文档内容
第 04 讲 导数与函数的极值、最值
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第10题,6分 求已知函数的极值点 利用导数求函数的单调区间
利用导数研究具体函数单调性
函数对称性的应用
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 极值与最值的综合应用
利用导数研究函数的零点
判断零点所在的区间
求在曲线上一点处的切线方程
2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 根据极值求参数
利用导数研究含参函数单调性
2023年新I卷，第11题,5分 函数极值点的辨析 函数的性质、奇偶性的定义与判断
基本(均值)不等式的应用、求平面轨迹
2023年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (不含参)
方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长
2023年新Ⅱ卷，第11题,5分 根据极值求参数 根据二次函数零点的分布求参数的范围
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 根据极值点求参数 利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的零点
锥体体积的有关计算球的体积的有关计算
2022年新I卷，第8题,5分 由导数求函数的最值 (不含参)
多面体与球体内切外接问题
求在曲线上一点处的切线方程 (斜率）
2022年新I卷，第10题,5分 求已知函数的极值点
利用导数研究函数的零点
2022年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (含参) 利用导数研究方程的根
2021年新I卷，第15题,5分 由导数求函的最值 (不含参) 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-13-15分
【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的
极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习
知识讲解
1. 函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小， ，
而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函
数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大， ，
而且在点x＝b 附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做
函数的极大值．
（3）极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即： 是 为极值点的必要非充分条件
2. 函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．
考点一、 求函数的极值或极值点
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就 、 、 分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
故 ，
因为 在 上为增函数，
故 在 上为增函数，而 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 处取极小值且极小值为 ，无极大值.
（2） ，
设 ，
则 ，当 时， ，故 在 上为增函数，
故 ，即 ，
所以 在 上为增函数，故 .
当 时，当 时， ，
故 在 上为减函数，故在 上 ，
即在 上 即 为减函数，
故在 上 ，不合题意，舍.
当 ，此时 在 上恒成立，
同理可得在 上 恒成立，不合题意，舍；
综上， .
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导
数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
2．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3个
【分析】（1）先对 求导，利用导数的几何意义得到 ， ，从而得到关于 的方程组，
解之即可；
（2）由（1）得 的解析式，从而求得 ，利用数轴穿根法求得 与 的解，由此求
得 的单调区间；
（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间 ， ， 与 上
的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得 的极值点个数.
【详解】（1）因为 ，所以 ，因为 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，
则 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
则 ，
令 ，解得 ，不妨设 ， ，则 ，
易知 恒成立，
所以令 ，解得 或 ；令 ，解得 或 ；
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
即 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 和 .
（3）由（1）得 ， ，
由（2）知 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
当 时， ， ，即
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， 在 上单调递减，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 在 上有一个极大值点；
当 时， 在 上单调递增，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；所以 在 上有一个极小值点；
当 时， ，
所以 ，则 单调递增，
所以 在 上无极值点；
综上： 在 和 上各有一个极小值点，在 上有一个极大值点，共有 个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断 与 的正负情况，充分利用 的单调
性，寻找特殊点判断即可得解.
3．（2021·天津·高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I） ；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出 在 处的导数，即切线斜率，求出 ，即可求出切线方程；
（II）令 ，可得 ，则可化为证明 与 仅有一个交点，利用导数求出 的
变化情况，数形结合即可求解；
（III）令 ，题目等价于存在 ，使得 ，即 ，利用导
数即可求出 的最小值.
【详解】（I） ，则 ，
又 ，则切线方程为 ；
（II）令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增，
当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；
（III）由（II）知 ，此时 ，
所以 ，
令 ，
若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ，
， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，故 ，
所以实数b的取值范围 .
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明 与 仅有一个交点；第三问解题的关键是
转化为存在 ，使得 ，即 .
1．（2024·湖南长沙·三模）已知函数 （ ）.
(1)求函数 的极值；
(2)若集合 有且只有一个元素，求 的值.
【答案】(1)极大值是 ，无极小值；
(2) .
【分析】（1）利用求导，通过参数 ，可分析出 为正负的区间，从而可以判断 的极值；
（2）利用不等式有唯一解，则正好是最大值取到等号，再去分析取等号的含参方程有解的条件，所以重
新构造新的函数，通过求导来研究函数的零点和方程的解.
【详解】（1）由 ，因为 ，所以 的定义域为 ，则 ，
因为 时， ； 时， .
所以 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 ，
所以 是 的极大值点， 的极大值是 ，无极小值.
（2）由（1）可得 ，
要使得集合 有且只有一个元素，则只需要
设 ，则 ，
因为 时， ； 时， ，
所以 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 .
所以 ，所以关于 的方程 有解时，
只能是 ，
所以集合 有且只有一个元素时 .
2．（2024·浙江温州·三模）设函数 的导函数为 .
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)证明：函数 存在唯一的极大值点 ，且 .
（参考数据： ）
【答案】(1) 在 上单调递增，在 上单调递减，极大值 ，无极小值.
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求函数 的单调区间和极值；
（2）利用导数求函数 的极大值点 ，由单调性证明 .【详解】（1）函数 ，定义域为 ，
， ，
解得 ， 解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故极大值为 ，无极小值.
（2）由（1）可知， 且 ， ，
所以根据零点定理， 使 ， 使 ，
即 时， ， 为减函数；
时， ， 为增函数，
所以 存在唯一极大值点 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，得证!
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 的导函数为 .
(1)证明：函数 有且只有一个极值点；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）求导，结合函数单调性及零点存在定理说明 的单调性即可证明；
（2）换元 ，并分离参数求函数最值即可求解.
【详解】（1）证明：由题意知 的定义域为 ，且 ，
令 ，则 ，
所以 （即 ）在 上单调递增，又
所以 在 上有唯一零点 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 有且只有一个极值点 .
（2） 恒成立，
即 恒成立，
即 恒成立，即 恒成立.
令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的极值点及不等式恒成立问题，关键是利用函数特点同构，得到
恒成立..
考点二、 根据函数极值或极值点求参数值或范围
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析 和 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得 ，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知 有零点，可得 ，进而利用导数求 的
单调性和极值，分析可得 ，构建函数解不等式即可.
【详解】（1）当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）解法一：因为 的定义域为 ，且 ，
若 ，则 对任意 恒成立，
可知 在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，则 ，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ；
解法二：因为 的定义域为 ，且 ，
若 有极小值，则 有零点，
令 ，可得 ，
可知 与 有交点，则 ，
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，符合题意，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，
因为则 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，且 ，不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 .
2．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建 ， ，求导，利用导数判断原函
数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究 在 上的单调性，求导，分类讨论 和
，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ；
构建 ，
则 ，
构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
即 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ；
综上所述： .
（2）令 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，
若 ，则 ，
因为 在定义域内单调递减， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 是 的极小值点，不合题意，所以 .
当 时，令
因为 ，且 ，
所以函数 在定义域内为偶函数，
由题意可得： ，
（i）当 时，取 ， ，则 ，
由（1）可得 ，
且 ，
所以 ，
即当 时， ，则 在 上单调递增，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递减，
所以 是 的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当 时，取 ，则 ，
由（1）可得 ，
构建 ，
则 ，
且 ，则 对 恒成立，
可知 在 上单调递增，且 ，
所以 在 内存在唯一的零点 ，
当 时，则 ，且 ，
则 ，
即当 时， ，则 在 上单调递减，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递增，
所以 是 的极大值点，符合题意；综上所述： ，即 ，解得 或 ，
故a的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：
1.当 时，利用 ，换元放缩；
2.当 时，利用 ，换元放缩.
3．（2023·全国·高考真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)存在 满足题意，理由见解析.
(3) .
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求
解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数 的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可
得关于实数 的方程，解方程可得实数 的值，最后检验所得的 是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数 ，然后对函数求导，
利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论 ， 和 三中情况即可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
据此可得 ，
函数在 处的切线方程为 ，
即 .（2）令 ，
函数的定义域满足 ，即函数的定义域为 ，
定义域关于直线 对称，由题意可得 ，
由对称性可知 ，
取 可得 ，
即 ，则 ，解得 ，
经检验 满足题意，故 .
即存在 满足题意.
（3）由函数的解析式可得 ，
由 在区间 存在极值点，则 在区间 上存在变号零点;
令 ，
则 ，
令 ，
在区间 存在极值点，等价于 在区间 上存在变号零点，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
此时 ， 在区间 上无零点，不合题意;
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，
所以 在区间 上无零点，不符合题意；
当 时，由 可得 ，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的最小值为 ，
令 ，则 ，
函数 在定义域内单调递增， ，
据此可得 恒成立，
则 ，
由一次函数与对数函数的性质可得，当 时，
，
且注意到 ，
根据零点存在性定理可知: 在区间 上存在唯一零点 .
当 时， ， 单调减，
当 时， ， 单调递增，
所以 .
令 ，则 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以
，所以函数 在区间 上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数 得取值范围是 .
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等
函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利
用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
4．（2021·全国·高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
【答案】（1） ；（2）证明见详解
【分析】（1）由题意求出 ，由极值点处导数为0即可求解出参数 ；
（2）由（1）得 ， 且 ，分类讨论 和 ，可等价转化为要证
，即证 在 和 上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【详解】（1）由 ， ，
又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ；
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知， ，其定义域为 ．
要证 ，即证 ，即证 ．
（ⅰ）当 时， ， ，即证 ．令 ，因为
，所以 在区间 内为增函数，所以 ．
（ⅱ）当 时， ， ，即证 ，由（ⅰ）分析知 在区间
内为减函数，所以 ．
综合（ⅰ）（ⅱ）有 ．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得 ， ， 且 ，当 时，要证 ， ， ，即证
，化简得 ；
同理，当 时，要证 ， ， ，即证
，化简得 ；
令 ，再令 ，则 ， ，
令 ， ，
当 时， ， 单减，故 ；
当 时， ， 单增，故 ；
综上所述， 在 恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令 ，因为 ，所以 在区间 内是增函数，在区间 内是减
函数，所以 ，即 （当且仅当 时取等号）．故当 且 时， 且
， ，即 ，所以 ．
（ⅰ）当 时， ，所以 ，即 ，所以 ．
（ⅱ）当 时， ，同理可证得 ．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当 且 时， ，即 ．
【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当 时，转化为证明
，当 时，转化为证明 ，然后构造函数，利用导数研究单调性，进
而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当 时， 成
立和当 时， 成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，
运算简洁，为最优解；方法三先构造函数 ，利用导数分析单调性，证得常见常用结论
（当且仅当 时取等号）．然后换元得到 ，分类讨论，利用不等式的基本性质
证得要证得不等式，有一定的巧合性.1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数 的一个极值为 ．
(1)求实数 的值；
(2)若函数 在区间 上的最大值为18，求实数 与 的值．
【答案】(1) 或5
(2)实数 的值为 的值为5
【分析】（1）通过求导，根据导数的正负得到极值点，根据极值为 解出 的值；
（2）根据 上 的单调性，分 ， ， ， 四种情况讨论 的最大值，
只有 中存在 符合题意，令最大值为18，求得 和 的值.
【详解】（1）由 ，得 ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ；令 ，得 或 ．
所以函数 有两个极值 和 ．
若 ，得 ，解得 ；
若 ，得 ，解得 ．
综上，实数 的值为－22或5．
（2）由（1）得， 在区间 的变化情况如下表所示：
1
+ 0 － 0 +
极大值 极小值
由表可知，
①当 时，函数 在区间 上单调递增，所以最大值为 ，
其值为 或 ，不符合题意；
②当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，因为 ， ， ，所以 在 上的最大值为 ，其值
为 或25，不符合题意；
③当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ， ， ，所以 在 上的最大值为 ，其值
为 或25，不符合题意；
④当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
若 在区间 上的最大值为 ，其值为 或 ，不符合题意，
又因为若 ，则 ．那么，函数 在区间 上的最大值只可能小于－2，不
合题意，
所以要使函数 在区间 上的最大值为18，必须使 ，且 ，
即 ．所以 ，
所以 ．所以 ，
所以 ．所以 或 ，
所以 或 ．因为 ，所以 舍去．
综上，实数 的值为 的值为5．
【点睛】方法点睛：函数在闭区间上的最值
通过求导，根据导数的正负得到函数的单调性，从而函数的最大值在极大值和端点值中取大，函数的最小
值在极小值和端点值中取小.
2．（2024·重庆·模拟预测）已知
(1)若 在 处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)若 存在极值点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据已知条件有 ，解方程即可求出 ；
（2）根据条件有 在 上至少有一个变号零点，即 至少有一解，构造函数，对 求导，利用导数判断函数单调性，求出函数最值，进而即得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
根据题意有 ，即 ，解得 ，
检验，此时 ，切线为 ，平行与 轴，故 符合题意.
（2）因为 ，所以 ，
因为 存在极值点，所以 在 上至少有一个变号零点，
即 至少有一解，令 ，
则 ，令 ，即 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，又当 时， ，
所以 .
3．（2023·湖南郴州·一模）已知函数 .
(1)若曲线 在 处切线与 轴平行，求 ；
(2)若 在 处取得极大值，求 的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先对 求导，利用导数的几何意义即可得解；
（2）分类讨论 的取值情况，利用导数分析 的单调情况，从而得到其极值情况，由此得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
因为曲线 在 处切线与 轴平行，
所以 ，解得 ，又 ，所以 .
（2） 的定义域为 ， ，
①当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减.
在 处取得极大值，满足题意；
②当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减.
在 处取得极大值，满足题意；
③当 时，
（i）当 时，
所以 在 上单调递增， 无极值，不满足题意；
（ii）当 时， ，
令 ，得 ，令 ，得 或 .
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
在 处取得极小值，不满足题意；
（iii）当 时， ，
令 ，得 ，令 ，得 或 .
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
在 处取得极大值，满足题意；
综上所述， 的取值范围为 .
4．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 ， .
(1)求函数 单调区间；(2)若函数 在 有两个极值点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）通过求函数 的导数，将 分类 ，讨论函数 的单调性；
（2）通过导数将函数极值问题转化为方程 在 上有两个根即可.
【详解】（1）由题意可知，函数定义域为 ，
导数
时， 恒成立
时，当 ；当
时，当 ；当
综上可知： 时为常函数，无单调区间
时，单调增区间为： ，单调减区间为：
时，单调增区间为： ，单调减区间为： .
（2）因为 ，
所以 ，
因为 在 上有两个极值点，
则 ，即 在 上有两个根，
令 ，
当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
又因为 时 ， ， ，
所以 在 上有2个极值点需满足 .
综上所述，当 时，函数 在 上有两个极值点.考点三、 利用导数求函数最值
1．（2024·安徽·三模）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，求函数 在 上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为 ，最小值为
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果；
（2）利用导数与函数单调性间的关系，求出 和 的解集，即可求出函数的单调区间，再
求出两端点函数值及极值，通过比较，即可求出结果.
【详解】（1）由函数 ，可得 ，
可得 ，且 ，所以切线的斜率为 ，切点为 ，
则所求切线方程为 .
（2）由（1），当 时，可得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
而 ， ， ，
故所求最大值为 ，最小值为 .
2．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，求函数 在区间 上的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数，分类讨论求区间；
（2）结合（1）得到的函数 单调性，分类讨论函数 最大值.
【详解】（1） 的定义域为 ，求导数，得 ，
若 ，则 ，此时 在 上单调递增，
若 ，则由 得 ，当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
综上，当 ， 的增区间为 ，无减区间，
若 ， 减区间为 ，增区间为 .
（2）由（1）知，当 时， 在区间 上为增函数，
函数 的最大值为 ，
当 时， 在区间 上为减函数，
函数 的最大值为 ，
当 时， 在区间 上为减函数，在 上为增函数，
函数 的最大值为 ，
由 ，得 ，
若 时，函数 的最大值为 ，
若 时，函数 的最大值为 ，
综上，当 时，函数 的最大值为 ，
当 时，函数 的最大值为 .
1．（2024·山东泰安·三模）已知函数 .
(1)讨论 的最值；
(2)若 ，且 ，求 的取值范围.【答案】(1)最小值为 ，无最大值.
(2) .
【分析】（1）求得 ，结合导数的符号，求得函数 的单调区间，进而求得其最值；
（2）把不等式转化为 ，令 ，利用导数求得函数的单调性与最值，进
而求得 的取值范围.
【详解】（1）.解：因为 的定义域为 ，可得 .
当 时，令 ，可得 ；
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故当 时， 取得极小值，也是最小值，且最小值为 ，无最大值.
（2）解：当 时，由 ，可得 ，
整理得 ，即 ，
令 ，
则 ，
由（1）知，当 时， 的最小值为 ，即 恒成立，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
故当 时， 取得最大值 ，即 ，
故 的取值范围为 .
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意
恒成立与存在性问题的区别．
2．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的最小值；
(2)判断函数 的零点个数，并证明.
【答案】(1)
(2)函数 在 有且仅有一个零点，证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，令 ，利用导数说明 的单调性，结合零点存
在性定理得到 的单调性，即可求出 在闭区间上的最小值；
（2）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论 ， 和 时， 的正负，
即可得出证明.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，令 ， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，且 ，
，
所以由零点存在定理可知，在区间 存在唯一的 ，使
又当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 ，
，所以函数 在区间 上的最小值为 .
（2）函数 在 上有且仅有一个零点，证明如下：
函数 ， ，则 ，
若 ， ，
所以 在区间 上单调递增，又 ，
，
结合零点存在定理可知， 在区间 有且仅有一个零点，
若 ，则 ， ，则 ，
若 ，因为 ，所以 ，
综上，函数 在 有且仅有一个零点.
3．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1） ；（2）函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 ，最
大值为 ，最小值为 .
【分析】（1）求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由 可求得实数 的值，然后利用导数分析函数 的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，故 ， ，列表如下：
极大
增 减 极小值 增
值
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
考点 四 、 由函数最值求参数值或范围
1．（2022·全国·高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨
论.
（2）根据（1）可得当 时， 的解的个数、 的解的个数均为2，构建新函数
，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 的大小关系，根据存在直线
与曲线 、 有三个不同的交点可得 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根
成等差数列.
【详解】（1） 的定义域为 ，而 ，
若 ，则 ，此时 无最小值，故 .的定义域为 ，而 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
因为 和 有相同的最小值，
故 ，整理得到 ，其中 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上， .
（2）[方法一]：
由（1）可得 和 的最小值为 .
当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
设 ，其中 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2.设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
有两个不同的零点即 的解的个数为2.
当 ，由（1）讨论可得 、 仅有一个解，
当 时，由（1）讨论可得 、 均无根，
故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
则 .
设 ，其中 ，故 ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
而 ， ，
故 上有且只有一个零点 ， 且：
当 时， 即 即 ，
当 时， 即 即 ，
因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
故 ，
此时 有两个不同的根 ，
此时 有两个不同的根 ，
故 ， ， ，
所以 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解
又 可化为 即 即 ，故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，
所以 ，而 ，
故 即 .
[方法二]：
由 知， ， ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增；
在 上单调递减，在 上单调递增，且
① 时，此时 ，显然 与两条曲线 和
共有0个交点，不符合题意；
② 时，此时 ，
故 与两条曲线 和 共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③ 时，首先，证明 与曲线 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设
为
其次，证明 与曲线和 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设为
再次，证明存在b，使得
因为 ，所以 ，
若 ，则 ，即 ，
所以只需证明 在 上有解即可，
即 在 上有零点，因为 ， ，
所以 在 上存在零点，取一零点为 ，令 即可，
此时取
则此时存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
最后证明 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以 ，
又因为 在 上单调递减， ， 即 ，所以 ，
同理，因为 ，
又因为 在 上单调递增， 即 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即直线 与两条曲线 和 从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，
而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
2．（2024·海南·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 有最小值2，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出 ，求导，得到 ，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求定义域，求导，得到函数单调性和最小值，得到 ，构造 ，求导得到
函数单调性，结合特殊点的函数值，得到答案.
【详解】（1）当 时， 的定义域为 ，
则 ，则 ，由于函数 在点 处切线方程为 ，即 .
（2） 的定义域为 ，
，
当 时，令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， ，即
则令 ，设 ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，解得： .
3．（2024·四川·模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的值；
(2)若函数 的最小值为 ，求 的值．
【答案】(1) 或 ；
(2) .
【分析】（1）根据导数的几何意义，求得切线方程，再根据三角形面积，即可求得结果；
（2）通过二次求导，求得 的最小值，结合 的隐零点，即可求得结果.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则 ，又 ，
所以函数 在 处的切线方程为 ．
由题意，显然 ，令 得 ，令 得 ，所以函数 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，
所以 ，解得 或 ．
（2）由（1）知 ，令 ，
所以 ，当 时， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增．
因为 ，所以当 时， ，
又
所以 在 上必存在唯一零点 ，使得 ．
当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增．
所以 在 处取得最小值，
即 ，且 ，即 ，
所以 ．
设 ，所以 ，
当 时， 单调递增， ，
当 时， ， 单调递减， ，
又 ，所以函数 在 上存在唯一的 ，使得 成立，
所以 ，所以 ，即 ．
【点睛】关键点点睛：处理本题第二问的关键是能够通过二次求导，求得 的隐零点，从而判断
的单调性，进而求得最小值.
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有最大值 ，求实数 的值．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）求导得 ，分类讨论可求单调区间；
（2）利用（1）的结论可求实数 的值．
【详解】（1）
1°当 时 在区间 上单调递增。
2°当 时， 时， 单调递增
时， 单调递减
综上，当 时， 的增区间是 ，
当 时， 的增区间是 ，减区间是
（2）由（1）知当 时， 无最大值。
当 时， ，平方有 ，
解得 ．
2．（2024·陕西西安·一模）已知函数 ．
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 的最小值为1，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由 在区间 上恒成立，则 ，即可得出答案；
（2）由 ，得 ，求导分析单调性、最值，即可得出答案.【详解】（1）因为 在 上单调递增，
所以 在区间 上恒成立，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ．
当 时， 单调递增， ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
故 ，所以 ． 的取值范围为 ．
（2）由 ，得 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，
则 ，
当 时， 在 上单调递减，当 时， 在 上单调递增，
在 上单调递增，且 ，
所以，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，
所以 ，所以 成立，
当 时，当 时， 在 上单调递减， ，
在 上单调递减，
因为 ，所以 在 上单调递减，此时 ，舍去．
当 时，当 时， ，
在 上单调递减， 在 上单调递增， ．舍去；
当 时，当 时， ， 在 上单调递增， ，
在 上单调递减， 在 上单调递增，此时， ，舍去，
综上， ．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性与导函数的关系，解题关键是利用 在区间 单调递增等
价 在区间 恒成立，然后分离参数，利用导数研究新构造函数的最小值，
3．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
(2)若 的最小值为6，求实数 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数单调性得到 恒成立，再令新函数 ，根据单调性求最值即可.
（2）根据函数单调性构造函数 ，再根据零点存在定理求出零点，解出方程即可求出 的
值.
【详解】（1）由题意知，函数 的定义域为 ， ，
因为 在 上单调递减，所以 恒成立且 不恒为0，
所以 ，即 恒成立．
设 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，
则 ，
所以实数 的取值范围是 ．
（2）解法一 由（1）知， ，因为 的最小值为6，所以 ，得 ．
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，
当 时， ，即 ， 在 上单调递减；
当 时， ，即 ， 在 上单调递增，
所以 ．
因为 ，所以 ，
解得 （舍去）或 ，
所以 ．
解法二 由题意知 在 上恒成立，则 在 上恒成立．
令 ，则 ，
，
由 得 ，由 得 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增．
又 ，当 时， ，
所以 ，故 ．
因为 的最小值为6，所以 ．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性问题，其中关键是零点存在定理的应用.在研究函数 的单调性时，利用零点存在定理找到导函数的隐零点，即存在 ，使得
，再根据最值求解 的值即可.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 和函数 有相同的最大值.
(1)求a的值；
(2)设集合 ， （b为常数）.证明：存在实数b，使得集合 中有且仅有
3个元素.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）先由定义域得到 ，求导，当 时，函数无最大值，舍去，当 时，求出单调性和
有最大值 ，进而求出 的单调性，最大值 ，从而得到方程，求出a的值；
（2）集合 的元素个数即为直线 与两条曲线 和 的交点个数，在（1）的基础上
作出 和 ，数形结合得到答案.
【详解】（1）由题意可知 ，由 ，得 ，
若 ，当 时， ；当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 有最小值 ，无最大值，不合题意.
所以 ，当 时， ；当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 有最大值 .
由 ，得 ， 且 ，
当 时， ；当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 有最大值 .则 ，解得 .
（2）集合 的元素个数即为直线 与两条曲线 和 的交点个数.
由（1）可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ，
作出 和 的图像如图所示.
设 和 的图像交于点M，
则当直线 经过点M时，直线 与两条曲线 和 共有3个交点，
故存在实数b，使得集合 中有且仅有3个元素.
【点睛】方程解的问题可转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了
思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，常常利用导函
数得到函数的单调性和极值最值情况，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，
涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
考点 五 、 选填小题中极值的应用与求解
1．（2022·全国·高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最大值.【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
2．（2021·全国·高考真题）设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 进行分类讨论，
画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意，a为函
数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
3．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在
这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这
样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
4．（2022·全国·高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和
极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和图象变换得到 的图象，利用
导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单调
递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且 的极
小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是
该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于
通性通法．
1．（2021·全国·高考真题）函数 的最小值为 .
【答案】1
【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，
即可求 最小值.
【详解】由题设知： 定义域为 ，
∴当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.2．（2023·全国·高考真题）（多选）若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求出函数 的导数 ，由已知可得 在 上有两个变号零点，转化为一元二次方程
有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程 有两个不等的正根 ，
于是 ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.
故选：BCD
3．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】ACD
【分析】求出函数 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数 在
上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数 的定义域为R，而 ，
易知当 时， ，当 或 时，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小
值点，正确；
对B，当 时， ，所以 ，
而由上可知，函数 在 上单调递增，所以 ，错误；
对C，当 时， ，而由上可知，函数 在 上单调递减，
所以 ，即 ，正确；
对D，当 时， ，所以 ，正确；
故选：ACD.
4．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的
几何意义判断D.
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.一、单选题
1．（2024·河北承德·二模）设 为实数，若函数 在 处取得极小值，则 （ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】求出函数的导数，根据极值点求出 的值，然后根据极值的概念检验即得．
【详解】由题可得 ，
令 ，解得； 或 ，
因为函数 在 处取得极小值，
所以 ，即 ，
当 时， ， 或 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，满足题意.
故选：B.
2．（2024·重庆·模拟预测）若函数 有极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得 在 上有变号零点，结合二次函数的性质得
到 ，解得即可.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
因为函数 有极值，所以 在 上有变号零点，
即 在 上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数 的对称轴为 ，开口向上，
所以只需 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：C
二、多选题3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的极值点为
B． 的极值点为1
C．直线 是曲线 的一条切线
D． 有两个零点
【答案】BC
【分析】利用导数与函数的极值的关系可判断AB；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断D；利用导
数的几何意义求得 在 处的切线方程，从而得以判断．
【详解】对A：因为 ，所以 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减；在 上单调递增.
可知 在 处取得唯一极小值，也是 的最小值，
所以 的极值点为 ，故A错误，B正确；
对C：因为 ， ，
所以 在 处的切线方程为 ，
即 ，故C正确．
对D：因为 ， ，结合 在 上的单调性，
可知 是 在 上的唯一零点；
当 时， 恒成立，故 恒成立，
所以 在 上没有零点；
综上： 只有一个零点，故D错误．
故选：BC.
三、填空题
4．（2024·安徽·二模）已知函数 ，当 时 的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【分析】求导，可得函数的单调性，即可求解极值点以及端点处的函数值，即可求解最值.
【详解】 ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
， ， ，
故最大值与最小值的和为： ．
故答案为：
四、解答题
5．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 对定义域内任意实数 都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性得到函数的最值.
（2）先利用端点效应猜想 的取值范围再利用导数研究函数的单调性，求证出猜想的正确性.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
所以 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的最大值为 ．
（2）因为 恒成立，所以 ，得 ，
下面证明：当 时， ．证明如下：因为 在 上单调递减，
又因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又因为 ，所以 时， ．
综上， 的取值范围为 ．
6．（2024·山东潍坊·二模）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
．
(1)求实数a，b的值；
(2)求 的单调区间和极值．
【答案】(1) ，
(2)单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 ，极大值为 ，极小值为 .
【分析】（1）求导根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导分析导函数的正负区间进而求解极值即可.
【详解】（1）由题可得 ，
由题意 ，故 ，
又 ，故 .
（2）由（1）可得 ，
令 可得 或 ，令 可得 ，
故 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 .
则 的极大值为 ，极小值为 .
7．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在 上的最大值和最小值；
(2)讨论函数 的单调性．
【答案】(1)最大值为 ，最小值为 ；
(2)答案见解析.【分析】（1）求导，利用导数研究函数 在 的单调性，求极值和区间端点函数值，即可求解；
（2）对函数求导，根据未知数 的不同范围，分别求出函数单调性.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
令 ，得 或 ，
由于 ，
所以当 ， ， 在 单调递减，
所以当 ， ， 在 单调递增，
所以 在 时取到极小值，且 ，
又因为 ， ，
综上，函数 在 上的最大值为 ，最小值为 .
（2）因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ，
在 单调递增，
当 ，即 时，
令 ，则 ，
所以当 ， ， 在 单调递增，
当 ， ， 在 单调递减，
当 ， ， 在 单调递增.
综上所述，当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减.
8．（2024·河南·三模）已知函数 ，且 在 处的切线方程是 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求函数 的单调区间和极值．
【答案】(1) ，
(2)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，极小值为 ，无极大值
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得 ，利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值.【详解】（1）因为 ，所以 ，
又 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，
解得 ， ．
（2）由（1）可得 定义域为 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
则 在 处取得极小值，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
因此极小值为 ，无极大值．
9．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 在 处取到极小值，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）求导，分类讨论 的取值，即可结合函数的单调性求解极值.
【详解】（1）由题意， ，则 ，
又 ，故所求的切线方程为 ．
（2）由题意， ，故 ．
若 ，则 ，故当 时， ，当 时， ，
故当 时，函数 取到极小值；
若 ，则令 ，解得 或 ，
要使函数 在 处取到极小值，则需 ，即 ，
此时当 时， ，当 时， ，当 时， ，满足条件．综上，实数m的取值范围为 ．
10．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 在 时取得极值.
(1)求实数 ；
(2)若 ，求 的单调区间和极值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得 ，即可求出参数的值，再检验即可；
（2）由（1）可得 ，利用导数求出函数的单调区间与极值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由题意得 ，
即 ，解得 ，经检验符合题意；
（2）由（1）得 ， ，
则 ，
由 得 或 ， 得 ，
即 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
所以 的极大值为 ，极小值为
一、单选题
1．（2024·福建泉州·一模）已知 ，是函数 两个极值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数导数，解方程得出极值点，计算可判断选项.
【详解】 ，令 ，解得 ，所以 ，故AB不正确；
，故C正确D错误.
故选：C
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 在 上恰有两个极值点，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数有两个极值点的个数，转化为导数在 上有两个变号零点，再进行参数 的讨论即可.
【详解】由题意得 ．
因为函数 在 上恰有两个极值点，则 在 上有两个变号零点．
当 时， 在 上恒成立，不符合题意．
当 时，令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
又 ， ，
所以 ，则 ，即实数 的取值范围是 .
故选：D．
【点睛】方法点睛：本题考查已知函数极值点个数求参数范围.对于函数零点个数的相关问题，常常利用导
数和数形结合思想来求解．求解这类问题的步骤：
（1）构造函数，并求其定义域，这是解决此类题的关键点和难点；
（2）求导，得函数的单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与 轴的交点情况，进而求解．
二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）设函数 ，记 的极小值点为 ，极大值点为 ，则
（ ）
A． B．
C． 在 上单调递减 D．
【答案】ACD
【分析】利用导数研究函数的极值点、单调性，一一判断各选项，即可得答案..
【详解】由题知 的定义域为 ， ，
令 ，解得 ，即 在 上单调递减，
令 ，解得 或 ，即 在 和 上单调递增，
又因为记 的极小值点为 ，极大值点为 ，
根据单调性可得 ，
则 ，故A正确，B错误；
令 ，解得 ，即 ，故C正确；
，故D正确．
故选：ACD．
4．（2024·重庆·三模）若函数 既有极小值又有极大值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据题意，求得 ，转化为 在 上有两个不同的实数根，
根据二次函数的性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
因为 既有极小值又有极大值，
可得方程 在 上有两个不同的实数根，则满足 ，可得 ，所以 ， ， ，
例如： 时，满足上式，此时 不成立．
故选：ABC.
三、填空题
5．（2024·新疆喀什·三模）已知函数 和 （ ）有相同的最大值．则
的最小值为 ．
【答案】e
【分析】利用导数求函数 的单调性，对参数 分类讨论，分析得当 时 有最大值为 ，
利用二次函数的性质求出函数 的最大值为 ，所以 ，代入 运用基本不等式求和的最
小值即可.
【详解】 ， ，
当 时， ，最大值为0，
又 ，所以当 时， ，
由 得 ，与题设矛盾；
当 时，令 得， ，即 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
在 处取到最小值，没有最大值，不符合题意；
当 时，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
.与 有相同的最大值，
，又 ，
，当且仅当 ，即 时取等号.
即 的最小值为 .
故答案为： .
四、解答题
6．（2024·广东茂名·二模）已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；
(2)若 ，求函数 在区间 上的最大值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）先求函数 的导函数 ，只需保证 ，求解即可；
（2）构造函数 ，借助函数 导函数 分析函数 的单调性，应用零点存在性定理求
解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
因为曲线 在点 处的切线方程为 ，切线的斜率为 ，
所以 ，得 ，解得： .
（2）当 时，令 ，
，
当 时， ， 单调递增，
又 ， ，所以至少存在唯一的实数 ，使得 .
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
又
所以 .
7．（2024·河南开封·三模）已知函数 ， 为 的导函数．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间和极值．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用导数求出 ， ，，代入直线的点斜式方程即可求出切线方程；
（2）求出导函数，用列表法求出极值即可．
【详解】（1）因为 的定义域为 ， ，
所以 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）依题意， ，则
，
令 ，解得 或 ．
当 变化时， ， 的变化情况如表所示：
1 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递 单调递
极大值 极小值 单调递增
增 减函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ．
故 的极小值为 ， 的极大值为 ．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，若 的最小值为0，
(1)求 的值;
(2)若 ，证明: 存在唯一的极大值点 ，且 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导后，分 和 两种情况讨论求解即可；
（2）令 ，求导后可得 在 递减， 递增，再结合零点存在性定理
得 在 存在唯一的 使得 ，在 存在唯一的零点 ，从而得 是
唯一的极大值点.
【详解】（1） ，
当 时， ，所以 在 上递减，则 没有最小值，
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得最小值 ，得 成立，
下面证 为唯一解，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 ，
所以方程 有且只有唯一解 ，
综上， ；
（2）证明:由（1）知 ，
令 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减， 上递增，
因为 ，
所以 在 存在唯一的 使得 ，在 存在唯一的零点 ，
所以当 或 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
即 是 唯一的极大值点，
，
由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的单调性，考零点存在性定理，考查导数的综合应用，第（2）问解
题的关键是二次求导后结合零点存在性定理确定出函数极值点的范围，考查数学转化思想和计算能力，属
于较难题.
9．（2024·福建泉州·一模）设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，若 的值域为 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对 求导，分 和 讨论 的单调性，即可得出答案.
（2）对 分类讨论，求出 的单调性，求出 的最小值，进而求出 单调性和最值，从而证得结
论.
【详解】（1） 的定义域为 ．
当 时， 在 单调递减．当 时，令 ，得 ，
当 ， 单调递减：当 ， 单调递增．
综上，当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 单调递减，在 单调递增．
（2） ，定义域为 ．
，
由（1）得：当 时， 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，
令 ，
因为当 时， 递增，当 时， 递减，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，当且仅当 时等号成立．
当 时， ，则 在 递增，不合题意，舍去．
当 时， 又因为当 趋近正无穷， 趋近正无穷，
所以在 上存在唯一的 ，使得 ，即 （※）
当 递增；当 递减；当 递增．
又因为 趋近 ， 趋近 ，且 的值域为 ，
所以
，代入（※），得： ，即 ．
当 时，同理：当 递增；当 递减；当
递增．
又因为 趋近 ， 趋近 ，且 的值域为 ，所以 ，满足 ．
综上， ．
【点睛】关键点点睛：关键点在于对 分类讨论，求出 的单调性，求出 的最小值，进而求出
单调性和最值，从而证得结论.
10．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数
(1)当 时，求 的零点；
(2)若 恰有两个极值点，求 的取值范围.
【答案】(1) 有且仅有一个零点
(2)
【分析】（1）利用导数研究函数 的单调性，即可求解；
（2）当 时，利用二阶导数研究函数 的单调性可知 最多只有一个极值点；当 时，利用
二阶导数研究函数 的单调性可知 ， 和 ， ，即可求解.
【详解】（1）当 时， 等价于 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增.
因为 ，所以 有且仅有一个零点 .
（2）由 ，得 .
令 ，则 .
若 ，则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
最多只有一个零点，则 最多只有一个极值点，不符合题意；
若 ，则当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 .
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，从而
.
显然，当 时， ，则 ， .
令 ，则 ，
设 ，则 ，
由 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 恒成立，故 单调递增.
当 时， ，即 ，
则 .
因为 ，所以 ， .
当 时， ，当 时， ，
则 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
则 恰有两个极值点.
故当 恰有两个极值点时， 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(极值点)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
1．（2023·全国·高考真题）（多选）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例 即可排除选项
D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 进行判断即可.
【详解】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
2．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得 ，按照 、 及 结合导数讨论函数的单调性，求得函数的
极值，即可得解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ；
（2） ，则 ，
当 时， ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，此时函数无零点，不合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；又 ，
由（1）得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，
则存在 ，使得 ，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
所以 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；此时 ，
由（1）得当 时， ， ，所以 ，
此时
存在 ，使得 ，
所以 在 有一个零点，在 无零点，
所以 有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数
的单调性与极值的问题.
3．（2020·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
【答案】（Ⅰ） ，（Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最
后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程为： ，即 .
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然 ，因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为 为偶函数，不妨设 ， ，
令 ，则 ．
令 ，则面积为 ，只需求出 的最小值．
．
因为 ，所以令 ，得 ．
随着a的变化， 的变化情况如下表：a
0
减 极小值 增
所以 ．
所以当 ，即 时， ．
因为 为偶函数，当 时， ．
综上，当 时， 的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出 的最小值．
令 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
所以当 ，即 时， ．
因为 为偶函数，当 时， ．
综上，当 时， 的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；
方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不
等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
4．（2019·全国·高考真题）已知函数 .证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）先对函数 求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一 ，使得 ，进而可得判
断函数 的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；（2）先由（1）的结果，得到 ， ，得到 在 内存在唯一
实根，记作 ，再求出 ，即可结合题意，说明结论成立.
【详解】（1）由题意可得， 的定义域为 ，
由 ，
得 ，
显然 单调递增；
又 ， ，
故存在唯一 ，使得 ；
又当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减；
因此， 存在唯一的极值点；
（2）
[方法一]【利用对称性转化为研究两个函数根的问题】
的根的情况问题可转化为函数 与 的图像在区间
内的交点情况． ．
当 时， 在区间 内单调递增；又因为 ，所以当 时，
，则 时， 单调递减；当 时， ，则当
时， 单调递增．又 ，所以函数 与 的图像，如
图所示，只有两个交点，横坐标分别为 和 ，且 ，即 和 为
的两个实根．
又因为 ，当 时， ，由于
，所以 ，即 ，所以两个实根互为倒数．
[方法二]【分类讨论】由（1）知， ．又 ，所以 有且仅有两
个实根 ，可令 ．
下面证明 ，
由 ，得 ，显然有 ， ．
（*）
（1）当 时， ，（*）式不成立；
（2）当 时， ，（*）式不成立；
（3）当 时， ，（*）式成立．
综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
[方法三]【利用函数的单调性结合零点存在定理】
的定义域为 ，显然 不是方程 的根，
所以 有两个实根等价于 有两个零点，且 定义域为 ．
而 ，所以 在区间 内单调递增，在区间 内单调递增．
当 时， ， ，
所以 在区间 内有唯一零点 ，即 ，
所以 ．
结合单调性知 在区间 内有唯一零点 ，所以 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数，
即 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【整体点评】(2)方法一：对称性是函数的重要性质，利用函数的对称性研究函数体现了整体思想；
方法二：分类讨论是最常规的思想，是处理导数问题最常规的手段；
方法三：函数的单调性和零点存在定理的综合运用使得问题简单化.
5．（2019·江苏·高考真题）设函数 ， 为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和 的零点均在集合 中，求f（x）的极小值；
（3）若 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ ．
【答案】（1） ；
（2） 的极小值为
（3）见解析.
【分析】（1）由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值；
（2）由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极
小值.
（3）由题意首先确定函数的极大值M的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：
解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；
解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，
因为 ，所以 ．
当 时， ．
令 ，则 ．
令 ，得 ．列表如下：
+ 0 –
极大
值
所以当 时， 取得极大值，且是最大值，故 ．
所以当 时， ，因此 ．
【详解】（1）因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，解得 ．
（2）因为 ，
所以 ，
从而 ．令 ，得 或 ．
因为 ，都在集合 中，且 ，所以 ．
此时 ， ．
令 ，得 或 ．列表如下：
1
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
所以 的极小值为 ．
（3）因为 ，所以 ，
．
因为 ，所以 ，
则 有2个不同的零点，设为 ．
由 ，得 ．
列表如下：
+ 0 – 0 +
极小
极大值
值
所以 的极大值 ．
解法一：
．因此 ．
解法二：
因为 ，所以 ．当 时， ．
令 ，则 ．
令 ，得 ．列表如下：
+ 0 –
极大
值
所以当 时， 取得极大值，且是最大值，故 ．
所以当 时， ，因此 ．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推
理能力．
6．（2018·全国·高考真题）已知函数 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】方法一：由 ，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的
最小值点，代入求得函数的最小值.
【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法
．
令 ，得 ，即 在区间 内单调递增；
令 ，得 ，即 在区间 内单调递减．
则 ．
故答案为： .
［方法二］： 三元基本不等式的应用
因为 ，所以
．
当且仅当 ，即 时，取等号．
根据 可知， 是奇函数，于是 ，此时
．
故答案为： .
［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式
，
，
当且仅当 ，即 时， ．
根据 可知， 是奇函数，于是 ．
故答案为： .
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩
，当且仅当 时等
号成立．故答案为： .
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设 ，则 可化为 ，
当 时， ；当 时， ，对分母求导后易知，
当 时， 有最小值 ．
故答案为： .
［方法六］： 配方法
，
当且仅当 即 时， 取最小值 ．
故答案为： .
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为 ，所以 ，
即函数 的一个周期为 ，因此 时， 的最小值即为函数的最小值．
当 时， ，
当 时， 因为
，令 ，解得 或 ，由 ， ， ，
所以 的最小值为 ．
故答案为： .
【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性
通法；方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；
方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；
方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；
方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；
方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；
方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题
的最优解．
7．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；
（2）若 是 的极大值点，求 ．
【答案】（1）见解析
（2）
【详解】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可．
（2）分类讨论 和 ,构造函数 ,讨论 的性质即可得到a的范围．
详解：（1）当 时， ， .
设函数 ，则 .
当 时， ；当 时， .故当 时， ，且仅当 时，
，从而 ，且仅当 时， .
所以 在 单调递增.
又 ，故当 时， ；当 时， .
（2）（i）若 ，由（1）知，当 时， ，这与 是 的
极大值点矛盾.
（ii）若 ，设函数 .
由于当 时， ，故 与 符号相同.
又 ，故 是 的极大值点当且仅当 是 的极大值点..
如果 ，则当 ，且 时， ，故 不是 的极大值点.
如果 ，则 存在根 ，故当 ，且 时， ，
所以 不是 的极大值点.
如果 ，则 .则当 时， ；当 时， .所
以 是 的极大值点，从而 是 的极大值点
综上， .
点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论 和
,当 时构造函数 时关键，讨论函数 的性质，本题难度较大．
8．（2018·北京·高考真题）设函数 .
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若 在 处取得极小值，求a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【详解】分析：（1）求导 ，构建等量关系 ，解方程可得参数 的值；（2）对 分
及 两种情况进行分类讨论，通过研究 的变化情况可得 取得极值的可能，进而可求参数 的
取值范围.
详解：
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 .
，
由题设知 ，即 ，解得 .
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得 .若a>1，则当 时， ；
当 时， .
所以 在x=1处取得极小值.
若 ，则当 时， ，
所以 .
所以1不是 的极小值点.
综上可知，a的取值范围是 .
方法二： .
（1）当a=0时，令 得x=1.
随x的变化情况如下表：
x 1
+ 0 −
↗ 极大值 ↘
∴ 在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令 得 .
①当 ，即a=1时， ，
∴ 在 上单调递增，
∴ 无极值，不合题意.
②当 ，即01时， 随x的变化情况如下表：
x
+ 0 − 0 +
极大
↗ ↘ 极小值 ↗
值
∴ 在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
（3）当a<0时，令 得 .
随x的变化情况如下表：
x
− 0 + 0 −
极小
↘ ↗ 极大值 ↘
值
∴ 在x=1处取得极大值，不合题意.
综上所述，a的取值范围为 .
点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数
的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用
导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题.
解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步
骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③
不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.
9．（2018·江苏·高考真题）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在
上的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【分析】方法一：利用导数判断函数 在 上的单调性，确定零点位置，求出参数 ,再根据函数
在 上的单调性确定函数最值，即可解出.
【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法
求导得 ，当 时，函数 在区间 内单调递增，且 ，所以函数 在 内无零点；
当 时，函数 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增．
当 时， ；当 时， ．
要使函数 在区间 内有且仅有一个零点，只需 ，解得 ．
于是函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，所以最大值与最小值之和为 ．
故答案为： ．
［方法二］： 等价转化
由条件知 有唯一的正实根，于是 ．令 ，则
，所以 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，且 ，当
时， ；当 时， ．
只需直线 与 的图像有一个交点，故 ，下同方法一．
［方法三］：【最优解】三元基本不等式
同方法二得， ，当且仅当 时取等号，
要满足条件只需 ，下同方法一．
［方法四］：等价转化
由条件知 有唯一的正实根，即方程 有唯一的正实根，整理得 ，
即函数 与直线 在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线 与曲线
相切时，满足题意，如图．
设切点 ，因为 ，于是 ，解得 ，
下同方法一．【整体点评】方法一：利用导数得出函数在 上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化
为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；
方法二：利用等价转化思想，函数在 上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，
使问题得解；
方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解；
方法四：将函数在 上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．
10．（2017·山东·高考真题）已知函数 ， ，其中
是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）令 ，讨论 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率 ，由点斜式写出直线方程.
（Ⅱ）写出函数 ，求导数得到 ，由于
的正负与 的取值有关，故可令 ，通过应用导数研究 在 上的单调性，明确其
正负.然后分 和 两种情况讨论 极值情况即可.
试题解析：（Ⅰ）由题意
又 ，
所以 ，
因此 曲线 在点 处的切线方程为
，
即 .
（Ⅱ）由题意得 ，
因为
，
令
则
所以 在 上单调递增.
因为所以 当 时，
当 时，
(1)当 时，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 当 时 取得极小值，极小值是 ；
(2)当 时，
由 得 ，
①当 时， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 当 时 取得极大值.
极大值为 ，
当 时 取到极小值，极小值是 ；
②当 时， ，
所以 当 时， ，函数 在 上单调递增，无极值；
③当 时，
所以 当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 当 时 取得极大值，极大值是 ；
当 时 取得极小值.
极小值是 .
综上所述：
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 有极小值，极小值是 ；
当 时，函数 在 和 和 上单调递增，在 上单调递减，函数 有极大值，也有极小值，
极大值是
极小值是 ；
当 时，函数 在 上单调递增，无极值；
当 时，函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减，函数 有极大值，也有极小值，
极大值是 ；
极小值是 .
【名师点睛】1.函数f (x)在点x 处的导数f ′(x)的几何意义是曲线y＝f (x)在点P(x，y)处的切线的斜率．相
0 0 0 0
应地，切线方程为y−y＝f ′(x)(x−x)．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．
0 0 0
2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对
考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类
讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维
能力、基本计算能力、分类讨论思想等.
