文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题01 不等式综合问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数 的图像如图所示，则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最
大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
4．（2008·四川·高考真题（理））已知等比数列 中 ，则其前 项的和 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．5．【多选题】（2022·全国·高考真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.简单不等式的解法是高考数学的基本要求，在许多题目中起到工具作用.
2.解答求最值和不等式恒成立问题，常用到基本不等式，往往与函数、立体几何、解析几何等交汇命题.
3.独立考查不等式问题，题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度．
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 不等式的性质与解法
【核心知识】
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a>b，ab>0 <.
(2)a<0b>0,0.
⇒
(4)0b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)．
(2)>；<(b－m>0)．
3.一元二次不等式的解法: 先将不等式化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应的一元二次方程ax2＋bx＋
c=0(a≠0)的根，最后根据相应的二次函数的图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的ax2＋bx＋c>0(a≠0)
解集.
【典例分析】
典例1.（2018·全国·高考真题（理））设 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
典例2. 若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D. ∪{2}
典例3.【多选题】（2021·河北高三二模）若实数 ， 满足 ，则下列选项中一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【易错提醒】
求解含参不等式ax2＋bx＋c<0恒成立问题的易错点
(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况．
(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解．
(3)不考虑a的符号．
考向二 不等式的恒成立问题
【核心知识】
不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x) >a，x∈I；f(x)g(x)对一切x∈I恒成立⇔当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．解题时一定要搞清谁是变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，
谁就是变量；求谁的范围，谁就是参数.利用分离参数法求解时，常用到函数的单调性、基本不等式等知识.
【典例分析】典例4.（2019·浙江·高考真题）已知 ，函数 ，若存在 ，使得 ，则实
数 的最大值是____.
典例5.（2018·天津·高考真题（文））已知 ，函数 若对任意x∈［–3，+
），f(x)≤ 恒成立，则a的取值范围是__________．
典例6.（2020·江苏省太湖高级中学高一期中）已知函数 ，关于 的不等式 的解集
为 .
（1）求实数 ， 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集；
（3）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【规律方法】
1.解决不等式恒成立问题的两种思路
(1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组),求得参数范
围.
(2)分离参数,通过求函数的最值,进而确定参数的范围.
2.策略方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解
参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x) ≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立
min
⇒f(x) ≤a，即n≤a.
max
考向三 基本不等式及其应用
【核心知识】
基本不等式求最值的常用解题技巧
1.凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
2.凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．3.“１”的代换:先把已知条件中的等式变形为“１”的表
达式ꎬ再把“１”的表达式与待求最值的表达式相乘ꎬ通过变形
构造和或积为定值的代数式求最值.
4.换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开（化为部分分式），
即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
【典例分析】
典例7.（2019·浙江·高考真题）若 ，则“ ”是 “ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
典例8.（2020·全国·高考真题（理））设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近
线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
典例9.（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的
球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
典例10. （2020·江苏·高考真题）已知 ，则 的最小值是_______．
典例11.（2022·全国·高考真题（理））已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ________．
典例12.（2022·广东深圳·高三阶段练习）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一
种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
(1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，
该饮料每瓶售价最多为多少元？
(2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价 元，并投入 万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少 万瓶，则当每瓶售价 为
多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润 月销售总收人 月总成本)
【总结提升】
1.运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．
2.将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，
求得目标函数的最值．
3.易错提醒:运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指
“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若
连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
