文档内容
重难点 02 一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】............................................................................................2
【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】.........................................................................................4
【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】.....................................................................................6
【题型4 一元二次不等式在实数集上有解问题】.................................................................................................9
【题型5 一元二次不等式在某区间上有解问题】................................................................................................11
【题型6 一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】...............................................................................14
一元二次不等式是高考数学的重要内容.其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内
容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法
灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、
“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力
都起到很好的作用.一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用.
【知识点1 一元二次不等式恒成立、能成立问题】
1．一元二次不等式恒成立、能成立问题
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集
为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为
2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法
(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集 R上恒成立，二是在某给定区间上恒成
立.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的
范围，谁就是参数.
①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0.
②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).
3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求
谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列
【淘宝店铺：向阳百分百】式求解.
4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略
不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：
(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立 a>f(x) ；
max
若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解 a>f(x) ；
min
若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解 a≤f(x) .
min
(2)对任意的x∈[m,n]，a0恒成立，则k的取值范围
是（ ）
A．(-∞,-2) B．(-∞,-4) C．(-4,4) D．(-2,2)
【解题思路】由题知4k2-16<0，再解不等式即可得答案.
【解答过程】解：因为无论x取何值时，不等式x2-2kx+4>0恒成立，
所以，4k2-16<0，解得-20，
解方程x2-5x+4=0，即(x-1)(x-4)=0
得x =1,x =4．
1 2
∴不等式的解集为{x∣x<1或x>4}；
（2）若不等式f(x)≤0的解集是R，
则Δ=a2-16≤0，
解得-4≤a≤4，
故实数a的取值范围是[-4,4]．
【变式1-3】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数f (x)=(a2-2a)x2+(2a-2)x+1．
(1)若对∀x∈R，都有f (x)>-1成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式f (x)>0．
【解题思路】（1）化简不等式f (x)>-1，根据a2-2a的符号进行分类讨论，由此求得a的取值范围.
（2）化简不等式f (x)>0，对a进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
【解答过程】（1）对∀x∈R，都有f (x)>-1成立，即(a2-2a)x2+(2a-2)x+2>0成立，
①¿，无解；
②¿，解得：a>1+√2或a<1-√2．
综上，a∈(-∞,1-√2)∪(1+√2,+∞)．
（2）f (x)=(a2-2a)x2+(2a-2)x+1>0，即(ax+1)[(a-2)x+1]>0，
1
①当a=0时，-2x+1>0，∴x< ；
2
1
②当a=2时，2x+1>0，∴x>- ；
2
1 1 1 1
③当02时，- <- ，∴x<- 或x>- ．
a-2 a a-2 a
综上，
【淘宝店铺：向阳百分百】( 1)
当a=0时，原不等式解集为 -∞, ；
2
( 1 )
当a=2时，原不等式解集为x∈ - ,+∞ ；
2
( 1 1 )
当02时，原不等式解集为 -∞,- ∪ - ,+∞ ．
a-2 a
【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】
【例2】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知当x>0时，不等式：x2-mx+16>0恒成立，则实数m
的取值范围是（ ）
A．(-8,8) B．(-∞,8] C．(-∞,8) D．(8,+∞)
16 16
【解题思路】先由x2-mx+16>0得m0时，由x2-mx+16>0得m0，故x+ ≥2 x× =8，当且仅当x= 即x=4时等号成立，
x x x
16
因当x>0时，m4四种情况讨论即可.
【解答过程】（1）当t=1时，f (x)=x2-2x+2，
令f (x)≤5，解得-1≤x≤3，
所以¿，解得-1≤a≤1，
所以a的取值范围为[-1,1].
（2）设函数f (x)在区间[0,4]上的最大值为M，最小值为m，
所以“对任意的x ，x ∈[0,4]，都有|f (x )-f (x )|≤8”等价于“M-m≤8”，
1 2 1 2
①当t≤0时，M=f (4)=18-8t，m=f (0)=2，
由M-m=18-8t-2=16-8t≤8，得t≥1，从而此时t∈∅；
②当04时，M=f (0)=2，m=f (4)=18-8t，
由M-m=2-(18-8t)=8t-16≤8得t≤3，
从而此时t∈∅；
综上可得，t的取值范围为[4-2√2,2√2].
【变式2-3】（2023上·江苏盐城·高一校联考期中）设函数f(x)=mx2-mx-1．
(1)若对于x∈[-1,1],f(x)<-m+5恒成立，求m的取值范围；
【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若对于m∈[-2,2],f(x)<-m+5恒成立，求x的取值范围．
6 6
【解题思路】（1）先转化为m< 对于x∈[-1,1]恒成立，再求y= ,x∈[-1,1]的最小值,
x2-x+1 x2-x+1
即得m的取值范围.
（2）题设条件可以转化为m(x2-x+1)-6<0对于m∈[-2,2]恒成立,将m=-2,m=2分别代入不等式,即
可求出x的范围.
【解答过程】（1）由题意得，f (x)<-m+5在x∈[-1,1]恒成立，
即m(x2-x+1)<6在x∈[-1,1]恒成立，
∵x2-x+1= ( x- 1) 2 + 3 ≥ 3 对一切实数恒成立，
2 4 4
6
∴m< 在x∈[-1,1]恒成立，
x2-x+1
[ 1] [1 ]
∵函数y=x2-x+1在 -1, 上单调递减，在 ,1 上单调递增，
2 2
6
∴y =1+1+1=3，∴ 在x∈[-1,1]上的最小值为2，∴m<2.
max x2-x+1
故m的取值范围为(-∞,2).
（2）∵mx2-mx-1<-m+5对于m∈[-2,2]恒成立,
∴m(x2-x+1)-6<0对于m∈[-2,2]恒成立,
∴¿,
解得-10恒成立，
则实数x的取值范围是（ ）
A．(-∞,3) B．¿
C．(-∞,1) D．(-∞,1)∪(3,+∞)
【解题思路】将x2+(a-4)x+4-2a>0化为(x-2)a+x2-4x+4>0，将a看成主元，令
f (a)=(x-2)a+x2-4x+4，分x=2，x>2和x<2三种情况讨论，从而可得出答案.
【解答过程】解：x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立，
【淘宝店铺：向阳百分百】即(x-2)a+x2-4x+4>0，对任意得a∈[-1,1]恒成立，
令f (a)=(x-2)a+x2-4x+4，a∈[-1,1]，
当x=2时，f (a)=0，不符题意，故x≠2，
当x>2时，函数f (a)在a∈[-1,1]上递增，
则f (a) =f (-1)=-x+2+x2-4x+4>0，
min
解得x>3或x<2（舍去），
当x<2时，函数f (a)在a∈[-1,1]上递减，
则f (a) =f (1)=x-2+x2-4x+4>0，
min
解得x<1或x>2（舍去），
综上所述，实数x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).
故选：D.
【变式3-1】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）若命题“∃-1≤a≤3，ax2-(2a-1)x+3-a<0”
为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【解题思路】由题意可得：命题“∀-1≤a≤3,ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题，根据恒成立问题结
合一次函数运算求解.
【解答过程】由题意可得：命题“∀-1≤a≤3,ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题，
即ax2-(2a-1)x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0对a∈[-1,3]恒成立，
5
则¿，解得-1≤x≤0或 ≤x≤4，
3
即实数x的取值范围为¿.
故选：C.
【变式3-2】（2023上·浙江宁波·高一校考阶段练习）（1）解关于x不等式ax2-3x+2>5-ax(a>0)；
（2）若对于-2≤m≤2，不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立，求x的取值范围．
【解题思路】（1）分类讨论a的取值情况，结合二次不等式的解法即可得解；
（2）将问题转化为m(x2-x+1)-6<0对于m∈[-2,2]恒成立，利用主元法即可得解.
【解答过程】（1）因为ax2-3x+2>5-ax，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以ax2+(a-3)x-3>0，即(ax-3)(x+1)>0，
①当a=0时，不等式化为-3x-3>0，解得x<-1；
3
②当a≠0时，方程(ax-3)(x+1)=0的两根分别为x = ,x =-1，
1 a 2
( 3) 3
当a>0时，不等式化为 x- (x+1)>0，则其解集为(-∞,-1)∪( ,+∞)，
a a
( 3)
当a<0时，不等式化为 x- (x+1)<0，
a
3 3
当-1< <0，即a<-3时，不等式的解集为(-1, )，
a a
3
当-1= ，即a=-3时，不等式的解集为∅，
a
3 3
当 <-1，即-30时，不等式的解集为(-∞,-1)∪( ,+∞)；
a
当a=0时，不等式的解集为(-∞,-1)；
3
当-3m(x2-1).
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于m∈[-2,2]恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若不等式对x∈[2,+∞)有解，求m的取值范围.
【解题思路】将2x-1>m(x2-1)转化为mx2-2x+(1-m)<0，
【淘宝店铺：向阳百分百】（1）讨论m=0和m≠0时的情况；
（2）f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，显然该函数单调，所以只需¿即可.
（3）讨论当m=0时，当m<0时，当m>0时，如何对x∈[2,+∞)有解，其中m<0，m>0，均为一元二
次不等式，结合一元二次函数图象求解即可.
【解答过程】（1）原不等式等价于mx2-2x+(1-m)<0，
1
当m=0时，-2x+1<0，即x> ，不恒成立；
2
当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，
则m<0且Δ=4-4m(1-m)<0，无解；
综上，不存在实数m，使不等式恒成立.
（2）设f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，
当m∈[-2,2]时，f(m)<0恒成立，
当且仅当¿，即¿，
-1+√7 1+√3
解得¿即 ，此时显然在x∈[2,+∞)有解；
2
当m<0时，x∈[2,+∞)时，结合一元二次函数图象，mx2-2x+(1-m)<0显然有解；
1
当m>0时，y=g(x)对称轴为x= ，Δ=4-4m(1-m)=4m2-4m+4=(2m-1) 2+3>0，
m
∵x∈[2,+∞)时，mx2-2x+(1-m)<0有解，
∴结合一元二次函数图象，易得：g(2)<0或¿，
解得m<1或¿（无解），
【淘宝店铺：向阳百分百】又∵m>0，
∴02 B．m≤-1或m≥2
C．-1≤m≤2 D．-10，解得m<-1或m>2.
故选：A.
4x+m
【变式4-1】（2023上·高一课时练习）若存在x∈R，使得 ≥2成立，则实数m的取值范围为（
x2-2x+3
）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【解题思路】由于x2-2x+3=(x-1) 2+2>0，所以问题转化为2x2-8x+6-m≤0有解，再由Δ≥0可求得
结果.
【解答过程】因为x2-2x+3=(x-1) 2+2>0恒成立，
所以原不等式等价于4x+m≥2(x2-2x+3)有解，
即2x2-8x+6-m≤0有解，
所以Δ=64-8(6-m)≥0，解得m≥-2，
即实数m的取值范围为¿，
故选：C.
【变式4-2】（2022上·湖南·高一统考期末）设函数f (x)=ax2+(b-1)x+2.
(1)若不等式f (x)<0的解集为(1,2)，求实数a，b的值；
(2)若f (-1)=5，且存在x∈R，使f (x)<1成立，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）根据f(x)=ax2+(b-1)x+2<0的解集为(1,2)，利用根与系数的关系求解；
【淘宝店铺：向阳百分百】（2）根据f(-1)=5，得到a-b=2，再由存在x∈R，ax2+(a-3)x+1<0成立，分a=0，a<0，a>0，
利用判别式法求解.
【解答过程】（1）解：因为f(x)=ax2+(b-1)x+2<0的解集为(1,2)，
a>0
1-b
=3
所以{ a ，解得a=1,b=-2；
2
=2
a
（2）（2）因为f(-1)=5，所以a-b=2，
因为存在x∈R，f(x)=ax2+(b-1)x+2<1成立，
即存在x∈R，ax2+(a-3)x+1<0成立，
1
当a=0时，x> ，成立；
3
当a<0时，函数y=ax2+(a-3)x+1图象开口向下，成立；
当a>0时，Δ=(a-3) 2-4a>0，即a2-10a+9>0，
解得a>9或a<1，此时，a>9或09或a<1.
【变式4-3】（2022上·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知f (x)=x2-ax-6a，其中a是常数.
(1)若f (x)<0的解集是¿，求a的值，并求不等式f (x)≥0的解集；
(2)若不等式f (x)<0有解，且解区间的长度不超过5个单位长度，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）由题意可得方程x2-ax-6a=0的两个根分别为-3和6，从而可求出a，进而可得不等
式f (x)≥0的解集；
（2）由不等式f (x)<0有解，可得Δ=a2+24a>0，设方程x2-ax-6a=0的两个根为x ,x ，利用根与系
1 2
数的关系，由题意得|x -x |≤5，平方化简变形得(x +x ) 2-4x x ≤25，再结合前面的式子代入可求出
1 2 1 2 1 2
实数a的取值范围.
【解答过程】（1）因为f (x)<0的解集是¿，
所以方程x2-ax-6a=0的两个根分别为-3和6，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以a=-3+6=3，
所以f (x)=x2-3x-18，
由f (x)≥0，得x2-3x-18≥0，解得x≤-3或x≥6，
所以不等式f (x)≥0的解集(-∞,-3]∪[6,+∞)，
（2）由f (x)<0有解，得Δ=a2+24a>0，解得a<-24或a>0，
设方程x2-ax-6a=0的两个根为x ,x ，则
1 2
x +x =a，x x =-6a，
1 2 1 2
由题意得|x -x |≤5，
1 2
所以(x +x ) 2-4x x ≤25，
1 2 1 2
所以a2+24a-25≤0，解得-25≤a≤1，
综上，-25≤a<-24或00”为真命题，则
0 0 0
实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞,-2) B．(-∞,4) C．(-2,+∞) D．(4,+∞)
【解题思路】由题知x ∈[-1,1]时，a>(x2-3x ) ，再根据二次函数求最值即可得答案.
0 0 0 min
【解答过程】解：因为命题“∃x ∈[-1,1]，-x2+3x +a>0”为真命题，
0 0 0
所以，命题“∃x ∈[-1,1]，a>x2-3x ”为真命题，
0 0 0
所以，x ∈[-1,1]时，a>(x2-3x ) ，
0 0 0 min
因为，y=x2-3x= ( x- 3) 2 - 9 ，
2 4
所以，当x∈[-1,1]时，y =-2，当且仅当x=1时取得等号.
min
所以，x ∈[-1,1]时，a>(x2-3x ) =-2，即实数a的取值范围是(-2,+∞)
0 0 0 min
故选：C.
【变式5-1】（2023上·福建·高一校联考期中）若至少存在一个x<0，使得关于x的不等式
【淘宝店铺：向阳百分百】3-|3x-a|>x2+2x成立，则实数a的取值范围是（ ）
( 37 ) ( 13) ( 37 13)
A． - ,3 B． -3, C． - , D．(-3,3)
4 4 4 4
【解题思路】化简不等式3-|3x-a|>x2+2x，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，
从而求得a的取值范围.
【解答过程】依题意，至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3-|3x-a|>x2+2x成立，
即至少存在一个x<0，使得关于x的不等式-x2-2x+3>|3x-a|成立，
画出y=-x2-2x+3(x<0)以及y=|3x-a|的图象如下图所示，其中-x2-2x+3>0.
当y=3x-a与y=-x2-2x+3(x<0)相切时，
由¿消去y并化简得x2+5x-a-3=0，
37
Δ=25+4a+12=0,a=- .
4
当y=-3x+a与y=-x2-2x+3(x<0)相切时，
由¿消去y并化简得x2-x+a-3=0①，
由Δ=1-4a+12=0解得a= 13 ，代入①得x2-x+ 1 = ( x- 1) 2 =0，
4 4 2
1
解得x= ，不符合题意.
2
当y=-3x+a过(0,3)时，a=3.
( 37 )
结合图象可知a的取值范围是 - ,3 .
4
故选：A.
【变式5-2】（2023上·重庆·高一校联考阶段练习）已知函数f (x)=2x2-2ax+1．
(1)解关于x的不等式f (x)>a+1-x；
(2)若不等式f (x)<0在x∈[-2,0)上有解，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由题意得对a的值进行分类讨论可得不等式的解集；
( 1 )
（2）将条件转化为a< x+ ，x∈[-2,0)，再利用基本不等式求最值可得a的取值范围；
2x
max
【淘宝店铺：向阳百分百】【解答过程】（1）f (x)>a+1-x，即2x2-2ax+1>a+1-x，
所以 2x2-(2a-1)x-a>0，
所以 (2x+1)(x-a)>0，
1 1
①当a<- 时不等式的解为x- ，
2 2
1 1
②当a=- 时不等式的解为x≠- ,x∈R，
2 2
1 1
③当a>- 时不等式的解为x<- 或x>a，
2 2
综上：原不等式的解集为
1 1
当a<- 时¿或x>- }，
2 2
1
当a=- 时¿，
2
1 1
当a>- 时¿或x<- }．
2 2
（2）不等式f (x)<0在x∈[-2,0)上有解，
即2x2-2ax+1<0在x∈[-2,0)上有解，
1
所以a0是假命题，求m的取值范围；
(2)若存在x∈(-4,0),f (x)≥(m+1)x2+3成立，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）依题意可得∀x∈R,f (x)≤0是真命题，分m=0和m≠0两种情况讨论；
【淘宝店铺：向阳百分百】4 ( 4)
（2）依题意参变分离可得存在x∈(-4,0)使得m≥-x- 成立，则只需m≥ -x- ，x∈(-4,0)，利
x x
min
( 4)
用基本不等式求出 -x- 即可得解.
x
min
【解答过程】（1）若命题：∃x∈R,f (x)>0是假命题，则∀x∈R,f (x)≤0是真命题，
即mx2-mx-1≤0在R上恒成立，
当m=0时，-1<0，符合题意；
当m≠0时，需满足¿，解得-4≤m<0；
综上所述，m的取值范围为[-4,0].
（2）若存在x∈(-4,0),f (x)≥(m+1)x2+3成立，
4 ( 4)
即存在x∈(-4,0)使得m≥-x- 成立，故只需m≥ -x- ，x∈(-4,0)，
x x
min
4 4 √ 4
因为x∈(-4,0)，所以-x∈(0,4)，则-x- =(-x)+ ≥2 (-x)⋅ =4，
x -x -x
4
当且仅当-x= ，即x=-2时取等号，
-x
( 4)
所以 -x- =4，所以m≥4.
x
min
【题型6 一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】
31
【例6】（2023上·浙江台州·高一校联考期中）已知函数f
(x)=2x2-ax+a2-4，g(x)=x2-x+a2-
，
4
(a∈R)
(1)当a=1时，解不等式f (x)>g(x)；
(2)若任意x>0，都有f (x)>g(x)成立，求实数a的取值范围；
(3)若∀x ∈[0,1]，∃x ∈[0,1]，使得不等式f (x )>g(x )成立，求实数a的取值范围.
1 2 1 2
【解题思路】（1）作差后解一元二次不等式即可.
（2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可；
15
解法二：分离参数，构造函数k=x+ ，利用基本不等式求解最值即可求解；
4x
（3）把问题转化为f (x) >g(x) ，利用动轴定区间分类讨论即可求解.
min min
27
【解答过程】（1）当a=1时，f (x)=2x2-x-3，g(x)=x2-x-
4
【淘宝店铺：向阳百分百】15
所以f (x)-g(x)=x2+ >0，所以f (x)>g(x)，所以f (x)>g(x)的解集为R.
4
15
（2）若对任意x>0，都有f (x)>g(x)成立，即x2+(1-a)x+ >0在x>0恒成立，
4
15 a-1
解法一：设h(x)=x2+(1-a)x+ ，x>0，对称轴x= ，由题意，只须h(x) >0，
4 2 min
a-1 15
①当 ≤0，即a≤1时，h(x)在(0，+∞)上单调递增，所以h(x)>h(0)= ，符合题意，所以a≤1；
2 4
a-1
(
a-1) (a-1
)
②当 >0，即a>1时，h(x)在 0, 上单调递城，在 ，+∞ 单调递增，
2 2 2
(a-1) (a-1) 2 15
所以h(x)>h =- + >0，解得1-√151，
2 4 4
所以10，
4 4x 4x
15 √ 15
由题意，只须a-1g(x )成立，
1 2 1 2
即只需满足f (x) >g(x) ，x∈[0,1]，
min min
g(x)=x2-x+a2-
31
，对称轴x=
1
，g(x)在
[
0,
1)
递减，在
(1
,1
]
递增，
4 2 2 2
g(x) =g
(1)
=a2-8，f (x)=2x2-ax+a2-4，x∈[0,1]，对称轴x=
a
，
min 2 4
a
① ≤0即a≤0时，f (x)在[0,1]递增，f (x) =f (0)=a2-4>g(x) =a2-8恒成立；
4 min min
a [ a) (a ]
②0< <1即0a2-8，故0a2-8，解得4≤a<6，综上：a∈(-∞,6).
【变式6-1】（2022上·重庆渝中·高一校考阶段练习）若命题p：存在1≤x≤2,x2-x+3-a<0，命题q：
二次函数y=x2-2ax+1在1≤x≤2的图像恒在x轴上方
(1)若命题p,q中至少有一个真命题，求a的取值范围？
(2)对任意的-1≤a≤1，存在0≤b≤2，使得不等式x2-2ax+a≥|b-1|+|b-2|成立，求x的取值范围？
【解题思路】（1）考虑补集思想，先求出命题p,q均为假命题时a的取值范围，再求出其补集即可；
（2）先得x2-2ax+a≥[|b-1|+|b-2|] =1，然后该不等式左边为关于a的一次函数，所以只要把a=1和
min
a=-1代入上式不等式可求得结果.
【解答过程】（1）考虑补集思想，命题p,q中至少有一个真命题的反面为：命题p,q均为假命题，
¬p:∀x∈[1,2],x2-x+3-a≥0，则a≤x2-x+3恒成立，
故a≤(x2-x+3) =3，
min
x2+1 1
¬q:∃x∈[1,2],x2-2ax+1≤0，则2a≥ =x+ 有解，
x x
1 √ 1
x+ ≥2 x⋅ =2，当且仅当x=1时取等号，
x x
( 1)
故2a≥ x+ =2⇒a≥1，
x
min
故1≤a≤3，再取补集：a的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞)
（2）先研究b，不等式x2-2ax+a≥|b-1|+|b-2|对于b∈[0,2]有解，
故：x2-2ax+a≥[|b-1|+|b-2|] =1，当且仅当1≤b≤2时，|b-1|+|b-2|取得最小值1，
min
再研究a，将a视为主元，则该不等式左边为关于a的一次函数，故只须在-1,1的值均满足条件即可，
则¿，得¿，解得x≤-1-√3或x≥2
故x的取值范围为(-∞,-1-√3]∪[2,+∞).
【变式6-2】（2023下·浙江·高二统考学业考试）设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)．
(1)若c=b，且f(x)在[0,2]上的最大值为c+2，求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意的实数b，都存在实数x ∈[1,2]，使得不等式|f(x )|≥x 成立，求实数c的取值范围．
0 0 0
【解题思路】（1）由c=b，则f(x)=x2+bx+b，由f(x)在[0,2]上的最大值为c+2，可得
f(x) =max{f(0),f(2)}=c+2>f(0)，可得b的值，可得函数f(x)的解析式；
max
【淘宝店铺：向阳百分百】f(x) c c
（2）只需当x∈[1,2]时| |=|x+ +b|≥1.设g(x)=x+ +b，x∈[1,2]，则只需
x x x
g(x) -g(x) ≥2 对任意的实数b都成立，分类讨论c可得答案.
max min
【解答过程】（1）若c=b，则f(x)=x2+bx+b，
当x∈[0,2]时f(x) =max{f(0),f(2)}=c+2>f(0)
max
故f(2) =c+2，解得：b=-1，故f(x)=x2-x-1.
f(x) c
（2）由题意得：存在x∈[1,2]，使| |=|x+ +b|≥1.
x x
c
设g(x)=x+ +b，x∈[1,2]，则只需g(x) -g(x) ≥2 对任意的实数b都成立.
x max min
1、当c=0时，g(x) -g(x) =1≥2，此时不成立.
max min
c
2、当c<0时，g(x)在[1,2]递增，故g(x) -g(x) =1- ≥2恒成立，故c≤-2.
max min 2
c
3、当00的解集是¿.求实数a，b的值；
（2）若c=2-a，b=2，a≥0，解关于x的不等式ax2+bx+c>0；
m2
（3）若a=1，b=-m，c= +2m-3，对∀x ∈¿，总∃x ∈¿，使得y (x )>y (x )，求实数m的取
2 1 2 1 1 2 2
值范围､（注：y (x )表示的是函数y =x+m中x 对应的函数值，y (x )表示的是y =ax2+bx+c中x 对
1 1 1 1 2 2 2 2
【淘宝店铺：向阳百分百】应的函数值.）
【解题思路】(1)由一元二次方程与一元二次不等式的解集的关系求a，b，(2)根据一元二次不等式的解法
求解不等式ax2+bx+c>0；（3）根据不等式恒成立问题和存在性问题的处理方法转化条件∀x ∈¿，
1
总∃x ∈¿，使得y (x )>y (x )，求m的范围.
2 1 1 2 2
【解答过程】(1)∵ 关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是¿，
∴ -1和3是方程ax2+bx+c=0的根，
b c
∴ -1+3=- ，-1×3= ，又c=2-a，
a a
∴ a=-1，b=2，c=3，
(2)∵ c=2-a，b=2，
∴ 不等式ax2+bx+c>0可化为ax2+2x+2-a>0，
∴ (ax+2-a)(x+1)>0，
当a=0时，原不等式可化为x+1>0
∴ x>-1,
a-2 a-2
当00的解集为(-∞, )∪(-1,+∞)，
a
当a=1时，不等式(ax+2-a)(x+1)>0可化为(x+1) 2>0
的解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞)，
a-2 a-2
当a>1时，方程(ax+2-a)(x+1)=0的解为-1和 ，且 >-1，
a a
a-2
不等式(ax+2-a)(x+1)>0的解集为(-∞,-1)∪( ,+∞)，
a
∴ 当a=0时，不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,+∞)，
a-2
当00的解集为(-∞, )∪(-1,+∞)，
a
当a=1时，不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞)，
a-2
当a>1时，不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-1)∪( ,+∞)；
a
(3)∵ 对∀x ∈¿，总∃x ∈¿，使得y (x )>y (x )，
1 2 1 1 2 2
【淘宝店铺：向阳百分百】∴ [ y (x)] >[ y (x)] ，
1 min 2 min
又y =x+m在[0,1]上的最小值为m，
1
m2
∵a=1，b=-m，c= +2m-3，
2
m2
∴ y =ax2+bx+c=x2-mx+ +2m-3
2 2
m2
∴ 当m≤2时，y =ax2+bx+c在[1,2]上的最小值为 +m-2，
2 2
m2
∴ m> +m-2
2
∴ -2 +2m-3
4
∴ m不存在，
m2
∴ 当m≥4时，y =ax2+bx+c在[1,2]上的最小值为 +1，
2 2
m2
∴ m> +1
2
∴ m不存在，
综上可得：实数m的取值范围为(-2,2).
1．（2005·辽宁·高考真题）定义在R上的运算：x* y=x(1- y).若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意实数x
都成立，则（ ）
3 1 1 3
A．- 0对任意实数x都成立，再解不等式Δ=1-4×(a-a2+1)<0即得解.
【解答过程】不等式(x-a)*(x+a)<1可化为(x-a)⋅(1-x-a)<1，
即x2-x+a-a2+1>0对任意实数x都成立，
∴Δ=1-4×(a-a2+1)<0，
【淘宝店铺：向阳百分百】1 3
解得- a >a >0，则使得(1-a x) 2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是（
1 2 3 i
）
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )
A． 0, B． 0, C． 0, D． 0,
a a a a
1 1 3 3
2
【解题思路】由(1-a x) 2<1可求得00)，
i a i
i
【解答过程】由(1-a x) 2<1，得：1-2a x+a2x2<1，
i i i
2
即x(a2x-2a )<0，解之得00)，
i i a i
i
因为a >a >a >0，使得(1-a x) 2<1(i=1,2,3)都成立，
1 2 3 i
2
所以0 ，∴x2> ，∴ <1，∴m<-1．
1+m2 x2 2m2 2m2
2m2 1 1+m2
当m>0时，则 < ∴x2< 恒成立显然无解，
1+m2 x2 2m2
故综上可知，实数m的取值范围是(-∞,-1).
故答案为(-∞,-1).
【淘宝店铺：向阳百分百】
