文档内容
2017 年四川省眉山市中考数学试卷
一、选择题（36分）
1．（3分）下列四个数中，比﹣3小的数是（ ）
A．0B．1C．﹣1 D．﹣5
2．（3分）不等式﹣2x＞ 的解集是（ ）
A．x＜﹣ B．x＜﹣1 C．x＞﹣ D．x＞﹣1
3．（3分）某微生物的直径为0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为（ ）
A．5.035×10﹣6 B．50.35×10﹣5 C．5.035×106 D．5.035×10﹣5
4．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．给定一组数据，那么这组数据的平均数一定只有一个
B．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个
C．给定一组数据，那么这组数据的众数一定只有一个
D．如果一组数据存在众数，那么该众数一定是这组数据中的某一个
6．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．﹣ =﹣ B．（﹣0.1）﹣2=0.01 C．（ ）2÷ = D．（﹣m）3•m2=﹣m6
7．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则a﹣2b的值是（ ）
A．﹣2 B．2C．3D．﹣3
8．（3分）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸
问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题
意可以由图获得，则井深为（ ）
第1页（共23页）A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺
9．（3分）如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ）
A．114° B．122° C．123° D．132°
10．（3分）如图，EF过 ▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若 ▱ABCD
的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
11．（3分）若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2
﹣ax（ ）
A．有最大值 B．有最大值﹣ C．有最小值 D．有最小值﹣
12．（3分）已知 m2+ n2=n﹣m﹣2，则 ﹣ 的值等于（ ）
A．1B．0C．﹣1 D．﹣
二、填空题（24分）
13．（3分）分解因式：2ax2﹣8a= ．
14．（3分）△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中
第2页（共23页）心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是 ．
15．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为x ，x ，则（x ﹣1）（x ﹣
1 2 1 2
1）的值是 ．
16．（3分）设点（﹣1，m）和点（ ，n）是直线y=（k2﹣1）x+b（0＜k＜1）上的两个点，
则m、n的大小关系为 ．
17．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则
OC= cm．
18．（3分）已知反比例函数y= ，当x＜﹣1时，y的取值范围为 ．
三．解答题：（60分）
19．（6分）先化简，再求值：（a+3）2﹣2（3a+4），其中a=﹣2．
20．（6分）解方程： +2= ．
21．（8分）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC
（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB C的周长最小，并写出点P的坐标．
1
22．（8分）如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，
第3页（共23页）测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求
这棵树的高度AB．
23．（9分）一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若
红球个数是黑球个数的2倍多40个．从袋中任取一个球是白球的概率是 ．
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
24．（9分）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）
的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品
该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产
的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
25．（9分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作
BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求 的值．
26．（11分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已
知A（3，0），且M（1，﹣ ）是抛物线上另一点．
第4页（共23页）（1）求a、b的值；
（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三
角形，求P点的坐标；
（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作
NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的
函数关系式．
第5页（共23页）2017 年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（36分）
1．（3分）（2017•眉山）下列四个数中，比﹣3小的数是（ ）
A．0B．1C．﹣1 D．﹣5
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一
切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：﹣5＜﹣3＜﹣1＜0＜1，
所以比﹣3小的数是﹣5，
故选D．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝
对值大的其值反而小．
2．（3分）（2017•眉山）不等式﹣2x＞ 的解集是（ ）
A．x＜﹣ B．x＜﹣1 C．x＞﹣ D．x＞﹣1
【分析】根据不等式的基本性质两边都除以﹣2可得．
【解答】解：两边都除以﹣2可得：x＜﹣ ，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本
步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改
变．
3．（3分）（2017•眉山）某微生物的直径为0.000 005 035m，用科学记数法表示该
数为（ ）
A．5.035×10﹣6 B．50.35×10﹣5 C．5.035×106 D．5.035×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
第6页（共23页）与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|
＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）（2017•眉山）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视
图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层也有2个正方形．
故选B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5．（3分）（2017•眉山）下列说法错误的是（ ）
A．给定一组数据，那么这组数据的平均数一定只有一个
B．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个
C．给定一组数据，那么这组数据的众数一定只有一个
D．如果一组数据存在众数，那么该众数一定是这组数据中的某一个
【分析】利用平均数、中位数及众数的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、给定一组数据，那么这组数据的平均数一定只有一个，正确，不符
合题意；
B、给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个，正确，不符合题意；
C、给定一组数据，那么这组数据的众数一定只有一个，错误，符合题意；
第7页（共23页）D、如果一组数据存在众数，那么该众数一定是这组数据中的某一个，正确，不符
合题意，
故选C．
【点评】本题考查了平均数、中位数及众数的定义，解题的关键是了解它们的性质，
难度不大．
6．（3分）（2017•眉山）下列运算结果正确的是（ ）
A．﹣ =﹣ B．（﹣0.1）﹣2=0.01 C．（ ）2÷ = D．（﹣m）3•m2=﹣m6
【分析】直接化简二次根式判断A选项，再利用负整数指数幂的性质判断B选项，
再结合整式除法运算法则以及同底数幂的乘法运算法则判断得出答案．
【解答】解：A、 ﹣ =2 ﹣3 =﹣ ，正确，符合题意；
B、（﹣0.1）﹣2= =100，故此选项错误；
C、（ ）2÷ = × = ，故此选项错误；
D、（﹣m）3•m2=﹣m5，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减以及负整数指数幂的性质、整式除法运
算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（3分）（2017•眉山）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则a﹣2b的
值是（ ）
A．﹣2 B．2C．3D．﹣3
【分析】把 代入方程组，得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：把 代入方程组 得： ，
解得： ，
所以a﹣2b= ﹣2×（﹣ ）=2，
故选B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于a、b
的方程组是解此题的关键．
第8页（共23页）8．（3分）（2017•眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水
岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”
问题，它的题意可以由图获得，则井深为（ ）
A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺
【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得
到井深．
【解答】解：依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB：AD=BF：DE，
即5：AD=0.4：5，
解得AD=62.5，
BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺．
故选：B．
【点评】考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABF∽△ADE．
9．（3分）（2017•眉山）如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为
（ ）
第9页（共23页）A．114° B．122° C．123° D．132°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到∠IBC=
∠ABC，∠ICB= ∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠A=66°，
∴∠ABC+∠ACB=114°，
∵点I是内心，
∴∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=57°，
∴∠BIC=180°﹣57°=123°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握三角形的内心的概念、三角形
内角和定理是解题的关键．
10．（3分）（2017•眉山）如图，EF过 ▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于
F，若 ▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【分析】先利用平行四边形的性质求出AB=CD，BC=AD，AD+CD=9，可利用全等的性
质得到△AEO≌△CFO，求出OE=OF=1.5，即可求出四边形的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，AD∥BC，
∴CD+AD=9，∠OAE=∠OCF，
第10页（共23页）在△AEO和△CFO中， ，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF=1.5，AE=CF，
则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12．
故选C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行
四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
11．（3分）（2017•眉山）若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二
次函数y=ax2﹣ax（ ）
A．有最大值 B．有最大值﹣ C．有最小值 D．有最小值﹣
【分析】一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，得到﹣1＜a＜0，于是得
到结论．
【解答】解：∵一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，
∴a+1＞0且a＜0，
∴﹣1＜a＜0，
∴二次函数y=ax2﹣ax由有最大值﹣ ，
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的最值，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质
是解题的关键．
12．（3分）（2017•眉山）已知 m2+ n2=n﹣m﹣2，则 ﹣ 的值等于（ ）
A．1B．0C．﹣1 D．﹣
【分析】把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到m，n的值，代入
求值即可．
【解答】解：由 m2+ n2=n﹣m﹣2，得
（m+2）2+（n﹣2）2=0，
则m=﹣2，n=2，
∴ ﹣ =﹣ ﹣ =﹣1．
故选：C．
第11页（共23页）【点评】考查分式的化简求值，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式
是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平
方式的底数为0．
二、填空题（24分）
13．（3分）（2017•眉山）分解因式：2ax2﹣8a= 2 a （ x + 2 ）（ x﹣2 ） ．
【分析】首先提公因式2a，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式=2a（x2﹣4）=2a（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2a（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法
对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，
再考虑运用公式法分解．
14．（3分）（2017•眉山）△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以
点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是 120 °
．
【分析】根据旋转的性质及等边三角形的性质求解．
【解答】解：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，
根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查旋转的性质：变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小
形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．
15．（3分）（2017•眉山）已知一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为x ，x ，则
1 2
（x ﹣1）（x ﹣1）的值是 ﹣ 4 ．
1 2
【分析】由根与系数的关系可得x +x =3、x •x =﹣2，将其代入（x ﹣1）（x ﹣1）
1 2 1 2 1 2
=x •x ﹣（x +x ）+1中，即可求出结论．
1 2 1 2
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为x ，x ，
1 2
∴x +x =3，x •x =﹣2，
1 2 1 2
∴（x ﹣1）（x ﹣1）=x •x ﹣（x +x ）+1=﹣2﹣3+1=﹣4．
1 2 1 2 1 2
第12页（共23页）故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，找出x +x =3、x •x =﹣
1 2 1 2
2是解题的关键．
16．（3分）（2017•眉山）设点（﹣1，m）和点（ ，n）是直线y=（k2﹣1）x+b（0＜k＜1）
上的两个点，则m、n的大小关系为 m ＞ n ．
【分析】先根据一次函数的解析式判断出该函数的增减性，再根据﹣1＜ 及可判断
出m、n的大小．
【解答】解：∵0＜k＜1，
∴直线y=（k2﹣1）x+b中，k2﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣1＜ ，
∴m＞n．
故答案是：m＞n．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是
解答此题的关键．
17．（3分）（2017•眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，
DC=2cm，则OC= 5 cm．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理R2=42+（R﹣2）2，计算求出
R即可．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AD= AB=4cm，
设⊙O的半径为R，
由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，
第13页（共23页）∴R2=42+（R﹣2）2，
解得R=5
∴OC=5cm．
故答案为5．
【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条
弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
18．（3分）（2017•眉山）已知反比例函数y= ，当x＜﹣1时，y的取值范围为 ﹣ 2
＜ y ＜ 0 ．
【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数的增减性，再求出x=﹣1时y的值即
可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y= 中，k=2＞0，
∴此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵当x=﹣1时，y=﹣2，
∴当x＜﹣1时，﹣2＜y＜0．
故答案为：﹣2＜y＜0．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题
的关键．
三．解答题：（60分）
19．（6分）（2017•眉山）先化简，再求值：（a+3）2﹣2（3a+4），其中a=﹣2．
【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计
算即可求出值．
【解答】解：原式=a2+6a+9﹣6a﹣8=a2+1，
当a=﹣2时，原式=4+1=5．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的
第14页（共23页）关键．
20．（6分）（2017•眉山）解方程： +2= ．
【分析】方程两边都乘以x﹣2得出1+2（x﹣2）=x﹣1，求出方程的解，再进行检验
即可．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2得：1+2（x﹣2）=x﹣1，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，
所以x=2不是原方程的解，
即原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，
注意：解分式方程一定要进行检验．
21．（8分）（2017•眉山）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格
点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，
6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB C的周长最小，并写出点P的坐标．
1
【分析】（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）作出点B关于y轴的对称点B ，连接A、B 交y轴于点P，则P点即为所求．
2 2
第15页（共23页）【解答】解：（1）如图所示；
（2）如图，即为所求；
（3）作点B关于y轴的对称点B ，连接A、B 交y轴于点P，则点P即为所求．
2 2
设直线AB 的解析式为y=kx+b（k≠0），
2
∵A（﹣4，6），B （2，2），
2
∴ ，解得 ，
∴直线AB 的解析式为：y=﹣ x+ ，
2
∴当x=0时，y= ，
∴P（0， ）．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
22．（8分）（2017•眉山）如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m
的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰
角为60°，求这棵树的高度AB．
第16页（共23页）【分析】设AG=x，分别在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的长度，然后根
据DE=10m，列出方程即可解决问题．
【解答】解：设AG=x．
在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG= ，
∴FG= ，
在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，
∴CG=AG=x，
∵DE=10，
∴x﹣ =10，
解得：x=15+5
∴AB=15+5 +1=16+5 （米）．
答：这棵树的高度AB为（16+5 ）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助
线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．（9分）（2017•眉山）一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相
第17页（共23页）同的小球．若红球个数是黑球个数的2倍多40个．从袋中任取一个球是白球的概
率是 ．
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
【分析】（1）先根据概率公式求出白球的个数为10，进一步求得红、黑两种球的个
数和为280，再根据红球个数是黑球个数的2倍多40个，可得黑球个数为（280﹣
40）÷（2+1）=80个，进一步得到红球的个数；
（2）根据概率公式可求从袋中任取一个球是黑球的概率．
【解答】解：（1）290× =10（个），
290﹣10=280（个），
（280﹣40）÷（2+1）=80（个），
280﹣80=200（个）．
故袋中红球的个数是200个；
（2）80÷290= ．
答：从袋中任取一个球是黑球的概率是 ．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
24．（9分）（2017•眉山）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次
（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个
档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产
的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
【分析】（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可
求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可
得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）．
答：此批次蛋糕属第三档次产品．
第18页（共23页）（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，
根据题意得：（2x+8）×（76+4﹣4x）=1080，
整理得：x2﹣16x+55=0，
解得：x =5，x =11（不合题意，舍去）．
1 2
答：该烘焙店生产的是五档次的产品．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式
计算；（2）根据单件利润×销售数量=总利润，列出关于x的一元二次方程．
25．（9分）（2017•眉山）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结
DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求 的值．
【分析】（1）由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，从而可知∠CBG=∠CDE，根据全等三
角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG=DE；
（2）设 CG=1，从而知 CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG= ，由易证
△ABH∽△CGH，所以 ，从而可求出HG的长度，进而求出 的值．
【解答】解：（1）∵BF⊥DE，
∴∠GFD=90°，
∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，
∴∠CBG=∠CDE，
在△BCG与△DCE中，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG=DE，
第19页（共23页）（2）设CG=1，
∵G为CD的中点，
∴GD=CG=1，
由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG=CE=1，
∴由勾股定理可知：DE=BG= ，
∵sin∠CDE= = ，
∴GF= ，
∵AB∥CG，
∴△ABH∽△CGH，
∴ = ，
∴BH= ，GH= ，
∴ =
【点评】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三
角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，属于中等题型．
26．（11分）（2017•眉山）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴
交于C点，已知A（3，0），且M（1，﹣ ）是抛物线上另一点．
（1）求a、b的值；
（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三
角形，求P点的坐标；
（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作
NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的
函数关系式．
第20页（共23页）【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；
（2）在y=ax2+bx﹣2中，当x=0时．y=﹣2，得到OC=2，如图，设P（0，m），则
PC=m+2，OA=3，根据勾股定理得到AC= = ，①当PA=CA时，则OP =OC=2，②当
1
PC=CA= 时，③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，根据相似三角形的性质
得到P （0， ），④当PC=CA= 时，于是得到结论；
3
（3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，根据平行线分线段成比例定理得到
OM= ，求得抛物线的对称轴为直线x= = ，得到OG= ，求得GN=t﹣ ，根据相似
三角形的性质得到HG= t﹣ ，于是得到结论．
【解答】解：（1）把A（3，0），且M（1，﹣ ）代入y=ax2+bx﹣2得 ，
解得： ；
（2）在y=ax2+bx﹣2中，当x=0时．y=﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴OC=2，
如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，AC= = ，
①当PA=CA时，则OP =OC=2，
1
∴P （0，2）；
1
②当PC=CA= 时，即m+2= ，∴m= ﹣2，
∴P （0， ﹣2）；
2
③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，
则△AOC∽△P EC，
3
∴ = ，
∴P C= ，
3
∴m= ，
∴P （0， ），
3
④当PC=CA= 时，m=﹣2﹣ ，
∴P （0，﹣2﹣ ），
4
综上所述，P点的坐标 （0，2）或（0， ﹣2）或（0， ）或（0，﹣2﹣ ）；
1
（3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，
第21页（共23页）∵NH∥AC，
∴ ，
∴ ，
∴OM= ，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，
∴OG=1，
①当0＜t≤1时，∴GN=1﹣t，
∵GH∥OC，
∴△NGH∽△NOM，
∴ ，
即 = ，
∴HG=﹣ t+ ，
∴S= ON•GH= t（﹣ t+ ）=﹣ t2+ t（0＜t≤1）．
当1＜t＜3时，
∴GN=t﹣1，
∵GH∥OC，
∴△NGH∽△NOM，
∴ ，
即 = ，
∴HG= t﹣ ，
∴S= ON•GH= t（ t﹣ ）= t2﹣ t（1＜t＜3）．
第22页（共23页）【点评】本题考查了待定系数法求得函数的系数，相似三角形的，等腰三角形的判
定和性质，三角形的面积公式，掌握的作出辅助线是解题的关键．
第23页（共23页）
