得 所有可能的取值，进而得到结果.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，所以 .
故选：C.
7．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 ，运算求解即可.
【详解】由题意可知： ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
8．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合 ，若 且 ，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围.
【详解】由题意 .
故选：D
二、多选题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司9．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中 表示不同集合的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】ABD
【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.
【详解】选项A中， 是数集， 是点集，二者不是同一集合,故 ；
选项B中， 与 表示不同的点，故 ；
选项C中， ， ，故 ；
选项D中， 是二次函数 的所有 组成的集合，而集合 是二次函数 图象
上所有点组成的集合，故 .
故选：ABD.
10．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知集合 ，若 ，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用元素与集合的关系以及元素特性即可判断.
【详解】由题知， 或 或 ，
即 或 或 .
当 时， （舍）；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意.
故选：BD
三、填空题
11．（23-24高一上·全国·期末）定义运算 ，若集合 ，则
.
【答案】
【分析】根据给定运算，利用列举法计算即得.
【详解】依题意，由 ，当 时， ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 时， ，则 ，当 时， ，则 ，
所以 .
故答案为：
12．（23-24高一上·上海·期末）已知集合 ，且 ，则实数a的值为 .
【答案】0或
【分析】根据元素与集合关系得到方程，解出即可.
【详解】因为 ，则 ，解得 或 .
故答案为：0或 .
四、解答题
13．（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2) ；
(3) ．
(4) ．
(5)由 ＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）写出大于1且小于6的整数即可；（2）求出方程 的根即可；（3）解不等式
即可求解；（4）写出符合条件的坐标即可；（5）分类讨论即可.
【详解】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为 ；
（2）
（3）
（4）
（5）由题意，
当 时， ＋ ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 时， ＋ ；
当 时， ＋ ；
当 时， ＋ ，
故由 ＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为 .
14．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合 .
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至少有一个元素，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2) 的值为 或 ，当 时，元素为 ，当 时，元素为
(3)
【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；
（2）（3）讨论 、 ，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围.
【详解】（1）A是空集， 且 ， ，解得 ，
的取值范围为： ；
（2）当 时，集合 ，
当 时， ， ，解得 ，此时集合 ，
综上所求， 的值为 或 ，当 时，元素为 ，当 时，元素为 ；
（3）当 时， ，符合题意；
当 时，要使关于x的方程 有实数根，则 ，得 .
综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为 .
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