专题06基本不等式及其应用（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_二轮复习_2023年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）2924143

专题06 基本不等式及其应用 1、【2022年新高考2卷】若x，y满足x2+ y2−xy=1，则（ ） A．x+ y≤1 B．x+ y≥−2 C．x2+ y2≤2 D．x2+ y2≥1 【答案】BC (a+b) 2 a2+b2 【解析】因为ab≤ ≤ （a,b∈R），由x2+ y2−xy=1可变形为， 2 2 (x+ y) 2−1=3xy≤3 (x+ y) 2 ，解得−2≤x+ y≤2，当且仅当x= y=−1时，x+ y=−2，当且仅当 2 x= y=1时，x+ y=2，所以A错误，B正确； x2+ y2 由x2+ y2−xy=1可变形为(x2+ y2)−1=xy≤ ，解得x2+ y2≤2，当且仅当x= y=±1时取等号，所 2 以C正确； 因为x2+ y2−xy=1变形可得 ( x− y) 2 + 3 y2=1，设x− y =cosθ, √3 y=sinθ，所以 2 4 2 2 1 2 x=cosθ+ sinθ,y= sinθ，因此 √3 √3 5 2 1 1 1 x2+ y2=cos2θ+ sin2θ+ sinθcosθ=1+ sin2θ− cos2θ+ 3 √3 √3 3 3 = 4 + 2 sin ( 2θ− π ) ∈ [2 ,2 ] ，所以当x= √3 ,y=− √3 时满足等式，但是x2+ y2≥1不成立，所以D错 3 3 6 3 3 3 误． 故选：BC． 2\（2021年新高考1卷）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C【解析】由题， ，则 ， 所以 （当且仅当 时，等号成立）． 故选：C． 3、（2020全国3文12）已知函数 ，则( ) A． 的最小值为2 B． 的图像关于 轴对称 C． 的图像关于直线 对称 D． 的图像关于直线 对称 【答案】D 【解析】由题意得 ．对于A，当 时， ， 当且仅当 时取等号；当 时， ，当且仅当 时取等号，所以A错 误．对于B， ，所以 是奇函数，图象关于原点对称， 所以B错误．对于C， ， ，则 ， 的图象不关于直线 对称，所以C错误．对于D， ， ，所以 ， 的图象关于直线 对称，所以D正确．故选D． 4、（2020山东）已知 ， ，且 ，则 （ ） A． B． C． D ． 【答案】ABD 【解析】对于A， ，当且仅当 时，等 号成立，故 A 正确；对于 B， ，所以 ，故 B 正确；对于 C， ，当且仅当 时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号 成立，故D正确，故选：ABD． 5、（2020上海13）下列不等式恒成立的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由基本不等式可知 ，故A不正确； ，即 恒成立，故B正确；当 时，不等式不成立，故C不正确；当 时， 不等式不成立，故D不正确，故选B．6、（2020江苏12）已知 ，则 的最小值是 ． 【答案】 【解析】 ，故 ， 当且仅当 ，即 ， 时，取等号．∴ ． 7、（2020天津14）已知 ，且 ，则 的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 ， ， ，当且仅当 =4时取等号，结合 ，解得 ，或 时，等号成立，故答案为： ． (x1)(2y1) x0, y 0, x2y 5 xy 8、（2019天津理13）设 ，则 的最小值为 ． 4 3 【答案】 x0 y 0 x2y 5 【解析】 ， ， ， x12y1 2xyx2y1 2xy6 6   2 xy  xy xy xy xy 则 ； 6 6 6 2 xy  � 2 2 xy 4 3 2 xy  xy xy xy xy 3 由基本不等式， （当且仅当 时，即 ，且 x2  x3  3  y  x2y 5 y 1   2 时，即 或 时，等号成立）．x12y1 xy 4 3 故 的最小值为 ． 题组一 运用基本不等式研究大小 1-1、（2022·广东·铁一中学高三期末）（多选题）若 ．且 ，则下列不等式恒成立的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】 ，当且仅当 时等号成立， 则 或 ， 则 ， 即AB错误，D正确. 对于C选项， ，C选项正确. 故选：CD 1-2、（2022·湖南常德·高三期末）（多选题）若 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】∵ ， ， ， ∴ ，当且仅当 时取等号，故A错误；由 ，当且仅当 ，即 时取等号，故B正确； 因为 ，当且仅当 时取等号，故C错误； 因为 ，当且仅当 时取等号，故D正确. 故选：BD. 1-3、（2022·湖北襄阳·高三期末）（多选题）已知 ，当 时， ，则（ ） A． ， B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为 ，且 ，可得 ，从而得到 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 而 ，（ ，等号不成立） 所以 . 从而可知选项ACD正确. 故选：ACD 1-4、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知 ， ， ，则下列结论正确的是 （ ） A． 的最小值为 B． 的最小值为16 C． 的最大值为 D． 的最小值为 【答案】ACD 【解析】由 可得， ， （当且仅当时，取等号），故A正确； （当且仅当 时，取等号），即 ，故D正确； （当且仅当 时，取等号）， （当且仅当 时，取等号），即 ， 故B错误； ，即 （当且仅当 时，取等号），故C正确； 故选：ACD 题组二 运用基本不等式求函数最值 2-1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则 的最小值为__________． 【答案】 【解析】由题意可知， ＝ ＝ ＝ ＋ ＝（ ＋ ）（x＋y） ＝4＋5＋ ＋ ≥9＋2 ＝ ， 当且仅当 ＝ ， 时取等号， 此时 ， 故 的最小值为 ． 故答案为： 2-2、（2022·湖南娄底·高三期末）已知a，b为正实数，且 ，则 的最小值为______． 【答案】6 【解析】由已知条件得， ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号．故答案为：6. 2-3、【2022·广东省深圳实验学校10月月考】已知 ，则 的最小值是 _________ . 【答案】 【解析】 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， ， 由题意知 ，则 ， ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，故答案为： . 2-4、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设 ， ，且 ，则当 取最小 值时， ______. 【答案】12 【解析】∵ ， ，∴当 取最小值时， 取得最小值， ∵ ，又 ， ∴ ，∴ ， ∴ ，当且仅当 ，即 时取等号， ∴当 取最小值时， ， ， ∴ ，∴ . 2-5、（2022·湖北武昌·高三期末）已知正数x，y满足 ，则 的最小值与最大值的和为 （ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】因为 , 所以 ，即 ， 所以 ，即 ， 又因为 ， 所以 ，即 ， 解得 ， 故 的最小值与最大值的和为5， 故选：B 题组三 运用基本不等式处理多元问题 3-1、【2022·广东省阳春市第一中学10月月考】已知不等式 的解集为 ，则 __________， 的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 8 【解析】由题知 ， ， ，则 ， ， ，， 当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为8. 故答案为： ； 3-2、(2022·江苏南通如东县期中)已知a＞0，b＞0，c＞0，，当最小时，恒成立，则x的取值集合是 ▲ ． 【答案】{x|x≤－1或x≥4} 【解析】由题意可知a＞0，b＞0，c＞0，a2－ab＋9b2－5c＝0，等式两边同除ab，可得－1＋＝，所以－1 ＋≥2－1＝5，(当且仅当＝时等号成立)，故的最小值为1(a＝3b)，所以c＝ab＝3b2，则a＋b－＝4b－b2， 所以a＋b－的最大值为4，故x2－3x≥4，解得x≤－1或x≥4． 题组四 不等式的综合运用 4-1、（2022·广东罗湖·高三期末）已知存在实数 ，使得不等式 成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】 【解析】∵ ，当且仅当 ，即 时取等号， ∴ 的最小值为 ， ∴只需存在实数 ，使得 成立即可，即 ， 又当 时， ，所以 ，∴ ， ∴ ，∴实数 的取值范围为 ， 故答案为： .4-2、（2021·河北保定市高三二模）已知圆弧 与函数 和函数 的图象分别相交于 ， ，其中 且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】因为函数 与函数 互为反函数，所以 关于 对称 所以 因为 ， 在圆弧 上 所以 ，所以 所以 当且仅当 ，即 时等号成立 故选：B 4-3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ 中，点 是线段 上两个动点，且 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图可知x，y均为正，设 ， 共线， ， ， 则 ， ， 则 的最小值为 ，故选D. 1、（2022·山东枣庄·高三期末）已知 ，则 的最小值是（ ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】 ，故 ， ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值是3. 故选：D. 2、（2022·山东烟台·高三期末）（多选题）已知 ， ，则下列命题成立的有（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABD【解析】A.若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，故正确； B.若 ，则 当且仅当 时，等号成立，故正确； C.若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，故错误； D.若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，故正确； 故选：ABD 3、（2022·山东日照·高三期末）已知 ，则函数 的最小值为_______. 【答案】7 【解析】法一： ， ， ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 故答案为：7. 法二： ，令 得 或 ， 当 时 函数单调递减， 当 时 函数单调递增， 所以当 时函数取得最小值为： ， 故答案为：7. 4、（2022·河北保定·高三期末） 的最小值为___________. 【答案】9 【解析】因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以的最小值为9. 故答案为： 5、(2022·江苏徐州期中)已知第二象限角θ的终边上有异于原点的两点A(a，b)， B(c，d)，且sinθ＋3cosθ ＝0，若a＋c＝－1，的最小值为 A． B．3 C． D．4 【答案】B 【解析】由题意可知，因为sinθ＋3cosθ＝0，且cosθ≠0，所以tanθ＝－3，即＝＝－3，即b＝－3a，d＝－ 3c，其中a，c＜0，又因为a＋c＝－1，所以－－＝－1，即＋＝1，则＝()(＋)＝＋＋＋≥2＋＝＋＝3，当 且仅当＝，即d＝2b，时取等号，则的最小值为3，故答案选B． 6、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋ c的最小值为_______． 【答案】8 【解析】 ，