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若QTQ = QQT = E，则称Q为正交矩阵:
⇒ ∣Q∣ = ±1
正交矩阵 ⇒ Q的特征值只能是1或−1
(α ,α ) = 0,i = j
i j
⇔
{ (α ,α ) = 1
i i
实对称矩阵必与对角矩阵相似，且可用正交矩阵相似对角化
（Q−1AQ = QTAQ = Λ）
实对称矩阵 重要定理
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交
实对称矩阵的特征值均为实数，特征向量均为实向量（了解即可）
两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得CTAC = B，
就称矩阵A和B合同，记作A ≃ B，并称由A到B的变换为合同
合同
变换，称C为合同变换的矩阵.
若B为对角矩阵，则称A可合同对角化.
等价(A和B为同型矩阵，不一定是方阵)
A和B等价⇔AT ≅ BT ⇔ A−1 ≅ B−1，其中A、B为同阶方阵且可逆
⇔PAQ = B，其中P、Q可逆
⇔r(A) = r(B)
合同(A和B均为n阶方阵)
A与B合同⇔CTAC = B，其中C可逆
⇔AT ≅ BT ⇔ A−1 ≅ B−1，其中A、B可逆
⇒r(A) = r(B)
⇒A和B的特征值正、负号个数相同
矩阵的三大变换
相似(A和B为同阶方阵)
⇔ AT ∼ BT ⇔ A−1 ∼ B−1，其中A、B可逆
r(A) = r(B)
⇒ ⎧ λ = λ ,α = P−1α .
A B B A
⎨ f(A) ∼ f(B)
⎩
实对称矩阵A ∼ B⇔λ = λ ⇒标准形相同⇒正（负）惯性指数相同⇔A,B合同
A B
对于对称矩阵，相似⇒等价⇒合同（但合同不一定相似）
含有n个变量x ,x ,⋯ ,x 的二次齐次函数
1 2 n
f (x ,x ,⋯ ,x ) =a x2 + a x2 + ⋯ + a x2
1 2 n 11 1 22 2 nn n
+ 2a x x + 2a x x + ⋯ + 2a x x
12 1 2 13 1 3 1n 1 n
相 + 2a x x + ⋯ + 2a x x
23 2 3 2n 2 n
二次型及其矩阵表示
关
+ ⋯ + 2a x x
n−1,n n−1 n
定
称为n元二次型，若规定a = a ，∀i,j = 1,2,⋯ ,n,则二次型有矩阵表示f (x ,x ,⋯ ,x ) = xTAx
ij ji 1 2 n
义
其中，x =(x ,x ,⋯ ,x )T，A = [a ]且AT = A是对称矩阵，称A为二次型的矩阵，秩r(A)称为二次型
1 2 n ij
的秩，记为r(f).
如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项x (i = j)的系数全为零，即xTAx =
ij
标准形 d x2 + d x2 + ⋯ + d x2;
1 1 2 2 n n
这样的二次型称为标准形.
因为二次型f = xTAx中的矩阵A是实对称矩阵, 即AT = A，从而存在正交矩阵Q, 使得
QTAQ = Λ = diag(λ ,λ ,⋯⋯λ )，此时, 令x = Qy, 即有：
1 2 n
y
1
正交变换法
y
2
f = xTAx = yTQTAQy = yT Λy = λ y2 + λ y2 + ⋯ + λ y2，其中y = .
1 1 2 2 n n
⋮
y
n
二次型f (x ,x ⋯x )通过整理函数形式找到可逆矩阵C, 使得当做换元法x =
将二次型化标准形的方法 1 2 n
Cy时, 二次型变成标准形:
配方法
f = xTAx = yTCTACy = yT Λy = k y2 + k y2 + ⋯ + k y2.
1 1 2 2 n n
注：x = Cy中的C必须是可逆的.
二次型（通过正交变换法/配方法）⟶标准形（通过系数单位化）⟶规范形
在二次型xTAx的标准形中，正平方项的个数p称为二次型的正惯性指
数，负平方项的个数q称为负惯性指数.
正负惯性指数
基
正(负)惯性指数=标准形系数的正(负)个数=规范形系数1(−1)的个数
=特征值的正(负)个数
础
知
在标准形中，若平方项的系数d 为1,−1或0，即
识 j
规范形 xTAx = x2 + x2 + ⋯ + x2 − x2 − ⋯ − x2 （注意正在左，负在右）则称其为
1 2 p p+1 p+q
二次型的规范形.
定义:n元二次型f = xTAx, 若对任意的x = [x ,x ,⋯ ,x ] = 0,均有
1 2 n
xTAx > 0, 则称f为正定二次型, 称二次型对应的矩阵A为正定矩阵.
充要条件:
1、对任意x = 0, 有xTAx > 0(定义)
2、A的特征值大于0
3、A与E合同
4、各阶顺序主子式均大于0
正定
必要条件：
1、a > 0(i = 1,2,⋯ ,n)
ii
2、 A > 0
二 若r(A ) = n，则ATA是正定阵.(反推亦成立)
m×n
重要结论
次
若A为正定矩阵，则AT , A−1, A∗, f(A)均为正定矩阵，其中f(A)是正系数的多项式
型
定理一：变量x = (x , x , ⋯ , x ) T 的n元二次型xTAx经坐标变换x = Cy后，
1 2 n
化为y = (y , y , ⋯ , y ) T 的n元二次型yTBy，其中B = CTAC.
1 2 n
二次型矩阵由A转换为B，经坐标变换后的二次型矩阵是合同的；特别地，若x =
公
Cy是正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似.
主
众
要
定 定理二：对任一个n元二次型xTAx, 其中A是n阶实对称矩阵, 必存在正交变
号
理 换x = Qy (Q是正交矩阵), 使得xTAx化成标准形
：
λ y2 + λ y2 + ⋯ + λ y 2,
1 1 2 2 n n
这里λ , λ , ⋯ , λ 是A的n个特征值.
1 2 n
考 正交变换化得的标准形系数一定是特征值，而配方法不一定，配方法得到的标准
形系数一般只与A的特征值正负号个数相同.
研
经 化标准形的基本步骤：对于f = xTAx，写出矩阵A
① 求A的特征值λ , λ , ⋯ , λ
1 2 n
验
② 求A对应于特征值λ , λ , ⋯ , λ 的特征向量ξ , ξ , ⋯ , ξ
1 2 n 1 2 n
③ 将ξ , ξ , ⋯ , ξ 正交化（若需要的话）、单位化为η , η , ⋯ , η
1 2 n 1 2 n
超
④ 令Q = [η , η , ⋯ , η ]，则Q是正交矩阵，且Q−1AQ = QTAQ = Λ
1 2 n
x=Qy
于是，f = xTAx = (Qy)TA(Qy) = yTQTAQy = yTΛy =
市
λ y2 + λ y2 + λ y2
1 1 2 2 3 3
注：一定要按照对角矩阵中特征值的顺序列特征向量写出对称阵，并按照这个对
角阵中的特征值顺序写系数
正
交 反求矩阵A
对称矩阵有二重根，已知单根的特征向量，
变
题干通常只告诉一部分特征值或特征向量，让你去求另外所有 T
则设重根的两个特征向量为(x , x , x ) ，
1 2 3
换 特征值或特征向量，这时就需要解读题干，结合上一章特征
再利用不同特征值对应的特征向量两两正交.
值、特征向量、实对称矩阵、相似的串联条件
法
求A有两种方法：
−1
①利用分块矩阵A = (λ α , λ α , λ α ) (α , α , α )
1 1 2 2 3 3 1 2 3 对称矩阵有二重根，已知重根的特征向量，
②利用相似，令P = (α , α , α )，A = P ∧ P−1 ；也可用 则设单根的特征向量，同样利用不同特征值
1 2 3
P ∧ PT (前者计算量在于求逆，后者计算量在于正交单位化） 对应的特征向量两两正交.
几何应用（数一）
题
型
总
结
含平方项：将某个变量的平方项及其有关的混合项合并
在一起，配成一个完全平方项，如法炮制，直到配完
配方法常用场合：
配
① 仅要求求出正、负惯性指数p、q及其反问题
方
不含平方项：根据题目条件创造平方项，如含有x x ，
1 2 ② 判断A的正定性
法
x = y + y ,
1 1 2 ③ 小题居多
可令 ⎧ x = y − y , 作出平方项，再配方
2 1 2
⎨ x = y
⎩ 3 3
判断具体矩阵的正定性：
一般最快捷的方法是利用顺序主子式, 其次是利用特征
值、正惯性指数等.
正
定 判断抽象矩阵的正定形：
最根本的方法是直接利用定义证明xTAx为正定二次型
:
①证明A是实对称矩阵;
②证明xTAx 0, 且等号仅在x = 0时才成立.
⩾
