文档内容
2017 年安徽省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分） 的相反数是（ ）
A．B．﹣ C．2D．﹣2
2．（4分）计算（﹣a3）2的结果是（ ）
A．a6 B．﹣a6C．﹣a5D．a5
3．（4分）如图，一个放置在水平实验台上的锥形瓶，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）截至2016年底，国家开发银行对“一带一路”沿线国家累计发放贷款
超过1600亿美元，其中1600亿用科学记数法表示为（ ）
A．16×1010B．1.6×1010C．1.6×1011D．0.16×1012
5．（4分）不等式4﹣2x＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D ．
6．（4分）直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
7．（4分）为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其
中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数直方图，已知该校共有1000名
第1页（共26页）学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大
约是（ ）
A．280 B．240 C．300 D．260
8．（4分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百
分率都为x，则x满足（ ）
A．16（1+2x）=25B．25（1﹣2x）=16 C．16（1+x）2=25D．25（1﹣x）2=16
9．（4分）已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一象限有一个公共
点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S = S ，则点P
△PAB 矩形ABCD
到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．B．C．5 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）27的立方根为 ．
12．（5分）因式分解：a2b﹣4ab+4b= ．
13．（5分）如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分
别交于D、E两点，则劣弧 的长为 ．
第2页（共26页）14．（5分）在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该纸片沿过点B
的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），减去
△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形
剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长
为 cm．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：|﹣2|×cos60°﹣（ ）﹣1．
16．（8分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，
问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
四、（本大题共2小题，每题8分，共16分）
17．（8分）如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处，假
设AB和BD都是直线段，且AB=BD=600m，α=75°，β=45°，求DE的长．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， ≈1.41）
第3页（共26页）18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点
△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的
三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E= ．
五、（本大题共2小题，每题10分，共20分）
19．（10分）【阅读理解】
我们知道，1+2+3+…+n= ，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的
和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为 ，即n2，这样，该三角形数阵中
共有 个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．
第4页（共26页）【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵
各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），
发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵
所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）= ，因此，12+22+32+…+n2=
．
【解决问题】
根据以上发现，计算： 的结果为 ．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠B=∠D，AD不平行于BC，过点C作
CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）连接CO，求证：CO平分∠BCE．
六、（本题满分12分）
21．（12分）甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如
下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7
第5页（共26页）乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5
（1）根据以上数据完成下表：
平均数 中位数 方差
甲 8 8
乙 8 8 2.2
丙 6 3
（2）根据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；
（3）比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定，求甲、乙相邻出场的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，
且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一
次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克） 50 60 70
销售量y（千克） 100 80 60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入﹣
成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元
时获得最大利润，最大利润是多少？
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知正方形ABCD，点M边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、
CD交于点E、F．
①求证：BE=CF；
②求证：BE2=BC•CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG
并延长CD于点F，求tan∠CBF的值．
第6页（共26页）第7页（共26页）2017 年安徽省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）（2017•安徽） 的相反数是（ ）
A．B．﹣ C．2D．﹣2
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解： 的相反数是﹣ ，添加一个负号即可．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是
0．
2．（4分）（2017•安徽）计算（﹣a3）2的结果是（ ）
A．a6 B．﹣a6C．﹣a5D．a5
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=a6，
故选（A）
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用幂的乘方公式，本题属于基
础题型．
3．（4分）（2017•安徽）如图，一个放置在水平实验台上的锥形瓶，它的俯视图为（
）
第8页（共26页）A． B． C． D．
【分析】俯视图是分别从物体的上面看，所得到的图形．
【解答】解：一个放置在水平实验台上的锥形瓶，它的俯视图为两个同心圆．
故选B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都
应表现在三视图中．
4．（4分）（2017•安徽）截至2016年底，国家开发银行对“一带一路”沿线国家
累计发放贷款超过1600亿美元，其中1600亿用科学记数法表示为（ ）
A．16×1010B．1.6×1010C．1.6×1011D．0.16×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负
数．
【解答】解：1600亿用科学记数法表示为1.6×1011，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（4分）（2017•安徽）不等式4﹣2x＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D ．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．
【解答】解：移项，得：﹣2x＞﹣4，
系数化为1，得：x＜2，
故选：D．
第9页（共26页）【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本
步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改
变．
6．（4分）（2017•安徽）直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（
）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，过E作EF∥AB，
则AB∥EF∥CD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∵∠1=20°，
∴∠2=40°，
故选C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
7．（4分）（2017•安徽）为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，
随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数直方图，已知该
校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之
间的学生数大约是（ ）
第10页（共26页）A．280 B．240 C．300 D．260
【分析】用被抽查的100名学生中参加社团活动时间在8～10小时之间的学生所
占的百分数乘以该校学生总人数，即可得解．
【解答】解：由题可得，抽查的学生中参加社团活动时间在8～10小时之间的学生
数为100﹣30﹣24﹣10﹣8=28（人），
∴1000× =280（人），
即该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是280人．
故选：A．
【点评】本题考查了频数分布直方图以及用样本估计总体，利用统计图获取信息
时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．一般来
说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就
越精确．
8．（4分）（2017•安徽）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设
两次降价的百分率都为x，则x满足（ ）
A．16（1+2x）=25B．25（1﹣2x）=16 C．16（1+x）2=25D．25（1﹣x）2=16
【分析】等量关系为：原价×（1﹣降价的百分率）2=现价，把相关数值代入即可．
【解答】解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x）；
第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2；
∵两次降价后的价格为16元，
∴25（1﹣x）2=16．
故选D．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平
均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
第11页（共26页）9．（4分）（2017•安徽）已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一象
限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一象限有一个公共点
可得b＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b，可得a，c互为相反数，依此可得
一次函数y=bx+ac的图象．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一象限有一个公共
点，
∴b＞0，
∵交点横坐标为1，
∴a+b+c=b，
∴a+c=0，
∴ac＜0，
∴一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
【点评】考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得
到b＞0，ac＜0．
10．（4分）（2017•安徽）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S = S
△PAB 矩
，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
形ABCD
A．B．C．5 D．
【分析】首先由S = S ，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直
△PAB 矩形ABCD
线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短
第12页（共26页）距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S = S ，
△PAB 矩形ABCD
∴ AB•h= AB•AD，
∴h= AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对
称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，
∴BE= = = ，
即PA+PB的最小值为 ．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定
理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2017•安徽）27的立方根为 3 ．
【分析】找到立方等于27的数即可．
【解答】解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
【点评】考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．
12．（5分）（2017•安徽）因式分解：a2b﹣4ab+4b= b （ a﹣ 2 ） 2 ．
【分析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=b（a2﹣4a+4）=b（a﹣2）2，
故答案为：b（a﹣2）2
第13页（共26页）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
是解本题的关键．
13．（5分）（2017•安徽）如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与
边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧 的长为 π ．
【分析】连接 OD、OE，先证明△AOD、△BOE 是等边三角形，得出
∠AOD=∠BOE=60°，求出∠DOE=60°，再由弧长公式即可得出答案．
【解答】解：连接OD、OE，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵OA=OD，OB=OE，
∴△AOD、△BOE是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOE=60°，
∴∠DOE=60°，
∵OA= AB=3，
∴ 的长= =π；
故答案为：π．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、弧长公式；熟练掌握弧长公式，证
明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
第14页（共26页）14．（5分）（2017•安徽）在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该
纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图
1），减去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层
三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形
的周长为 4 0 或 cm．
【分析】解直角三角形得到 AB=10 ，∠ABC=60°，根据折叠的性质得到
∠ABD=∠EBD= ABC=30°，BE=AB=10 ，求得DE=10，BD=20，如图1，平行四边形的
边是DF，BF，如图2，平行四边形的边是DE，EG，于是得到结论．
【解答】解：∵∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，
∴AB=10 ，∠ABC=60°，
∵△ADB≌△EDB，
∴∠ABD=∠EBD= ABC=30°，BE=AB=10 ，
∴DE=10，BD=20，
如图1，平行四边形的边是DF，BF，且DF=BF= ，
∴平行四边形的周长= ，
如图2，平行四边形的边是DE，EG，且DF=BF=10，
∴平行四边形的周长=40，
综上所述：平行四边形的周长为40或 ，
故答案为：40或 ．
【点评】本题考查了剪纸问题，平行四边形的性质，解直角三角形，正确的理解题
意是解题的关键．
第15页（共26页）三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（2017•安徽）计算：|﹣2|×cos60°﹣（ ）﹣1．
【分析】分别利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值
化简求出答案．
【解答】解：原式=2× ﹣3
=﹣2．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及绝对值、特殊角的三角函数值
等知识，正确化简各数是解题关键．
16．（8分）（2017•安徽）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如
下：
今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，
问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
【分析】根据这个物品的价格不变，列出一元一次方程进行求解即可．
【解答】解：设共有x人，可列方程为：8x﹣3=7x+4．
解得x=7，
∴8x﹣3=53，
答：共有7人，这个物品的价格是53元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出合适的等
量关系，列出相应的方程．
四、（本大题共2小题，每题8分，共16分）
17．（8分）（2017•安徽）如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至
山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB=BD=600m，α=75°，β=45°，求DE的长．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， ≈1.41）
第16页（共26页）【分析】在R△ABC中，求出BC=AB•cos75°≈600×0.26≈156m，在Rt△BDF中，求
出DF=BD•sin45°=600× ≈300×1.41≈423，由四边形BCEF是矩形，可得EF=BC，
由此即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=600m，∠ABC=75°，
∴BC=AB•cos75°≈600×0.26≈156m，
在Rt△BDF中，∵∠DBF=45°，
∴DF=BD•sin45°=600× ≈300×1.41≈423，
∵四边形BCEF是矩形，
∴EF=BC=156，
∴DE=DF+EF=423+156=579m．
答：DE的长为579m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、矩形的性质等知识，解题
的关键是学会利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（8分）（2017•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的
三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E= 45 ° ．
第17页（共26页）【分析】（1）将点A、B、C分别右移2个单位、下移2个单位得到其对应点，顺次连
接即可得；
（2）分别作出点D、E、F关于直线l的对称点，顺次连接即可得；
（3）连接A′F′，利用勾股定理逆定理证△A′C′F′为等腰直角三角形即可得．
【解答】解：（1）△A′B′C′即为所求；
（2）△D′E′F′即为所求；
（3）如图，连接A′F′，
∵△ABC≌△A′B′C′、△DEF≌△D′E′F′，
∴∠C+∠E=∠A′C′B′+∠D′E′F′=∠A′C′F′，
∵A′C′= = 、A′F′= = ，C′F′= = ，
∴A′C′2+A′F′2=5+5=10=C′F′2，
∴△A′C′F′为等腰直角三角形，
∴∠C+∠E=∠A′C′F′=45°，
第18页（共26页）故答案为：45°．
【点评】本题主要考查作图﹣平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移变换、轴对称
变换及勾股定理逆定理是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每题10分，共20分）
19．（10分）（2017•安徽）【阅读理解】
我们知道，1+2+3+…+n= ，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的
和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为 ，即n2，这样，该三角形数阵中
共有 个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵
各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），
发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 2n + 1 ，由此可得，这三个三角形数阵
所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）= ，因此，12+22+32+…+n2=
．
【解决问题】
根据以上发现，计算： 的结果为 1345 ．
【分析】【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于
同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个
三角形数阵和的 ，从而得出答案；
第19页（共26页）【解决问题】运用以上结论，将原式变形为 ，化简计算即可得．
【解答】解：【规律探究】
由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n=2n+1，
由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：
3（12+22+32+…+n2）=（2n+1）×（1+2+3+…+n）=（2n+1）× ，
因此，12+22+32+…+n2= ；
故答案为：2n+1， ， ；
【解决问题】
原式= = ×（2017×2+1）=1345，
故答案为：1345．
【点评】本题主要考查数字的变化类，阅读材料、理解数列求和的具体方法得出规
律，并运用规律解决实际问题是解题的关键．
20．（10分）（2017•安徽）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠B=∠D，AD不平行于
BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）连接CO，求证：CO平分∠BCE．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠B=∠E，得到∠E=∠D，根据平行线的判定和性
质定理得到AE∥CD，证明结论；
（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．
【解答】证明：（1）由圆周角定理得，∠B=∠E，又∠B=∠D，
∴∠E=∠D，
∵CE∥AD，
第20页（共26页）∴∠D+∠ECD=180°，
∴∠E+∠ECD=180°，
∴AE∥CD，
∴四边形AECD为平行四边形；
（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴AD=CE，又AD=BC，
∴CE=CB，
∴OM=ON，又OM⊥BC，ON⊥CE，
∴CO平分∠BCE．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定定理、垂径
定理、圆周角定理是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．（12分）（2017•安徽）甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次
射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7
乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5
（1）根据以上数据完成下表：
平均数 中位数 方差
甲 8 8 2
乙 8 8 2.2
丙 6 6 3
（2）根据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；
（3）比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定，求甲、乙相邻出场的概率．
第21页（共26页）【分析】（1）根据方差公式和中位数的定义分别进行解答即可；
（2）根据方差公式先分别求出甲的方差，再根据方差的意义即方差越小越稳定即
可得出答案；
（3）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙相邻出场的情况数，再根据
概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵甲的平均数是8，
∴甲的方差是： [（9﹣8）2+2（10﹣8）2+4（8﹣8）2+2（7﹣8）2+（5﹣8）2]=2；
把丙运动员的射靶成绩从小到大排列为：3，4，5，5，6，6，7，7，8，9，则中位数是
=6；
故答案为：6，2；
（2）∵甲的方差是：[（9﹣8）2+2（10﹣8）2+4（8﹣8）2+2（7﹣8）2+（5﹣8）2]=2；
乙的方差是： [2（9﹣8）2+2（10﹣8）2+2（8﹣8）2+3（7﹣8）2+（5﹣8）2]=2.2；
丙的方差是：[（9﹣6）2+（8﹣6）2+2（7﹣6）2+2（6﹣6）2+2（5﹣6）2+（4﹣6）2+（3﹣
6）2]=3；
∴S 2＜S 2＜S 2，
甲 乙 丙
∴甲运动员的成绩最稳定；
（3）根据题意画图如下：
∵共有6种情况数，甲、乙相邻出场的有4种情况，
∴甲、乙相邻出场的概率是 = ．
【点评】此题考查了方差、平均数、中位数和画树状图法求概率，一般地设n个数
据，x ，x ，…x 的平均数为，则方差S2= [（x ﹣x¯）2+（x ﹣x¯）2+…+（x ﹣x¯）2]，它反
1 2 n 1 2 n
映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立；概率=所求情况
数与总情况数之比．
七、（本题满分12分）
第22页（共26页）22．（12分）（2017•安徽）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售
价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售
价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克） 50 60 70
销售量y（千克） 100 80 60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入﹣
成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元
时获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据
即可求得y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意可以写出W与x之间的函数表达式；
（3）根据（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每千克40元，规定
每千克售价不低于成本，且不高于80元，即可得到利润W随售价x的变化而变
化的情况，以及售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
，
得 ，
即y与x之间的函数表达式是y=﹣2x+200；
（2）由题意可得，
W=（x﹣40）（﹣2x+200）=﹣2x2+280x﹣8000，
即W与x之间的函数表达式是W=﹣2x2+280x﹣8000；
（3）∵W=﹣2x2+280x﹣8000=﹣2（x﹣70）2+1800，40≤x≤80，
∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，
当x=70时，W取得最大值，此时W=1800，
答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减
小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数
解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．
第23页（共26页）八、（本题满分14分）
23．（14分）（2017•安徽）已知正方形ABCD，点M边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、
CD交于点E、F．
①求证：BE=CF；
②求证：BE2=BC•CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG
并延长CD于点F，求tan∠CBF的值．
【分析】（1）①由正方形的性质知AB=BC、∠ABC=∠BCF=90°、∠ABG+∠CBF=90°，
结合∠ABG+∠BAG=90°可得∠BAG=∠CBF，证△ABE≌△BCF可得；
② 由 RtABG 斜 边 AB 中 线 知 MG=MA=MB ， 即 ∠ GAM=∠ AGM ， 结 合
∠CGE=∠AGM、∠GAM=∠CBG 知∠CGE=∠CBG，从而证△CGE∽△CBG 得
CG2=BC•CE，由BE=CF=CG可得答案；
（2）延长 AE、DC 交于点 N，证△CEN∽△BEA 得 BE•CN=AB•CE，由 AB=BC、
BE2=BC•CE知CN=BE，再由 = = 且AM=MB得FC=CN=BE，设正方形的边长为1、
BE=x，根据BE2=BC•CE求得BE的长，最后由tan∠CBF= = 可得答案．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，
∴∠ABG+∠CBF=90°，
∵∠AGB=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠BAG=∠CBF，
∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE≌△BCF，
第24页（共26页）∴BE=CF，
②∵∠AGB=90°，点M为AB的中点，
∴MG=MA=MB，
∴∠GAM=∠AGM，
又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，
∴∠CGE=∠CBG，
又∠ECG=∠GCB，
∴△CGE∽△CBG，
∴ = ，即CG2=BC•CE，
由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，
由①知BE=CF，
∴BE=CG，
∴BE2=BC•CE；
（2）延长AE、DC交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠N=∠EAB，
又∵∠CEN=∠BEA，
∴△CEN∽△BEA，
∴ = ，即BE•CN=AB•CE，
∵AB=BC，BE2=BC•CE，
∴CN=BE，
∵AB∥DN，
∴ = = ，
∵AM=MB，
第25页（共26页）∴FC=CN=BE，
不妨设正方形的边长为1，BE=x，
由BE2=BC•CE可得x2=1•（1﹣x），
解得：x = ，x = （舍），
1 2
∴ = ，
则tan∠CBF= = = ．
【点评】本题主要考查相似形的综合问题，熟练掌握正方形与直角三角形的性质、
全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
第26页（共26页）
