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重难点 02 不等式（5 种解题模型 5 种数学
思想）
【目录】
5种解题模型
一、一元二次型不等式恒成立问题
二、一元二次型不等式能成立问题
三、基本不等式中“1”的妙用
四、利用基本不等式求参数范围
五、作差法比较大小
5种数学思想
一、函数与方程思想
二、数形结合思想
三、分类与整合思想
四、转化与划归思想
五、特殊与一般思想
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022新高考2，第12题 基本不等式 利用基本不等式求最值
2020新高考1，第11题 不等式的概念和性质 比较大小
二、命题规律与备考策略
本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与
运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立
问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为 5分。对于不等式
及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。
三、题型解题技巧
1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较
法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.
2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特
学科网（北京）股份有限公司 1别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的
放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析
不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.
4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及
公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条
件和等号成立的条件.
5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把 a＜0的情况
转化为a＞0时的情形.
6.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系
数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是
利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值
来处理，一般后者比较简单.
四、题型方法
5种解题模型
一、一元二次型不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2023·福建·统考模拟预测）已知 ， 恒成立，则 的一个
充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知 ： ，
恒成立； ： ， 恒成立.则（ ）
A．“ ”是 的充分不必要条件 B．“ ”是 的必要不充分条件
C．“ ”是 的充分不必要条件 D．“ ”是 的必要不充分条件
三、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）设对一切实数 ，不等式
恒成立，则 的取值范围为________.
学科网（北京）股份有限公司 24．（2023·广西·统考模拟预测）若不等式 对 恒成立，则a的取值
范围是____________．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不等式 在
R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
四、双空题
6．（2023·云南·高三校联考阶段练习）螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋
卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋烧而形成的曲线，如图甲所
示．如图乙所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形
ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F、G，H，作第2个正方形
EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，
依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案，设正方形ABCD的边长为 ，后续
各正方形的边长依次为 ；如图乙阴影部分，直角三角形AEH的面积为 ，后
续各直角三角形的面积依次为 ，则 ___；记数列 的前n项和为 ，
若对于 恒成立，则 的最大值为___．
五、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．若对任意的
， 恒成立，求实数 的取值范围．
二、一元二次型不等式能成立问题
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知 .若存在 ，使
不等式 有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 3C． D．
2．（2023·河南安阳·统考二模）已知集合 ，
，则 （ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知 ，q：任意 ，则p
是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
4．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“ ， ”为
真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
5．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式 对 恒成立，则a的取值范围
是__________， 的最小值为__________．
三、填空题
6．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）若关于x的不等式 在区间 上
有解，则实数a的取值范围是__________．
7．（2023·全国·高三专题练习）设函数 的定义域为D，若 ，使得 ，
则称 是函数 的不动点．若函数 在区间 上存在不动点，
则实数a的取值范围是______．
四、解答题
8．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题 ：任意 ，
成立；命题 ：存在 ， + 成立.
(1)若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
(2)若命题 和 有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司 4三、基本不等式中“1”的妙用
一、单选题
1．已知点 在直线 上，若关于 的不等式 恒成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知正实数 ， ，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
3．已知正实数 ， ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
4．已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
二、多选题
5．已知 ，直线 与曲线 相切，则（ ）
A．ab的最大值为 B． 的最小值为25
C． 的最小值为 D． 的最大值为2
6．直角三角形 中， 是斜边 上一点，且满足 ，点 在过点 的直线
上，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为常数 B． 的值可以为：
C． 的最小值为3 D． 的最小值为
三、填空题
7．在 中，已知 ， ， ， 为线段 上的点，且
，则 的最小值为___________．
8．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且∠BAC的平分
学科网（北京）股份有限公司 5线交BC于D，若 ，则 的最小值为________．
9．正数a，b满足 ，若不等式 恒成立，则实数m的取值范围
________．
四、解答题
10．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)设 的最小值为m，若正数a，b满足 ，求 的最小值.
四、利用基本不等式求参数范围
一、单选题
1．（2023·广东湛江·统考二模）当 ， 时， 恒成立，则m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 为偶函数， 为奇函数， ，
若不等式 恒成立，则实数 的最大值为______．
4．（2023·天津和平·统考二模）设 ， ， ，若 ， ，则
学科网（北京）股份有限公司 6的最大值为__________．
5．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知 ，若不等式 恒成
立，则实数 的最小值为 ______
四、双空题
6．（2023·辽宁锦州·统考二模）在 中， ，若空间点 满足
，则 的最小值为___________；直线 与平面 所成角的正切的最
大值是___________.
五、解答题
7．（2023春·山东·高一滨州一中校联考期中）记 的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且 .
(1)求 外接圆的周长；
(2)若 ， ，求 面积的最大值.
五、作差法比较大小
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知 ，则下列不等式不一定
成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知 ， ， ，则 、 、
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·吉林·统考三模）已知 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 7二、多选题
4．（2023·广东惠州·统考一模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知 ∈R，则下
列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知
，且 ，则下列不等式成立的有（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
7．（2020秋·河北·高三统考学业考试）已知函数 在区间
上是增函数．
(1)求实数 的取值范围；
(2)设 ，试比较 与 的大小．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知实系数多项式 有三个正根，且
求证：
5种数学思想
学科网（北京）股份有限公司 8一、函数与方程思想
一、解答题
1．（2022秋·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）由中国发起成立的全球能源互联
网发展合作组织在京举办研讨会．会议发布了中国2030年前碳达峰、2060年前碳中和、
2030年能源电力发展规划及2060年展望等研究成果，在国内首次提出通过建设中国能源
互联网实现碳减排目标的系统方案．为积极响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新
能源汽车生产设备，通过市场调查分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产 （百
辆）新能源汽车，需另投入成本 万元，且 ，由市场
调研知，每辆车售价15万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式.（利润＝收入－成本）
(2)当年产量为多少百辆时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．
2．（2022秋·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）设 （常数
），且已知 是方程 的根.
(1)求 的值；
(2)设常数 ，解关于 的不等式： .
3．（2022秋·江西九江·高一瑞昌市第一中学校考阶段练习）已知 .
(1)若x､ ，求 的最大值；
(2)若x､ ，求 的取值范围.
4．（2022·全国·高三专题练习）某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的
准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期
学科网（北京）股份有限公司 9的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记
生产 件产品的总费用为y元.当 时，成本费用为3000元，仓储费用为450
元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？
二、数形结合思想
一、单选题
1．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知集合 ，则满足
的非空集合B的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．（2022秋·安徽滁州·高三校考期中）无字证明是指利用图象而无需文字解释就能不证自
明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅
与条理，观察此图象，同学们能无字证明的结论是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（2023·高三课时练习）不等式 的解集为______．
4．（2023·全国·高三对口高考）已知集合 ，则 ________．
5．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）若关于 的不等式 的解集为空集，则
实数 的取值范围为______.
三、解答题
6．（2021秋·广西桂林·高二校考期中）求下列不等式的解集：
学科网（北京）股份有限公司 10(1) ； (2)
三、分类与整合思想
一、单选题
1．（2023·安徽淮北·高三校考开学考试）集合 ， ，若
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D．{ 或 }
二、解答题
2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式 ．
3．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式
4．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知集合 ，函数
．
(1)求关于 的不等式 的解集；
(2)若命题“存在 ，使得 ”为假命题，求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 11四、转化与划归思想
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则下列中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数 ，若 ，则
的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．8
3．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ，则“ 或 ”是“ ”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）设 且 ， ，则 的范围
为______________.
5．（2023·高三课时练习）已知关于x的不等式 的解集是 ，
则关于x的不等式 的解集为______．
三、解答题
6．（四川省资阳市2023届高考适应性考试数学（理科）试题）已知 ， ，且
．
(1)求 的最小值；
(2)证明： ．
7．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，求数列的通项
学科网（北京）股份有限公司 12公式，并计算
8．（2023·全国·高三专题练习）设正实数a、b、c满足： ，求证：对于整数 ，
有 ．
五、特殊与一般思想
一、单选题
1．（2022秋·河南焦作·高三统考期中）如图，面点师傅把一个面团搓成1.6米长的圆柱形
面棍，对折1次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到3根面条，如果连续对折2次后
重新拉长，从中间切一刀，则可以得到5根面条，以此类推，若连续对折8次后重新拉长
到1.6米，从中间切一刀，弯折处的长度忽略不计，则可得到长度为1.6米的面条的根数为
（ ）
A．256 B．255 C．127 D．126
2．（2022·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）观察下列等式， ， ，
， ，根据上述规律，
（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 133．（2022·全国·高三专题练习）观察按下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，
9×2+3=21，9×3+4=31， ，猜想第n（n∈N ）个等式应为（ ）
+
A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n－1）+n=10n－9
C．9n+（n－1）=10n－9 D．9（n－1）+（n－1）=10n－10
二、填空题
4．（2023春·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）设
，利用三角变换，估计 在 时的取
值情况，猜想对x取一般值时 的取值范围是____________．
5．（2022·全国·高三专题练习）观察等式： ； ；
； ；…由以上几
个等式的规律可猜想 ___________.
三、解答题
6．（2022·全国·高三专题练习）已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列
的前n项之积为n2.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）写出这个数列的通项公式并加以证明.
学科网（北京）股份有限公司 14
