文档内容
第 04 讲 一元二次函数（方程，不等式）
(精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典型例题剖析
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
① 上恒成立（优选 法）
② 上恒成立（优选 法）
③ 上恒成立（优选分离变量法）
④ 上恒成立（优选分离变量法）
⑤已知参数 ，求 取值范围（优选变更主元法）
高频考点五：一元二次不等式的应用
第五部分：高考真题感悟
第六部分：第 04 讲 一元二次函数（方程，不等式）（精练）
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、二次函数
（1）形式：形如 的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数 的图象与 轴交点的横坐标是方程 的实根.
②当 且 ( )时，恒有 ( )；当 且 ( )时，恒有 (
).
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3. 或 型不等式的解集
解集
不等式
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数
的图象
有两相等实数根
一元二次方程 有两相异实数根 ，
没有实数根
的根
( )
一元二次不等式
的解集一元二次不等式
的解集
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，关于x的不等式 的解集为 ，则
.___________（判断对错）
【答案】正确
【详解】
由不等式 的解集为 ，
∴ 是二次函数且开口向上，对称轴为x 1，且 ，
∴ .
故答案为：正确.
二、单选题
1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知不等式 的解集为 ，则a，b的值是
（ ）A． ， B． ， C．6，3 D．3，6
【答案】B
由题意知得： 和 是方程 的两个根
可得： ， ，即 ，
解得： ，
故选：B
2．（2022·江西南昌·一模（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，解得： ，所以 ， ，解得： 或 ，故 ，
故
故选：C
3．（2022·陕西西安·高二期末（文））若关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由于关于 的一元二次不等式 的解集为 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
4．（2022·广东珠海·高一期末）已知关于 的不等式 的解集是 ，则 的值是
（ ）
A． B．2 C．22 D．
【答案】C
由题意得：2与3是方程 的两个根，故 ， ，所以 .
故选：C
5．（2022·宁夏·高三阶段练习（文））已知集合 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
，则 .
故选：A.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
1．（2022·河北·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解不等式 ， ，
解不等式 得 ， ，
；
故选：B.
2．（2022·湖南·高一课时练习）下面四个不等式中解集为空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
对于A选项，解不等式 得 ，A不满足条件；
对于B选项，由 得 ，该不等式的解集为 ，B不满足条件；
对于C选项，由 可得 ，解得 或 ，C不满足条件；
对于D选项，因为 ，故不等式 的解集为空集，D满足条件.
故选：D.
{ | 1 }
3．（2022·河南·信阳高中高一期末（理））设集合 ，N= x∈Z x2− x−5≤0 ，则
2
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
，即 ，解得： ，故
解得： ，又 ，故 ，故 .
故选：C
4．（2022·河南南阳·高二期末（文））不等式 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，解得 ，
所以不等式 的一个必要不充分条件是 .
故选：B
5．（2022·河南洛阳·高二期末（文））不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
，
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
又
所以
故选：A
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
一元二次不等式解法（含参问题）谈论三原则：
①最高项系数含参，从参数等于0开始讨论；如： ，最高项系数为 讨论时，从 开始讨论.
②两根大小不确定，从两根相等开始讨论；
如 两根分别为： ， ，讨论时从 开始讨论
③根是否在定义域内：
如 此时两根 ， ，讨论时注意 （舍去）
1．（2022·北京·清华附中高一期末）求下列关于 的不等式的解集：
解：当 时，原不等式即为 ，该不等式的解集为 ；
当 时， ，原不等式即为 .
①若 ，则 ，原不等式的解集为 或 ；
②若 ，则 ，原不等式的解集为 或 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 或 .
2．（2022·河北唐山·高一期末）已知关于x的不等式： ．
(1)当 时，解此不等式；
(2)当 时，解此不等式．
【答案】(1) 或
(2)当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为
(1)当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0
整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－ 或x＞3，
当a＝－2时，原不等式解集为{x|x＜－ 或x＞3}．
(2)当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0
整理得：(x－3)(x－ )＜0，
当a＝ 时， ＝3，此时不等式无解；当0＜a＜ 时， ＞3，解得3＜x＜ ；
当a＞ 时， ＜3，解得 ＜x＜3；
综上：当a＝ 时，解集为；
当0＜a＜ 时，解集为{x|3＜x＜ }；
当a＞ 时，解集为{x| ＜x＜3}.
3．（2022·福建·莆田第二十五中学高一期末）解关于 的不等式 .
由 ，
∴当 时，解集为 ；
当 时，无解；
当 时，解集为 ；
4．（2022·全国·高三专题练习）解关于 的不等式： .
由 得 ，
∵ ，
当 ，即 时，不等式的解为 或 .
当 ，即 时，不等式的解为 或 ，
当 ，即 时，不等式的解 ，
所以当 时原不等式的解集为 ，
当 时原不等式的解集为 ，
当 时不等式的解集为 .
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
1．（2021·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期中）若不等式 的解集为[-1，2]，则
=（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B由题意 ， 的解是 ，
所以 ，解得 ． ．
故选：B．
2．（2021·四川省南充高级中学高二开学考试（理））已知不等式 的解集为 ，
则 ___________.
【答案】
解：由题意不等式 的解集是 ，可知不等式是二次不等式，故1，2是方程
的两个根，
，
， ．
．
故答案为： ．
3．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）若函数 的两个零点是2和3，则不等式
的解集为________ ．
【答案】
根据题意， ，则不等式可化为
.
故答案为： .
4．（2022·上海闵行·高一期末）已知 、 ，关于 的不等式 的解集为 ，则
___________.
【答案】
由题意可知，关于 的方程 的两根分别为 、 ，
由韦达定理可得 ，可得 ，因此， .
故答案为： .
5．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知a为常数，若关于x的不等式 的解集为 ，则
______．【答案】
因关于x的不等式 的解集为 ，则 ，2是方程 的两个根，
因此有 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
① 上恒成立
二次型+ （范围）优选 法（注意最高项系数含参数，从 0 开始讨
论）
1．（2022·福建宁德·高一期末） 不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． D．
【答案】A
不等式 恒成立，
当 时，显然不恒成立，
所以 ，解得： .
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，“ 对 恒成立”的一个充要条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
当 时， ，对 恒成立；
当 时，若 ，对 恒成立，
则必须有 ，解之得 ，
综上， 的取值范围为 .
故“ 对 恒成立”的一个充要条件是 ，
故选：B
3．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一阶段练习）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】C
当 时， ，不符合题意，所以舍去；
当 时，由题得 且 ，所以 .
综上： .
故选：C
4．（2021·全国·高一课时练习）若不等式 对任意 均成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：原不等式等价于 ，
①当 时， 对任意的 不等式都成立；
②当 时， ，所以 ；
③当 时，显然不能成立.
综合①②③，得 的取值范围是 .
故选：A
5．（2020·河北省尚义县第一中学高一期中）若命题 为真命题，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
因为命题 是真命题，
令 ，则必有 ，
解得： ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：C
② 上恒成立
二次型+ （范围）优选 法（注意最高项系数含参数，从 0 开始讨论）
1．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））如果“ ，使 .”是真命题，那
么实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
“ ，使 .”是真命题，
∴ ，则 或 .
故选：B
2．（2020·宁夏·隆德县中学高三阶段练习（理））已知命题“ ， ”是真命题，
则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． ）D．
【答案】D
由题意，命题“ ， ”是真命题
故 ，解得 或 .
则实数 的取值范围是
故选：D.
3．（2022·江苏南通·高一期末）若命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】A
若命题“ ”是真命题，
即 有解，
则对应的判别式 ，即 ，
解得 ，
故选：A
4．（2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）若命题“ ”是真命题，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D，即函数 的最小值小于0即可， ，故
，解得：
故选：D
5．（2021·天津·耀华中学高一期中）若命题“ ，使得不等式 ”成立，则实数
的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
命题“ ，使得不等式 ”成立，
当 时，不等式为 ，显然有解，成立；
当 时，开口向下，必然 ，使得不等式 成立，；
当 ， 即 ，解得 或 ，所以 或 ．
综上可得 或 ．
故选： ．
③ 上恒成立（优选分离变量法）
1．（2022·海南·嘉积中学高一阶段练习）对任意的 ， 恒成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
当 时，由 得： ，
（当且仅当 ，即 时取等号）， ，解得： ，
即 的取值范围为 .
故选：D.
2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于 的不等式 在 上恒成立，
则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B解：当 时，不等式 恒成立；
当 时，由题意可得 恒成立，
由 ，当且仅当 时，取得等号．
所以 ，解得 ．
综上可得， 的取值范围是 ．
故选：B．
3．（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为关于 的不等式 对任意 恒成立，
所以 ，
令 ， ，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以
故选：A
4．（2021·黑龙江·鸡西市第一中学校高一期中）已知函数 ，若 在 上恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，
任取 ，
则，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上递增，
所以 ，
所以 .
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的 恒成立，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为对任意的 恒成立，
所以对任意的 恒成立，
因为当 ， ，
所以 ， ，
即m的取值范围是
故选：A
6．（2022·甘肃张掖·高一期末）设函数 ．
(1)若不等式 的解集是 ，求不等式 的解集；
(2)当 时， 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或 (2)
(1)
因为不等式 的解集是 ，
所以 是方程 的解
由韦达定理
解得
故不等式 为 ，即
解得 或
故不等式 得其解集为 或
(2)
当 时 ，
在 上恒成立，
所以
令 ，则
令 ，则 ，
由于 均为 的减函数
故 在 上为减函数
所以当 时， 取最大值，且最大值为3
所以
所以
所以实数 的取值范围为 .
7．（2021·山东·枣庄市第三中学高一阶段练习）已知函数 （a∈R）.
(1)若关于x的不等式 <0的解集为（1，b），求a和b的值;
(2)若对任意x∈ ， 恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)a=3，b=4(2)
(1)
解：因为不等式 <0的解集为（1，b），即 的解集为（1，b），
所以1，b为 的两根，
所以由根与系数的关系知1+b=a+2且 =4，所以a=3，b=4；
(2)
解：∵对任意x∈ ， 恒成立，∴ 对任意的x∈[1，4]恒成立，
当x=1时，0≤4恒成立，符合题意，所以a∈R；
当x∈ 时，问题等价于a≤ 恒成立，即a≤ ，
∵ ，且 ，
∴ ，当且仅当 ，即x=3时取等号，
∴a≤4，
综上，a的取值范围为 .
④ 上恒成立（优选分离变量法）
1．（2021·河南信阳·高二期中（理））若关于 的不等式 在 有解，则 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
令 ，其对称轴为 ，
关于 的不等式 在 有解，
当 时，有 ，
，即 ，可得 或 ．
故选：B．
2．（2021·安徽·池州市第一中学高一期中）若关于x的不等式 在 上有解则实数m的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：依题意， ，令 ，
故问题转化为求函数 在 上的最大值；
因为二次函数 的对称轴为 ，且 ，故 ，故 ，
故选：A.
3．（2021·河南·高二期中（理））已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由 ， ，可得 在 上有解，令 ，则
，当且仅当 时取等号，所以 .
故选：A.
4．（2021·山西·大同一中高一期中）若关于 的不等式 在 内有解，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
依题意关于 的不等式 在 内有解，
，
，
所以 .
故选：D
5．（2021·河北·石家庄市第四十四中学高一期中）若关于x的不等式 在区间 上有解，则
实数m的取值范围是__________．
【答案】
因为 ，
所以，由 得 ，
因为关于 的不等式 在区间(0，2]上有解，
所以只需 小于等于 的最大值，
又 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
即实数 的取值范围是 .故答案为： .
6．（2021·福建省龙岩第一中学高一期中）已知不等式 有解，则实数 的取值范围为
__________.
【答案】
解：当 时， ，符合题意
当 时，令 ，
由不等式 有解
即 ，得
当 时， 开口向下，满足 有解
符合题意
综上，实数 的取值范围为
故答案为： .
7．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知函数 ；
(1)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值；
(2)存在 使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)由题意知：1和m是 的两根，
故 ，即 ；
(2)存在 使得 成立，
即存在 ，使得 成立，
即存在 ，使得 成立，
当 时， ，当且仅当x=2时取等号，
故 ，
即实数 的取值范围为 .
⑤已知参数 ，求 取值范围（变更主元法）1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，不等式 恒成立，则 的取值范围
为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D．
【答案】C
解：令 ，
则不等式 恒成立转化为 在 上恒成立．
有 ，即 ，
整理得： ，
解得： 或 ．
的取值范围为 ．
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
令 ，对一切 均大于0恒成立，
所以 ，或 ，
或 ，
解得 或 ， ，或 ，
综上，实数 的取值范围是 ，或 .
故选：A.
3．（2021·全国·高一课时练习）对任意的 ，函数 的值总大于0，则 的
取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
对任意 ，函数 的值恒大于零
设 ，即 在 上恒成立.
在 上是关于 的一次函数或常数函数，其图象为一条线段，
则只需线段的两个端点在 轴上方，即 ，解得 或
故选：B
【点睛】
关键点睛：本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函数 ，
将问题转化为 在 上恒成立，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题.
4．（2021·江西吉安·高一期中）若不等式 对任意 成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题得不等式 对任意 成立，
所以 ，
即 ，
解之得 或 .
故选：A
高频考点五：一元二次不等式的应用
1．（2021·全国·高一课时练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售
价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元
以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意，得 ，即 ，∴ ，解得 ．又每盏
的最低售价为15元，∴ ．故选：B．
2．（2021·河北·石家庄一中高一阶段练习）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为
（即每销售100元征税 元），若年销售量为 万件，要使附加税不少于128万元，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
根据题意，要使附加税不少于128万元，
则 ，
整理得： ，
解得： .
所以 的取值范围是 ，
故选：A.
3．（2021·全国·高一专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖
出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以
上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价 （单位：元）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
结合题意易知， ，
即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
这批台灯的销售单价 的取值范围是 ，
故选：C.
4．（2021·全国·高一课时练习）一服装厂生产某种风衣，日产量为 件时，售价为 元/件，每天
的总成本为 元，且 ， ，要使获得的日利润不少于1300元，则 的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
设日利润为 元，则 ，由 ，解得 ，即 的取值范围为 .
故选D．
5．（2021·全国·高一专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 （件）与单价 （元）之间的
关系为 ，生产 件所需成本为 （元），其中 元，若要求每天获利不少于1300
元，则日销售量 的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
设该厂每天获得的利润为 元，
则 ， ， ，
根据题意，可得 ，解得 ，
故当 ，且 时，每天获得的利润不利于1300元.
故选B.
第五部分：高考真题感悟
1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数 的图像如图所示，则不等式 的解集
是（ ）
A． B．
B．C． D．
【答案】A
结合图像易知，
不等式 的解集 ，
故选：A.
2．（2019·全国·高考真题（理））设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)
【答案】A
由题意得， ，则 ．故选A．
3．（2017·天津·高考真题（理））已知函数 设 ，若关于x的不等式
在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
不等式 为 (*)，
当 时，(*)式即为 ， ，
又 （ 时取等号），
（ 时取等号），
所以 ，
当 时，(*)式为 ， ，
又 （当 时取等号），
（当 时取等号），
所以 ，
综上 ．故选A．
4．（2019·天津·高考真题（文）） 设 ，使不等式 成立的 的取值范围为__________.
【答案】
，
即 ，
即 ，故 的取值范围是 ．
5．（2018·天津·高考真题（文））已知 ，函数 若对任意x∈［–3，+
），f(x)≤ 恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
分类讨论：①当 时， 即： ，
整理可得： ，
由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：
当 时， ，则 ；
②当 时， 即： ，整理可得： ，
由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：
当 或 时， ，则 ；
综合①②可得 的取值范围是 ，故答案为 .
第六部分：第 04 讲 一元二次函数（方程，不等式）
（精练）
一、单选题
1．（2022·河南濮阳·高二开学考试（理））若不等式 的解集为 ，则 的值分
别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
由不等式解集可知： 和 是方程 的两根，且 ，，解得： ， .
故选：D.
2．（2022·江苏南通·高三阶段练习）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意，当 时，不等式 恒成立，
故
解得
故实数 的取值范围是
故选：A
3．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）不等式 对一切 恒成立，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由题意，不等式 对一切 恒成立，
当 时，即 时，不等式 恒成立，符合题意；
当 时，即 时，
要使得不等式 对一切 恒成立，
则满足 ，解得 ，
综上，实数a的取值范围是 .
故选：B.
4．（2022·河南焦作·高二期末（理））若存在 ，使得不等式 成立，则实数k的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C存在 ，不等式 成立，
则 ， 能成立，
即对于 ， 成立，
令 ， ，
则 ，令 ，
所以当 ， 单调递增，
当 ， 单调递减，
又 ，所以f(x)>−3，
所以 .
故选：C
5．（2022·河南·高一阶段练习）已知关于 的不等式 的解集为
，则下列结论错误的是（ ）
A． B．ab的最大值为
C． 的最小值为4 D． 的最小值为
【答案】C
由题意，不等式 的解集为 ，
可得 ，且方程 的两根为 和 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ，所以A正确；
因为 ， ，所以 ，可得 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最大值为 ，所以B正确；
由 ，当且仅当 时，即 时取等号，所以 的最小值为 ，所以C错误；
由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，所以D正确．
故选：C．
6．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）已知关于 的不等式 的解集为 或
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式 的解集为
C． D．不等式 的解集为
【答案】B
解：因为关于 的不等式 的解集为 或 ，所以 ，所以选项A错误；
由题得 ，所以 为 .所以选项
B正确；
设 ，则 ，所以选项C错误；
不等式 为 ，所以选项D错误.
故选：B
7．（2022·江苏南京·高一期末）已知 ，关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的
不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为不等式 的解集为 ，
所以 即 ，
不等式 等价于 ，解得 .
故选：A.
8．（2022·重庆八中高一期末）关于 的不等式 恰有2个整数解，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由 恰有2个整数解，即 恰有2个整数解，
所以 ，解得 或 ，
①当 时，不等式解集为 ，因为 ，故2个整数解为1和2，
则 ，即 ，解得 ；
②当 时，不等式解集为 ，因为 ，故2个整数解为 ，
则 ，即 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围为 或 .
故选：B.
二、填空题
9．（2022·上海金山·高一期末）若关于x的不等式 的解集为R，则实数m的取值范围是
______.
【答案】
关于x的不等式 的解集为R，
则 ，所以 ，
故答案为：
10．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x的不等式 的解集为A，集合
，若 ，则实数a的取值范围为___________.
【答案】解：原不等式 可变形为 ，
当 ，即 时， ，满足题意；
当 ，即 时， ，所以 ，解得 ，所以 ；
当 ，即 时， ，所以 ，解得 .
综上可得 ，即 ；
故答案为：
11．（2022·河南驻马店·高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”
的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为： ，
表示不超过x的最大整数，如 ， ，[2]=2，则关于x的不等式 的解集为
__________.
【答案】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
12．（2022·浙江金华第一中学高一期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，
其中 ，则 的最小值是___________.
【答案】
因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以 是方程 的两个不相等的实根，
因此有 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
即 时取等号，，设 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 单调递增，所以 ，
故答案为：
三、解答题
13．（2022·河南濮阳·高二开学考试（理））已知关于 的函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集.
(2)当 时，求不等式 的解集.
【答案】(1) (2)
(1)当 时， ，
由 得： 或 ， 的解集为 或 .
(2)由 得： ，
当 时，令 ，解得： ， ，
则由 得： 或 ，
的解集为 .
14．（2022·湖南·高一课时练习）若不等式 的解集是 ，求不等式 的
解集．
【答案】 .
由题意，不等式 的解集是 ，
可得 和 是一元二次方程 的两个实数根，
所以 ，解得 ， ，
所以不等式 化为 ，即 ，
解得 ，
∴不等式 的解集为 ．15．（2022·云南玉溪·高一期末）设关于x的二次函数 ．
(1)若 ，解不等式 ；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
(1)由题设， 等价于 ，即 ，解得 ，
所以该不等式解集为 .
(2)由题设， 在 上恒成立．
令 ，则对称轴 且 ，
①当 时， 开口向下且 ，要使 对 恒成立，
所以 ，解得 ，则 ．
②当 时， 开口向上，只需 ，即 .
综上， ．
16．（2022·广西·高二期末（文））已知二次函数 ， .
(1)若 ，求函数 的最小值；
(2)若 ，解关于x的不等式 .
【答案】(1)
(2)当 时，不等式的解集为
当 时，不等式的解集为
当 时，不等式的解集为
(1)当a=3时，函数可整理为 ，因为 ，所以利用基本不等式
，当且仅当 ，即 时，y取到最小值 .所以，当
时，函数 的最小值为 .(2)将不等式 整理为 ，令 ，即 ，解得两根
为 与1，
因为 ，
当 时，即 时，此时 的解集为 ；
当 时，即 时，此时 的解集为 ；
当 时，即 时，此时 的解集为 .
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
