文档内容
2017 年湖北省黄石市中考数学试卷
一、选择题
1．（3分）下列各数是有理数的是（ ）
A．﹣ B．C．D．π
2．（3分）地球绕太阳公转的速度约为110000km/h，则110000用科学记数法可表
示为（ ）
A．0.11×106B．1.1×105C．0.11×105D．1.1×106
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a0=0 B．a2+a3=a5 C．a2•a﹣1=aD． + =
5．（3分）如图，该几何体主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下表是某位男子马拉松长跑运动员近6次的比赛成绩（单位：分钟）
第几次 1 2 3 4 5 6
比赛成绩 145 147 140 129 136 125
则这组成绩的中位数和平均数分别为（ ）
A．137、138B．138、137C．138、138 D．137、139
7．（3分）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE= ，则
第1页（共27页）∠CDE+∠ACD=（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
8．（3分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞0，②abc＞0，
③ ＜1，其中错误的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
9．（3分）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，
AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．C．D．
10．（3分）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，
AC=1，则BD必定满足（ ）
A．BD＜2 B．BD=2
C．BD＞2 D．以上情况均有可能
第2页（共27页）二、填空题
11．（3分）因式分解：x2y﹣4y= ．
12．（3分）分式方程 = ﹣2的解为 ．
13．（3分）如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧
长为 ．
14．（3分）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一
测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿
直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑
物AB的高度约为 米．
（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据： ≈1.41，
≈1.73）
15．（3分）甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记
为a、b，则a+b=9的概率为 ．
16．（3分）观察下列格式：
=1﹣ =
+ =1﹣ + ﹣ =
+ + =1﹣ + ﹣ + ﹣ =
…
请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数） ．（写出最简计
算结果即可）
第3页（共27页）三、解答题
17．（7分）计算：（﹣2）3+ +10+|﹣3+ |．
18．（7分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a=2sin60°﹣tan45°．
19．（7分）已知关于x的不等式组 恰好有两个整数解，求实数a的取值范围．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两个实数根x 、x 满足x +2x =9，求m的值．
1 2 1 2
21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，
连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线．
22．（8分）随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，对环
保有着非常积极的意义，某市有关部门对本市的某一型号的若干辆汽车，进行了
一项油耗抽样实验：即在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在油耗1L的情况下
所行驶的路程（单位：km）进行统计分析，结果如图所示：
（注：记A为12～12.5，B为12.5～13，C为13～13.5，D为13.5～14，E为14～
14.5）
第4页（共27页）请依据统计结果回答以下问题：
（1）试求进行该试验的车辆数；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该市有这种型号的汽车约900辆（不考虑其他因素），请利用上述统计数据
初步预测，该市约有多少辆该型号的汽车，在耗油1L的情况下可以行驶13km以
上？
23．（8分）小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份
的市场行情进行统计分析后得出如下规律：
①该蔬菜的销售价P（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足关系：P=9﹣x；
②该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足二次函数关系
y=ax2+bx+10．
已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千
克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润=销售价﹣平均成本）
24．（9分）在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、
A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 ：1，我们不妨就把这样的矩形
称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP=BC，如
图所示．
（1）如图①，求证：BA=BP；
（2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最
小时，求 的值；
（3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，
连接 BF，T 为 BF 的中点，M、N 分别为线段 PF 与 AB 上的动点，且始终保持
PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．
第5页（共27页）25．（10分）如图，直线l：y=kx+b（k＜0）与函数y=（x＞0）的图象相交于A、C两点
与x轴相交于T点，过A、C两点作x轴的垂线，垂足分别为B、D，过A、C两点作y
轴的垂线，垂足分别为E、F；直线AE与CD相交于点P，连接DE．设A、C两点的坐
标分别为（a， ）、（c， ），其中a＞c＞0．
（1）如图①，求证：∠EDP=∠ACP；
（2）如图②，若A、D、E、C四点在同一圆上，求k的值；
（3）如图③，已知c=1，且点P在直线BF上，试问：在线段AT上是否存在点M，使
得OM⊥AM？请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共27页）2017 年湖北省黄石市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）（2017•黄石）下列各数是有理数的是（ ）
A．﹣ B．C．D．π
【分析】利用有理数的定义判断即可．
【解答】解：有理数为﹣ ，无理数为 ， ，π，
故选A
【点评】此题考查了实数，熟练掌握有理数与无理数的定义是解本题的关键．
2．（3分）（2017•黄石）地球绕太阳公转的速度约为110000km/h，则110000用科
学记数法可表示为（ ）
A．0.11×106B．1.1×105C．0.11×105D．1.1×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将110000用科学记数法表示为：1.1×105．
故选B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2017•黄石）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
第7页（共27页）【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180
度后两部分重合．
4．（3分）（2017•黄石）下列运算正确的是（ ）
A．a0=0 B．a2+a3=a5 C．a2•a﹣1=aD． + =
【分析】根据整式的运算法则以及分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）a0=1（a≠0），故A错误；
（B）a2与a3不是同类项，故B错误；
（D）原式= ，故D错误；
故选（C）
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基
础题型．
5．（3分）（2017•黄石）如图，该几何体主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三棱柱的特点并结合选项作出正确的判断即可．
【解答】解：三棱柱的主视图为矩形，
第8页（共27页）∵正对着的有一条棱，
∴矩形的中间应该有一条实线，
故选B．
【点评】考查了简单几何体的三视图的知识，解题的关键是了解中间的棱是实线
还是虚线，难度不大．
6．（3分）（2017•黄石）下表是某位男子马拉松长跑运动员近6次的比赛成绩（单
位：分钟）
第几次 1 2 3 4 5 6
比赛成绩 145 147 140 129 136 125
则这组成绩的中位数和平均数分别为（ ）
A．137、138B．138、137C．138、138 D．137、139
【分析】根据中位数的定义和平均数的求法计算即可，中位数是将一组数据按照
从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的
数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数．
【解答】解：把这组数据按从大到小的顺序排列是：125，129，136，140，145，147，
故这组数据的中位数是：（136+140）÷2=138；
平均数=（125+129+136+140+145+147）÷6=137．
故选B．
【点评】本题考查了中位数的定义和平均数的求法，解题的关键是牢记定义，此题
比较简单，易于掌握．
7．（3分）（2017•黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，
DE= ，则∠CDE+∠ACD=（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
第9页（共27页）【分析】根据直角三角形的性质得到 BC=2CE= ，根据勾股定理的逆定理得到
∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到∠A=60°，求得∠ACD=∠B=30°，得到
∠DCE=60°，于是得到结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，
∴BC=2DE= ，
∵AB=2，AC=1，
∴AC2+BC2=12+（ ）2=4=22=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠A= = ，
∴∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∴∠DCE=60°，
∵DE=CE，
∴∠CDE=60°，
∴∠CDE+∠ACD=90°，
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角函数的定义，熟
练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．（3分）（2017•黄石）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞
0，②abc＞0，③ ＜1，其中错误的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【分析】根据抛物线的开口方向，判断a的符号，对称轴在y轴的右侧判断b的符
号，抛物线和y轴的交点坐标判断c的符号，以及抛物线与x轴的交点个数判断
b2﹣4ac的符号．
第10页（共27页）【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∴ab＜0，故①错误；
∵抛物线和y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴abc＞0，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴ ＜1，故③正确；
故选C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求
2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练
运用．
9．（3分）（2017•黄石）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若
∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．C．D．
【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度
数，再由AD=AB可得出△ABD是等边三角形，则DE= AD，∠ODE= ∠ADB=30°，根
据锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
第11页（共27页）∴△ABD是等边三角形．
∴DE= AD=1，∠ODE= ∠ADB=30°，
∴OD= = ．
故选D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答
此题的关键．
10．（3 分）（2017•黄石）如图，已知凸五边形 ABCDE 的边长均相等，且
∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）
A．BD＜2 B．BD=2
C．BD＞2 D．以上情况均有可能
【分析】先根据等腰三角形的底角相等，得出∠AED+∠CDE=180°，判定AE∥CD，再
根据一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得出△ABC是等边三角形．
【解答】证明：∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，同理∠CBD=∠CDB
∵∠ABC=2∠DBE，
∴∠ABE+∠CBD=∠DBE，
∵∠ABE=∠AEB，∠CBD=∠CDB，
∴∠AEB+∠CDB=∠DBE，
∴∠AED+∠CDE=180°，
∴AE∥CD，
第12页（共27页）∵AE=CD，
∴四边形AEDC为平行四边形．
∴DE=AC=AB=BC．
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=CD=1，
在△BCD中，∵BD＜BC+CD，
∴BD＜2．
故选A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，以及等边三角
形的判定定理．解题时注意，同旁内角互补，两直线平行．
二、填空题
11．（3分）（2017•黄石）因式分解：x2y﹣4y= y （ x﹣2 ）（ x + 2 ） ．
【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x﹣2）（x+2）．
故答案为：y（x﹣2）（x+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式
分解因式是解题关键．
12．（3分）（2017•黄石）分式方程 = ﹣2的解为 x = ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x=3﹣4x+4，
解得：x= ，
经检验x= 是分式方程的解，
故答案为：x=
第13页（共27页）【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．（3分）（2017•黄石）如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，
则该扇形的弧长为 2π ．
【分析】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式S
扇
= lR（其中l为扇形的弧长），求得扇形的弧长．
形
【解答】解：设扇形的半径是R，则 =6π，
解得：r=6，
设扇形的弧长是l，则 lr=6π，即3l=6π，
解得：l=2π．
故答案是：2π．
【点评】本题考查了扇形面积和弧长的计算，熟练掌握扇形的面积公式和弧长的
公式是解题的关键．
14．（3分）（2017•黄石）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物
AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为
45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为
30°，则建筑物AB的高度约为 13 7 米．
（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据： ≈1.41，
≈1.73）
【分析】设AB=x米，由∠ACB=45°得BC=AB=x、BD=BC+CD=x+100，根据tan∠ADB=
第14页（共27页）可得关于x的方程，解之可得答案．
【解答】解：设AB=x米，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，
∴BC=AB=x米，
则BD=BC+CD=x+100（米），
在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°，
∴tan∠ADB= = ，即 = ，
解得：x=50+50 ≈137，
即建筑物AB的高度约为137米
故答案为：137．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是利用数形
结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．
15．（3分）（2017•黄石）甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的
点数分别记为a、b，则a+b=9的概率为 ．
【分析】利用列表法即可解决问题．
【解答】解：甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，所有可能的结果是：
满足a+b=9的有4种可能，
∴a+b=9的概率为 = ，
故答案为 ．
【点评】本题考查的是古典型概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
16．（3分）（2017•黄石）观察下列格式：
第15页（共27页）=1﹣ =
+ =1﹣ + ﹣ =
+ + =1﹣ + ﹣ + ﹣ =
…
请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数） ．（写出最简计算
结果即可）
【分析】根据上述各式的规律即可求出第n个式子的计算结果．
【解答】解：n=1时，结果为： = ；
n=2时，结果为： = ；
n=3时，结果为：
所以第n个式子的结果为：
故答案为：
【点评】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据已给出的式子找出规律，本题
属于基础题型．
三、解答题
17．（7分）（2017•黄石）计算：（﹣2）3+ +10+|﹣3+ |．
【分析】原式利用乘方的意义，算术平方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代
数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣8+4+1+3﹣ =﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
18．（7分）（2017•黄石）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a=2sin60°﹣tan45°．
【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简
原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可．
【解答】解：原式=[ ﹣ ]•（a﹣1）
= •（a﹣1）
=
当a=2sin60°﹣tan45°=2× ﹣1= ﹣1时，
第16页（共27页）原式= = ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是
解题的关键，也考查了特殊锐角的三角函数值．
19．（7分）（2017•黄石）已知关于x的不等式组 恰好有两个整数解，求实数a
的取值范围．
【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数
解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
【解答】解：解5x+1＞3（x﹣1）得：x＞﹣2，
解 x≤8﹣ x+2a得：x≤4+a．
则不等式组的解集是：﹣2＜x≤4+a．
不等式组只有两个整数解，是﹣1和0．
根据题意得：0≤4+a＜1．
解得：﹣4≤a＜﹣3．
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以
下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．（8分）（2017•黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两个实数根x 、x 满足x +2x =9，求m的值．
1 2 1 2
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=16+4m2＞0，由此可证出
该方程有两个不等的实根；
（2）根据根与系数的关系可得x +x =4①、x •x =﹣m2②，结合x +2x =9③，可求出
1 2 1 2 1 2
x 、x 的值，将其代入②中即可求出m的值．
1 2
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣4x﹣m2=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）
=16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x 、x ，
1 2
∴x +x =4①，x •x =﹣m2②．
1 2 1 2
第17页（共27页）∵x +2x =9③，
1 2
∴联立①③解之，得：x =﹣1，x =5，
1 2
∴x •x =﹣5=﹣m2，
1 2
解得：m=± ．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记
“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）联立x +x =4①、x +2x =9③，
1 2 1 2
求出x 、x 的值．
1 2
21．（8分）（2017•黄石）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为
△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，
连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线．
【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DBE=∠DEB；
（2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可；
【解答】（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
（2）连接CD．
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
第18页（共27页）∴ = ，
∴BD=CD，
∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角
三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用
辅助线，属于中考常考题型．
22．（8分）（2017•黄石）随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油
耗汽车，对环保有着非常积极的意义，某市有关部门对本市的某一型号的若干辆
汽车，进行了一项油耗抽样实验：即在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在油耗
1L的情况下，所行驶的路程（单位：km）进行统计分析，结果如图所示：
（注：记A为12～12.5，B为12.5～13，C为13～13.5，D为13.5～14，E为14～
14.5）
请依据统计结果回答以下问题：
第19页（共27页）（1）试求进行该试验的车辆数；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该市有这种型号的汽车约900辆（不考虑其他因素），请利用上述统计数据
初步预测，该市约有多少辆该型号的汽车，在耗油1L的情况下可以行驶13km以
上？
【分析】（1）根据C所占的百分比以及频数，即可得到进行该试验的车辆数；
（2）根据B的百分比，计算得到B的频数，进而得到D的频数，据此补全频数分布
直方图；
（3）根据C，D，E所占的百分比之和乘上该市这种型号的汽车的总数，即可得到结
果．
【解答】解：（1）进行该试验的车辆数为：9÷30%=30（辆），
（2）B：20%×30=6（辆），
D：30﹣2﹣6﹣9﹣4=9（辆），
补全频数分布直方图如下：
（3）900× =660（辆），
答：该市约有660辆该型号的汽车，在耗油1L的情况下可以行驶13km以上．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图以及扇形统计图的运用，解题时注意：通
过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面
积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
23．（8分）（2017•黄石）小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1
月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：
①该蔬菜的销售价P（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足关系：P=9﹣x；
②该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足二次函数关系
第20页（共27页）y=ax2+bx+10．
已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千
克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润=销售价﹣平均成本）
【分析】（1）将x=4、y=2和x=6、y=1代入y=ax2+bx+10，求得a、b即可；
（2）根据“平均利润=销售价﹣平均成本”列出函数解析式，配方成顶点式，利用
二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）将x=4、y=2和x=6、y=1代入y=ax2+bx+10，
得： ，
解得： ，
∴y= x2﹣3x+10；
（2）根据题意，知L=P﹣y=9﹣x﹣（ x2﹣3x+10）=﹣ （x﹣4）2+3，
∴当x=4时，L取得最大值，最大值为3，
答：4月份的平均利润L最大，最大平均利润是3元/千克．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式
和二次函数的性质是解题的关键．
24．（9分）（2017•黄石）在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们
的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 ：1，我们不妨就把
这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且
CP=BC，如图所示．
（1）如图①，求证：BA=BP；
（2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最
第21页（共27页）小时，求 的值；
（3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，
连接 BF，T 为 BF 的中点，M、N 分别为线段 PF 与 AB 上的动点，且始终保持
PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．
【分析】（1）如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD= a．通过计算得出AB=BP= a，由此
即可证明；
（2）如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长
最小．设AD=BC=QD=a，则AB=CD= a，可得CQ=CQ′= a﹣a，由CQ′∥AB，推出 = =
= ；
（3）如图③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．由S = •TH•CK+ •TH•BK= HT•
△MNT
（KC+KB）= HT•BC= HT，利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD= a．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∵PC=AD=BC=a，
∴PB= = a，
∴BA=BP．
（2）解：如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的
周长最小．
第22页（共27页）设AD=BC=QD=a，则AB=CD= a，
∴CQ=CQ′= a﹣a，
∵CQ′∥AB，
∴ = = = ．
（3）证明：如图③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．
由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD= ，DP=CF= ﹣1，
∵S = •TH•CK+ •TH•BK= HT•（KC+KB）= HT•BC= HT，
△MNT
∵TH∥AB∥FM，TF=TB，
∴HM=HN，
∴HT= （FM+BN），
∵BN=PM，
∴HT= （FM+PM）= PF= •（1+ ﹣1）= ，
∴S = HT= =定值．
△MNT
【点评】本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定
理、梯形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会
添加常用辅助线，构造梯形的中位线解决问题，属于中考压轴题．
25．（10分）（2017•黄石）如图，直线l：y=kx+b（k＜0）与函数y=（x＞0）的图象相
交于A、C两点，与x轴相交于T点，过A、C两点作x轴的垂线，垂足分别为B、D，
过A、C两点作y轴的垂线，垂足分别为E、F；直线AE与CD相交于点P，连接DE．
设A、C两点的坐标分别为（a， ）、（c， ），其中a＞c＞0．
（1）如图①，求证：∠EDP=∠ACP；
（2）如图②，若A、D、E、C四点在同一圆上，求k的值；
（3）如图③，已知c=1，且点P在直线BF上，试问：在线段AT上是否存在点M，使
第23页（共27页）得OM⊥AM？请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由 P、E、D 的坐标可表示出 PA、EP、PC 和 DP 的长，可证明
△EPD∽△CPA，利用相似三角形的性质可证得结论；
（2）连接AD、EC，可证明△AEC≌△CDA，可得CD=AE，把A、C坐标代入直线l解析
式，可求得k的值；
（3）假设在线段AT上存在点M，使得OM⊥AM，连接OM、OA，可表示出C、F、P、B
的坐标，利用直线BF的解析式可求得a的值，可求得A点坐标，可求得T点坐标，
在△OAT 中，利用等积法可求得 OM 的长，在 RtOMT 中可求得 MT 的长，作
MN⊥x轴，同理可求得MN的长，则可求得ON的长，可判断N在线段BT上，满足
条件，从而可知存在满足条件的M点．
【解答】（1）证明：
由题意可知P（c， ），E（0， ），D（c，0），
∴PA=a﹣c，EP=c，PC= ﹣ = ，DP= ，
∴ = = ，且∠EPD=∠APC，
∴△EPD∽△CPA，
∴∠EDP=∠ACP；
（2）解：如图1，连接AD、EC，
第24页（共27页）由（1）可知DE∥AC，
∴∠DEC+∠ECA=180°，
∵A、D、E、C四点在同圆周上，
∴∠DEC+∠DAC=180°，
∴∠ECA=∠DAC，
在△AEC和△CDA中
∴△AEC≌△CDA（AAS），
∴CD=AE，即a= ，可得ac=4，
∵A、C在直线l上，
∴ ，解得k= =﹣ =﹣1；
（3）假设在线段AT上存在点M，使OM⊥AM，连接OM、OA，作MN⊥x轴于点N，
如图2，
第25页（共27页）∵c=1，
∴C（1，4），F（0，4），P（1， ），B（a，0），
设直线BF的解析式为y=k′x+4，由题意可得 ，解得a=2，
∴A（2，2），
∴AP为△DCT的中位线，
∴T（3，0），
∴AT= =
∵S = OT•AB= AT•OM，
△OAT
∴OM= = = ，
在Rt△OMT中，MT= = = ，
同理可求得MN= = ，
在Rt△OMN中，ON= = = ，
∵2＜ ＜3，
∴点M在线段AT上，
即在线段AT上存在点M，使得OM⊥AM，M点的坐标为（ ， ）．
【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及相似三角形的判定和性质、全等三角
形的判定和性质、圆的性质、勾股定理、等积法等知识．在（1）中证得
△EPD∽△CPA是解题的关键，在（2）中构造全等三角形，求得ac=4是解题的关键
在（3）中求得A点坐标，再分别求得OM和ON的长是解题的关键．本题考查知识
点较多，综合性较强，计算量较大，难度适中．
第26页（共27页）第27页（共27页）
