文档内容
专题 01 集合 11 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点01 判断元素与集合的关系
2022·全国乙卷
考点02 根据元素与集合的关系求集合
知识1 集合的 2023·上海
含义与表示
（5年3考） 考点03 集合元素互异性的应用
2023·全国乙卷
考点04 集合的表示方法
2024·北京 2022·北京
考点05 判断两个集合的关系
知识2 集合间 2021·上海
的基本关系
集合的交并补运算是高考中的重
（5年2考） 考点06 根据集合的包含关系求参数
点高频考点，主要还是以不等式
2023·新课标Ⅱ卷
作为背景，应注重特殊符号，根
考点07 交集的概念及运算 号，对数，分式不等式。
2025·北京 2025·全国二卷
2024·天津 2024·全国甲卷 2024·新高考全国Ⅰ
卷
2023·北京 2023·新课标Ⅰ卷
2022·新高考全国Ⅰ卷 2022·新高考全国Ⅱ卷
知识3 集合间
2022·全国甲卷 2022·全国乙卷 2022·上海
的基本运算
2021·新高考全国Ⅰ卷 2021·全国甲卷 2021·全
（5年5考）
国乙卷
考点08 并集的概念及运算
2024·北京 2024·上海
2022·浙江
2021·北京考点09 补集的概念及运算
2025·全国Ⅰ卷 2025·上海 2022·北京
考点10 集合的交并补混合运算
2025·天津
2024·全国甲卷
2023·全国甲卷 2023·全国乙卷 2023·天津
2022·天津 2022·全国甲卷
2021·天津 2021·新高考全国Ⅱ卷 2021·全国乙
卷
知识4 集合新
考点11 集合新定义
定义
2025·北京 2025·上海
（5年1考）
考点 01 判断元素与集合的关系
1．（2022·全国乙卷·高考真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】判断元素与集合的关系、补集的概念及运算
【分析】先写出集合 ,然后逐项验证即可
【详解】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误
故选:
考点 02 根据元素与集合的关系求集合
2．（2023·上海·高考真题）已知 ， ，若 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据给定条件，直接求出集合 中的元素作答.
【详解】因为 ，由 ，得 或 ，
又 ，且 ，即有 且 ，因此 ，
所以 .
故选：A考点 03 集合元素互异性的应用
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，
则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、利用定义求等差数列通项公式、数列周期性的应用、集合元
素互异性的应用
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
【详解】依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，
则在 中， 或 或
于是有 或 ，
即有 ，解得 ；
或者 ，解得 ；
所以 ， 或
.
故选：B
考点 04 集合的表示方法
4．（2024·北京·高考真题）已知 是平面直角坐标系中的点集.
设 是 中两点间距离的最大值， 是 表示的图形的面积，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C【难度】0.4
【知识点】描述法表示集合、三角形面积公式及其应用、求平面两点间的距离
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域 ，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定 ，则 ，且 ，
可知 ，即 ，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域 ，
如图阴影部分所示，其中 ，
可知任意两点间距离最大值 ，
阴影部分面积 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，
见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确
把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
5．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集
合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】描述法表示集合、球的截面的性质及计算、立体几何中的轨迹问题
【分析】求出以 为球心，5为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为
故选：B
考点 05 判断两个集合的关系
6．（2021·上海·高考真题）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x|x ﹣1}，则（ ）
A．A⊆B B． C．A∩B＝ D．A∪B＝R
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先求解集合 中不等式，计算 ，依次判断即可
【详解】由题意， 或
由
和 不存在包含关系，
故选：D
考点 06 根据集合的包含关系求参数
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合 ， ，若 ，则 （ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B【难度】0.85
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据包含关系分 和 两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
考点 07 交集的概念及运算
8．（2024·天津·高考真题）集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【详解】因为集合 ， ，
所以 ，
故选：B
9．（2025·北京·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】先求出集合 ，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为 ，所以 ，
故选：D.
10．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】利用交集的定义可求 .【详解】由题设有 ，
故选：B .
11．（2022·全国乙卷·高考真题）集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：A.
12．（2022·全国甲卷·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：A.
13．（2022·上海·高考真题）若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算
【分析】由于 是整数集，结合交集的概念即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
故选：B.
14．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合 则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.94【知识点】交集的概念及运算
【分析】求出集合 后结合交集的定义可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：D.
15．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合 中的元素 ，满足 ，
则 可能的取值为 ，即 ，
于是 .
故选：C
16．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：D
17．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算、由幂函数的单调性解不等式
【分析】化简集合 ，由交集的概念即可得解.
【详解】因为 ，且注意到 ，
从而 .故选：A.
18．（2023·北京·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】先化简集合 ，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意， ， ，
根据交集的运算可知， .
故选：A
19．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 ，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为 ，而 ，
所以 ．
故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以
．
故选：C．
20．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、公式法解绝对值不等式
【分析】方法一：求出集合 后可求 .
【详解】[方法一]：直接法因为 ，故 ，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合 ，可得 ，不满足，排除A、D；
代入集合 ，可得 ，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
21．（2021·全国甲卷·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：B.
22．（2021·全国甲卷·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为 ，所以 ,
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
23．（2021·全国乙卷·高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.94
【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算
【分析】分析可得 ，由此可得出结论.
【详解】任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，
因此， .
故选：C.
考点 08 并集的概念及运算
24．（2022·浙江·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】并集的概念及运算
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】 ，
故选：D.
25．（2021·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】并集的概念及运算
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得： .
故选：B.
26．（2024·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】并集的概念及运算
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得 .故选：C.
27．（2024·上海·高考真题）设全集 ，集合 ，则 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】补集的概念及运算
【分析】根据补集的定义可求 .
【详解】由题设有 ，
故答案为：
考点 09 补集的概念及运算
28．（2025·全国一卷·高考真题）设全集 ，集合 ，则 中元素个数
为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】补集的概念及运算
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， 中的元素个数为 ，
故选：C．
29．（2025·上海·高考真题）已知全集 ，集合 ，则
．
【答案】 /
【难度】0.94
【知识点】补集的概念及运算、区间的定义与表示
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知 .
故答案为： .
30．（2022·北京·高考真题）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】补集的概念及运算
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
考点 10 集合的交并补混合运算
31．（2021·天津·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【分析】根据交集并集的定义即可求出.
【详解】 ，
， .
故选：C.
32．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】由集合 的定义求出 ，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
故选：D
33．（2022·天津·高考真题）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】先求出 ，再根据交集的定义可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：A.
34．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设集合 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】根据交集、补集的定义可求 .
【详解】由题设可得 ，故 ，
故选：B.
35．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】由题意可得 的值，然后计算 即可.
【详解】由题意可得 ，则 .
故选：A.
36．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集 ，集合 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故选：A.
37．（2025·天津·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【详解】由 ，则 ，集合 ，
故
故选：D.
38．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集 ,集合 ，
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集 ， ，所以，
．
故选：A．
39．（2023·天津·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由 ，而 ，
所以 .
故选：A
40．（2022·全国甲卷·高考真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意， ，所以 ,所以 .
故选：D.
41．（2021·全国乙卷·高考真题）已知全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】交并补混合运算
【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【详解】由题意可得： ，则 .
故选：A.
42．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为 即可.
【详解】由题意可得 ，则 ，选项A正确；
，则 ，选项B错误；
，则 或 ，选项C错误；
或 ，则 或 ，选项D错误；
故选：A.
考点 11 集合新定义
43．（2025·北京·高考真题）已知集合 ，从M中选取n个不
同的元素组成一个序列： ，其中 称为该序列的第i项 ，若该
序列的相邻项 满足： 或 ，则称该序列为K列．
(1)对于第1项为 的K列，写出它的第2项．(2)设 为K列，且 中的项 满足：当i为奇数时， ：当i为偶数时，
.判断 ， 能否同时为 中的项，并说明理由；
(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．
【答案】(1) 或
(2)不能，理由见解析
(3)证明过程见解析
【难度】0.4
【知识点】集合新定义
【分析】（1）根据新定义即可得解；
（2）假设 与 能同时在 中，导出矛盾，从而得出 与 不能同时在 中的结论；
（3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
【详解】（1）根据题目定义可知， 或 ，
若第一项为 ，显然 或 不符合题意（不在集合 中），所以下一项是 或 ；
（2）假设二者同时出现在 中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设 在 之前.
显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从 到 必定要向下一项走
奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从 到 必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在 中.
（3）法1：若 中的所有元素构成K列，考虑K列中形如 的项，
这样的项共有 个，由题知其下一项为 ，共计16个，
而 ，因为只能6由2来，3只能由7来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，
即对于16个 ，有12个 与之相对应，矛盾．
综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列．
法2：假设全体元素构成一个K列，则 .
设 ， .
则 和 都包含 个元素，且 中元素的相邻项必定在 中.
如果存在至少两对相邻的项属于 ，那么属于 的项的数目一定多于属于 的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于 .如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如 和 ，
否则将导致属于 的项的个数比属于 的项的个数多2，此时 .
从而这个序列的前 项中，第奇数项属于 ，第偶数项属于 ；
这个序列的后 项中，第奇数项属于 ，第偶数项属于 .
如果不存在相邻的属于 的项，那么也可以看作上述表示在 或 的特殊情况.
这意味着必定存在 ，使得 .
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故 中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数
的点的数量一定分别是 和 （不一定对应）.
但容易验证， 和 都包含 个横纵坐标之和为奇数的点和 个横纵坐标之和为偶数的点，所以
，得 .
从而有 .
这就得到 .
再设 ， .
则同理有 .
这意味着 .
从而得到 ，但显然它们是不同的集合，矛盾.
所以由M的全部元素组成的序列都不是K列．
44．（2025·上海·高考真题）已知函数 的定义域为 ．对于正实数a，定义集合
．
(1)若 ，判断 是否是 中的元素，请说明理由；
(2)若 ，求a的取值范围；
(3)若 是偶函数，当 时， ，且对任意 ，均有 ．写出 ，
解析式，并证明：对任意实数c，函数 在 上至多有9个零点．
【答案】(1)不是；
(2) ；(3)证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】求函数零点或方程根的个数、集合新定义、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【分析】（1）直接代入计算 和 即可；
（2）法一：转化为在实数 使得 ，分析得 ，再计算得 ，
最后根据 的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线 与该函数有两个交点，将 用
表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出 时解析式，再分析出 ，最后对 的范围
进行分类讨论即可.
【详解】（1）（1） ， ，则 不是 中的元素.
（2）法一：因为 ，则存在实数 使得 ，且 ，
当 时， ，其在 上严格单调递增，
当 时， ，其在 上也严格单调递增，
则 ，则 ，
令 ，解得 ，则 ，
则 .
法二：作出该函数图象，则由题意知直线 与该函数有两个交点，
由图知 ，假设交点分别为 ， ，
联立方程组 得
（3）（3）对任意 ，因为其是偶函数，
则 ，而 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，则 ，所以 ，所以 ，
所以当 时， ， ，则 ，
，则 ，
而 ， ，
则 ，则 ，
所以当 时， ，而 为偶函数，画出函数图象如下：
其中 ，但其对应的 值均未知.
首先说明 ，
若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时，即使让 ，此时最多7个零点，
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；当 时，若 ，此时有3个零点，
若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，
则最多在 之间取得6个零点，
以及在 处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
