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重难点 02 不等式恒成立、能成立问题【七大题型】
【新高考专用】
一元二次不等式是高考中的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问
题”是高考常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知
识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉
及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题
能力，高考复习过程中要注重知识与方法的灵活运用.
【知识点1 不等式恒成立、能成立问题】
1．一元二次不等式恒成立、能成立问题
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集
为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为
2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法
(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集 R上恒成立，二是在某给定区间上恒成
立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的
范围，谁就是参数.
①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0.
②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).
3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求
谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列
式求解.
4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略
不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：
(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立 a>f(x) ；
max
若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解 a>f(x) ；
min
若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解 a≤f(x) .
min
(2)对任意的x∈[m,n]，a0恒成立，则k的取值范围是
（ ）
A．(−∞,−2) B．(−∞,−4) C．(−4,4) D．(−2,2)
【变式1-1】（2024·山东潍坊·一模）“b∈(−2,2)”是“∀x∈R，x2−bx+1≥0成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【变式1-2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）对于任意的x∈R，不等式mx2+(m−1)x<1−m恒成立，
则m的取值范围是（ ）
1 1
A．m<0 B．m<− C．− 0
3 3
【变式1-3】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）若关于x的不等式(a−1)x2+(a−1)x−1<0对一切实数x都
成立，则a的取值范围为（ ）
A．(−3,1] B．(−3,1)C．(−∞,−3)∪(1,+∞) D．(−∞,−3)∪[1,+∞)
【题型2 一元二次不等式在某区间上恒成立问题】
【例2】（2024·辽宁鞍山·二模）若对任意的 恒成立，则m的取值范围是
x∈(0,+∞),x2−mx+1>0
（ ）
A．(−2,2) B．(2,+∞) C．(−∞,2) D．(−∞,2]
【变式2-1】（24-25高一上·北京大兴·期中）若不等式 对任意的 恒成立，
x2−(a+2)x+2a≤0 x∈[−1,1]
则a的取值范围是（ ）
A．[−1,1] B．[−1,+∞) C．[−1,2] D．(−∞,−1]
1
【变式2-2】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）对任意的 ≤x≤1，关于x的不等式
4
(a+2)x2−4x+1≥0恒成立，则a的取值范围为（ ）
3
A．a≥−2 B．a≥ C．a≥2 D．a≥1
2
【变式2-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式
mx2−xy+ y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤6 B．−6≤m≤0
C．m≥0 D．0≤m≤6
【题型3 给定参数范围的不等式恒成立问题】
【例3】（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知m∈[−1,1]，不等式x2+(m−4)x+4−2m>0恒成立，
则x的取值范围为（ ）
A．(−∞,1] B．(1,3) C．(−∞,1)∪(3,+∞)D．[1,3]
【变式3-1】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“∃−1≤a≤3，ax2−(2a−1)x+3−a<0”为
假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）当1≤m≤2时，mx2−mx−1<0恒成立，则实数x的取
值范围是（ ）
1−√2 1+√2
A． 0恒成立，则实
数x的取值范围是（ ）
A．(−∞,3) B．¿
C．(−∞,1) D．(−∞,1)∪(3,+∞)
【题型4 一元二次不等式在实数集上有解问题】
【例4】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数x，使得mx2−(m−2)x+m<0成立，则实数m的取值范
围为（ ）
(1 3)
A．(−∞,2) B．(−∞,0]∪ ,
3 2
( 2)
C． −∞, D．(−∞,1)
3
【变式4-1】（23-24高三上·山东青岛·期末）若命题“∃x∈R，(1−a)x2+(1−2a)x+1≥0”为真命题，
则实数a的取值范围为（ ）
A．a≤1 B．a>1
√3 √3
C．a≤− 或a≥ D．a∈R
2 2
【变式4-2】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若不等式−x2+ax−1>0有解，则实数a的取值范围为
（ ）
A．a<−2或a>2 B．−20在区间[0,5]内有解，则实数a的
取值范围是（ ）
A．(2,+∞) B．(−∞,5) C．(−∞,−3) D．(−∞,2)【变式5-1】（24-25高一上·山东德州·期中）若∃x∈[−1,4]，使x2−4x+1−m≥0成立，则实数m的取
值范围是（ ）
A．(−∞,6] B．(−∞,1] C．(−∞,−3] D．[1,6]
【变式5-2】（23-24高一上·北京·阶段练习）若存在x∈[0,1],有x²+(1−a)x+3−a>0成立，则实数a的
取值范围是（ ）
( 5)
A． −∞, B．(−∞,3)
2
(5 ) ( 5)
C． ,3 D． −∞, ∪(3,+∞)
2 2
【变式5-3】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3−|3x−a|>x2+2x成
立，则实数a的取值范围是（ ）
( 37 ) ( 13) ( 37 13)
A． − ,3 B． −3, C． − , D．(−3,3)
4 4 4 4
【题型6 基本不等式求解恒成立、有解问题】
【例6】（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知x>0，y>0且4x+ y=xy.若x+ y>m2+8m恒成立，
则实数m的取值范围是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
1 4
【变式6-1】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）若两个正实数x，y满足 + =1，且不等式
x y
y
x+ 3}
C．{m∣−44}
【变式6-2】（23-24高二上·广东深圳·期末）若两个正实数x，y满足4x+ y=xy，且存在这样的x，y使不
y
等式x+ 1 D．m<−3或m>0
【变式6-3】（23-24高一下·江苏·开学考试）已知a>0，b∈R，若x>0时，关于x的不等式
4
(ax−2)(x2+bx−4)≥0恒成立，则b+ 的最小值为（ ）
aA．2 B．2√5 C．4 D．3√2
【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】
【例7】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 ，其中 ．
f(x)=3x2−2ax−b a,b∈R
(1)若不等式f(x)≤0的解集是{x∣0≤x≤6}，求ab的值；
2
(2)若b=3a，对任意x∈R，都有f(x)≥0成立，且存在x∈R，使得f(x)≤2− a成立，求实数a的取值
3
范围．
【变式7-1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知二次函数 的图象如图所示．
f(x)=x2+bx+c
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若∀x∈R，f(x)>mx恒成立，求m的取值范围；
(3)若 ， 成立，求 的取值范围．
∃x∈(3,+∞) (x−1) 2≥mf(x) m
【变式7-2】（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于 的不等式 .
x 2x−1>m(x2−1)
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于m∈[−2,2]恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若不等式对x∈[2,+∞)有解，求m的取值范围.31
【变式7-3】（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数f (x)=2x2−ax+a2−4，g(x)=x2−x+a2− ，
4
(a∈R)
(1)当a=1时，解不等式f (x)>g(x)；
(2)若任意x>0，都有f (x)>g(x)成立，求实数a的取值范围；
(3)若 ， ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
∀x ∈[0,1] ∃x ∈[0,1] f (x )>g(x ) a
1 2 1 2
一、单选题
1．（2024·福建厦门·二模）不等式ax2−2x+1>0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
1
A．a>2 B．a≥1 C．a>1 D．00的解为全体实数，则实数k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤18 B．−180时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是
（ ）
A．(−8,8) B．(−∞,8] C．(−∞,8) D．(8,+∞)5．（2024·河南·模拟预测）已知命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值范
∃x ∈[−1,1] −x2+3x +a>0 a
0 0 0
围是（ ）
A．(−∞,−2) B．(−∞,4) C．(−2,+∞) D．(4,+∞)
1 2 1
6．（23-24高一上·江苏徐州·期中）若正实数x,y满足x+2y=4，不等式m2+ m> + 有解，则m
3 x y+1
的取值范围是（ ）
4 4
A．(− ,1) B．(−∞,− )∪(1,+∞)
3 3
4 4
C．(−1, ) D．(−∞,−1)∪( ,+∞)
3 3
x y
7．（2024·宁夏中卫·二模）已知点A(1,4)在直线 + =1(a>0,b>0)上，若关于t的不等式
a b
a+b≥t2+5t+3恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A．[−6,1] B．[−1,6]
C．(−∞,−1]∪[6,+∞) D．(−∞,−6]∪[1,+∞)
8．（2024·上海黄浦·模拟预测）已知不等式ρ：ax2+bx+c<0(a≠0)有实数解．结论（1）：设x ，x 是
1 2
b c
ρ的两个解，则对于任意的x ，x ，不等式x +x <− 和x ⋅x < 恒成立；结论（2）：设x 是ρ的一个
1 2 1 2 a 1 2 a 0
解，若总存在 ，使得 ，则 ，下列说法正确的是（ ）
x ax 2−bx +c<0 c<0
0 0 0
A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立
C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立
二、多选题
9．（2024·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式(a−1)x2−2(a−1)x−4<0恒成立，则实数
a可能是（ ）
A．−2 B．0 C．−4 D．1
10．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式4x2−5x+1>0的解集是¿
B．不等式2x2−x−6≤0的解集是¿
C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则a的取值范围是∅1
D．若关于x的不等式2x2+px−3<0的解集是(q,1)，则p+q的值为−
2
11．（24-25高一上·湖北·期中）下列说法正确的有（ ）
A．当x∈R时，不等式kx2−kx+1>0恒成立，则k的取值范围是[0,4)
B．x2−kx+k−1<0在(1,2)上恒成立，则实数k的取值范围是[3,+∞)
C．当x>0时，不等式x2−ax+16>0恒成立，则实数a的取值范围是(−∞,8)
D．若不等式x2−ax+4≥0对任意x∈[1,3]恒成立，则实数a的取值范围(−∞,5]
三、填空题
12．（2024·河北·模拟预测）若∃x∈R，ax2+ax+a−3<0，则a的一个可取的正整数值为 .
13．（2024·辽宁·三模）若“∃x∈(0,+∞)，使x2−ax+4<0”是假命题，则实数a的取值范围为 .
14．（2024·贵州遵义·模拟预测）∀x∈R，关于x的一元二次不等式x2−2x+a>0恒成立，则实数a的取
值范围是 .
四、解答题
15．（24-25高一上·贵州黔东南·期中）已知关于 的函数 ．
x f(x)=2x2−ax+1
(1)当a=3时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=|2x−a|，且f (x)≤b的解集为[−1,3]．
(1)求a和b的值；
(2)若f (x)≤|x−t|在[−1,0]上恒成立，求实数t的取值范围．
17．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+2（a，b为实数）
(1)若函数图象过点(1,1)，对∀x∈R，y>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若函数图象过点(1,1)，对∀a∈[−2,−1]，y>0恒成立，求实数x的取值范围；18．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数f (x)=x2−(a+1)x+2.
(1)解关于x的不等式f (x)>−a+2；
(2) ， ，都有 恒成立，求实数 的取值范围.
∀x x ∈[1,2] |f (x )−f (x )|<4 a
1 2 1 2
19．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x的不等式ax2−3x+6>0的解集为{x|−2
