文档内容
专题 06 利用导函数研究能成立（有解）问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：单变量有解问题.................................2
题型二：双变量不等式有解问题...........................3
题型三：双变量等式有解问题.............................5
三、专项训练..............................................6
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一
个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化： ，使得 能成立 ；
，使得 能成立 ．
③求最值.
学科网（北京）股份有限公司二、典型题型
题型一：单变量有解问题
1．（2024·四川成都·一模）已知函数 ，
.
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)当 时，设函数 ，求证： 有解.
2．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知 ．
(1)讨论 的单调性和极值；
(2)若 时， 有解，求 的取值范围．
3．（20234·河南洛阳·模拟预测）已知函数 在 处取得极值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司4．（2024·安徽淮南·一模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知 ，若存在 时，不等式 成立，求 的取值范围．
5．（2024·广东珠海·一模）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性﹔
（2）若存在 ，求 的取值范围．
题型二：双变量不等式有解问题
1．（23-24高三下·江苏南京·阶段练习）已知函数 （ ）．
(1)当 ，求f（x）的极值．
(2)当 时，设 ，若存在 ， ，求实数 的取值
学科网（北京）股份有限公司范围．（ 为自然对数的底数， ）
2．（2024·广西柳州·二模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 （ 为自然对数的底数），当 时，对任意
，存在 ，使 ，求实数 的取值范围.
3．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线经过原点，求a的值；
(2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求a的取值范
围．
4．（23-24高二下·黑龙江大庆·）已知函数 ， 为 的导
数．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）证明： 在区间 上存在唯一零点；
（Ⅲ）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得
，求实数 的取值范围.
5．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若 ，且对 ，都 ，使得 成立，求
实数 的取值范围．
题型三：双变量等式有解问题
1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数
(1)当 时，解不等式 ；
(2)已知 ，当 时，若对任意的 ，总存在 ，使
成立，求正实数m的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高二上·浙江·期中）函数 ， .
(1)当 时，总有 成立，求实数 的取值范围；
(2)若 ，对 ， ，使得 ，求实数 的取值范围.
3．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数 ， .
(1)若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围；
(2)若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范
围.
4．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么
该函数在 上是减函数，在 上是增函数.
(1)已知 ， ，利用上述性质，求函数 的值域；
(2)对于（1）中的函数 和函数 ，若对任意 ，总存在 ，
使得 成立，求实数 的值.
学科网（北京）股份有限公司三、专项训练
1．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知________，且函数 .①函数
在 上的值域为 ；②函数 在定义域
上为偶函数.请你在①②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整.
(1)求a，b的值；
(2)求函数 在R上的值域；
(3)设 ，若 ， 使得 成立，求c的取值范围.
2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数 ，
，
(1)若对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值
范围；
(2)若不等式 对 及 都成立，求实数 的取值范围.
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知________,且整数 .
①函数 在定义域为 上为偶函数;
②函数 在区间 上的值域为 .
学科网（北京）股份有限公司在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出 的值,并解答本题.
(1)判断 的奇偶性,并证明你的结论;
(2)设 ,对任意的 ,总存在 ,使得 成立,求实数 的取
值范围.
4．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函
数，且 ．
(1)若关于 的方程 的两根满足一根大于1，另外一根小于1，求实数
的取值范围；
(2)已知函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成
立，求实数 的取值范围．
5．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知函数 （ 为常数）
(1)讨论函数 的单调性；
(2)不等式 在 上有解，求实数 的取值范围．
6．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)判断函数 在区间 上的单调性；
(3)是否存在 ，使得 成立，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说
学科网（北京）股份有限公司明理由.
7．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若 ，且对 ，都 ，使得 成立，求
实数 的取值范围．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)设 ．当 时，若对 ， ，使 ，求实
数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，当 时，
， ，若 ， ，使 成立，求实数m的取
值范围．
10．（23-24高二下·重庆綦江·期中）已知函数 （ ），
（ ）．
(1)若函数 在 处的切线方程为 ，求实数 与 的值；
(2)当 时，若对任意的 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范
围．
11．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知 ．
(1)讨论 的单调性和极值；
(2)若 时， 有解，求 的取值范围．
12．（2023·青海西宁·二模）设函数 ．
(1)若函数 在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司(2)当 时，设函数 ，若在[ 上存在 ， 使 成立，求
实数a的取值范围．
13．（23-24高二上·河南·期末）已知函数 在 处取得极值 ．
(1)求a，b的值；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数t的取值范围．
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