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第 04 讲 新高考新结构命题下的新定义
解答题综合训练
（6 类核心考点精讲精练）
在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一
场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质
量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：
（1）三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实
际水平。
（2）三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独
特见解和创造力。
（3）三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思
考和探索，培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的5个解答题，新定义版块作为一个重要的考查领域，通常在第19题这样的压
轴大题中，分值为17分，将考查学生的解题能力和思维深度，是高考数学的分水岭，难度极大。
面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。根据知识点及其命题方式，要能够
灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的新定义解
答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的新定义解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成
绩。考点一、 函数及导数新定义综合
1．（2024·广西·二模）已知函数f (x)=lnx，若存在g(x)≤f (x)恒成立，则称 是 的一个“下界
函数”．
t
(1)如果函数g(x)= −lnx为 的一个“下界函数”，求实数 的取值范围；
x
1 2
(2)设函数F(x)=f (x)− + ，试问函数F(x)是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说
ex ex
明理由．
2．（2024·湖南·二模）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由
法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数 满足在闭区间 连续，在开区
间 内可导，且 ，那么在区间 内至少存在一点 ，使得 ．
(1)运用罗尔定理证明：若函数 在区间 连续，在区间 上可导，则存在 ，使得
．
(2)已知函数 ，若对于区间 内任意两个不相等的实数 ，都有
成立，求实数 的取值范围．
(3)证明：当 时，有 ．
3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利 帕德发明的用有理多项式近似特定函
数的方法.给定两个正整数 ， ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为：，且满足： ， ， ， ，
，注： ， ， ， ，
已知函数 .
(1)求函数 在 处的 阶帕德近似 ，并求 的近似数 精确到
(2)在（1）的条件下：
①求证： ；
②若 恒成立，求实数 的取值范围.
4．（2024·河北沧州·一模）对于函数 ， ，若存在 ，使得 ，则称 为函数
的一阶不动点；若存在 ，使得 ，则称 为函数 的二阶不动点；依此类推，可以定
义函数 的 阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数
的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为 和 ，即 ， ．
(1)若 ，证明：集合 中有且仅有一个元素；
(2)若 ，讨论集合 的子集的个数．
5．（2024·山东聊城·二模）对于函数 ，若存在实数 ，使 ，其中 ，则称
为“可移 倒数函数”， 为“ 的可移 倒数点”．已知 ．
(1)设 ，若 为“ 的可移 倒数点”，求函数 的单调区间；
(2)设 ，若函数 恰有3个“可移1倒数点”，求 的取值范围．
6．（2024·浙江宁波·二模）定义：对于定义在区间 上的函数，若存在实数 ，使得函数在区间
上单调递增（递减），在区间 上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称 为最优点.
已知定义在区间 上的函数 是以 为最优点的单峰函数，在区间 上选取关于区间的中心
对称的两个试验点 ，称使得 较小的试验点 为好点（若相同，就任选其一），
另一个称为差点.容易发现，最优点 与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间 分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为 ，再对区间 重复以上操作，可以找到新
的存优区间 ，同理可依次找到存优区间 ，满足
，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点（或者接
近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的
存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数 ，则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个
存优区间都称为优美存优区间， 称为优美存优区间常数.对区间 进行 次“优美的”操作，最后得到
优美存优区间 ，令 ，我们可任取区间 内的一个实数作为最优点 的近似值，称之
为 在区间 上精度为 的“合规近似值”，记作 .已知函数
，函数 .
(1)求证：函数 是单峰函数；
(2)已知 为函数 的最优点， 为函数 的最优点.
（i）求证： ；
（ii）求证： .
注： .
7．（2024·广西·二模）设 ，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为取整函数，取整函数是德
国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：
①y=[x]的定义域为R，值域为Z；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即x=[x]+{x}(0≤{x}<1)，其中[x]为x的整数部分，
{x}=x−[x]为x的小数部分；
③[n+x]=n+[x](n∈Z)；
[a]
④若整数a，b满足a=bq+r(b>0,q,r∈Z,0≤r ．
4n−2 4
8．（2024·湖北·模拟预测）欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合 ，欧拉函数 的值等于集合 中与n互质的正整数的个数；记 表示x除以y的余数（x和y均为正
整数），
(1)求 和 ；
(2)现有三个素数p，q， ， ，存在正整数d满足 ；已知对素数a和 ，
均有 ，证明：若 ，则 ；
(3)设n为两个未知素数的乘积， ， 为另两个更大的已知素数，且 ；又 ，
， ，试用 ， 和n求出x的值．
9．（2024·河北石家庄·二模）设集合 是一个非空数集，对任意 ，定义 ，称 为
集合 的一个度量，称集合 为一个对于度量 而言的度量空间，该度量空间记为 .
定义1：若 是度量空间 上的一个函数，且存在 ，使得对任意 ，均有：
，则称 是度量空间 上的一个“压缩函数”.
定义2：记无穷数列 为 ，若 是度量空间 上的数列，且对任意正实数 ，
都存在一个正整数 ，使得对任意正整数 ，均有 ，则称 是度量空间 上
的一个“基本数列”.
(1)设 ，证明： 是度量空间 上的一个“压缩函数”；
(2)已知 是度量空间 上的一个压缩函数，且 ，定义 ， ，证明：
为度量空间 上的一个“基本数列”.
10．（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）给出下列两个定义：
I.对于函数 ，定义域为 ，且其在 上是可导的，若其导函数定义域也为 ，则称该函数是“同
定义函数”.
II.对于一个“同定义函数” ，若有以下性质：
① ；② ，其中 为两个新的函数， 是
的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数 称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数 称之
为“双向导函数”，将 称之为“自导函数”.
(1)判断函数 和 是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写
出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题 是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题 是 的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数 .
①若 的“自导函数”是 ，试求 的取值范围；
②若 ，且定义 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求
的取值范围.
考点二、 数列新定义综合
1．（2024·广东梅州·二模）已知{a }是由正整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，即
n
；前 项的最小值记为 ，即 ，令 （
），并将数列 称为{a }的“生成数列”．
n
(1)若 ，求其生成数列 的前 项和；
(2)设数列 的“生成数列”为 ，求证： ；
(3)若 是等差数列，证明：存在正整数 ，当 时， ， ， ， 是等差数列．
2．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对 恒成立，则称数列 为“上凸
数列”．
(1)若 ，判断 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若 为“上凸数列”，则当 时， ．
（ⅰ）若数列 为 的前 项和，证明： ；
（ⅱ）对于任意正整数序列 （ 为常数且 ），若
恒成立，求 的最小值．
3．（2024·北京东城·一模）有穷数列 中，令
，当p=q时，规定 .
(1)已知数列 ，写出所有的有序数对 ，且 ，使得 ；
(2)已知整数列 为偶数，若 ，满足：当 为奇数时， ；
当 为偶数时， .求 的最小值；(3)已知数列 满足 ，定义集合 .若
且为非空集合，求证： .
4．（2024·辽宁大连·一模）对于数列 ，定义“T变换”：T将数列A变换成数
列 ，其中 ，且 ．这种“T变换”记作 ，继续对数列B进
行“T变换”，得到数列 ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
(1)写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列：
(2)若 不全相等，判断数列 不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；
(3)设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．
5．（2024·辽宁·三模）若实数列 满足 ，有 ，称数列 为“ 数列”.
(1)判断 是否为“ 数列”，并说明理由；
(2)若数列 为“ 数列”，证明：对于任意正整数 ，且 ，都有
(3)已知数列 为“ 数列”，且 .令 ，其中 表示 中的较大者.证
明： ，都有 .
6．（2024·广东深圳·二模）无穷数列 ， ，…， ，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次
地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 ﹔如果n是奇数，就对 尽可能多次地除以2，直到得
出一个奇数，这个奇数就是 ．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果 且 ，求m，n的值；
(3)记 ， ，求一个正整数n，满足 ．
7．（2024·辽宁·二模）如果数列 ，其中 ，对任意正整数 都有 ，则称数列
为数列 的“接近数列”．已知数列 为数列 的“接近数列”．
(1)若 ，求 的值；
(2)若数列 是等差数列，且公差为 ，求证：数列 是等差数列；
(3)若数列 满足 ，且 ，记数列 的前 项和分别为 ，试判断是否
存在正整数 ，使得 ？若存在，请求出正整数 的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）
8．（2023·山西·模拟预测）对于数列 ，若存在 ，使得对任意 ，总有 ，则
称 为“有界变差数列”．
(1)若各项均为正数的等比数列 为有界变差数列，求其公比q的取值范围；
(2)若数列 满足 ，且 ，证明： 是有界变差数列；
(3)若 ， 均为有界变差数列，且 ，证明： 是有界变差数列．
9．（2024·江西上饶·二模）对于数列 ，定义“ 变换”： 将数列 变换成数
列 ，其中 ，且 ．这种“ 变换”记作 ，继续对数列 进
行“ 变换”，得到数列 ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
(1)写出数列 ，经过6次“ 变换”后得到的数列；
(2)若 不全相等，判断数列 经过不断的“ 变换”是否会结束，并说明理由；
(3)设数列 经过 次“ 变换”得到的数列各项之和最小，求 的最小值．
10．（2024·河北石家庄·二模）设集合 是一个非空数集，对任意 ，定义 ，称 为
集合 的一个度量，称集合 为一个对于度量 而言的度量空间，该度量空间记为 .
定义1：若 是度量空间 上的一个函数，且存在 ，使得对任意 ，均有：
，则称 是度量空间 上的一个“压缩函数”.
定义2：记无穷数列 为 ，若 是度量空间 上的数列，且对任意正实数 ，
都存在一个正整数 ，使得对任意正整数 ，均有 ，则称 是度量空间 上
的一个“基本数列”.
(1)设 ，证明： 是度量空间 上的一个“压缩函数”；
(2)已知 是度量空间 上的一个压缩函数，且 ，定义 ， ，证明：
为度量空间 上的一个“基本数列”.
考点三、 集合新定义综合
1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知集合 ，若存在数阵满足：① ；② ；则称 为“好
集合”，并称数阵 为 的一个“好数阵”．
(1)已知数阵 是 的一个好数阵，试写出 ， ， ， 的值；
(2)若集合 为“好集合”，证明：集合 的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断 是否为“好集合”．若是，求出满足条件 的所有“好数阵”；若不是，说明理
由．
2．（2024·广东·模拟预测）已知集合 中含有三个元素 ，同时满足① ；② ；③
为偶数，那么称集合 具有性质 .已知集合 ，对于集合 的非空
子集 ，若 中存在三个互不相同的元素 ，使得 均属于 ，则称集合 是集合 的
“期待子集”.
(1)试判断集合 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若集合 具有性质 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”；
(3)证明：集合 具有性质 的充要条件是集合 是集合 的“期待子集”.
3．（2024·北京延庆·一模）已知数列 ，记集合 .
(1)若数列 为 ，写出集合 ；
(2)若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存在，说明
理由；
(3)若 ，把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 ， 若 ，求 的最大
值．
4．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数 ，由 元实数集合 定义其随影数集 .
若 ，则称集合 为一个 元理想数集，并定义 的理数 为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合 是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集 ，求证： ；
(3)当 取遍所有2024元理想数集时，求理数 的最小值.
注：由 个实数组成的集合叫做 元实数集合， 分别表示数集 中的最大数与最小数.
5．（2024·北京·模拟预测）已知集合 ，其中 都是 的子集且互不相同，记 的元素个数， 的元素个数 .
(1)若 ，直接写出所有满足条件的集合 ；
(2)若 ，且对任意 ，都有 ，求 的最大值；
(3)若 且对任意 ，都有 ，求 的最大值.
6．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知有限集 ，若 中的元素
满足 ，则称 为“ 元重生集”.
(1)集合 是否为“2元重生集”，请说明理由；
(2)是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；
(3)若 ，证明：“ 元重生集” 有且只有一个，且 .
7．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知 为有穷正整数数列，且 ，集合
．若存在 ，使得 ，则称 为 可表数，称集合
为 可表集．
(1)若 ，判定31，1024是否为 可表数，并说明理由；
(2)若 ，证明： ；
(3)设 ，若 ，求 的最小值．
8．（23-24高三下·北京·阶段练习）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意 ，都有
或 ，则称A为自邻集．记集合 的所有子集中的自邻集的个数为 ．
(1)直接写出 的所有自邻集；
(2)若n为偶数且 ，求证： 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若 ，求证： ．
9．（24-25高三上·四川泸州·阶段练习）已知正整数 ，集合 ， ， ， ， ，
，2， ， ．对于 中的元素 ， ， ， ， ， ，定义
．令 ．
(1)直接写出 的两个元素及 的元素个数；
(2)已知 ， ， ， ，满足对任意 ，都有 ，求 的最大值；
(3)证明：对任意 ， ， ， ，总存在 ，使得 ．10．（2024·北京丰台·一模）已知集合 （ ， ），若存在数阵
满足：
① ；
② ．
则称集合 为“好集合”，并称数阵 为 的一个“好数阵”．
(1)已知数阵 是 的一个“好数阵”，试写出 ， ， ， 的值；
(2)若集合 为“好集合”，证明：集合 的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断 是否为“好集合”．若是，求出满足条件 的所有“好数阵”；若不是，
说明理由．
考点 四 、 平面向量新定义综合
1．（21-22高一下·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，对任意两个向量 ，
，作 ， ．当 ， 不共线时，记以 ， 为邻边的平行四边形的面积为
；当 ， 共线时，规定 ．
(1)分别根据下列已知条件求 ：
① ， ；② ， ；
(2)若向量 ，求证： ；
(3)若A，B，C是以О为圆心的单位圆上不同的点，记 ， ， ．
（i）当 时，求 的最大值；
（ii）写出 的最大值．（只需写出结果）
2．（21-22高一下·山东日照·期末）已知在平面直角坐标系中， 为坐标原点，定义非零向量
的“相伴函数”为 ，向量 称为函数 的“相伴
向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为
(1)已知 ， ，若函数 为集合 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范
围；
(2)已知点 满足条件： ， ，若向量 的“相伴函数” 在 处取得最大
值，当 在区间 变化时，求 的取值范围；(3)当向量 时，“相伴函数”为 ，若 ，方程 存在4
个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
3．（2024·全国·模拟预测）设有 维向量 ， ，称 为向量 和
的内积，当 ，称向量 和 正交．设 为全体由 和1构成的 元数组对应的向量的集合．
(1)若 ，写出一个向量 ，使得 ．
(2)令 ．若 ，证明： 为偶数．
(3)若 ， 是从 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足 ，猜测 的值，
并给出一个实例．
4．（23-24高一下·福建福州·期中）对于向量集 ，记向量 ．
如果存在向量 ，使得 ，那么称 是向量集 的“长向量”．
(1)设向量 ， ．若 是向量集 的“长向量”，求实数x的取值范围；
(2)设向量 ， ，则向量集 是否存在“长向量”？给出你的结论并说
明理由；
(3)已知 均是向量集 的“长向量”，其中 ， ．设在平
面直角坐标系xOy中的点集 ，其中 ， ，且 与 关于点 对称， 与
关于点 对称 ，求 的最小值．
5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个
平面向量，都可以用二元有序实数对 表示．平面向量又称为二维向量．一般地，n元有序实数组
称为n维向量，它是二维向量的推广．类似二维向量，对于n维向量，也可定义两个向量
的数量积、向量的长度（模）等：设 ， ，则
； ．已知向量
满足 ，向量 满足 ．(1)求 的值；
(2)若 ，其中 ，当 且 时，证明： ．
6．（22-23高一下·北京·阶段练习）对于向量 ，若 ， ， 三数互不相等，令向量
，其中 ， ， ， .
(1)当 时，试写出向量 ；
(2)证明：对于任意的 ，向量 中的三个数 ， ， 至多有一个为0；
(3)若 ，证明：存在正整数 ，使得 .
7．（22-23高一下·北京东城·期末）对于三维向量 ，定义“ 变
换”： ，其中， ．记 ， ．
(1)若 ，求 及 ；
(2)证明：对于任意 ，经过若干次 变换后，必存在 ，使 ；
(3)已知 ，将 再经过 次 变换后， 最小，求 的最小值．
8．（23-24高三下·湖南常德·阶段练习）对于给定的正整数n，记集合
，其中元素 称为一个n维向量.特别地，
称为零向量.设 ， ， ，定义加法和数乘：
， .对一组向量 ， ，…， ，若存
在一组不全为零的实数 ， ，…， ，使得 ，则称这组向量线性相关.否则，称为
线性无关.
(1)对 ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
① ， ；
② ， ， .
(2)已知 ， ， 线性无关，判断 ， ， 是线性相关还是线性无关，并说明理由.
(3)已知 个向量 ， ，…， 线性相关，但其中任意 个都线性无关，证明：
①如果存在等式 （ ， ，2，3，…，m），则这些系数 ， ，…， 或
者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式 ， （ ， ， ，2，3，…，m）同时成立，其中 ，则 .
9．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）n个有次序的实数 ， ，…， 所组成的有序数组
称为一个n维向量，其中 称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量
，若 ，称 为n维信号向量.设 ， ，则
和 的内积定义为 ，且 .
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量 ， ，…， 满足它们的前m个分量都是相同的，求证：
.
10．（20-21高一下·北京·期中）我们学过二维的平面向量，其坐标为 ，那么对于
维向量，其坐标为 .设 维向量的所有向量
组成集合 .当 时，称为
的“特征向量”，如 的“特征向量”有 ， ， ，
.设 和 为 的“特征向量”， 定义
.
（1）若 ， ，且 ， ，计算 ， 的值；
（2）设 且 中向量均为 的“特征向量”，且满足： ， ，当 时， 为奇数；当
时， 为偶数.求集合 中元素个数的最大值；
（3）设 ，且 中向量均为 的“特征向量”，且满足： ， ，且 时，
.写出一个集合 ，使其元素最多，并说明理由.
考点 五 、 立体几何新定义综合
1．（22-23高三上·河北·阶段练习）已知 ， ， ，定义一种运算：
，在平行六面体 中， ，
， .(1)证明：平行六面体 是直四棱柱；
(2)计算 ，并求该平行六面体的体积，说明 的值与平行六面体
体积的关系.
2．（22-23高二上·北京·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提
出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我
们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用 表示，
又称“曼哈顿距离”，即 ，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若 ， ，
则
(1)①点 ， ，求 的值．
②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点 ，直线 ，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)设三维空间4个点为 ， ，且 ， ， ．设其中所有两点“曼哈顿距离”
的平均值即 ，求 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
3．（20-21高一下·福建泉州·期末）球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形(特别是三角
形)的角､边､面积等问题，其在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称
为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点 ，
， ，过任意两点的大圆上的劣弧 ， ， 所组成的图形称为球面 ，记其面积为 .
易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的 和 ；若球面上 ， ， 的对径点分别为 ，
， ，则球面 与球面 全等.如图2，已知球 的半径为 ，圆弧 和 所在平面交成的
锐二面角 的大小为 ，圆弧 和 所在平面､圆弧 和 所在平面交成的锐二面角的大小
分别为 ， .记 .（1）请写出 ， ， 的值，并猜测函数 的表达式；
（2）求 (用 ， ， ， 表示).
4．（22-23高二上·上海徐汇·期中）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为
，其中 （ ，2，…，k， ）为多面体M的所
有与点P相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体M的所有以P
为公共点的面．已知在直四棱柱 中，底面ABCD为菱形，且 ．
(1)求直四棱柱 在各个顶点的离散曲率之和；
(2)若直四棱柱 在点A处的离散曲率为x，直四棱柱 体积为 ，求函数
的解析式及单调区间．
考点 六 、 解析几何新定义综合
1．（22-23高二下·江苏盐城·期末）焦距为2c的椭圆 （a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称
此椭圆为“等差椭圆”．
(1)如果椭圆 （a＞b＞0）是“等差椭圆”，求 的值；
(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于
原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是
否过定点？说明理由．
2．（23-24高二上·北京昌平·期中）在 平面上，我们把与定点 距离之积等于
的动点的轨迹称为伯努利双纽线， 为该曲线的两个焦点．已知曲线 是一条伯努
利双纽线．
(1)求曲线 的焦点 的坐标；
(2)判断曲线 上是否存在两个不同的点 、 （异于坐标原点 ），使得以 为直径的圆过坐标原点 ．
如果存在，求点 、 坐标；如果不存在，请说明理由．
3．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，若点 与定点 （或 的距离和它到定直线 （或
）的距离之比是常数 ，则 ，化简可得 ，设
，则得到方程 ，所以点 的轨迹是一个椭圆，这是从另一个角度给
出了椭圆的定义.这里定点 是椭圆的一个焦点，直线 称为相应于焦点 的准线；定点
是椭圆的另一个焦点，直线 称为相应于焦点 的准线.
根据椭圆的这个定义，我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离.若点 在椭圆
上， 是椭圆的右焦点，椭圆的离心率 ，则点 到准线 的距
离为 ，所以 ，我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式.
结合阅读材料回答下面的问题：
已知椭圆 的右焦点为 ，点 是该椭圆上第一象限的点，且 轴，若直线
是椭圆右准线方程，点 到直线 的距离为8.
(1)求点 的坐标；
(2)若点 也在椭圆 上且 的重心为 ，判断 是否能构成等差数列？如果能，求
出该等差数列的公差，如果不能，说明理由.
4．（2021高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系 中，对于直线 和点 ，
，记 ，若 ，则称点 ， 被直线l分离，若曲线c与直线l没
有公共点，且曲线c上存在点 ， 被直线l分隔，则称直线l为曲线c的一条分隔线．
（1）求证：点 ， 被直线 分隔；
（2）若直线 是曲线 的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点 的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直
线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
5．（22-23高三上·上海虹口·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直
线l的斜率为k，在y轴上的截距为m.
(1)设 ，若 的焦距为2，l过点 ，求l的方程；(2)设 ，若 是 上的一点，且 ，l与 交于不同的两点A、B，Q为 的上顶点，
求 面积的最大值；
(3)设 是l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义 .用a、b、k、m表示
，并利用 与 的大小关系，提出一个关于l与 位置关系的真命题，给出该命题的证明.
6．（2023·全国·模拟预测）定义：一般地，当 且 时，我们把方程 表示的椭
圆 称为椭圆 的相似椭圆．已知椭圆 ，椭圆 （ 且 ）是椭圆
的相似椭圆，点 为椭圆 上异于其左、右顶点 的任意一点．
(1)当 时，若与椭圆 有且只有一个公共点的直线 恰好相交于点 ，直线 的斜率分别为 ，
求 的值；
(2)当 （e为椭圆 的离心率）时，设直线 与椭圆 交于点 ，直线 与椭圆 交于点 ，
求 的值．
7．（2024·河南信阳·模拟预测）在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面） 的方程，若曲面 和三元
方程 之间满足：①曲面 上任意一点的坐标均为三元方程 的解；②以三元方程
的任意解 为坐标的点均在曲面 上，则称曲面 的方程为 ，方程
的曲面为 .已知空间中某单叶双曲面 的方程为 ，双曲面 可视为平面 中
某双曲线的一支绕 轴旋转一周所得的旋转面，已知直线 过C上一点 ，且以 为方向
向量.
(1)指出 平面截曲面 所得交线是什么曲线，并说明理由；
(2)证明：直线 在曲面 上；
(3)若过曲面 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面 上.设直线 在曲面 上，且过点
，求异面直线 与 所成角的余弦值.
8．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ，
为常数），将点 变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该
变换公式①可由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通
常用大写英文字母 ， ，…表示.(1)如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原点距离
不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵 ；
(2)在平面直角坐标系 中，求双曲线 绕原点 按逆时针旋转 （到原点距离不变）得到的双曲线
方程 ；
(3)已知由（2）得到的双曲线 ，上顶点为 ，直线 与双曲线 的两支分别交于 ， 两点（ 在第一象
限），与 轴交于点 .设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，求证： 为定值.
9．（2022·福建·模拟预测）等轴双曲线是离心率为 的双曲线，可建立合适的坐标平面使之为反比例函
数．
（1）在等轴双曲线 上有三点 ， ， ，其横坐标依次是 ， ， ．设 ， ， 分别为
， ， 的中点，试求 的外接圆圆心的横坐标．
（2）双曲线 的渐近线为 和 ， 上有三个不同的点 ， ， ，直线 、直线 、直线 与 分
别交于 ， ， ，过 ， ， 分别作直线 、直线 、直线 的垂线 ， ， ．
（i）当 为等轴双曲线时，证明： ， ， 三线共点．
（ii）当 不为等轴双曲线时，记 ， ， 分别是 与 ， 与 ， 与 的交点，类似地从另一条
渐近线 出发来定义 ， ， ．证明： ．
10．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系 中，定义：若曲线 和 上分别存在点
， 关于原点 对称，则称点 和点 为 和 的一对“关联点”.
(1)若 上任意一点 的“关联点”为点 ，求点 所在的曲线方程.
(2)若 上任意一点 的“关联点”为点 ，求 的取值范围.
(3)若 和 有且仅有两对“关联点”，求实数 的取值范围.
